二次函数的应用(几何)

二次函数的应用题型一 几何型【例1】如图，等腰直角三角形ABC 的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，AC 与DE 在同一直线上，开始时C 与D 重合，ABC 沿这条直线向右平移，直到A 与E 重合为止．设CD 的长为x ，ABC 与正方形DEFG 重合部分的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）A B C D【例2】如图，在ABC 中，90,12,24B AB mm BC mm ∠===，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2/mm s 的速度移动（不与点B 重合），点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4/mm s 的速度移动（不与点C 重合）．如果,P Q 分别从,A B 同时出发，那么经过 秒，四边形APQC 的面积最小．【例3】如图，在矩形ABCD 中，()0,8AB m m BC =>=，E 为线段BC 上的动点（不与,B C 重合）．连结DE ，作EF DE ⊥，EF 与射线BA 交于点F ，设,CE x BF y ==． （1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若8m =，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ （3）若12y m=，要使DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？【例4】小张要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米． （1）求S 与x 之间的函数关系式；（2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．题型二 图象型【例5】从地面竖立向上抛出一个小球，小球的高度h 与小球运动时间t 之间的关系式为2305h t t =-，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是 ．【例6】某种火箭竖直向上发射时，它的高度()h m 与时间()t s 的关系可以用公式2515010h t t =-++表示，则经过______s ，火箭达到它的最高点．【例7】如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米．【例8】如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB ，喷水口A 距地面2米，喷水水流的轨迹是抛物线，如果要求水流的最高点P 到喷水枪AB 所在直线的距离为1米，且水流着地点C 距离水枪底部B 的距离为2.5米，那么水流的最高点距离地面是多少米？APDCB【例9】如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C 距守门员多少米？（3）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？【例10】如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O 点打出一球向球洞A 点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡OA 与水平方向OC 的夹角为30，83OA 米． （1）求出点A 的坐标及直线OA 的解析式； （2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点 ．MA DC B Oyx421题型三 实际型【例11】儿童商场购进一批M 型服装，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%．商场现决定对M 型服装开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x 元销售，已知每天销售数量y （件）与降价x （元）之间的函数关系式为()2040y x x =+>． （1）求M 型服装的进价；（2）求促销期间每天销售M 型服装所获得的利润的最大值．【例12】随着南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y 与投资量x 成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润2y 与投资量x 成二次函数关系，如图②所示（利润与投资量的单位：万元）．（1）分别求出利润1y 与2y 关于投资量x 的函数关系式；（2）若这位园林专业户投资8万元种植花卉和树木，他至少获得多少利润？至多获得多少利润？。

