【数学】湖南省衡阳市衡阳县第四中学2014-2015学年高二上学期期末复习(理)

衡阳县四中2014年高二上学期期末复习文科测试题三一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分） 1、下列命题中，假命题是（ D ）A ．2,30x x R -∀∈>B ．00,tan 2x R x ∃∈=C ．020,log 2x R x ∃∈<D ．2,(2)0x N x *∀∈-> 2、不等式23520x x +-≤的解集是（ C ）A ．{|3x x >或1}2x <B ．1{|3}2x x -≤≤ C ．{|3x x ≥或1}2x ≤ D ．R3、等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若12345,9a a a a +=+=，则10S 的值为（ B ） A ．55 B ．65 C ．60 D ．704、在ABC ∆中，若2221()4ABC S a b c ∆=+-，那么C 等于（ B ） A ．3π B ．4π C ．23π D ．34π5、一元二次方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正跟和一个负根的充分不必要条件是（ C ） A ．0a < B ．0a > C ．1a <- D ．1a > 6、下列结论中正确的是（ A ） A ．当0x >且1x ≠时，1lg 2lg x x+≥B ．当0x >2≥ C ．当2x ≥时，函数1y x x=+的最小值为2 7.已知x>0，y>0，且＝1，若x ＋2y>m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( D )．A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)8．已知点(3,2)A , F 为抛物线22y x =的焦点, 点P 在抛物线上, 使PA PF +取得最小值, 则最小值为 （ D ） A ．32 B ． 2 C ．52 D ． 729、设集合y x y x y x A --=1,,|),{(是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是 （ A ）A ．B ．C ．D ．10. 已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为（ C ） A．C ．D ．2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。

2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（上）1月段考数学试卷（理科）一、选择题（本题6小题，每题6分，共36分）1．设l1的方向向量为=（1，2，﹣2），l2的方向向量为=（﹣2，3，m），若l1⊥l2，则实数m的值为（）A． 3 B． 2 C． 1 D．2．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）A． B． C． D．3．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极大值点（）A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个4．函数f（x）=x2﹣ln2x的单调递减区间是（）A．（0，] B． [，+∞） C．（﹣∞，﹣]，（0，） D． [﹣，0），（0，）5．函数f（x）=x（1﹣x2）在[0，1]上的最大值为（）A． B． C． D．6．曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）A． B． C． D． 1二、填空题（本题4小题，每题6分，共24分）7．函数y=x•e1﹣2x的导数为．8．y=在点（1，1）处的切线方程．9．抛物线的方程是y=x2﹣1，则阴影部分的面积是．10．若函数f（x）=（2x2+ax）•e x的单调递减区间为（﹣3，﹣），则实数a的值为．三、解答题（本题2小题，每题20分，共40分）11．已知函数f（x）=x3﹣ax﹣1，（1）若a=3，试讨论f（x）的单调性．（2）若f（x）在区间（1，+∞）内为增函数，求a的取值范围．12．设函数f（x）=a2lnx﹣x2+ax，a＞0．（1）求f（x）的单调区间；（2）求满足条件的所有实数a，使e﹣1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立．2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（上）1月段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题6小题，每题6分，共36分）1．设l1的方向向量为=（1，2，﹣2），l2的方向向量为=（﹣2，3，m），若l1⊥l2，则实数m的值为（）A． 3 B． 2 C． 1 D．考点：向量的数量积判断向量的共线与垂直．专题：平面向量及应用．分析：利用l1⊥l2，可得其方向向量=0，解得m即可．解答：解：∵l1⊥l2，∴=1×（﹣2）+2×3﹣2m=0，解得m=2．∴实数m的值为2．故选：B．点评：本题出考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．2．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）A． B． C． D．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：根据题意可设CB=1，CA=CC1=2，分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，得到A、B、B1、C1四个点的坐标，从而得到向量与的坐标，根据异面直线所成的角的定义，结合空间两个向量数量积的坐标公式，可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值．解答：解：分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，∵CA=CC1=2CB，∴可设CB=1，CA=CC1=2∴A（2，0，0），B（0，0，1），B1（0，2，1），C1（0，2，0）∴=（0，2，﹣1），=（﹣2，2，1）可得•=0×（﹣2）+2×2+（﹣1）×1=3，且=，=3，向量与所成的角（或其补角）就是直线BC1与直线AB1夹角，设直线BC1与直线AB1夹角为θ，则cosθ==故选A点评：本题给出一个特殊的直三棱柱，求位于两个侧面的面对角线所成角的余弦之值，着重考查了空间向量的坐标运算和异面直线及其所成的角的概论，属于基础题．3．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极大值点（）A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个考点：函数在某点取得极值的条件．专题：导数的概念及应用．分析：根据题目给出的导函数的图象，得到导函数在给定定义域内不同区间上的符号，由此判断出原函数在各个区间上的单调性，从而判断出函数取得极大值的情况．解答：解：如图，不妨设导函数的零点从小到大分别为x1，x2，x3，x4．由导函数的图象可知：当x∈（a，x1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，当x∈（x2，x3）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（x3，x4）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（x4，b）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，由此可知，函数f（x）在开区间（a，b）内有两个极大值点，是当x=x1，x=x4时函数取得极大值．故选B．点评：本题考查了利用导函数研究函数的极值，由导函数在给定区间内的符号可以判断原函数的单调性，连续函数在某点处先增后减，该点是极大值点，先减后增，该点是极小值点．此题是中档题．4．函数f（x）=x2﹣ln2x的单调递减区间是（）A．（0，] B． [，+∞） C．（﹣∞，﹣]，（0，） D． [﹣，0），（0，）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数f（x）的导数，令导函数小于0，解出即可．