2020年中考专题复习之动点轨迹分析 讲义(PDF版无答案)

中考动点专题欧阳家百（2021.03.07）所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x=,GP y=,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中, .∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6).(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况: ①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验,6=x 是原方程的根,且符合题意.②GP=GH 时,2336312=+x ,解得0=x . 经检验,0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y .(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；HM NGPO AB图1x y(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°,∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CEAB =,∴11x y =, ∴xy 1=.(2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立,∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立.例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长.A ED CB图2 A3(2)3(1)解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP. 又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54x AD =,∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AEADAP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516=(8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4. ∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°,∠FPB=∠DPE,∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2.②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE. ∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述,当BF=1时,线段AP 的长为2或6. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x .∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x .此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x .此时,△AOC 的面积y =21274=-.综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21. 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关ACO 图8H注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

专题01 动点与函数图象【例1】（2019·郑州外国语测试）如图所示，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为CD的中点，连接AE、BE，点M从点A出发沿AE方向向E匀速运动，同时点N从点E出发沿EB方向向点B匀速运动，点M、N的速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t，连接MN，设△EMN的面积为S，则S关于t的函数图象为（）A B C D【答案】D.【解析】解：由题意知，AD=DE=CE=BC=4，AE，△△AED=△BEC=45°，△△MEN=90°，又△EN=t，EM－t，△S=12EM EN ⋅⋅=()12t t ⋅⋅=(2142t -⋅-+，（0≤t ）图象为抛物线，开口朝下，当x 时，S 取最大值， 故答案为D .【变式1-1】（2019·洛阳二模）如图，点 P 是边长为 2 cm 的正方形 ABCD 的边上一动点，O 是对角线的交点，当点 P 由 A →D →C 运动时，设 DP =x cm ，则△POD 的面积 y （cm 2） 随 x （cm ）变化的关系图象为（ ）A BC D 【答案】B .【解析】解：当P 点在AD 上运动时，0<x ≤2时， y =12·PD ×1=12x ， 当P 点在DC 上运动时，0<x ≤2， y =12·PD ×1=12x ， 故答案为：B .【变式1-2】（2019·叶县一模）如图，在△ABC 中，△ABC ＝60°，△C ＝45°，点D ，E 分别为边AB ，AC 上的点，且DE △BC ，BD ＝DE ＝2，CE ＝52，BC ＝245．动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿B →D →E →C 匀速运动，运动到点C 时停止．过点P 作PQ △BC 于点Q ，设△BPQ 的面积为S ，点P 的运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D .【解析】解：△PQ △BQ △S △BPQ ＝12PQ •BQ ①当点P 在BD 上（即0s ≤t ≤2s ）BP ＝t ，BQ ＝PQ •cos 60°＝12t ，PQ ＝BP •sin 60°tS △BPQ ＝12PQ •BQ＝12•12t tt 2 该图象是关于t 的二次函数，其图象为一段开口朝上的抛物线； ②当P 在DE 上时（即2s ＜t ≤4s ）PQ ＝BD •sin 60°BQ ＝BD •cos 60°+（t ﹣2）＝t ﹣1S △BPQ ＝12PQ •BQ＝12（t ﹣1）＝2t ﹣2， 该图象为一条线段，由左向右上升； ③当P 在DE 上时（即4s ＜t ≤132s ）PQ ＝PC •sin 45°＝4﹣2t ，BQ ＝BC ﹣CQ ＝245－4+2tS △BPQ ＝12PQ •BQ =12t ）（245t ）通过计算可知，此时函数解析式为二次函数，且二次项系数为：14<0，即该段图象为一段开口朝下的抛物线；综上所述，答案为D .【例2】（2019·省实验一模）如图，正方形ABCD ，对角线AC 和BD 交于点E ，点F 是BC 边上一动点（不与点B ，C 重合），过点E 作EF 的垂线交CD 于点G ，连接FG 交EC 于点H ．设BF ＝x ，CH ＝y ，则y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A .【解析】解：△四边形ABCD 是正方形， △△EBF ＝△ECG ＝45°，AC △BD ，EB ＝EC ， △EF △EG ，△△BEC ＝△FEG ＝90°， △△BEF ＝△CEG ， △△BEF △△CEG ， △EF ＝EG ， △△EFG ＝45°， △△CFH ＝△BEF ， △△BEF △△CFH ， △BE BECH CF=， △x y =，△y ＝﹣x 2x （0＜x ）， 图象为一段开口朝下的抛物线， 即答案为：A ．【变式2-1】（2019·名校模考）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，点E 为对角线AC 上的一个动点，连接BE ，DE ，过E 作EF △BC 于F ．设AE ＝x ，图1中某条线段的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（ ）A ．线段BEB ．线段EFC ．线段CED ．线段DE 【答案】D ．【解析】解：A 、由图1可知，若线段BE 是y ，则y 随x 的增大先减小再增大，而BA ＜BC ，选项A 错误；B、由图1可知，若线段EF是y，则y随x的增大而减小，选项B错误；C、由图1可知，若线段CE是y，则y随x的增大而减小，选项C错误；D、由图1可知，若线段DE是y，则y随x的增大先减小再增大，而由由大变小的距离大于由小变大的距离，在点A的距离是DA，在点C时的距离是DC，DA＞DC，选项D正确；故答案为：D．【变式2-2】（2018·洛宁县模拟）如图1，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点，且△APD=60°，PD交AC于点D，设线段PB的长度为x，图1中某线段的长度为y，y与x的函数关系的大致图象如图2，则这条线段可能是图1中的（）图1 图2A．线段AD B．线段AP C．线段PD D．线段CD【答案】A.【解析】解：△△APD=60°，△ABC是等边三角形，△△B=△C=60°，△△APB+△CPD=120°，△PDC+△CPD=120°，△△APB=△PDC，△△ABP△△PCD，△AB BP CP CD=,即：44xx CD=-，△CD=()45x x-，当x=0时，CD=0，不符题意；△AD=4－CD=4－()45x x-=()2116255x-+，符合题意，即答案为：A.【例3】（2019·周口二模）如图1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2 cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系图象如图2，则CDBE的值为（）ABCD图1 图2【答案】D.【解析】解：由图象可知，t=8时，P点与E点重合；t=10时，P与D点重合，△P点的运动速度为2cm/s，△DE=4，BE=16，S△BCE=12·BC·CD=8 CD，即8 CD，即CD，△CDBE,故答案为：D.【变式3-1】（2019·枫杨外国语三模）如图1，动点K从△ABC的顶点A出发，沿AB﹣BC匀速运动到点C停止．在动点K运动过程中，线段AK的长度y与运动时间x的函数关系如图 2 所示，其中点Q为曲线部分的最低点，若△ABC的面积是，则a的值为图1 图2【答案】【解析】解：由图可知，Q点对应的是AK△BC的位置，即△ABC边BC上的高为5，由△ABC的面积是BC=，图1图2由抛物线的两端纵坐标相等，即对应的AK 的长度相等，说明AB =AC ，由勾股定理得：AB =即a =故答案为：【变式3-2】（2019·中原名校大联考）如图1，在矩形ABCD 中，动点M 从点A 出发，沿A →B →C 方向运动，当点M 到达点C 时停止运动，过点M 作MN △AM 交CD 于点N ，设点M 的运动路程为x ，CN ＝y ，图2表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，则矩形ABCD 的面积是（ ）A ．20B ．18C ．10D ．9【答案】A ．【解析】解:由图2知：AB +BC ＝9，设AB ＝m ，则BC ＝9﹣m ， 如图所示，当点M 在BC 上时，则AB ＝m ，BM ＝x ﹣a ，MC ＝9﹣x ，NC ＝y ， △MN △AM ，则△MAB ＝△NMC ，tan △MAB ＝tan △NMC ，即BM CNAB CM=, 即9x m y m x-=-，化简得：y ＝﹣1m x 2+9m m +x ﹣9， 当x ＝92m +时，y 取最大值45，即45＝()294m m +﹣9， 解得：m ＝5或m =16.2（舍）， △AM ＝5，BC ＝4，ABCD的面积为20，故答案为：A．1. （2019·濮阳二模）如图，点A在x轴上，点B，C在反比例函数y＝kx（k＞0，x＞0）的图象上．有一个动点P从点A出发，沿A→B→C→O的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P作PM△x轴，垂足为M，设△POM的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】解：设点P的运动速度为x，（1）当点P在AB上时，S=12·OA·AP=12·OA·at，该段函数图象为一条线段，且S随t的增大而增大，（2）点P在曲线BC上时，S=12k，为一定值，即图象为一条平行于x轴的线段；（3）点P在OC上时，S=12·PM·OM设△AOC=β，P运动全路程为s，则OP=s－at，则S=12·PM·OM=12OPsinβ·OPcosβ=12（s－at）2sinβcosβ函数图象为一段开口朝上的抛物线，且S随t的增大而减小；综上所述，答案为：D.2.（2019·南阳模拟）如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝2，点D为边AB上一点，过点D作DE△AC，交BC于E点；过E点作EF△DE，交AB的延长线于F点．