《几何画板》在二次函数教学中的应用举例1. 使用《几何画板》可以实现二次函数的动态演示，让学生能够直观的理解二次函数的形式。

通过画出各种不同的二次函数图形，可以让学生了解二次函数的不同特性，比如抛物线的凹凸、拐点的概念、参数的变化对图形的影响等。

2. 使用《几何画板》可以动态演示二次函数的性质，如图形的对称性、凹凸性、极值点、函数单调性等。

通过动态演示，让学生更加深入的理解二次函数的性质，并能灵活的运用到实际问题中。

3. 使用《几何画板》可以实现二次函数的参数的变化，让学生更加直观的理解参数的变化对图形形状的影响，从而更好的理解参数的概念。

4. 使用《几何画板》可以实现二次函数的拟合演示，让学生通过实际操作体会拟合的概念，并能灵活的运用到实际问题中，从而更好的掌握拟合的技巧。

5. 使用《几何画板》可以动态演示二次函数的函数式到图形的变换，让学生更加深入的理解函数式和图形之间的关系，从而更好的理解函数的定义。

6. 使用《几何画板》可以实现二次函数的求解演示，让学生更加直观的理解求解二次函数的方法，掌握求解二次函数的技巧，从而更好的完成求解题目。

7. 使用《几何画板》可以实现二次函数的图形应用演示，让学生更加深入的理解二次函数的实际应用，比如抛物线在运动学中的应用，或者抛物线在抛物线面积计算中的应用等。

8. 使用《几何画板》可以实现二次函数的实际例题演示，让学生更加深入的理解二次函数的实际应用，运用所学的知识完成实际问题的求解，从而增强学生的实际操作能力。

9. 使用《几何画板》可以模拟二次函数的实际操作演示，让学生通过实际操作体会操作的乐趣，提高学生的操作能力，从而更好的完成实际问题的求解。

10. 使用《几何画板》可以实现二次函数的竞赛题演示，让学生更加清楚的理解竞赛题的结构，并能够更加灵活的运用所学的知识完成竞赛题的求解。

二次函数的几何应用教案道客巴巴
二次函数是数学中非常重要的一个概念，它在几何中有着广泛
的应用。

下面我将从几何图形的性质、实际问题的建模等方面来详
细解释二次函数的几何应用。

首先，二次函数在几何中常常与抛物线相关联。

抛物线是二次
函数的图像，它的几何特征包括顶点、焦点、直径、对称轴等。

通
过学习二次函数，我们可以深入理解抛物线的性质，比如开口方向、开口大小、顶点坐标等。

这些性质在解决与抛物线相关的几何问题
时非常有用，比如确定抛物线的焦点和直径、求解抛物线与直线的
交点等。

其次，二次函数还可以用来建立实际问题的数学模型。

例如，
抛物线的形状可以用来描述抛射物的运动轨迹，这在物理学和工程
学中有着广泛的应用。

通过二次函数建立的模型，我们可以计算抛
射物的最大高度、飞行时间、落地点等信息，这对于设计弹道导弹、射击运动员的训练等具有重要意义。

此外，二次函数还可以用来解决与面积和体积相关的几何问题。

比如，通过二次函数的图像，我们可以求解封闭图形的面积，或者
利用二次函数建立立体图形的体积模型。

这些都是二次函数在几何中的重要应用之一。

总之，二次函数在几何中有着广泛的应用，它不仅可以帮助我们理解抛物线的性质，还可以用来解决实际问题并建立数学模型。

通过深入学习二次函数的几何应用，我们可以更好地理解数学与现实世界的联系，提高数学建模和解决实际问题的能力。

希望这些内容能够对你有所帮助。

2023年中考数学高频考点训练——二次函数的实际运用-几何问题一、综合题1．社区利用一块矩形空地建了一个小型的便民停车场，其布局如图所示.已知52m AD =，28m AB =，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道.已知铺花砖的面积为2640m .（1）求通道的宽是多少米？（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，求停车场的月租金收入最多为多少元？2．如图，有长为30m 的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a 为9m ）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB 为m x ，面积为2m S ．（1）求S 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）如果围成花圃的面积为263m ，那么AB 应确定多长？3．如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象经过点A （-1，0）和点D （5，0）.（1）求该二次函数的解析式；（2）直接写出该抛物线的对称轴及顶点C 的坐标；（3）点B是该抛物线与y轴的交点，求四边形ABCD的面积.4．如图，抛物线顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）.（1）求抛物线的表达式；（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由.5．如图，用一段长为32米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB的长为x米，苗圃园的面积为y平方米.（1）求y关于x的函数表达式.（2）当x为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？6．如图，将直角三角形截出一个矩形PMCN，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，点P，M，N分别在AB，AC，BC上，设CN＝x．