解答：解：f′（x）=2x﹣=，（x＞0），令f′（x）≤0，解得：0＜x≤，故选：A．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．5．函数f（x）=x（1﹣x2）在[0，1]上的最大值为（）A． B． C． D．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：求出函数的导函数，令导函数为求出根，判断根左右两边的导函数符号，判断出函数的单调性，求出函数的最大值．解答：解：∵f（x）=x﹣x3∴f′（x）=1﹣3x2令f′（x）=0得；所以当故答案为A点评：求函数在给定区间上的最值问题，应该先通过求导函数判断出函数的单调性，求出函数的极值，再求出区间端点对应的函数值，从中选出最值．6．曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（） A． B． C． D． 1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与y轴和直线y=x的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可．解答：解：∵y=e﹣2x+1∴y'=（﹣2）e﹣2x∴y'|x=0=（﹣2）e﹣2x|x=0=﹣2∴曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线方程为y﹣2=﹣2（x﹣0）即2x+y﹣2=0令y=0解得x=1，令y=x解得x=y=∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为×1×=故选A点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题．二、填空题（本题4小题，每题6分，共24分）7．函数y=x•e1﹣2x的导数为e1﹣2x﹣2x2•e1﹣2x．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：根据复合函数的导数的运算法则，求导即可，解答：解：y′=x′•e1﹣2x+x•（e1﹣2x）′=e1﹣2x+x•e1﹣2x•（1﹣2x）′=e1﹣2x﹣2x2•e1﹣2x故答案为：e1﹣2x﹣2x2•e1﹣2x点评：本题考查了复合函数的导数的运算法则，属于基础题8．y=在点（1，1）处的切线方程x+y﹣2=0 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：由求导公式求出导数，根据导数的几何意义求出切线的斜率，代入点斜式方程，再化为一般式方程．解答：解：由题意得，，∴在点（1，1）处的切线斜率k=﹣1，则在点（1，1）处的切线方程是：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0．点评：本题考查了导数的几何意义，以及直线的点斜式方程，属于基础题．9．抛物线的方程是y=x2﹣1，则阴影部分的面积是．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：利用定积分表示阴影部分的面积，利用积分计算公式和法则进行运算，即可得到本题的答案．解答：解：由题意，阴影部分的面积为S=（1﹣x2）dx+（x2﹣1）dx=（x﹣）+（﹣x）=．故答案为：．点评：本题考查定积分知识的运用，解题的关键是确定被积区间与被积函数，属于基础题．10．（6分）（2014秋•衡阳县校级月考）若函数f（x）=（2x2+ax）•e x的单调递减区间为（﹣3，﹣），则实数a的值为 3 ．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：求f′（x）=[2x2+（4+a）x+a]e x，e x＞0，所以根据函数单调性和函数导数符号的关系即可得到不等式2x2+（4+a）x+a＜0的解为（﹣3，﹣），所以x=﹣3，便是一元二次方程2x2+（4+a）x+a=0的两实根，从而根据韦达定理即可求出a．解答：解：f′（x）=[2x2+（4+a）x+a]e x；∵f（x）的单调递减区间为（﹣3，）；∴f′（x）＜0的解为；即2x2+（4+a）x+a＜0的解为（﹣3，）；∴x=﹣3，﹣是方程2x2+（4+a）x+a=0的两实根；∴根据韦达定理；∴a=3．故答案为：3．点评：考查函数单调性和函数导数符号的关系，以及根据导数求函数单调区间的方法，一元二次不等式的解和对应一元二次方程根的关系．三、解答题（本题2小题，每题20分，共40分）11．已知函数f（x）=x3﹣ax﹣1，（1）若a=3，试讨论f（x）的单调性．（2）若f（x）在区间（1，+∞）内为增函数，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）由已知先求f′（x）=3x2﹣3，令3x﹣3=0 得：x=±1，通过讨论f′（x）＞0或f′（x）＜0即可得f（x）的单调性．（2）有f′（x）=3x2﹣a，且f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，可得a≤3x2在（1，+∞）恒成立，从而解得a的取值范围．解答：解：（1）f′（x）=3x2﹣3．令 3x2﹣3=0 得 x=±1当 x＞1 或 x＜﹣1 时，f′（x）＞0；当﹣1＜x＜1 时，f′（x）＜0．因此 f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上为增函数，f（x）在（﹣1，1）上为减函数．（2）因为f′（x）=3x2﹣a，且f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，所以f′（x）≥0在（1，+∞）恒成立，即3x2﹣a≥0在（1，+∞）恒成立，所以a≤3x2在（1，+∞）恒成立，即a≤3．故a的取值范围是（﹣∞，3]．点评：本题主要讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准，已知函数的单调性确定参数问题更是各类考试的重点，应注意掌握，属于中档题．12．设函数f（x）=a2lnx﹣x2+ax，a＞0．（1）求f（x）的单调区间；（2）求满足条件的所有实数a，使e﹣1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数与函数单调性的关系求得函数的单调区间；（2）e﹣1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立，等价于，由（1）的结论求得函数的最值，解不等式组解得即可．解答：解：（1）∵f（x）=a2lnx﹣x2+ax，a＞0．∴函数的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣2x+a=由于a＞0，即f（x）的增区间为（0，a），f（x）的减区间为（a，+∞）．（2）由题得，f（1）=a﹣1≥e﹣1，即a≥e，由（1）知f（x）在[1，e]内单调递增要使e﹣1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立只要解得a=e．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性求函数的最值等问题，考查恒成立问题的转化求解能力，属中档题．。

2014-2015年度某某县四中高二数学（理）期末复习测试题（一）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分． 1.下列命题中的假命题．．．是（ C ） A.,lg 0x R x ∃∈= B.,tan 1x R x ∃∈= C. 3,0x R x ∀∈> D.,20x x R ∀∈>2.”“1>x 是”“1||>x 的（ A ） A ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3. 已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a b c ++=3，则222a b c ++≥3”，的否命题是（ A ）A 若a +b +c ≠3，则222a b c ++<3B 若a +b +c =3，则222a b c ++<3C 若a +b +c ≠3，则222a b c ++≥3D 若222a b c ++≥3，则a +b +c =34.双曲线2214x y -=的渐近线的方程为（ A ） A ．2xy =±B ．y x =±C ．2y x =±D ．4y x =± 5. 设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ C ）A ．4B ．3C ．2D ．16．