设AD＝x，△DEF的面积为y，则能大致反映y 与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】解：△△ABC是等边三角形，△△A＝△C＝△ABC＝60°，△DE△AC，△△EDF＝△A＝60°，△DEB＝△B＝60°△EF△DE，△△DEF＝90°，△△F＝90°﹣△EDC＝30°；△△EDB＝△DEB＝60°，△△EDB是等边三角形．△ED＝DB＝2﹣x，在Rt△DEF中，EF ED2﹣x）．△y＝12 ED•EF＝12（2﹣x）（2﹣x），（x﹣2）2，（0≤x≤2），图象为一段开口朝上的抛物线，y随x增大而减小；所以答案为：A．3.（2019·平顶山三模）如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】解：由题意知，（1）当点F在PD上运动时，△AEF的面积为y=12AE•AD＝2x（0≤x≤2），为一次函数，图象为直线；（2）当F在AD上运动时，△AEF的面积为：y=12 AE•AF=12x(6－x)=－12x2+3x,为二次函数，且开口朝下；故答案为：A．4.如图甲，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，Q同时从B点出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P、Q出发t秒时，△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系的图象如图乙（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：△当0＜t≤5时，y=25t2 △tan△ABE=34△点H的坐标为（11，0）△△ABE与△QBP不可能相似．其中正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）【答案】△△△.【解析】解：△过点P作PF△BC于F，根据面积不变时△BPQ的面积为10，可得：AB=4，△AD△BC，△△AEB=△PBF，△sin△PBF=sin△AEB=45，△PF=PBsin△PBF=45 t，△当0＜t≤5时，y=12BQ·PF=25t2即△正确；△由图知：ED=2，△AE=AD﹣ED=5﹣2=3，△tan△ABE=34AEAB=，△正确；△由图象知，在D点时，出发时间为7s，由CD=4，得H（11，0），△正确；△当△ABE与△QBP相似时，点P在DC上，△tan△PBQ=tan△ABE=34，△34PQBQ=，即11354t-=，解得：t=294．△错误；故答案为：△△△．5.（2019·焦作二模）如图1，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，点P为AB边上的一个动点，设xAP=，图1中线段DP的长为y，若表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则等边△ABC的面积为.【答案】【解析】解：由垂线段最短可知，当DP△AB时，y此时，由△B=60°，得：BD tan60°=2，△BC=4，S△ABC24，即答案为：6.（2019·三门峡一模）如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x ，两个三角形重叠面积为y ，则y 关于x 的函数图象是（ ）ABCD ．【答案】B .【解析】解：当0≤x ≤1时，重叠部分为△A ’B ’C ’21=当1<x ≤2时，重叠部分为等边三角形，边长B ’C =2－x ， ())2222x x -=-，为开口朝上的抛物线， 综上所述，答案为：B .7.（2019·许昌月考）如图，在边长为2的正方形ABCD 中剪去一个边长为1的小正方形CEFG ，动点P 从点A 出发，沿A →D →E →F →G →B 的路线绕多边形的边匀速运动到点B 时停止（不含点A 和点B ），则△ABP 的面积S 随着时间t 变化的函数图象大致是（ ）A．B．C．D．【答案】B．【解析】解：当点P在AD上时，S=12AB·AP=AP，则S随着时间t的增大而增大；当点P在DE上时，S=2，S保持不变；当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，则S随着时间t的增大而减小；当点P在FG上时，S=1，面积S不变；当点P在GB上时，S=12AB·BP=BP，S随着时间t的增大而减小；故答案为：B．8.（2019·信阳模拟）如图1，在△ABC中，△C=90°，动点P从点C出发，以1cm/s的速度沿折线CA→AB 匀速运动，到达点B时停止运动，点P出发一段时间后动点Q从点B出发，以相同的速度沿BC匀速运动，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C，并停止运动，设点P的运动时间为t s，△PQC的面积为S cm2，S 关于t的函数图象如图2所示（其中0＜t≤3，3≤t≤4时，函数图象均为线段（不含点O），4＜t＜8时，函数图象为抛物线的一部分）给出下列结论：△AC=3cm；△当S=65时，t=35或6．下列结论正确的是（）A．△△都对B．△△都错C．△对△错D．△错△对【答案】A.【解析】解：由函数图象可知当0＜t≤3时，点P在AC上移动，△AC=t×1=3×1=3cm．故△正确；在Rt△ABC中，S△ABC=6，即12BC×3=6，得：BC=4．由勾股定理可知：AB=5．（1）当0＜t≤3时，S=12 BC•PC=12×4t=2t．（2）当3<t≤4时，PB=AB-AP=5-（t-3）=8-t，过点P作PH△BC，垂足为H，则35 PH ACPB AB==，△PH=35PB=35（8-t），S=12 BC•PH=12×4×35（8-t）=-65t+485，（3）当4＜t＜8时，过点P作PH△BC于H．同理：S =2324961055t t -+ 当0＜t ≤3时，2t =65，解得t ＝35， 当3≤t ≤4时，−65t +485＝65，解得：t =7（舍去）， 当4＜t ＜8时，232496610555t t -+=，解得t =6或t =10（舍去）， △当t 为35或6时，△PQC 的面积为65． 故△正确． 故答案为：A ．9.（2018·新乡一模）如图，平行四边形ABCD 中，ABcm ，BC =2cm ，△ABC =45°，点P 从点B 出发，以1cm /s 的速度沿折线BC →CD →DA 运动，到达点A 为止，设运动时间为t (s )，△ABP 的面积为S (cm 2)，则S 与t 的函数表达式为.【答案】S =()((10221221(8)242t t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎪<≤+⎨⎪⎪++<≤+⎪⎩.【解析】解：（1）当点P 在BC 上运动时，即0≤t ≤2时，B过点A 作AH △BC 于H ， △AB,△B =45°， △AH =BH =1， S =12BP ·AH =12t ·1=12t ； （2）当点P 在CD 上运动时，即2<t时，S =12S 四边形ABCD =1； （3）当点P 在DA 上运动时，即t时，S =12AP ·AH =12(t －4)·1=12－t )； 综上所述，S =()((10221221(8)242t t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎪<≤⎨⎪⎪++≤+⎪⎩10.（2019·郑州外国语模拟）如图，在等腰△ABC 中，AB =AC =4cm ，△B =30°，点P 从点Bcm /s 的速度沿BC 方向运动到点C 停止，同时点Q 从点B 出发以2cm /s 的速度沿B →A →C 运动到点C 停止，若△BPQ 的面积为y ，运动时间为t （s ），则y 与t 的函数关系式为：.BBDBDP【答案】y=()()22023242t t t ≤≤⎨⎪-+<≤⎪⎩.【解析】解：当点Q 在线段AB 上运动时，即0≤t ≤2，过点Q 作QH △BC 于H ，由题意知，BQt ，BP =2t ， △△B =30°， △QH=2t ， y =12·BP ·QH =12×（2t ）t=t 2，当点Q 在线段AC 上运动时，即2<t ≤4，过点Q 作QH △BC 于H ，由题意知，CQ =8，BP =2t ， △△C =30°， △QH（8）， y =12·BP ·QH =12×（2t ）×2（8t ）=2（8t2）=232t -+，BB综上所述，y=()()22023242t t t ≤≤⎨⎪-+<≤⎪⎩.11.（2019·安阳一模）如图，在四边形ABCD 中，AD △BC ，DC △BC ，DC =4 cm ，BC =6 cm ，AD =3 cm ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2 cm /s 的速度沿折线BA -AD -DC 运动到点C ，点Q 以1 cm /s 的速度沿BC 运动到点C ，设P ，Q 同时出发t s 时，△BPQ 的面积为y cm 2，则y 与t 的函数图象大致是（ ）ABCD【答案】B .【解析】解：过A 作AF △BC 于E ，则四边形ADCF 是矩形， △AD =CF =3，CD =AF =4， △BF =3，在Rt △ABF 中，由勾股定理得：AB =5， P 点从B 运动到A 点需2.5 秒，（1）当0≤t ≤2.5时，过P 作PE △BC 于E ， △ PE △AF ，BC△BP PE AB AF=,△254t PE=，即PE=85t，y=12·BQ·PE=12t·85t=245t，是一段开口朝上的抛物线；（2）当2.5<t≤4时，P点在AD上运动，y=12·BQ·CD=2t，是一条线段；（3）当4<t≤6时，P点在CD上运动，y=12·BQ·CP=12t(12－2t)=6t－t2，函数图象为一段开口朝下的抛物线，综上所述，选项B符合要求，故答案为：B.12.（2019·开封模拟）如图，菱形ABCD的边长是4 cm，△B=60°，动点P以1 cm/s的速度从点A出发沿AB方向运动至点B停止，动点Q以2 cm/s的速度从点B出发沿折线BCD运动至点D停止．若点P，Q 同时出发，运动了t s，记△BPQ的面积为S cm2，则下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（）DA ．B ．C ．D ．【答案】C .【解析】解：当点Q 在线段BC 上时，即0≤t ≤2时， S =12BQ ·BP ·sin △B =122t ·（4－t ）=)24t t -， 图象为开口朝上的抛物线；当点Q 在线段CD 上时，即2<t ≤4时， S =12·BP ·(BC ·sin △B ) =12（4－t ）)4t -，图象为一条直线，S 随t 的增大而减小； 即答案为：C .13. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝4cm ，动点P 从点A 出发，以lcm /s 的速度沿线段AB 向点B 运动，动点Q 同时从点A 出发，以2cm ／s 的速度沿折线AD →DC →CB 向点B 运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是x（s）时，△APQ的面积是y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）【答案】A.【解析】解：当点Q在线段AD上时，即0≤t≤1，y=12·AP·AQ=12（2t）t=t2，为开口朝上的抛物线；当点Q在线段DC上时，即1≤t≤3，y=12·AP·AD=12（2t）×2=2t，为一段线段，y随x的增大而增大；当点Q在线段CB上时，即3≤t≤4，y=12·AP·BQ=12（2t）×(8－2t)=－2t2+8t，为开口朝下的抛物线；综上所述，选项A符合要求，即答案为：A.14.（2019·信阳一模）如图,锐角三角形ABC中,BC=6,BC边上的高为4,直线MN交边AB于点M,交AC 于点N,且MN△BC,以MN为边作正方形MNPQ,设其边长为x(x>0),正方形MNPQ与△ABC公共部分的面积为y,则y与x的函数图象大致是()A B C D【答案】D.【解析】解：当PQ在边BC上时，由题意知，MN△BC，过A作AH△BC于H，交MN于G，△MN AGBC AH=,即464x x-=，解得：x=2.4，当0<x≤2.4时，正方形MNQP在△ABC的内部，△y=x2，为开口朝上的抛物线，当2.4<x≤4时，过A作AH△BC于H，交MN于G，则MN AGBC AH=，即64x AG=，解得：AG=23x，△GH=4-23 x，y=MN·GH=x(4-23x)，为开口朝下的抛物线，对称轴为：x=3，即选项D符合题意，即答案为：D.15.（2018·开封二模）如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,1),B0)，以线段AB为边向上作菱形ABCD，且点D在y轴上. 若菱形ABCD以每秒2个单位长度的速度沿射线AB滑行，直至顶点D落在x轴上时停止．设菱形落在x轴下方部分的面积为S，则表示S与滑行时间t的函数关系的图象为（）图1 图2A B C D【答案】A .【解析】解：由A (0,1),B 0)，得：∠ABO =30°，∠ADC =∠OAB =60 （1）当点A 在x 轴上方时，菱形落在x 轴下方部分为三角形，S =12·（2t ）2，图象为开口朝上的抛物线； （2）当点A 在x 轴上方时，点C 在x 轴上方时，菱形落在x 轴下方部分为梯形，S =12·（t +t -1），图象为一段线段；（3）当点C 在x 轴下方时，S 12（6-2t ）（6-2t ）t -3)2图象为开口朝下的抛物线； 综上所述，选项A 符合要求； 故答案为：A .。