（1）试用含x的代数式表示PN，并写出x的范围;（2）设矩形PMCN的面积为y，当x为何值时，y取得的最大值是多少?7．如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形场地花圃ABCD，AB 边上留有2米宽的小门EF（用其他材料做，不用篱笆围）．（1）若矩形场地面积为160平方米，求矩形场地的长和宽．（2）矩形场地的长和宽为多少时，矩形场地的面积最大，并求出最大面积．8．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中y m．的建筑材料可建围墙的总长度为50m．设饲养室为长为x（m），占地面积为()2（1）如图1，问饲养室为长x为多少时，占地面积y最大？（2）如图2，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比（12m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否符合题意．9．如图，点O为矩形ABCD内部一点，过点O作EF AD交AB于点E，交CD于点F，过点O作GH AB交AD于点G，交BC于点H，设CH＝x，BH＝8－2x，CF＝x+2，DF＝3x－3．（1）x的取值范围是；（2）矩形BCFE的周长等于；（3）若矩形ABCD的面积为42，x的值为；（4）求矩形OFCH的面积S的取值范围．10．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度30m）的空地，为美化环境，用总长为60m 的篱笆围成矩形花圃（矩形一边靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）如图1，怎么才能围成一个面积为2432m的矩形花圃；（2）如图2，若围成四块矩形且面积相等的花圃，设BC的长度为m x，求x的取值范围及矩形区域ABCD的面积的最大值．11．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形ABCD，为美化环境，用总长为90m的篱笆围成四块矩形，其中S1＝S2＝S3＝12S4（靠墙一侧不用篱笆，其余部分均使用，篱笆的厚度不计）．（1）若AE＝x，用含有x的式子表示BE的长；（2）求矩形ABCD的面积y关于x的解析式，并直接写出当面积取得最大值时，AE的长．12．矩形管在我们日常生活中应用广泛，石油、天然气的运输，制造建筑结构网架，制造公路桥梁等领域均有应用．如图，若矩形管ABCD的两边长20,6AB cm AD cm==，（1）若点PQ分别从A B、同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1cm 的速度匀速运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为x 秒，PBQ 的面积为()2y cm ．求PBQ 面积的最大值；（2）若点P 在边AB 上，从点A 出发，沿AB 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，点Q 在边BC 上，从BC 中点出发，沿BC 方向以每秒1cm 的速度匀速运动，当点P 运动到AB 中点时，点Q 开始向上运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 运动时间为t 秒，PBQ 的面积为2mcm ．求m 与t 的函数关系式．13．某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计.这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长m ，直角三角形较短直角边长n ，且n ＝m ﹣2，大正方形的面积为S.（1）求S 关于m 的函数关系式；（2）若小正方形边长不大于3，当大正方形面积最大时，求m 的值.14．如图（1）问题提出如图1，在ABCD 中，45A ∠=︒，8AB =，6AD =，E 是AD 的中点，点F 在DC 上且5DF =求四边形ABFE 的面积.（结果保留根号）（2）问题解决某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境.如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园ABCDE 按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE 内挖一个四边形人工湖OPMN ，使点O 、P 、M 、N 分别在边BC 、CD 、AE 、AB 上，且满足22BO AN CP ==，AM OC =.已知五边形ABCDE 中，90A B C ∠=∠=∠=︒，800m AB =，1200m BC =，600m CD =，900m AE =.满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小.请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN ？若存在，求四边形OPMN 面积的最小值及这时点N 到点A 的距离；若不存在，请说明理由.15．