如图，已知平行六面体1111OABC O A B C -，点G 是上底面1111O A B C 的中心，且a OA =，b OC =，c OO =1，则用a ，b ，c 表示向量OG 为( )A ．)2(21c b a ++ B ．)2(21c b a ++ C ．)2(21c b a ++ D ．)(21c b a ++7. 设圆C 与圆1)3(22=-+y x 外切，与直线0=y 相切，则C 的圆心轨迹为( B ) A 双曲线 B 抛物线 C 椭圆 D 圆 8.以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( D ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1GB AC B 1O 1C 1A 1O9.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是( A )A.2B.3C.115D.371610.ABC ∆的顶点(5,0),(5,0)A B -，ABC ∆的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是( C )A.221916x y -= B.221169x y -= C.)3(116922>=-x y x D.221(4)169x y x -=> 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上.11．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成1200的角，则k=．39-12．已知)3,1,2(-=a ，)2,4(，y b -=，且)(b a a +⊥，则y 的值为． 13.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题,则x 的取值X 围是。

2014-2015学年湖南省衡阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知t=a+2b，s=a+b2+1，则t和s的大小关系中正确的是（）A．t＞s B．t≥s C．t＜s D．t≤s2．（3分）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138B．135C．95D．233．（3分）在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则最短边的边长是（）A．B．C．D．4．（3分）设变量x，y满足的约束条件：．则z=x﹣3y的最小值（）A．﹣4B．﹣6C．﹣8D．﹣105．（3分）若b为实数，且a+b=2，则3a+3b的最小值为（）A．18B．6C．2D．26．（3分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题C．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件D．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1＜0”7．（3分）不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则函数y=f（﹣x）的图象为（）A．B．C．D．8．（3分）若椭圆的离心率为，则m的值等于（）A．B．C．D．9．（3分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都为2，E、F分别为AB、A1C1的中点，则EF的长是（）A．2B．C．D．10．（3分）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．2C．D．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）已知椭圆+=1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为．12．（4分）已知数列{a n}的前n项的和为S n=n2﹣2n+3，则数列的通项公式为．13．（4分）已知向量=（﹣1，0，1），=（1，2，3），k∈R，若k﹣与垂直，则k=．14．（4分）在△ABC中，，且，则△ABC的面积是．15．（4分）设命题p：|4x﹣3|≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0．若￢p是￢q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分50分）16．（8分）不等式（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0对一切x∈R恒成立，求实数m的取值范围．17．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边sinθ≠0，已知c=2，C=．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）求a+b的取值范围．18．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（10分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，过点B（0，﹣2）及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2．（1）求椭圆的方程；（2）求△CDF2的面积．20．（12分）已知数列{a n}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣=2a m+n﹣1+2（m﹣n）21（1）求a3，a5；（2）设b n=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{b n}是等差数列；（3）设c n=（a n+1﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{c n}的前n项和S n．2014-2015学年湖南省衡阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知t=a+2b，s=a+b2+1，则t和s的大小关系中正确的是（）A．t＞s B．t≥s C．t＜s D．t≤s【解答】解：s﹣t=a+b2+1﹣a﹣2b=b2﹣2b+1=（b﹣1）2≥0，故有s≥t，故选：D．2．（3分）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138B．135C．95D．23【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，∴d=3，a1=﹣4，∴S10=10a1+=95．故选：C．3．（3分）在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则最短边的边长是（）A．B．C．D．【解答】解：由B=45°，C=60°可得A=75°，∵B角最小，∴最短边是b，由=可得，b===，故选：A．4．（3分）设变量x，y满足的约束条件：．则z=x﹣3y的最小值（）A．﹣4B．﹣6C．﹣8D．﹣10【解答】解：由z=x﹣3y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最小，由，解得，即B（﹣1，3）．将B（﹣1，3）代入目标函数z=x﹣3y，得z=﹣1﹣3×3=﹣1﹣9=﹣10．∴目标函数z=x﹣3y的最小值是﹣10．故选：D．5．（3分）若b为实数，且a+b=2，则3a+3b的最小值为（）A．18B．6C．2D．2【解答】解：∵a+b=2，∴3a+3b故选：B．6．（3分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题C．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件D．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1＜0”【解答】解：对于A、命题“若x2=1，则x=1”的否命题是：若x2≠1，则x≠1，故不正确；对于B、若x=y，则sinx=siny为真命题，且互为逆否命题的真假关系相同可知逆否命题为真，正确；对于C、若x=﹣1则x2﹣5x﹣6=0；若x2﹣5x﹣6=0，则x=﹣1或x=6，即x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，错误；对于D、根据命题“∃x∈R，结论p成立”的否定是“∀x∈R，结论p的反面成立”可知命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”，故错误．