决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品专题15 动点综合问题【典例分析】【考点1】动点之全等三角形问题【例1】如图，直线443y x =-+与x 轴和y 轴分别交于,A B 两点，另一条直线过点A 和点(7,3)C . (1)求直线AC 的函数表达式;(2)求证: AB AC ⊥;(3)若点P 是直线AC 上的一个动点，点Q 是x 轴上的一个动点，且以,,P Q A 为顶点的三角形与AOB ∆全等，求点Q 的坐标.【答案】(1)3944y x=-;(2) 222AB AD BD+=; (3) 点Q的坐标为(7,0)或(8,0)或(1,0)-或(2,0)-【解析】（1）在y=-43x+4中，令y=0，则0=-43x+4，求得A（3，0），设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，解方程组即可得到结论；（2）在直线ABy=-43x+4中，得到k1=-43，在直线AC y＝34x−94中，得到k2=34，由于k1•k2=-1，即可得到结论；（3）根据勾股定理得到AB=5，①当∠AQP=90°时，如图1，由全等三角形的性质得到AQ=OB=4，于是得到Q1（7，0），Q2（-1，0），②当∠APQ=90°时，如图2，根据全等三角形的性质得到AQ=AB=5，于是得到Q3（8，0），Q4（-2，0），③当∠PAQ=90°时，这种情况不存在．【详解】（1）在y=-43x+4中，令y=0，则0=-43x+4，∴x=3，∴A（3，0），设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，则：0337k bk b+⎧⎨+⎩＝＝，解得：3494kb⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝，∴直线AC对应的函数关系式为y＝34x-94.(2) 在直线ABy=-43x+4中，∵k1=-43，在直线AC y＝34x−94中，k2=34，∴k1•k2=-1，∴AB⊥AC；（3）在y=-43x+4中，令x=0，则y=4，∴OA=3，OB=4，由勾股定理得AB=5，①当∠AQP=90°时，如图1，∵△AOB≌△AQP，∴AQ=OB=4，∴Q1（7，0），Q2（-1，0），②当∠APQ=90°时，如图2，∵△AOB≌△AQP，∴AQ=AB=5，∴Q3（8，0），Q4（-2，0）．③当∠PAQ=90°时，这种情况不存在，综上所述：点Q的坐标为：（7，0）（8，0）（-1，0）（-2，0）．【点睛】考查了一次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论是解题关键，以防遗漏．感谢关注公众号“数学一二三”【变式1-1】）如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动_______秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合)【答案】0；4；8；12【解析】此题要分两种情况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种情况AC＝BP或AC ＝BN进行计算即可．【详解】解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，∵AC ＝2，∴BP ＝2，∴CP ＝6−2＝4，∴点P 的运动时间为4÷1＝4（秒）；②当P 在线段BC 上，AC ＝BN 时，△ACB ≌△NBP ，这时BC ＝PN ＝6，CP ＝0，因此时间为0秒；③当P 在BQ 上，AC ＝BP 时，△ACB ≌△PBN ，∵AC ＝2，∴BP ＝2，∴CP ＝2＋6＝8，∴点P 的运动时间为8÷1＝8（秒）；④当P 在BQ 上，AC ＝NB 时，△ACB ≌△NBP ，∵BC ＝6，∴BP ＝6，∴CP ＝6＋6＝12，点P 的运动时间为12÷1＝12（秒），故答案为：0或4或8或12．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【考点2】动点之直角三角形问题【例2】（模型建立）（1）如图1，等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=，CB CA =，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ⊥于点D ，过B 作BE ED ⊥于点E .求证：BEC CDA ∆≅∆；（模型应用）（2）已知直线1l ：443y x =+与坐标轴交于点A 、B ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转45至直线2l ，如图2，求直线2l 的函数表达式；（3）如图3，长方形ABCO ，O 为坐标原点，点B 的坐标为()8,6-，点A 、C 分别在坐标轴上，点P 是线段BC 上的动点，点D 是直线26y x =-+上的动点且在第四象限.若APD ∆是以点D 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接．．写出点D 的坐标.【答案】（1）见解析；（2）y ＝−7x−21；（3）D （4，−2）或（203，223-）. 【解析】（1）根据△ABC 为等腰直角三角形，AD ⊥ED ，BE ⊥ED ，可判定BEC CDA ∆≅∆；（2）①过点B 作BC ⊥AB ，交l 2于C ，过C 作CD ⊥y 轴于D ，根据△CBD ≌△BAO ，得出BD ＝AO ＝3，CD ＝OB ＝4，求得C （−4，7），最后运用待定系数法求直线l 2的函数表达式；（3）根据△APD 是以点D 为直角顶点的等腰直角三角形，当点D 是直线y ＝−2x ＋6上的动点且在第四象限时，分两种情况：当点D 在矩形AOCB 的内部时，当点D 在矩形AOCB 的外部时，设D （x ，−2x ＋6），分别根据△ADE ≌△DPF ，得出AE ＝DF ，据此列出方程进行求解即可．【详解】解：（1）证明：∵△ABC 为等腰直角三角形，∴CB ＝CA ，∠ACD ＋∠BCE ＝90°，又∵AD ⊥ED ，BE ⊥ED ，∴∠D ＝∠E ＝90°，∠EBC ＋∠BCE ＝90°，∴∠ACD ＝∠EBC ，在△ACD 与△CBE 中，D E ACD EBC CA CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴BEC CDA ∆≅∆（AAS ）；（2）①如图2，过点B 作BC ⊥AB ，交l 2于C ，过C 作CD ⊥y 轴于D ，∵∠BAC＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，由（1）可知：△CBD≌△BAO，∴BD＝AO，CD＝OB，∵直线l1：y＝43x＋4中，若y＝0，则x＝−3；若x＝0，则y＝4，∴A（−3，0），B（0，4），∴BD＝AO＝3，CD＝OB＝4，∴OD＝4＋3＝7，∴C（−4，7），设l2的解析式为y＝kx＋b，则7403k bk b=-+⎧⎨=-+⎩，解得：721 kb=-⎧⎨=-⎩，∴l2的解析式为：y＝−7x−21；（3）D（4，−2）或（203，223-）．理由：当点D是直线y＝−2x＋6上的动点且在第四象限时，分两种情况：当点D在矩形AOCB的内部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交BC于F，设D（x，−2x＋6），则OE＝2x−6，AE＝6−（2x−6）＝12−2x，DF＝EF−DE＝8−x，由（1）可得，△ADE≌△DPF，则DF＝AE，即：12−2x＝8−x，解得x＝4，∴−2x＋6＝−2，∴D（4，−2），此时，PF＝ED＝4，CP＝6＝CB，符合题意；当点D在矩形AOCB的外部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，设D（x，−2x＋6），则OE＝2x−6，AE＝OE−OA＝2x−6−6＝2x−12，DF＝EF−DE＝8−x，同理可得：△ADE≌△DPF，则AE＝DF，即：2x−12＝8−x，解得x＝203，∴−2x＋6＝223 -，∴D（203，223-），此时，ED＝PF＝203，AE＝BF＝43，BP＝PF−BF＝163＜6，符合题意，综上所述，D点坐标为：（4，−2）或（203，223-）【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，解题时注意分类思想的运用．感谢关注公众号“数学一二三”【变式2-1】（2019·辽宁中考模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A(4，0)和点D(﹣1，0)，与y轴交于点C，过点C作BC平行于x轴交抛物线于点B，连接AC(1)求这个二次函数的表达式；(2)点M从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动；点N从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点N作NQ垂直于BC交AC 于点Q，连结MQ.①求△AQM的面积S与运动时间t之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；当t为何值时，S有最大值，并求出S的最大值；②是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)y＝﹣x2+3x+4；(2)①S=-t2+t+2；0≤t≤2；t＝12时，S最大值＝94；②存在，点M的坐标分别为(1，0)和(2，0)．【解析】(1)由待定系数法将AD两点代入即可求解．(2)①分别用t表示出AM、PQ，由三角形面积公式直接写出含有t的二次函数关系式，由二次函数的最大值可得答案；②分类讨论直角三角形的直角顶点，然后解出t，求得M坐标．【详解】(1)∵二次函数的图象经过A(4，0)和点D(﹣1，0)，∴1644040a ba b++=⎧⎨-+=⎩，解得13ab=-⎧⎨=⎩，所以，二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4．(2)①延长NQ交x轴于点P，∵BC平行于x轴，C(0，4)∴B(3，4)，NP⊥OA．根据题意，经过t秒时，NB＝t，OM＝2t，则CN＝3﹣t，AM＝4﹣2t．∵∠BCA＝∠MAQ＝45°，∴QN＝CN＝3﹣t，∴PQ＝NP﹣NQ＝4﹣(1﹣t)＝1+t，∴S△AMQ=12AM×PQ=12(4-2t)(1+t)＝﹣t2+t+2．∴S=-t2+t+2=-(t-12)2+94．∵a＝﹣1＜0，且0≤t≤2，∴S有最大值．当t＝12时，S最大值＝94．②存在点M，使得△AQM为直角三角形．设经过t秒时，NB＝t，OM＝2t，则CN＝3﹣t，AM＝4﹣2t，∴∵∠BCA＝∠MAQ＝45°．Ⅰ．若∠AQM＝90°，则PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高．