如图，因疫情防控需要，某校在足够大的空地利用旧墙MN 和隔离带围成一个矩形隔离区ABCD ，已知墙长a 米，AD≤MN ，矩形隔离区的一边靠墙，另三边一共用了200米长的隔离带．（1）a=30，所围成的矩形隔离区的面积为1800平方米，求所利用旧墙AD 的长；（2）若a=150．求矩形隔离区ABCD 面积的最大值．16．如图，抛物线28y ax bx =++(0)a ≠经过(2,0)A -，(4,0)C 两点，点B 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D.（1）求抛物线的解析式；（2）动点P 从点B 出发，沿线段BD 向终点D 作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t ，过点P 作PM BD ⊥，交BC 于点M ，以PM 为正方形的一边，向上作正方形PMNQ ，边QN 交BC 于点R ，延长NM 交AC 于点E .①当t 为何值时，点N 落在抛物线上；②在点P 运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形ECRQ 为平行四边形？若存在，求出此时刻的t 值；若不存在，请说明理由.17．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2y x bx c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线3y x =-经过B ，C 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）过点C 作直线CD y ⊥轴交抛物线于另一点D ，点P 是直线CD 下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，PE 交CD 于点F ，交BC 于点M ，连接AC ，过点M 作MN AC ⊥于点N ，设点P 的横坐标为t ，线段MN 的长为d ，求d 与t 之间的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接PC ，过点B 作BQ PC ⊥于点Q （点Q 在线段PC 上），BQ 交CD 于点T ，连接OQ 交CD 于点S ，当ST TD =时，求线段MN 的长.18．如图，抛物线2y x bx c =++经过A （－3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ，P 为y 轴上的动点，连接AP ，以AP 为对角线作正方形AMPN.（1）求抛物线的解析式；（2）当正方形AMPN 与△AOP 面积之比为5∶2时，求点P 的坐标；（3）当正方形AMPN 有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P 的坐标.19．如图，抛物线214y x bx c =-++经过点()6,0C ，顶点为B ，对称轴2x =与x 轴相交于点A ，D 为线段BC 的中点.（1）求抛物线的解析式；（2）P 为线段BC 上任意一点，M 为x 轴上一动点，连接MP ，以点M 为中心，将MPC 逆时针旋转90︒，记点P P 的对应点为E ，点C 的对应点为F.当直线EF 与抛物线214y x bx c =-++只有一个交点时，求点M 的坐标.20．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2，-1)，且与y 轴交于点C(0，3)，与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的右侧)，点P 是该抛物线上的一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动(点P 与A 不重合)，过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；（3）在题(2)的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由.答案解析部分1．【答案】（1）解：设通道的宽为x 米，根据题意得：()()522282640x x --=，解得：34x =（舍去）或6x =，答：通道的宽为6米；（2）解：设月租金上涨a 元，停车场的月租金收入为y 元，根据题意得：()200505a y a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，整理，得()2125101255y a =--+，所以，当25a =时，y 有最大值为10125；答：每停车场的月租金收入最多为10125元.【解析】【分析】（1）设通道的宽为x 米，根据矩形的面积公式列出方程并解答．（2）设车位的月租金上涨a 元，则租出的车位数量是（50-5a）个，根据“月租金=每个车位的月租金×车位数”列出函数表达式求解即可．2．【答案】（1）解：根据题意，得()303S x x =-，即所求的函数关系式为2330S x x =-+．∵03039x <-≤，∴710x ≤<，即S 与x 的函数关系式为S=-3x 2+30x(7≤x ＜10)；（2）解：当263m S =时，233063x x -+=，解得17x =，23x =（不合题意，舍去）．∴当7m AB =时，围成花圃的面积为263m ．【解析】【分析】（1）先求出()303S x x =-，再求出710x ≤<，最后作答即可；（2）先求出233063x x -+=，再求解即可。