故选：B．7．（3分）不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则函数y=f（﹣x）的图象为（）A．B．C．D．【解答】解：由不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，可得a＜0，且解得a=﹣1，c=﹣2，故f（x）=﹣x2﹣x+2，故f（﹣x）=﹣x2 +x+2=﹣（x+1）（x﹣2）．故函数y=f（﹣x）的图象为C，故选：C．8．（3分）若椭圆的离心率为，则m的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：当m+9＞9，即m＞0时，焦点y轴c==e==求得m=3当m+9＜9时，即m＜0时，c==e=，求得m=﹣故选：C．9．（3分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都为2，E、F分别为AB、A1C1的中点，则EF的长是（）A．2B．C．D．【解答】解：以E为坐标原点，以EC，EA和竖直向上的方向分别为X，Y，Z轴的正方向建立坐标系，∵E是BC的中点，则E（0，0，0），A（0，，0），C（1，0，0）A1（0，，2），C1（1，0，2）F是A1C1的中点，则F点的坐标为（，，2）则|EF|==故选：C．10．（3分）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．2C．D．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，代入抛物线方程y=x2+1，得x2x+1=0，由相切的条件可得，判别式﹣4=0，即有b=2a，则c===a，则有e==．故选：C．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）已知椭圆+=1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为7．【解答】解：椭圆的长轴长为10根据椭圆的定义，∵椭圆上的点P到一个焦点的距离为3∴P到另一个焦点的距离为10﹣3=7故答案为：712．（4分）已知数列{a n}的前n项的和为S n=n2﹣2n+3，则数列的通项公式为．【解答】解：∵S n=n2﹣2n+3，a1=2，∴a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣2n+3﹣[（n﹣1）2﹣2（n﹣1）+3]=2n﹣3（n＞1），∵当n=1时，a1=﹣1≠2，∴，故答案为13．（4分）已知向量=（﹣1，0，1），=（1，2，3），k∈R，若k﹣与垂直，则k=7．【解答】解：∵向量=（﹣1，0，1），=（1，2，3），k∈R，k﹣与垂直，∴（k﹣）•=k﹣=k（﹣1+0+3）﹣（1+4+9）=0，解得b=7．故答案为：7．14．（4分）在△ABC中，，且，则△ABC的面积是6．【解答】解：由，得到，解得：，则．故答案为：615．（4分）设命题p：|4x﹣3|≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0．若￢p是￢q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是[0，] ．【解答】解：解|4x﹣3|≤1，得≤x≤1．解x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0．得a≤x≤a+1．因为┐p是┐q的必要而不充分条件，所以，q是p的必要不充分条件，即由命题p成立能推出命题q成立，但由命题q成立不推出命p成立．∴[，1]⊊[a，a+1]．∴a≤且a+1≥1，两个等号不能同时成立，解得0≤a≤．∴实数a的取值范围是：[0，]．三、解答题（共5小题，满分50分）16．（8分）不等式（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0对一切x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：若m2﹣2m﹣3=0，则m=﹣1或m=3．…（2分）若m=﹣1，不等式（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0为4x﹣1＜o不合题意；…（4分）若m=3，不等式（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0为﹣1＜0对一切x∈R恒成立，所以m=3可取．…（6分）设f（x）=（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1，当m2﹣2m﹣3＜0且△=[﹣（m﹣3）]2+4（m2﹣2m﹣3）＜0，解得：．…（9分）即时不等式（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0对一切x∈R恒成立，故．…（12分）17．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边sinθ≠0，已知c=2，C=．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）求a+b的取值范围．【解答】解：（1）∵△ABC面积为，C=，=absinC=，即ab=4①，∴S△ABC又由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2﹣ab，整理得：a2+b2=8②，联立①②解得：a=b=2；（2）在锐角△ABC中，C=，得到A∈（，），由正弦定理得：==2R，即2R=，∴由正弦定理得：a=2RsinA=sinA，b=2RsinB=sinB，∴a+b=（sinA+sinB）=[sinA+sin（﹣A）]=（sinA+cosA）=4sin （A+），由A∈（，）得：A+∈（，），∴sin（+A）∈（，1]，则a+b∈（2，4]．18．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1）．=（﹣1，，0），=（0，，﹣1），=（﹣1，0，0），设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则即，因此可取=（，1，）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，即：可取=（0，1，），cos＜＞==故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：．19．（10分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，过点B（0，﹣2）及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2．（1）求椭圆的方程；（2）求△CDF2的面积．【解答】解：（1）∵椭圆=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，∴b==1，且=，解之得a=，c=1可得椭圆的方程为；…（4分）（2）∵左焦点F1（﹣1，0），B（0，﹣2），得F1B直线的斜率为﹣2∴直线F1B的方程为y=﹣2x﹣2由，化简得9x2+16x+6=0．∵△=162﹣4×9×6=40＞0，∴直线与椭圆有两个公共点，设为C（x1，y1），D（x2，y2），则∴|CD|=|x1﹣x2|=•=•=又∵点F2到直线BF1的距离d==，∴△CDF2的面积为S=|CD|×d=×=．20．（12分）已知数列{a n}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2a m+n﹣1+2（m﹣n）2（1）求a3，a5；（2）设b n=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{b n}是等差数列；（3）设c n=（a n+1﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{c n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由题意，令m=2，n=1，可得a3=2a2﹣a1+2=6再令m=3，n=1，可得a5=2a3﹣a1+8=20（2）当n∈N*时，由已知（以n+2代替m）可得a2n+3+a2n﹣1=2a2n+1+8于是[a2（n+1）+1﹣a2（n+1）﹣1]﹣（a2n+1﹣a2n﹣1）=8即b n+1﹣b n=8所以{b n}是公差为8的等差数列（3）由（1）（2）解答可知{b n}是首项为b1=a3﹣a1=6，公差为8的等差数列则b n=8n﹣2，即a2n+1﹣a2n﹣1=8n﹣2另由已知（令m=1）可得a n=﹣（n﹣1）2．那么a n+1﹣a n=﹣2n+1=﹣2n+1=2n于是c n=2nq n﹣1．当q=1时，S n=2+4+6++2n=n（n+1）当q≠1时，S n=2•q0+4•q1+6•q2+…+2n•q n﹣1．两边同乘以q，可得qS n=2•q1+4•q2+6•q3+…+2n•q n．上述两式相减得（1﹣q）S n=2（1+q+q2+…+q n﹣1）﹣2nq n=2•﹣2nq n=2•所以S n=2•综上所述，S n=．。