∴PQ是底边MA的中线，∴PQ＝AP＝12 MA，∴1+t＝12(4﹣2t)，解得，t＝12，∴M的坐标为(1，0)．Ⅱ．若∠QMA＝90°，此时QM与QP重合．∴QM＝QP＝MA，∴1+t＝4﹣2t，∴t＝1，∴点M的坐标为(2，0)．所以，使得△AQM为直角三角形的点M的坐标分别为(1，0)和(2，0)．【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，要注意利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系还要注意求最大值可以借助于二次函数．【变式2-2】如图，四边形ABCD是正方形，以DC为边向外作等边△DCE，连接AE交BD于点F，交CD于点G，点P是线段AE上一动点，连接DP、BP．（1）求∠AFB的度数；（2）在点P从A到E的运动过程中，若DP平分∠CDE，求证：AG•DP＝DG•BD；（3）已知AD＝6，在点P从A到E的运动过程中，若△DBP是直角三角形，请求DP的长．【答案】(1) 60°；(2)见解析；(3) DP=6或DP＝3－3或DP＝632时，△DBP是直角三角形【解析】（1）根据正方形的性质、等边三角形的性质解答；（2）连接AC，证明△DGP∽△AGC，根据相似三角形的对应边的比相等证明；（3）根据正方形的性质、勾股定理分别求出BD、OD，根据直角三角形的性质求出DF，分∠BPD＝90°、∠BDP＝90°两种情况，根据相似三角形的性质计算．【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DC，∠ADC＝90°，又∵△DCE是等边三角形，∴DE＝DC，∠EDC＝60°，∴DA＝DE，∠ADE＝150°，∴∠DAE＝15°，又∠ADB＝45°，∴∠AFB＝∠DAF+∠ADF＝15°+45°＝60°；（2）连接AC，∠CAG＝∠CAD﹣∠DAG＝45°﹣15°＝30°，∵DP平分∠CDE，∴1302GDP EDC ︒∠=∠=， ∴∠PDG ＝∠CAG ，又∠DGP ＝∠AGC ，∴△DGP ∽△AGC ， ∴DG DP AG AC=，即AG •DP ＝DG •AC ， ∵AC ＝DB ，∴AG •DP ＝DG •BD ；（3）连接AC 交BD 于点O ，则∠AOF ＝90°，∵AD ＝6，∴0A 0D ==在Rt △AOF 中，∠OAF ＝30°，∴OF AF ==，∴FD =由图可知：0°＜∠DBP ≤45°，则△DBP 是直角三角形只有∠BPD ＝90°和∠BDP ＝90°两种情形：①当∠BPD ＝90°时，I 、若点P 与点A 重合，∠BPD ＝90°，∴DP ＝DA ＝6；II 、当点P 在线段AE 上时，∠BPD ＝90°，连接OP ，12OP OA BD === ∴∠OP A ＝∠OAP ＝30°，∴∠AOP ＝120°，∴∠FOP ＝∠AOP ﹣∠AOF ＝30°，∴∠DBP ＝∠OPB ＝15°，∴∠FDP ＝75°，又∠BAF ＝∠BAD ﹣∠DAF ＝75°，∴∠BAF ＝∠PDF ，又∠AFB＝∠DFP，∴△BAF∽△PDF，∴DP DFAB AF=，即326626DP-=解得，333DP=-；②当∠BDP＝90°时，∠DFP＝∠AFB＝60°，∴DP＝DF×tan∠DFP＝3(326)3632-=-，综上，DP=6或DP＝33－3或DP＝3632-时，△DBP是直角三角形．【点睛】本题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质、直角三角形的性质，掌握正方形的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【考点3】动点之等腰三角形问题【例3】（2019·湖南中考真题）如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD，53AD=，5CD=，点M是线段AC上一动点（不与点A重合），连结BM，过点M作BM的垂线交射线DE于点N，连接BN．（1）求CAD∠的大小；（2）问题探究：动点M 在运动的过程中，①是否能使AMN ∆为等腰三角形，如果能，求出线段MC 的长度；如果不能，请说明理由．②MBN ∠的大小是否改变？若不改变，请求出MBN ∠的大小；若改变，请说明理由．（3）问题解决：如图二，当动点M 运动到AC 的中点时，AM 与BN 的交点为F ，MN 的中点为H ，求线段FH 的长度．【答案】（1）30︒∠=CAD ；（2）①能，CM 的值为5或53；②大小不变，30︒∠=MBN ；（3）53=FH . 【解析】（1）在Rt ADC ∆中，求出DAC ∠的正切值即可解决问题．（2）①分两种情形：当NA NM =时，当AN AM =时，分别求解即可．②30MBN ∠=．利用四点共圆解决问题即可．（3）首先证明ABM ∆是等边三角形，再证明BN 垂直平分线段AM ，解直角三角形即可解决问题．【详解】解：（1）如图一（1）中，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ADC ∠=，∵DC 3tan AD 353∠===CAD ， ∴30︒∠=CAD ．（2）①如图一（1）中，当AN NM =时，∵90BAN BMN ︒∠=∠=，BN BN =，AN NM =，∴Rt Rt ()BNA BNM HL ∴∆≅∆，∴BA BM =，在Rt ABC ∆中，∵30ACB DAC ︒∠=∠=，5AB CD ==，∴210AC AB ==，∵60BAM ︒∠=，BA BM =，∴ABM ∆是等边三角形，∴5AM AB ==，∴5CM AC AM =-=．如图一（2）中，当AN AM =时，易证15AMN ANM ︒∠=∠=，∵90BMN ︒∠=，∴75CMB ︒∠=，∵30MCB ︒∠=，∴180753075CBM ︒︒︒︒∠=--=，∴CMB CBM ∠=∠， ∴55CM CB ==综上所述，满足条件的CM 的值为5或3②结论：30︒∠=MBN 大小不变．理由：如图一（1）中，∵180BAN BMN ︒∠+∠=，∴,,,A B M N 四点共圆，∴30MBN MAN ︒∠=∠=．如图一（2）中，∵90BMN BAN ∠=∠=，∴,,,A N B M 四点共圆，∴180MBN MAN ︒∠+∠=，∵180DAC MAN ︒∠+∠=，∴30MBN DAC ︒∠=∠=，综上所述，30︒∠=MBN ．（3）如图二中，∵AM MC =，∴BM AM CM ==，∴2AC AB =，∴AB BM AM ==，∴ABM ∆是等边三角形，∴60BAM BMA ︒∠=∠=，∵90BAN BMN ︒∠=∠=，∴30NAM NMA ︒∠=∠=，∴NA NM =，∵BA BM =，∴BN 垂直平分线段AM ， ∴52FM =， ∴53cos303FM NM ︒==， ∵90NFM ︒∠=，NH HM =， ∴1532FH MN ==【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．感谢关注公众号“数学一二三”【变式3-1】如图①，已知正方形ABCD 边长为2，点P 是AD 边上的一个动点，点A 关于直线BP 的对称点是点Q ，连结PQ 、DQ 、CQ 、BQ .设AP=x.（1）当1x =时，求BP 长；（2）如图②，若PQ 的延长线交CD 边于E ，并且90CQD ∠=，求证：CEQ ∆为等腰三角形； （3）若点P 是射线AD 上的一个动点，则当CDQ ∆为等腰三角形时，求x 的值.【答案】（1）5（2）证明见解析；（3）△CDQ 为等腰三角形时x 的值为3、233、3+4. 【解析】（1）利用勾股定理求出BP 的长即可；（2）根据对称性质及正方形的性质可得AB=BQ=BC ，∠A=∠BQP=∠BCE=90°，可得∠BQE=90°，由第一视角相等性质可得∠BCQ=∠BQC ，根据同角或等角的余角相等的性质可得∠EQC=∠ECQ ，可得EC=EQ ，可得结论；（3）若△CDQ 为等腰三角形，则边CD 边为该等腰三角形的一腰或者底边．又Q 点为A 点关于PB 的对称点，则AB=QB ，以点B 为圆心，以AB 的长为半径画弧，则Q 点只能在弧AB 上．若CD 为腰，以点C 为圆心，以CD 的长为半径画弧，两弧交点即为使得△CDQ 为等腰三角形（CD 为腰）的Q 点．若CD 为底边，则作CD 的垂直平分线，其与弧AC 的交点即为使得△CDQ 为等腰三角形（CD 为底）的Q 点．则如图所示共有三个Q 点，那么也共有3个P 点．作辅助线，利用直角三角形性质求之即可．【详解】（1）∵AP=x=1，AB=2，∴22AB AP +5（2）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠A=∠BCD=90°．∵Q 点为A 点关于BP 的对称点，∴AB=QB ，∠A=∠PQB=90°，∴QB=BC ，∠BQE=∠BCE=90°，∴∠BQC=∠BCQ ，∴∠EQC+∠BQC=∠ECQ+∠BCQ=90°，∴∠EQC =∠ECQ ，∴EQ=EC ，即△CEQ 为等腰三角形.（3）如图，以点B 为圆心，以AB 的长为半径画弧，以点C 为圆心，以CD 的长为半径画弧，两弧分别交于Q 1，Q 3．此时△CDQ 1，△CDQ 3都为以CD 为腰的等腰三角形．作CD 的垂直平分线交弧AC 于点Q 2，此时△CDQ 2以CD 为底的等腰三角形．①讨论Q 1，如图，连接BQ 1、CQ 1，作PQ 1⊥BQ 1交AD 于P ，过点Q 1，作EF ⊥AD 于E ，交BC 于F ， ∵△BCQ 1为等边三角形，正方形ABCD 边长为2，∴FC=1，Q 1221CQ FC 3Q 13在四边形ABPQ 1中，∵∠ABQ 1=30°，∴∠APQ 1=150°，∴∠EPQ 1=30°，△PEQ 1为含30°的直角三角形，∴313，∵EF 是BC 的垂直平分线，∴AE=12AD=1，∴x=AP=AE-PE=1-(23-3)=4-23.②讨论Q2，如图，连接BQ2，AQ2，过点Q2作PG⊥BQ2，交AD于P，交CD于G，连接BP，过点Q2作EF⊥CD于E，交AB于F，∵EF垂直平分CD，∴EF垂直平分AB，∴AQ2=BQ2．∵AB=BQ2，∴△ABQ2为等边三角形．∴AF=12AE=1，FQ222AE AF3在四边形ABQ2P中，∵∠BAD=∠BQ2P=90°，∠ABQ2=60°，∴∠APQ2=120°，∴∠EQ2G=∠DPG=180°-120°=60°，∴EQ2=EF-FQ23323，∴33，∴3PD，即PD=2-233，∴23③对Q3，如图作辅助线，连接BQ1，CQ1，BQ3，CQ3，过点Q3作PQ3⊥BQ3，交AD的延长线于P，连接BP，过点Q1，作EF⊥AD于E，此时Q3在EF上，记Q3与F重合．∵△BCQ1为等边三角形，△BCQ3为等边三角形，BC=2，∴Q1Q2=23，Q1E=2-3，∴EF=2+3，在四边形ABQ3P中∵∠ABF=∠ABC+∠CBQ3=150°，∴∠EPF=30°，∴EP=3EF=23+3，∵AE=1，∴x=AP=AE+PE=1+23+3=23+4.综上所述：△CDQ为等腰三角形时x的值为3233【点睛】本题考查四边形的综合、正方形的性质、含30°角的直角三角形的性质，第三问是一个难度非常高的题目，可以利用尺规作图的思想将满足要求的点Q 找全．