考点08 二次函数实际应用问题的7大类型1 围栏篱笆图形类问题的解决方法几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．面积的最值问题应设图形的一边长为自变量，所求面积为函数，建立二次函数的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的取值范围.一般涉及到矩形等四边形问题，把图形的面积公式掌握，把需要用到的边和高等用未知数表示，即可表示出面积问题的二次函数的关系式，通过最值问题的解决方法，即可求出最值等问题，注意自变量的取值范围问题。

2 图形运动问题的解决思路此类问题一般具体分析动点所在位置，位置不同，所求的结果也不一样，一般把每一段的解析式求出来，根据解析式判断函数类型，从而判断图像形状。

3 拱桥问题的解决方法◆1、建立二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．◆2、建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）根据题意建立适当的平面直角坐标系；（2）把已知条件转化为点的坐标；（3）合理设出函数解析式；（4）利用待定系数法求出函数解析式；（5）根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.4 销售问题◆1、销售问题中的数量关系：销售利润=销售收入﹣成本；销售总利润=销售量×单价利润◆2、求解最大利润问题的一般步骤：（1）建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润 = 单件利润×总销量”或“总利润 = 总售价 - 总成本”；（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.◆3、在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．5 投球问题的解决方法此类问题一般需要建立平面直角坐标系，设定好每个点的坐标，分析好题目中的每句话的含义是解决这类问题的关键，有排球、足球、高尔夫球、篮球等，首先根据已知条件确定设定的解析式形式，求出解析式，再根据题意了解问题所求的实质是什么求出即可。