衡阳县四中2015年高二学业水平模拟考试（二）数 学第I 卷一．选择题:（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若集合{13}A x x =≤≤，{}2B x x =>，则AB 等于 ( )A.{23}x x <≤B. {1}x x ≥C.{23}x x ≤<D.{2}x x > 2. 与－π6角终边相同的角是( )A.π6 B. π3 C. 11π6 D. 4π33.直线l 与直线10x +=垂直，则直线l 的斜率为 ( )A ．33 B ．－33C ． 3D ．－ 3 4.定义域为R 的四个函数32,2,,2sin x y x y y x y x ====中，奇函数的个数为 （ ）A. 4B. 3C. 2D. 15.甲、乙两人下棋，甲获胜概率为40﹪,甲不输的概率为90﹪，则甲、乙下成和棋为 （ ）A. 60﹪B. 30﹪C.10﹪D. 50﹪6．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是 ( )（第6题图）A ．三棱锥B ．四棱锥C ．四棱台D ．三棱台7.若0<x ，则xx 1+的最大值是 （ ） A. 1- B. 2- C. 1 D. 28．如图所示，算法流程图的输出结果为 ( )（第8题图）A. 34B. 16C. 1112 D ． 25249.下列大小关系正确的是 （ ） A. 3log 2>5log 2>2 B. 3log 2>2>5log 2 C. 5log 2>2>3log 2 D. 2log 5>2log 3>210．如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF 为 ( )A. 1123AB AD -B. 1142AB AD + C.1132AB AD + D. 1223AB AD - (第10题)图）第II 卷二.填空题:（本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答卷 卡的相应位置上）11.某校高二年级8个班参加合唱比赛的得分如面茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数为______和____ (第11题图)12.)37sin(π-的值是_____________; 13．已知向量a=(3,4), 向量b=(2,k ),若a ⊥b ，则实数k 的值是____________;14. 已知ABC ∆的三个内角,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，且bc c b a ++=222，则角A 的值是____________;15.设1>m ，在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x mx y x y 下，目标函数y x z 5+=的最大值为4，则m 的值是_______________.三.解答题：(本大题共5小题,共52分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题满分6分)已知sin α＝35，0<α<π2，求cos α和sin(α＋4π)的值．17. (本小题满分8分)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为菱形，对角线AC 与BD 相交于点E ，平面P AC 垂直底面ABCD ，线段PD 的中点为F.（第18题图）(1)求证：EF ∥平面PBC ； (2)求证：BD ⊥PC .18. (本小题满分8分)对某个品牌的U 盘进行寿命追踪调查，所得情况如下面频率分布直方图所示. （1）图中纵坐标0y 处刻度不清，根据图表所提供的数据还原0y ；（2）根据图表的数据按分层抽样，抽取20个U 盘，寿命为1030万次之间的应抽取几个；（3）从（2）中抽出的寿命落在1030万次之间的元件中任取2个元件，求事件“恰好有一个寿命为1020万次,，一个寿命为2030万次”的概率.(第18题图)19. (本小题满分8分)数列{}n a 的前n 项和为n S ,且213n n S a =-(n ∈N +). （1） 判断数列}{n a 是什么数列？ （2） 求数列}{n na 的前n 项和n T .20.（本小题满分10分）已知圆C ：02422222=-+--+a ay x y x (a ∈R)的圆心在直线02=-y x 上. （1）求实数a 的值;（2）求圆C 与直线l ：()047)1(12=--+++m y m x m (m ∈R)相交弦长的最小值．频率/40 10 20 30 50 60y 万次学业水平测试模拟试卷（二）数学答案一．选择题（1）A ； （2）D ； （3）C ； （4）D ； （5）D ； （6）B ； （7）B ； （8）C ； （9）C ； （10）D ； 二．填空题(11).91.5; 91.5 （12） （13）32-； （14）32π； （15）3．三.解答题16.解：由sin 2α＋cos 2α＝1，及0<α<π2，sin α＝35，得cos α＝1－sin 2α＝45. 3分所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝35×22＋45×22＝7210. 6分17. 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴E 为线段BD 的中点．又∵点F 为线段PD 的中点，∴EF ∥PB .又∵PB ⊂平面PBC ，EF ⊄平面PBC ，∴EF ∥平面PBC . 4分 (2)∵平面P AC ⊥底面ABCD ，平面P AC ∩底面ABCD ＝AC ，BD ⊂底面ABCD ，由四边形ABCD 菱形，可得BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面P AC .又∵PC ⊂平面P AC ，∴BD ⊥PC . 8分 18. 解：（1）11004.01002.0201001.00=⨯+⨯++⨯y015.00=∴y ........................................................................................................ 2分 （2）10~30万次之间的U 盘所占频率为25.010015.01001.0=⨯+⨯ 设10~30万次之间的U 盘应抽取x 个，25.020=x，5=∴x ...................................... 4分 （3）10~20万次应抽取201.01020=⨯⨯个，设为21,a a ， 20~30万次应抽取3015.01020=⨯⨯个，设为321,,b b b ，寿命落在1030万次之间的元件中任取2个元件，一切可能结果组成的基本事件空间为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=Ω）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（21231322123221113121,,,,,,,,,,,,,,,,,,,b b b a b a b a b a a a b a b a a a a a“抽取的两个U 盘恰好有一个寿命为1020万次,，一个寿命为2030万次”为事件A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=）（）（）（）（）（）（231322122111,,,,,,,,,,,b a b a b a b a b a b a A ,53106)(==A P . .......................................................... 