另外求解各个P 点也是勾股定理的综合应用熟练掌握并灵活运所学知识是解题关键．【变式3-2】（2019·河南中考模拟）如图，抛物线y=ax 2+bx+3交y 轴于点A ，交x 轴于点B （-3，0）和点C （1，0），顶点为点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 为x 轴上一动点，若△AME 的周长最小，请求出点E 的坐标；（3）点F 为直线AB 上一个动点，点P 为抛物线上一个动点，若△BFP 为等腰直角三角形，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）223y x x =--+ ；（2）E （-37，0）；（3）点P 的坐标为（2，-5）或（1，0）． 【解析】（1）设抛物线的解析式为：y=a （x+3）（x-1），然后将点A 的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式；（2）作A 关于x 轴的对称点A′（0，-3），连接MA′交x 轴于E ，此时△AME 的周长最小，求出直线MA'解析式即可求得E 的坐标；（3）如图2，先求直线AB 的解析式为：y=x+3，根据解析式表示点F 的坐标为（m ，m+3），分三种情况进行讨论：①当∠PBF=90°时，由F 1P ⊥x 轴，得P （m ，-m-3），把点P 的坐标代入抛物线的解析式可得结论； ②当∠BF 3P=90°时，如图3，点P 与C 重合，③当∠BPF 4=90°时，如图3，点P 与C 重合，从而得结论．【详解】（1）当x=0时，y=3，即A （0，3），设抛物线的解析式为：y=a （x+3）（x-1），把A （0，3）代入得：3=-3a ，a=-1，∴y=-（x+3）（x-1）=-x 2-2x+3，即抛物线的解析式为：y=-x 2-2x+3；（2）y=-x 2-2x+3=-（x+1）2+4，∴M （-1，4），如图1，作点A （0，3）关于x 轴的对称点A'（0，-3），连接A'M 交x 轴于点E ，则点E 就是使得△AME 的周长最小的点，设直线A′M 的解析式为：y=kx+b ，把A'（0，-3）和M （-1，4）代入得：43k b b ＝＝-+⎧⎨-⎩， 解得：73k b -⎧⎨-⎩＝＝ ∴直线A'M 的解析式为：y=-7x-3，当y=0时，-7x-3=0， x=-37， ∴点E （-37，0）， （3）如图2，易得直线AB 的解析式为：y=x+3，设点F的坐标为（m，m+3），①当∠PBF=90°时，过点B作BP⊥AB，交抛物线于点P，此时以BP为直角边的等腰直角三角形有两个，即△BPF1和△BPF2，∵OA=OB=3，∴△AOB和△A'OB是等腰直角三角形，∴∠F1BC=∠BF1P=45°，∴F1P⊥x轴，∴P（m，-m-3），把点P的坐标代入抛物线的解析式y=-x2-2x+3中得：-m-3=-m2-2m+3，解得：m1=2，m2=-3（舍），∴P（2，-5）；②当∠BF3P=90°时，如图3，∵∠F 3BP=45°，且∠F 3BO=45°，∴点P 与C 重合，故P （1，0），③当∠BPF 4=90°时，如图3，∵∠F 4BP=45°，且∠F 4BO=45°，∴点P 与C 重合，故P （1，0），综上所述，点P 的坐标为（2，-5）或（1，0）．【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式，周长最短问题，等腰直角三角形的性质和判定等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合和分类讨论思想的应用．【变式3-3】（2019·广西中考真题）已知抛物线2y mx =和直线y x b =-+都经过点()2,4M -，点O 为坐标原点，点P 为抛物线上的动点，直线y x b =-+与x 轴、y 轴分别交于A B 、两点．（1）求m b 、的值；（2）当PAM ∆是以AM 为底边的等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）满足（2）的条件时，求sin BOP ∠的值．【答案】（1）1m =；2b =；（2）点P 的坐标为()1,1-或()2,4；（3）sin BOP ∠的值为2． 【解析】(1)根据点M 的坐标，利用待定系数法可求出,m b 的值；(2)由(1)可得出抛物线及直线AB 的解析式，继而可求出点A 的坐标，设点P 的坐标为2(,)x x ，结合点,A M 的坐标可得出22,PA PM 的值，再利用等腰三角形的性质可得出关于x 的方程，解之即可得出结论； (3)过点P 作PN y ⊥轴，垂足为点N ，由点P 的坐标可得出,PN PO 的长，再利用正弦的定义即可求出sin BOP ∠的值．【详解】(1)将()2,4M -代入2y mx =，得：44m =， ∴1m =；将()2,4M -代入y x b =-+，得：42b =+，∴2b =；(2)由(1)得：抛物线的解析式为2y x ，直线AB 的解析式为2y x =-+，当0y =时，20x -+= ，解得：2x =，∴点A 的坐标为()2,0，2OA =，设点P 的坐标为2(,)x x ，则()222242204()4PA x x x x x =-+-=+-+， ()222242()247420PM x x x x x =--+-=-++，∵PAM ∆是以AM 为底边的等腰三角形，∴22PA PM =，即4242447420x x x x x x +-+=-++，整理，得：220x x --=，解得：121,2x x =-=，∴点P 的坐标为()1,1-或()2,4；(3)过点P 作PN y ⊥轴，垂足为点N ，如图所示，当点P 的坐标为()1,1-时，1PN =，22112PO =+=， ∴2sin 2PN BOP PO ∠==； 当点P 的坐标为()2,4时，2PN =，222425PO =+=，∴5sin PN BOP PO ∠==， ∴满足(2)的条件时，sin BOP ∠的值的值为22或5．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及解直角三角形，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出,m b 的值；(2)利用勾股定理及等腰三角形的性质，找出关于x 的方程；(3)通过解直角三角形，求出sin BOP ∠的值．【考点4】动点之相似三角形问题【例4】在边长为4的正方形ABCD 中，动点E 以每秒1个单位长度的速度从点A 开始沿边AB 向点B 运动,动点F 以每秒2个单位长度的速度从点B 开始沿边BC 向点C 运动，动点E 比动点F 先出发1秒,其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点F 的运动时间为t 秒.()1如图1，连接DE ,AF ，若DE AF ⊥，求t 的值()2如图2，连接,EF DF ，当t 为何值时，?EBF DCF【答案】（1）t=1;(2) 当t 957-秒时，EBF DCF【解析】（1）利用正方形的性质及条件，得出ABF DAE ≌，由BF=AE ，列出方程解方程即可 （2）EBF DCF ~，得到EB BF DC CF=，用t 表示出BF 、AE 、FC 、BE 列出方程解方程即可，最后对t 的取值进行取舍【详解】解：()1四边形ABCD 是正方形 ,90AB AD ABF DAE ︒∴=∠=∠=90ADE AED ︒∴∠+∠=DE AF ⊥90BAF AED ︒∴∠+∠=BAF ADE ∴∠=∠ABF DAE ∴≌由题意得，2,1BF t AE t ==+21t t ∴=+解得：1t =()2若EBF DCF ~ 则EB BF DC CF = 1,2AE t BF t =+=413BE t t ∴=-+=-，42CF t =-32442t t t -∴=- 解得12957957,22t t -+== 由题意知：2t ≤957t -∴= ∴当t 为9572-秒时，EBF DCF ~ 【点睛】本题考查正方形基本性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，第二问的关键在于能够写出比例式列出方程，最后要记得对方程的解进行取舍感谢关注公众号“数学一二三”【变式4-1】已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，点A ，C 的坐标分别为A （﹣3，0），C （1，0），BC ＝34AC （1）求过点A ，B 的直线的函数表达式；（2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如P ，Q 分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设AP ＝DQ ＝m ，问是否存在这样的m ，使得△APQ 与△ADB 相似？如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝34x +94；（2）D 点位置见解析，D （134，0）；（3）符合要求的m 的值为12536或259．【解析】（1）先根据A（−3，1），C（1，0），求出AC进而得出BC＝3求出B点坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）运用相似三角形的性质就可求出点D的坐标；（3）由于△APQ与△ADB已有一组公共角相等，只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质建立关于m的方程，就可解决问题．【详解】解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵BC＝34 AC，∴BC＝34×4＝3，∴B（1，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴303k bk b-+=⎧⎨+=⎩，∴3494kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AB的解析式为y＝34x+94；（2）若△ADB与△ABC相似，过点B作BD⊥AB交x轴于D，∴∠ABD＝∠ACB＝90°，如图1，此时ABAC＝ADAB，即AB2＝AC•AD．∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴25＝4AD，∴AD＝254，∴OD＝AD﹣AO＝254﹣3＝134，∴点D的坐标为（134，0）；（3）∵AP＝DQ＝m，∴AQ＝AD﹣QD＝254﹣m．Ⅰ、若△APQ∽△ABD，如图2，则有APAB＝AQAD，∴AP•AD＝AB•AQ，∴254m＝5（254﹣m），解得m＝259；Ⅱ、若△APQ∽△ADB，如图3，则有APAD＝AQAB，∴AP•AB ＝AD•AQ ，∴5m ＝254（254﹣m ）， 解得：m ＝12536， 综上所述：符合要求的m 的值为12536或259． 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了是待定系数法，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，也考查了分类讨论的数学思想，属于中档题，解本题的关键是根据相似建立方程求解．