二次函数的建模 知识归纳：求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3．建立函数模型求最值；4．利用基本不等式或不等分析法求最值．一、利用二次函数解决几何面积最大问题1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。

(1)设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米）， 根据题意，得： x x x x y 18)18(2+-=-=； 又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴⎩⎨⎧- （自变量x 的取值范围是关键，在几何类题型中，经常采用的办法是：利用含有自变量的加减代数式的边长来确定自变量的取值范围，例如上式中，18-x ，就是含有自变量的加减代数式，考虑到18-x 是边长，所以边长应该＞0，但边长最长不能超过18，于是有0＜18-x ＜18，0＜x ＜18）（2）∵x x x x y 18)18(2+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值， 即当9)1(2182=-⨯-=-=a b x 时， 81)1(41804422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。

点评：在回答问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。

2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。

问如何围，才能使养鸡场的面积最大？解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（250x-）（米），根据题意，得：x x x x y 2521)250(2+-=-=； 又∵500,02500＜x＜＞x x ＞∴⎪⎩⎪⎨⎧- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值，即当25)21(2252=-⨯-=-=a b x 时，2625)21(42504422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为2625平方米。

二次函数在几何问题中的应用解析二次函数是一种常见的数学函数形式，它在几何问题中扮演了重要的角色。

本文将探讨二次函数在几何问题中的应用，并对其解析进行分析。

1. 抛物线的性质抛物线是二次函数的图像，其标准形式为y = ax² + bx + c。

在几何中，抛物线具有以下性质：- 对称轴：抛物线的对称轴是一个垂直于x轴的直线，过抛物线的顶点。

对称轴的方程可以通过求抛物线的顶点坐标得到。

- 顶点：抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，可以通过求导数等方法求得。

- 开口方向：抛物线的开口方向由二次项的系数决定。

若a>0，则抛物线开口向上；若a<0，则抛物线开口向下。

- 零点：抛物线与x轴的交点称为零点，可以通过解方程求得。

2. 抛物线在几何中的应用抛物线在几何问题中的应用广泛，以下是其中几个典型的应用示例。

2.1 求解最值问题抛物线的顶点即为其最值点，可通过二次函数的最值性质求解几何问题。

例如，在确定水平距离为d的情况下，求抛物线y = ax² + bx + c的最大值或最小值。

我们可以通过求导数找到使得导数为0的x坐标，再代入函数得到对应的y坐标。

2.2 确定几何形状抛物线的开口方向可以用来确定几何形状。

若抛物线开口向上，则形状类似一个U；若开口向下，则形状类似一个倒置的U。

这在建模物体的运动轨迹、桥梁设计等问题中有广泛的应用。

2.3 优化问题二次函数可以被用于解决优化问题。

例如，当我们需要绘制一个围起来面积最大的矩形时，可以通过分析矩形的边长与面积的关系，建立二次函数模型，并通过求解最值问题得到最大面积。

3. 示例分析假设有一块长为L的铁板，要制作一个没有顶盖的长方体盒子，使得盒子的体积最大。

设长方体的底边宽度为x，高度为h，由此可以得到体积函数V(x) = x( L - 2x )h。

我们可以通过建立函数模型并求解最值问题来解决这个几何问题。

对于函数V(x)，我们首先计算其导数V'(x)，然后令导数为0，解得x = L/4。

二次函数顶点坐标公式及其应用二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c都是实数，且a≠0。

它的图像是抛物线。

顶点坐标公式：二次函数的顶点坐标可以用以下公式求得：x=-b/2ay=f(x)=a(x-h)^2+k其中，(h,k)表示顶点的坐标。

通过这个公式，我们可以很方便地求得二次函数的顶点坐标。

应用一：求解最优问题二次函数的顶点坐标在数学上具有重要的意义，它可以用来求解很多最优问题。

例如，我们想要在一个矩形内部，离一条边的距离最远，那么这个问题可以转化为求解顶点坐标的问题。

我们可以通过求解二次函数的极值来找到这个最优解。

应用二：描述物体运动的轨迹二次函数也可以用来描述物体的运动轨迹。

例如，一个物体从离地面一定高度开始自由下落，那么它的运动轨迹可以用二次函数来描述。

我们可以通过求解二次函数的顶点坐标，来确定物体的最高点、落地点和运动轨迹等信息。

应用三：经济学中的边际分析在经济学中，边际分析是一种重要的工具，而二次函数的顶点坐标可以用来分析边际效应。

边际效应是指增加或减少一个单位的其中一种输入所产生的效益变化。

通过求解二次函数的顶点坐标，我们可以找到产生边际效应最大或最小的输入水平，从而指导经济决策。

应用四：求解几何问题在几何学中，二次函数的顶点坐标也有广泛的应用。

例如，在平面几何中，已知一个抛物线和一条直线，我们想要找到抛物线上离直线最近和最远的点，就可以通过求解二次函数的顶点坐标来解决这个问题。

应用五：拟合实验数据二次函数的顶点坐标还可以用来拟合实验数据。

当我们通过实验或观察得到一些数据点时，可以通过求解二次函数的顶点坐标，来得到一个最佳的二次函数模型，以便与观察数据相拟合。

总结：二次函数的顶点坐标公式是一个简单且实用的工具，它在数学和应用领域都有着广泛的应用。

它可以用来解决最优问题、描述物体运动的轨迹、经济学中的边际分析、求解几何问题以及拟合实验数据等。

通过掌握二次函数的顶点坐标公式，我们可以更好地理解和应用这个函数模型。

二次函数初中数学教学中的二次函数与应用二次函数是数学中的一个重要概念。

在初中数学教学中，学生通常会学习到二次函数及其应用。

本文将对二次函数在初中数学教学中的教学方法和应用进行论述。

一、二次函数的基本概念二次函数是指函数的定义域为实数集，且可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

其中a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线在y轴上的截距。

二、二次函数图像的性质1. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

3. 对称轴：抛物线的对称轴为直线x=-b/2a。

4. 零点：即抛物线与x轴的交点，可通过求解ax^2 + bx + c = 0的根来得到。

三、二次函数的图像与应用1. 二次函数图像的观察与分析：学生可以通过观察二次函数图像的特点，来分析函数的性质。

比如，当抛物线开口向上时，函数的值随着自变量的增大而增大；当抛物线开口向下时，函数的值随着自变量的增大而减小。

同时，可以通过顶点坐标和对称轴的特点，帮助学生更好地理解和掌握二次函数的图像。

2. 二次函数在几何问题中的应用：二次函数在几何问题中有着广泛的应用。

比如，可以利用二次函数的性质来分析抛物线的高度、最大值、最小值等问题。

同时，可以通过建立二次函数模型，解决与抛物线相关的实际问题，如抛物线的轨迹、碗碟的形状等。

举例：小明站在一个高度为10米的建筑物上往下扔一个物体，假设物体的下落轨迹为抛物线。

已知小明所站的位置为抛物线的顶点，求此抛物线的方程，并分析物体落地的位置。

解答：由题意可知，小明所站的位置为抛物线的顶点，设小明所站的位置为点A，抛物线与地面的交点为点B，则AB的距离为10米。

设抛物线的方程为f(x) = ax^2 + bx + c。

由于顶点的横坐标即为对称轴的横坐标，所以顶点的横坐标为0，即b/2a = 0，解得b=0。