8分19.解：(1)当1n =时，111213a S a ==-，解得135a =，当2n ≥时，1122(1)(1)33n n n n n a S S a a --=-=---，得152n n a a -=，所以125n n a a -=， 所以数列{}n a 是以35为首项，25为公比的等比数列. ..................................................... 3分 (2)由（1）知：132()55n n a -=，所以132()55n n na n -=()01213232323212...155555555n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯++⨯-⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12123232323212...1555555555n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯++⨯-⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-11332323232...-555555555n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0112222...-5555n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21-25225525-1---2535533515nn n n nn T n n n ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-................................. 8分20.解：（1）圆C 的方程可化为25)122=+a y x --（）（，将圆心坐标（1,a ）代入直线方程02=-y x 中，得2=a ...................................................................................................... 4分(2)∵直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0(m ∈R)．∴l 恒过⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0x ＋y －4＝0的交点M (3,1)．............................................................................ 7分由圆的性质可知，当l ⊥CM 时，弦长最短． 又|CM |＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，∴弦长为l ＝2r 2－|CM |2＝225－5＝4 5. .................................................................... 10分。

湖南省衡阳市衡阳县四中2014-2015学年高一上学期期末数学复习试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4，共32分．）1．（4分）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3}，则（C u A）∩B=（）A．{3} B．{1，2，3} C．{5} D．{1，2，3，4，5}2．（4分）两圆x2+y2﹣1=0和x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离3．（4分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π4．（4分）下列函数中，在区间（0，2）上是增函数的是（）A．y=x2﹣4x+5 B．C．y=2﹣x D．5．（4分）点P（﹣2，1）到直线4x﹣3y+1=0的距离等于（）A．B．C．2D．6．（4分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，①DA1与BC1平行；②DD1与BC1垂直；③A1B1与BC1垂直．以上三个命题中，正确命题的序号是（）A．①②B．②③C．③D．①②③7．（4分）若f（x）=3ax+1﹣2a在（﹣1，1）上存在零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．a＜﹣18．（4分）已知f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是递增的，若f（﹣2）=0，则xf（x）＜0的解集是（）A．{x|﹣2＜x＜0或x＞2} B．{ x|x＜﹣2或0＜x＜2}C．{ x|x＜﹣2或x＞2} D．{ x|﹣2＜x＜0或0＜x＜2}二．填空题：（把答案填在题中横线上．每小题4分，共28分）9．（4分）若f（x）=（m﹣2）x2+mx+4 （x∈R）是偶函数，则m=．10．（4分）已知函数f（x）=，则f=．11．（4分）在空间直角坐标系中，在z轴上求一点C，使得点C到点A（1，0，2）与点B（1，1，1）的距离相等，则点C的坐标为．12．（4分）已知A（0，﹣1），B（﹣2a，0），C（1，1），D（2，4），若直线AB与直线CD垂直，则a的值为．13．（4分）已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为．14．（4分）计算：log6+（6）×（0.2）﹣2﹣lg4﹣lg25﹣log6．15．（4分）已知函数f（x）=mx2+3（m﹣2）x﹣1在区间（﹣∞，3]上单调减函数，则实数m的取值范围是．三．解答题（本大题共5题，共40分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（8分）已知直线l1：ax+2y+6=0和直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0．（1）判断直线l1与l2是否能平行；（2）当l1⊥l2时，求a的值．17．（8分）已知集合U=R，A={x|y=}，B={y|y=（）x+1，﹣2≤x≤﹣1}，D={x|x＜a﹣1}．（1）求A∩B；（2）若D⊊∁U A，求a的取值范围．18．（8分）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x间的函数解析式，定义域，并求出周长的最大值．19．（8分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点．（14分）（1）证明：EB∥平面PAD；（2）若PA=AD，证明：BE⊥平面PDC．20．（8分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程l，若不存在说明理由．湖南省衡阳市衡阳县四中2014-2015学年高一上学期期末数学复习试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4，共32分．）1．（4分）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3}，则（C u A）∩B=（）A．{3} B．{1，2，3} C．{5} D．{1，2，3，4，5}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3}，∴（C u A）∩B={3，4，5}∩{2，3}={3}，故选：A．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（4分）两圆x2+y2﹣1=0和x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题．分析：由已知中两圆的方程：x2+y2﹣1=0和x2+y2﹣4x+2y﹣4=0，我们可以求出他们的圆心坐标及半径，进而求出圆心距|O1O2|，比较|O1O2|与R2﹣R1及R2+R1的大小，即可得到两个圆之间的位置关系．解答：解：圆x2+y2﹣1=0表示以O1（0，0）点为圆心，以R1=1为半径的圆；圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0表示以O2（2，﹣1）点为圆心，以R2=3为半径的圆；∵|O1O2|=∴R2﹣R1＜|O1O2|＜R2+R1，∴圆x2+y2﹣1=0和圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0相交故选B．