【变式4-2】如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0）、B （8，0）、C （0，4）三点，点D 是抛物线上的动点，连结AD 与y 轴相交于点E ，连结AC ，CD ．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当AD 平分∠CAB 时．①求直线AD 所对应的函数表达式；②设P 是x 轴上的一个动点，若△PAD 与△CAD 相似，求点P 的坐标．【答案】（1）215466y x x =-++；（2）①1322y x =+；②（2，0）或（13，0）． 【解析】（1）将()30A -,、()8,0B 、()0,4C 点坐标代入抛物线2y ax bx c =++，化简计算即可；（2）①设()0,E t ，根据AD 平分CAB ∠，EH AC ⊥，EO x ⊥轴，求得5AC =，并证得CHE ∽ COA ，利用A EH OA CE C = 可的32t =，可得E 点坐标，把()30A -,，30,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入y kx b =+，化简可得AD 所对应的函数表达式；②因为P 是x 轴上的一个动点，且PAD △与CAD 相似，并且ACD 是腰长为5的等腰三角形，所以 P 点有两种情况：AD 为等腰三角形的斜边，或者以AD 为腰，2P A 为底，分别讨论求解即可.【详解】解（1）∵抛物线经过()30A -,、()8,0B 、()0,4C 三点，∴93064804a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：16564abc⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴抛物线的表达式为215466y x x=-++；（2）①作EH AC⊥于点H，如图，设()0,E t．∵AD平分CAB∠，EH AC⊥，EO x⊥轴，∴EH EO t==，4CE t=-，在Rt OAC△中，2222345AC OA OC=+=+=．∵90CHE COA∠=∠=HCE OCA∠=∠，∴CHE∽COA，∴AEHOACEC=∴435t t-=，解得：32t=，∴30,2E⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AD的表达式为y kx b=+，把()30A-,，30,2E⎛⎫⎪⎝⎭代入，得0332k bb=-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：1232kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AD所对应的函数表达式为1322y x=+；②直线AD与二次函数相交于点D，∴2154661322y x xy x⎧=-++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得3xy=-⎧⎨=⎩或54xy=⎧⎨=⎩，点D在第一象限，∴点D坐标为()5,4，∴5DC AC==，且DC AB∥，∴ACD是腰长为5的等腰三角形，P是x轴上的一个动点，且PAD△与CAD相似，∴PAD△也为等腰三角形，如上图示，当AD为等腰三角形的斜边时，115P A PD==，()3,0A-∴点1P的坐标为()2,0；当以AD为腰，2P A为底时，作2DF AP⊥点D 坐标为()5,4，()30A -,∴358AF OA OF =+=+=∴2216AP AF ==,2216313OP AP OA =-=-=,∴点P 的坐标为()13,0．综上所述点P 的坐标为()2,0或()13,0．【点睛】本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和角平分线的性质；会利用待定系数法求二次函数和一次函数解析式；灵活利用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形性质．【考点5】动点之平行四边形问题（含特殊四边形）【例5】（2019·广东中考模拟）如图，点O 是平面直角坐标系的原点，点A （3，3），AC ⊥OA 与x 轴的交点为C ．动点M 以每秒3个单位长度由点A 向点O 运动．同时，动点N 以每秒3个单位长度由点O 向点C 运动，当一动点先到终点时，另一动点立即停止运动． （1）写出∠AOC 的值；（2）用t 表示出四边形AMNC 的面积；（3）求点P 的坐标，使得以O 、N 、M 、P 为顶点的四边形是特殊的平行四边形？【答案】（1）30°；（2）2963(02)4t t <<；（3）333P 3t t,t 22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）如图1中，作AH ⊥OC 于H ．在Rt △AOH 中，解直角三角形求出∠AOH 即可解决问题． （2）作MK ⊥BC 于K ．根据S 四边形AMNC ＝S △OAC ﹣S △OMN ，计算即可．（3）分别考虑以OM ，ON ，MN 为平行四边形的对角线，利用平行四边形的性质求解即可．【详解】解：（1）如图1中，作AH ⊥OC 于H ．∵A33），∴OH3，AH＝3，∴tan∠AOH＝AHOH3，∴∠AOH＝60°，∵OA⊥AC，∴∠OAC＝90°，∴∠ACO＝30°．（2）作MK⊥BC于K．在Rt△AOH中，∵OH3∠OAH＝30°，∴OA＝2OH＝3在Rt△AOC中，∵∠AOC＝30°，OA＝3∴AC3＝6，∵OM3，∴MK＝OM•sin60°＝32t，∴S四边形AMNC＝S△OAC﹣S△OMN＝12•OA•AC﹣12•ON•MKa＝12×36﹣12×3t×32t＝394t2（0＜t＜2）．（3）当四边形CNMP1是平行四边形时，P13﹣3t，32t）．当四边形ONP2M是平行四边形时，P2（3t+3t，32t）．当四边形OMNP3是平行四边形时，P3（3t﹣3t，﹣32t）．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．【变式5-1】（2019·江西中考真题）在图1，2，3中，已知，，点为线段上的动点，连接，以为边向上作菱形，且．（1）如图1，当点与点重合时，________°；（2）如图2，连接．①填空：_________（填“>”，“<”，“=”）；②求证：点在的平分线上；（3）如图3，连接，，并延长交的延长线于点，当四边形是平行四边形时，求的值．【答案】（1）60°；（2）① =，②见解析；（3）4【解析】（1）根据菱形的性质计算；（2）①证明，根据角的运算解答；②作于，交的延长线于，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理证明结论；（3）根据直角三角形的性质得到，证明四边形为菱形，根据菱形的性质计算，得到答案．【详解】解：（1）四边形是菱形，，，故答案为：；（2）①四边形是平行四边形，，四边形是菱形，，，，故答案为：；②作于，交的延长线于，则，，又，，，，为等边三角形，，在和中，，，，又，，点在的平分线上；（3）四边形是菱形，，，，四边形为平行四边形，，，，，又，，，，，，四边形为平行四边形，，，四边形为平行四边形，，平行四边形为菱形，，，．【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质.掌握全等三角形的判定定理和性质定理、菱形的性质、直角三角形的性质是解题的关键．【变式5-2】（2019·湖南中考真题）如图，二次函数213y x bx c =-++的图象过原点，与x 轴的另一个交点为()8,0（1）求该二次函数的解析式；（2）在x 轴上方作x 轴的平行线1y m =，交二次函数图象于A 、B 两点，过A 、B 两点分别作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、点C ．当矩形ABCD 为正方形时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，动点P 从点A 出发沿射线AB 以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q 以相同的速度从点A 出发沿线段AD 匀速运动，到达点D 时立即原速返回，当动点Q 返回到点A 时，P 、Q 两点同时停止运动，设运动时间为t 秒（0t >）．过点P 向x 轴作垂线，交抛物线于点E ，交直线AC 于点F ，问：以A 、E 、F 、Q 四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）21833y x x =-+；（2）当矩形ABCD 为正方形时，m 的值为4；（3）以A 、E 、F 、Q 四点为顶点构成的四边形能为平行四边形，t 的值为4或6.【解析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A ，B 的坐标，进而可得出点C ，D 的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m 的方程，解之即可得出结论；（3）由（2）可得出点A ，B ，C ，D 的坐标，根据点A ，C 的坐标，利用待定系数法可求出直线AC 的解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可求出点E ，F 的坐标，由AQ EF//且以A 、E 、F 、Q 四点为顶点的四边形为平行四边形可得出AQ EF =，分0t 4<≤，4t 7<≤，7t 8<≤三种情况找出AQ ，EF 的长，由AQ EF =可得出关于t 的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论．【详解】（1）将()00，，()80，代入21y x bx c 3=-++，得：064803c b c =⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 解得830b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴该二次函数的解析式为218y x x 33=-+． （2）当y m = 时，218x x m 33-+=，解得：1x 4=2x 4=∴点a的坐标为（4，m ），点b的坐标为（4，m ），∴点d的坐标为（4，0），点c的坐标为（4，0）．∵矩形abcd 为正方形，∴(44m -=，解得：1m 16=-，（舍去），2m 4=．∴当矩形ABCD 为正方形时，m 的值为4．（3）以A 、E 、F 、Q 四点为顶点构成的四边形能为平行四边形． 由（2）可知：点A 的坐标为()24，，点B 的坐标为()64，，点C 的坐标为()60，，点D 的坐标为()20，． 设直线AC 的解析式为()y kx a k 0=+≠，将()a 24，，()c 60，代入y kx a =+，。