点评：本题考查的知识点是圆与圆的位置关系及其判定，若圆O1的半径为R1，圆O2的半径为R2，（R2≤R1），则当|O1O2|＞R2+R1时，两圆外离，当|O1O2|=R2+R1时，两圆外切，当R2﹣R1＜|O1O2|＜R2+R1时，两相交，当|O1O2|=R2﹣R1时，两圆内切，当|O1O2|＜R2﹣R1时，两圆内含．3．（4分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由题意可知，几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，依次求表面积即可．解答：解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面为S=4π×12+π×12×2+2π×1×3=12π故选D．点评：本题考查学生的空间想象能力，是基础题．4．（4分）下列函数中，在区间（0，2）上是增函数的是（）A．y=x2﹣4x+5 B．C．y=2﹣x D．考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的单调性的定义和性质分别进行判断即可．解答：解：A．y=x2﹣4x+5的对称轴为x=2，在区间（0，2）上是减函数，不满足条件．B.在区间（0，2）上是增函数，满足条件．C．y=2﹣x在区间（0，2）上是减函数，不满足条件．D.在区间（0，2）上是减函数，不满足条件．故满足条件的函数是．故选：B．点评：本题主要考查函数单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的单调性，比较基础．5．（4分）点P（﹣2，1）到直线4x﹣3y+1=0的距离等于（）A．B．C．2D．考点：点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：把点P（﹣2，1）直接代入点到直线的距离公式进行运算．解答：解：由点到直线的距离公式得，点P（﹣2，1）到直线4x﹣3y+1=0的距离等于=2，故选C．点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，要注意先把直线的方程化为一般式．6．（4分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，①DA1与BC1平行；②DD1与BC1垂直；③A1B1与BC1垂直．以上三个命题中，正确命题的序号是（）A．①②B．②③C．③D．①②③考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：常规题型；综合题．分析：根据线面平行、线面垂直的判定与性质，即可得到正确答案．解答：解：①在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由图可知DA1与BC1异面，故①不正确．②因为DD1∥CC1，BC1不垂直CC1，所以DD1与BC1不垂直．故②不正确．③在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BCC1B1，又∵BC1⊂平面BCC1B1，∴A1B1与BC1垂直．故③正确．故选C．点评：此题考查线线平行、线线垂直，考查学生的空间想象能力和对线面平行、线面垂直的判定与性质的理解与掌握．7．（4分）若f（x）=3ax+1﹣2a在（﹣1，1）上存在零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．a＜﹣1考点：函数的零点；函数的零点与方程根的关系．分析：根据零点的性质和不等式性质进行求解．解答：解：由f（x）=3ax+1﹣2a=0得，∵f（x）=3ax+1﹣2a在（﹣1，1）上存在零点，∴，解得．故选C．点评：求出零点后再根据零点的范围判断实数a的取值范围．8．（4分）已知f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是递增的，若f（﹣2）=0，则xf（x）＜0的解集是（）A．{x|﹣2＜x＜0或x＞2} B．{ x|x＜﹣2或0＜x＜2}C．{ x|x＜﹣2或x＞2} D．{ x|﹣2＜x＜0或0＜x＜2}考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：易判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性及f（x）图象所过特殊点，作出f（x）的草图，根据图象可解不等式．解答：解：∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（﹣2）=0，得f（﹣2）=﹣f（2）=0，即f（2）=0，由f（﹣0）=﹣f（0），得f（0）=0，作出f（x）的草图，如图所示：由图象，得xf（x）＜0⇔或，解得0＜x＜2或﹣2＜x＜0，∴xf（x）＜0的解集为：（﹣2，0）∪（0，2），故选：D点评：本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．二．填空题：（把答案填在题中横线上．每小题4分，共28分）9．（4分）若f（x）=（m﹣2）x2+mx+4 （x∈R）是偶函数，则m=0．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意知f（x）﹣f（﹣x）=（m﹣2）x2+mx+4﹣（（m﹣2）x2﹣mx+4）=2mx=0，从而解得．解答：解：∵f（x）=（m﹣2）x2+mx+4 （x∈R）是偶函数，∴f（x）﹣f（﹣x）=（m﹣2）x2+mx+4﹣（（m﹣2）x2﹣mx+4）=2mx=0；故m=0；故答案为：0．点评：本题考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题．10．（4分）已知函数f（x）=，则f=8．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据自变量的大小确定该选用哪一段的函数解析式求解，从内向外逐一去括号即可求出所求．解答：解：∵﹣2＜0，∴f（﹣2）=（﹣2）2=4，即f=f（4），∵4≥0，∴f（4）=2×4=8，即f=f（4）=8，故答案为：8．点评：本题考查了函数的求值问题．涉及了分段函数的求值，对于分段函数，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解，解题中要注意判断变量的取值范围，以确定该选用哪一段的函数解析式求解．属于基础题．11．（4分）在空间直角坐标系中，在z轴上求一点C，使得点C到点A（1，0，2）与点B（1，1，1）的距离相等，则点C的坐标为（0，0，1）．考点：空间中的点的坐标．专题：计算题．分析：根据点C在z轴上，设出点C的坐标，再根据C到A与到B的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得AC，BC，解方程即可求得C的坐标．解答：解：设C（0，0，z）由点C到点A（1，0，2）与点B（1，1，1）的距离相等，得12+02+（z﹣2）2=12+12+（z﹣1）2解得z=1，故C（0，0，1）故答案为：（0，0，1）．点评：考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于知识的系统化，属基础题．12．（4分）已知A（0，﹣1），B（﹣2a，0），C（1，1），D（2，4），若直线AB与直线CD垂直，则a 的值为．考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．专题：直线与圆．分析：利用直线相互垂直与斜率之间的关系即可得出．解答：解：∵k CD==3，k AB=，AB⊥CD．∴k CD•k AB=×3=﹣1，解得a=．故答案为：．点评：本题考查了直线相互垂直与斜率之间的关系，属于基础题．13．（4分）已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为（x﹣2）2+y2=4．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：直线与圆相切，设圆心坐标为（a，0），则圆方程为（x﹣a）2+y2=4，由已知得d=R=2=，由此能求出圆C的方程．解答：解：直线与圆相切，设圆心坐标为（a，0），则圆方程为：（x﹣a）2+y2=4，∵圆心与切点连线必垂直于切线，根据点与直线距离公式，得d=R=2=，解得a=2或a=﹣，（因圆心在正半轴，不符合舍去）∴a=2，∴圆C的方程为：（x﹣2）2+y2=4．