中考数学专题：动点型问题一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。

二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.（一）应用勾股定理建立函数解析式（或函数图像）例1 如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D→C→A的路径运动，回到点A时运动停止．设点P运动的路程长为长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．对应训练1．如图，正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为（）．．A B C．D．（二）应用比例式建立函数解析式（或函数图像）例2 、如图，直角梯形AOCD的边OC在x轴上，O为坐标原点，CD垂直于x轴，D（5，4），AD=2．若动点E、F同时从点O出发，E点沿折线OA→AD→DC运动，到达C点时停止；F点沿OC运动，到达C点是停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设E运动秒x时，△EOF的面积为y（平方单位），则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．对应训练2．、如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H．（1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长；（2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式；（3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值．（三）应用求图形面积的方法建立函数关系式例3 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D为BC的中点．（1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF，求证：△AED≌△CFD；（2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．对应训练3．、如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（）A．B．C．D．考点二：动态几何型压轴题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

2020春中考数学几何动点运动轨迹及最值专题讲义一、动点运动轨迹——直线型（动点轨迹为一条直线，利用“垂线段最短”）Ⅰ．当一个点的坐标以某个字母的代数式表示，若可化为一次函数，则点的轨迹是直线；1．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，2），点M的坐标为39(1,)44m m−−−(其中m为实数)，当PM 的长最小时，m的值为__________．2．如图，在平面直角坐标系中，A(1，4)，B(3，2)，C(m，－4m＋20)，若OC恰好平分四边形．．．OACB．．．．的面积，求点C的坐标．Ⅱ．当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；3．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为_________.【变式1】如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交边BC或CD于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为___________.ABDCEFPMABDCEFPMyxBAO【变式2】如图，在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB ＝2，AP ＝1，E 是AB 上的一个动点，连接PE ，过点P 作PE 的垂线，交BC 于点F ，连接EF ，设EF 的中点为G ，当点E 从点B 运动到点A 时，点G 移动的路径的长是_________.【变式3】在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，P 是AD 边的中点，点E 在AB 边上，EP 的延长线交射线CD于F 点，过点P 作PQ ⊥EF ，与射线BC 相交于点Q ．（1）如图1，当点Q 在点C 时，试求AE 的长； （2）如图2，点G 为FQ 的中点，连结PG ． ①当AE ＝1时，求PG 的长；②当点E 从点A 运动到点B 时，试直接写出线段PG 扫过的面积． 变式3图14．如图，C 、D 是线段AB 上两点，且AC ＝BD ＝16AB ＝1，点P 是线段CD 上一个动点，在AB 同侧分别作等边△P AE 和等边△PBF ，M 为线段EF 的中点。

中考动点型问题专题一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。

二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例1 （2015•兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论．解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择．对应训练1．（2015•白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．1．C考点二：动态几何型题目点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式.例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.!2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+=HM NG PO!AB图1xy∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；}(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°,:又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴AC BD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.[(3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD.AEDCB 图2AC 3(2)￥EC 3(1)根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54xAD =, ∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, (∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE.∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE. ∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . *∵AH OC S AOC⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ).(2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . A!BCO 图8HC此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

中考数学核心知识专题练习10〔动点路径(轨迹)问题〕1中考数学核心知识点专题练习（十）〔动点路径（轨迹）问题〕班级__________ 座号________ 姓名____________符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹．“动点路径”是一个比较抽象的问题，但在高中解析几何中的学习是非常有用的，也是非常重要的。

在研究动点问题时，可以在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系．如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，那么其中不变的量便是该动点到某个定点的距离始终保持不变．因此，解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找变量与不变的关系。

六种常用的基本轨迹：①到已知线段的两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线。

②到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线。

③到已知直线的距离等于定长的点的轨迹是与这条直线平行，且与已知直线的距离等于定长的两条直线。

④到两条平行线距离相等的点的轨迹是和这两条平行线平行且到这两条平行线距离相等的一条直线。

⑤到定点的距离等于定长的点轨迹是与定点为圆心，定长为半径的圆。

⑥和已知线段的两个端点的连线的夹角等于已知角的点的轨迹是以已知线段为弦，所含圆周角等于已知角的两段弧（端点除外）。

一、填空：1．如图：已知AB =10，点C 、D 在线段AB 上且AC =DB =2； P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形APEF 和正方形PBGH ，点O 1和O 2是 两个正方形的中心，连接O 1O 2，设O 1O 2的中点为Q ； 当这点P 从点C 运动到点D 时，则点Q 移动路径的长 是___________．2．如图，∠MON =90°，定长线段AB =10，两个端点分别在OM 、 ON 上滑动，则AB 的中点P 运动的路径长为___________．PC中考数学核心知识专题练习10〔动点路径(轨迹)问题〕23．在平面直角坐标系中，A （2，0）、B （0，3） 过点B 作直线∥x 轴，点P (,3)a 是直线上的 动点，以AP 为边在AP 右侧作等腰Rt APQ ， ∠APQ =90°，直线AQ 交y 轴于点C ． （1）当a =1时，则点Q 的坐标为 __ ___ ； （2）当点P 在直线上运动时，点Q 也随之运动．当a = _______ 时，AQ +BQ 的值最小为 _________ ．4．如图，已知AB =10，P 是线段AB 上的动点，分别以AP 、 PB 为边在线段AB 的同侧作等边△ACP 和△PDB ，连接 CD ，设CD 的中点为G ，当点P 从点A 运动到点B 时， 则点G 移动路径的长是______________． 5．如图，在Rt △ABC 中，∠CAB =90°，∠ACB=300， BC =8，D 为线段AB 上的动点，过点A 作AH ⊥CD 于点H ，连接BH ，则 ①AB 的长为 ；②BH 的最小值为 .6．若3x t +=，5y t -=，则y 与x 之间的关系是 _________ ．7．不论m 取任何实数，抛物线2221y x mx m m =-++-的顶点都在一条直线上， 则这条直线的函数表达式是 ．8．如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB =90°，OB =2OA ， 点A 在反比例函数1y x=的图象上．设点B 的坐标 为(,)m n ，则n 与m 的等量关系是______________． 9．如图，在RtABC 中，AB AC =，D 是AC 中点，动点E 、F 分别在AB 、BC 上（点E 、F 均与点 B 不重合），且90EDF ∠=︒，则AO 的最小值是 ____________．AB CDHO F AE yxBAOyxQCBA OP中考数学核心知识专题练习10〔动点路径(轨迹)问题〕3二、解答题：1．等边三角形ABC 的边长为6，在AC ，BC 边上各取一点E ， F ，连接AF ，BE 相交于点P ．且AE =CF ； （1）求证：AF =BE ，并求∠APB 的度数； （2）若AE =2，试求AP •AF 的值；（3）当点E 从点A 运动到点C 时，试求点P 经过的路径长．2．如图，ABC ∆的顶点分别为)0,32(A ，)2,0(B ，)6,0(-C ， 点D 为边AC 上的一个动点，过D 作BC DE ⊥于E ，P为BD 中点，连结PA 、PE . （1）填空：=AB ，=BC ，=AC ； （2）当点P 落在x 轴上时，试判断四边形APED 的形状，并说明理由；（3）请问在运动过程中，APE ∠的大小是否变化？若不变，求出APE ∠的度数；若变化，请说明理由；（4）设P 的坐标为),(n m ，求n 与m 的函数表达式，并写出自变量m 的取值范围．yxPEDCBAO中考数学核心知识专题练习10〔动点路径(轨迹)问题〕43．如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点为，直线y =kx +2与x 轴、y 轴分别交于A 、 B 两点，动点D 在射线AO 上，将线段DB 绕着点D 顺时针旋转90°得到线段DC ．设 点D 的横坐标为m ．（1）请直接写出B 点的坐标；（2）当k 为何值时，四边形ADCB 为平行四边形？（3）当△BOC 的周长最小时，求m 的值．4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0,2），点P 是x 轴上一动点，以线段AP 为一边，在其一侧作等边三角形APQ . 当点P 运动到原点O 处时，记Q 得位置 为B .（1）求点B 的坐标；（2）求证：当点P 在x 轴上运动（P 不与O 重合）时，∠ABQ 为定值.yx CBA O D中考数学核心知识专题练习10〔动点路径(轨迹)问题〕55．如图，△ABC 、△ADE 都是等边三角形，点G 为射线BD ，CE 的交点． （1）求证：BD =CE ；（2）若AB =2，AE =1，将△ADE 绕点A 旋转．①当∠EAC = 60°时，求GB 的长； ②点N 为CE 的中点，在整个旋转过程中，求线段 AN 长的范围．6．如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，点 P 为射线BD ，CE 的交点． （1）求证：BD =CE ；（2）若AB =2，AD =1，把△ADE 绕点A 旋转，①当∠EAC =90°时，求PB 的长；②直接写出旋转过程中线段PB 长的最小值与最大值．GED CBA中考数学核心知识专题练习10〔动点路径(轨迹)问题〕67．如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标为()6,6，将正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转角度α()︒<<︒900α，得到正方形CDEF ，ED 交 线段AB 于点G ，ED 的延长线交线段OA 于点H ，连结CH 、CG ． （1）求证：CG 平分DCB ∠；（2）在正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转的过程中，HCG ∠的度数是否为定值？并直接写出线段HG 、OH 、BG 之间的数量关系；（3）连接BD 、DA 、AE 、EB ，在旋转过程中，四边形AEBD 能否成为矩形？若能，试求出直线DE 的解析式；若不能，请说明理由．8．在ABC ∆中，AC AB =，4=BC ，25tan =∠ABC ，将ABC ∆绕点C 逆时针 旋转得到C B A 11∆．（1）如图1，当点B 在线段11B A 上时，连接1AA ．①求证：四边形C B AA 11是平行四边形； ②求四边形C B AA 11的面积； （2）如图2，若点P 为线段AB 上的动点，在ABC ∆绕点C 逆时针旋转过程中，点P 的对应点是1P ，设BC 边的中点为E ，求线段E P 1的取值范围．图2BA 1B 1ABC图1。

硬核：狙击2020中考数学重点/难点/热点一、行程问题公式路程=速度×时间，即s v t=路程和相遇时间速度和=路程差追及时间速度差二、数轴工具1. 数轴上的每一个点与实数之间的一一对应关系；2. 数轴（坐标轴）上任意两点间的距离表示；3. 数轴（坐标轴）知道一点及其这一点与另一点之间的距离，表示另一点.1. 针对不同的情况，多画图，充分利用数形结合的与分类讨论的数学思想进行解题；2. 求出所有动点在“起点、拐点、终点”对应的时间；3. 可借助数轴表示出各对应点的时间，凭借各关键点的时间，确定分类讨论的标准；4. 画出每种情形下的图形，结合题意进行解题；5. 掌握动点所经过的路程与相关线段长度之间的区别与联系.6. 解题的关键是从运动图与描述图中获取信息，根据图象确定x的运动时间与函数的关系，同时关注图象不同情况的讨论．这类问题往往探究点在运动变化过程中的变化规律，如等量关系、图形的特殊位置、图形间的特殊关系等，且体现分类讨论和数形结合的思想．【例题1】（2019•大连）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条直路上的A，B两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开A处后行走的路程y（单位：)minm与行走时间x（单位：)的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离y（单位：)min的函数图象，则m与甲行走时间x（单位：)-=．a b【例题2】已知，矩形ABCD中，4BC cm=，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC与点E、=，8AB cmF，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿AFB∆和CDE∆各边匀速运动一周，即点P自→→→停止，在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q →→→停止，点Q自C D E CA FB A的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．【例题3】将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，(0,0)O，(6,0)A，(0,3)C．动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动23秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒)．（1）用含t的代数式表示OP，OQ；是否存在t，使得PQ与AC平行？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．（2）求POQ∆面积的最大值．（3）如图，将POQ∆沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，且点D的坐标(1,3)，求t的值．【例题4】（2019春•西湖区校级月考）如图，等边ABC∆的边长为10cm，动点M从点B出发，沿B AC B→→→的方向以6/cm s的速度运动，动点N从点C出发，沿C A B C→→→方向以4/cm s的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒MN第一次垂直于AB？（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动，那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及ABC∆的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置．【例题5】（2019•苏州）已知矩形ABCD 中，5AB cm =，点P 为对角线AC 上的一点，且25AP cm =．如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动（不包含点)C ．设动点M 的运动时间为()t s ，APM ∆的面积为2()S cm ，S 与t 的函数关系如图②所示．（1）直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ；（2）如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为(/)v cm s ．已知两动点M ，N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇（不包含点)C ，动点M ，N 相遇后立即同时停止运动，记此时APM ∆与DPN ∆的面积分别为21()S cm ，22()S cm①求动点N 运动速度(/)v cm s 的取值范围；②试探究12S S 是否存在最大值，若存在，求出12S S 的最大值并确定运动时间x 值；若不存在，请说明理由．【例题6】如图， 已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，8AB cm =，24AD cm =，26BC cm =，AB 为O 的直径， 动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1/cm s 的速度运动， 动 点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以3/cm s 速度运动 ．P 、Q 分别从点A 、C 同时出发， 当其 中一点到达终点时， 另一点也随之停止运动， 设运动时间为t s ，问： （1）t 为何值时，P 、Q 两点之间的距离为10cm ？（2）t 分别为何值时， 直线PQ 与O 相切？相离？相交？【例题7】如图1，在△ABC中，∠A＝30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A－C－B运动，点Q 从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)，y关于x的函数图象由C1，C2两段组成，如图2所示．(1)求a的值；(2)求图2中图象C2段的函数表达式；(3)当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积，求x的取值范围．【例题8】已知，如图①，在▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为t（s）（0＜t＜4），连接PQ，MQ，MC，解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥MN？（2）设△QMC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S△QMC：S四边形ABQP＝1：4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．1．（2019•营口）如图，在矩形ABCD 中，5AD =，3AB =，点E 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AD 向点D 运动，同时点F 从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB 向点B 运动，当点E 到达点D 时，点E ，F 同时停止运动．连接BE ，EF ，设点E 运动的时间为t ，若BEF ∆是以BE 为底的等腰三角形，则t 的值为 ．2．（2019•乐山）如图1，在四边形ABCD 中，//AD BC ，30B ∠=︒，直线l AB ⊥．当直线l 沿射线BC 方向，从点B 开始向右平移时，直线l 与四边形ABCD 的边分别相交于点E 、F ．设直线l 向右平移的距离为x ，线段EF 的长为y ，且y 与x 的函数关系如图2所示，则四边形ABCD 的周长是 ．3．（2019•菏泽）如图，直线334y x =--交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 是x 轴上一动点，以点P 为圆心，以1个单位长度为半径作P ，当P 与直线AB 相切时，点P 的坐标是 ．4．（2019•济宁）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离()y km 与小王的行驶时间()x h 之间的函数关系．请你根据图象进行探究：（1）小王和小李的速度分别是多少？（2）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．5．（2019•青岛）已知：如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90ACB ∠=︒，10AB cm =，8BC cm =，OD 垂直平分A C ．点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1/cm s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1/cm s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P 作PE AB ⊥，交BC 于点E ，过点Q 作//QF AC ，分别交AD ，OD 于点F ，G ．连接OP ，EG ．设运动时间为()(05)t s t <<，解答下列问题：（1）当t 为何值时，点E 在BAC ∠的平分线上？（2）设四边形PEGO 的面积为2()S cm ，求S 与t 的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使四边形PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE ，OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OE OQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．6．（2019•天门）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点坐标分别为(0,0)O ，(12,0)A ，(8,6)B ，(0,6)C ．动点P 从点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA 向终点A 运动；动点Q 从点B 同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC 向终点C 运动．设运动的时间为t 秒，2PQ y =． （1）直接写出y 关于t 的函数解析式及t 的取值范围： 22580100(04)y t t t =-+ ； （2）当35PQ =时，求t 的值；（3）连接OB 交PQ 于点D ，若双曲线(0)ky k x=≠经过点D ，问k 的值是否变化？若不变化，请求出k 的值；若变化，请说明理由．7．如图，矩形OABC 的顶点B 的坐标为(,)a b ，定点D 的坐标为(4,0)b ，其中a ，b 分别为方程211240x x -+=的两根，且a b >，动点P 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿x 轴的正方向匀速运动，动点Q 从点D 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴的负方向匀速运动，PQ 两点同时运动，相遇时停止，在运动过程中，以PQ 为斜边在x 轴上方作等腰直角三角形PQR ，设运动时间为t 秒 （1）a = ，b =（2）当t 取何值时，PQR ∆与矩形OABC 面积比为2:3？ （3）当t 取何值时，PQR ∆的边OR 经过点B ？（4）设PQR ∆和矩形OABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式8．（2019•句容市模拟）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数213y x bx c =-++的图象与坐标轴交于A ，-，点B的坐标为(4,0)，连接AC，BC．动点P从点A出发，在线B，C三点，其中点A的坐标为(3,0)段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b=，c=；（2）在点P，Q运动过程中，APQ∆可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）点M在抛物线上，且AOM∆的面积相等，求出点M的坐标．∆的面积与AOC9．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（0，6）．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造平行四边形PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE＝AO，设点P运动的时间为t秒．（1）直接写出当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标．（2）当点C在线段OB上运动时，四边形ADEC的面积为S．①求证：四边形ADEC为平行四边形．②写出s与t的函数关系式，并求出t的取值范围．（3）是否存在某一时刻，使OC是PC的一半？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．。