故答案为：（x﹣2）2+y2=4．点评：本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的性质的合理运用．14．（4分）计算：log6+（6）×（0.2）﹣2﹣lg4﹣lg25﹣log610．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：化带分数为假分数，化负指数为正指数，然后结合有理指数幂的运算性质及对数的运算性质化简求值．解答：解：log6+（6）×（0.2）﹣2﹣lg4﹣lg25﹣log6===2+=10．故答案为：10．点评：本题考查了有理指数幂的运算性质及对数的运算性质，是基础的计算题．15．（4分）已知函数f（x）=mx2+3（m﹣2）x﹣1在区间（﹣∞，3]上单调减函数，则实数m的取值范围是．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：首先对参数进行分类讨论①m=0②m≠0，进一步对二次函数的对称轴和单调区间进行分类讨论，最后通过几种情况的分析取集合的并集，求得相应的结果．解答：解：①当m=0时，函数f（x）=﹣6x﹣1根据一次函数的单调性得：函数在区间（﹣∞，3]上单调减函数．②当m＞0时，函数f（x）=mx2+3（m﹣2）x﹣1的对称轴方程为：x=，由于函数在（﹣∞，3]上单调减函数，所以：，解得：．③当m＜0时，函数f（x）=mx2+3（m﹣2）x﹣1的对称轴方程为：x=，由于函数在（﹣∞，3]上单调减函数，而对于开口方向向下的抛物线在（﹣∞，3]不可能是递减函数．所以m∈Φ．综上所述：m的取值范围为：．点评：本题考查的知识要点：二次函数的对称轴与单调区间的关系，分类讨论思想的应用．属于基础题型．三．解答题（本大题共5题，共40分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（8分）已知直线l1：ax+2y+6=0和直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0．（1）判断直线l1与l2是否能平行；（2）当l1⊥l2时，求a的值．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：（1）把直线方程分别化为斜截式，利用斜率相等截距不相等即可得出；（2）利用两条直线垂直的充要条件即可得出．解答：解：（1）直线l1：ax+2y+6=0化为y=﹣﹣3，直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0化为y=．若直线l1：ax+2y+6=0和直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0平行，则．解得a=﹣1．只有当a=﹣1时，直线l1与l2能平行．（2）当l1⊥l2时，由（1）可得=﹣1，解得a=．点评：本题考查了斜率相等截距不相等证明两条直线平行、两条直线垂直的条件，属于基础题．17．（8分）已知集合U=R，A={x|y=}，B={y|y=（）x+1，﹣2≤x≤﹣1}，D={x|x＜a﹣1}．（1）求A∩B；（2）若D⊊∁U A，求a的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；集合．分析：化简A={x|y=}=；（1）利用集合的运算求A∩B；（2）化简∁U A=（﹣∞，2），从而得到a＜3．解答：解：A={x|y=}=，（1）A∩B=；（2）∁U A=（﹣∞，2），故由D⊊∁U A知，a﹣1＜2；故a＜3．点评：本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．18．（8分）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x间的函数解析式，定义域，并求出周长的最大值．考点：不等式的实际应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：作DE⊥AB于E，连接BD，根据相似关系求出AE，而CD=AB﹣2AE，从而求出梯形ABCD的周长y与腰长x间的函数解析式，根据AD＞0，AE＞0，CD＞0，可求出定义域；利用二次函数在给定区间上求出最值的知识可求出函数的最大值．解答：解：如图，作DE⊥AB于E，连接BD．因为AB为直径，所以∠ADB=90°．在Rt△ADB与Rt△AED中，∠ADB=90°=∠AED，∠BAD=∠DAE，所以Rt△ADB∽Rt△AED．所以，即．又AD=x，AB=4，所以．所以CD=AB﹣2AE=4﹣，于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4﹣+x=﹣+2x+8由于AD＞0，AE＞0，CD＞0，所以x＞0，，4﹣＞0，解得0＜x，故所求的函数为y=﹣+2x+8（0＜x）y=﹣+2x+8=﹣（x﹣2）2+10，又0＜x，所以，当x=2时，y有最大值10．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题．射影定理的应用是解决此题的关键，二次函数在解决实际问题中求解最值的常用的方法，属于中档题．19．（8分）如图所示，四棱锥P﹣A BCD的底面为一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点．（14分）（1）证明：EB∥平面PAD；（2）若PA=AD，证明：BE⊥平面PDC．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：计算题；证明题．分析：（1）欲证EB∥平面PAD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EB与平面PAD内一直线平行，取PD的中点F，连接FA，FE，根据中位线定理可知EF∥AB，EF=AB，从而ABEF是平行四边形，则EB∥FA，EB⊄平面PAD，FA⊂平面PAD，满足定理所需条件；（2）欲证BE⊥平面PDC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BE与平面PDC内两相交直线垂直，而BE∥AF，可先证AF⊥平面PDC，而AF⊥PD，PD∩CD=D，PD⊂平面PDC，CD⊂平面PDC，满足线面垂直的判定定理，问题得证．解答：证明（1）取PD的中点F，连接FA，FE，则EF为△PDC的中位线．∴EF∥CD，EF=CD．∵BA⊥AD，CD⊥AD．∴AB∥CD∵CD=2AB，∴AB=CD．∴EF∥AB，EF=AB．∴ABEF是平行四边形．∴EB∥FA．∵EB⊄平面PAD，FA⊂平面PAD∴EB∥平面PAD（6分）（2）∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD∴PA⊥CD∵CD⊥AD，PA∩AD=APA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD∴CD⊥平面PAD，∵AF⊂平面PAD∴CD⊥AF．∵PA=AD，PF=FD∴AF⊥PD．∵PD∩CD=D，PD⊂平面PDC，CD⊂平面PDC∴AF⊥平面PDC．由（1）可知，BE∥AF∴BE⊥平面PDC点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒ a∥β）．本题可采用方法②，属于中档题．20．（8分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程l，若不存在说明理由．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；数形结合．分析：将圆C化成标准方程，假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）．因为CM⊥l，则有k CM•k l=﹣1，表示出直线l的方程，从而求得圆心到直线的距离，再由：求解．解答：解：圆C化成标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）．∵CM⊥l，即k CM•k l=×1=﹣1∴b=﹣a﹣1∴直线l的方程为y﹣b=x﹣a，即x﹣y﹣2a﹣1=0∴|CM|2=（）2=2（1﹣a）2∴|MB|2=|CB|2﹣|CM|2=﹣2a2+4a+7∵|MB|=|OM|∴﹣2a2+4a+7=a2+b2，得a=﹣1或，当a=时，b=﹣，此时直线l的方程为x﹣y﹣4=0当a=﹣1时，b=0，此时直线l的方程为x﹣y+1=0故这样的直线l是存在的，方程为x﹣y﹣4=0或x﹣y+1=0．点评：本题主要考查直线与圆的位置关系其其方程的应用，本题是一道探究题，出题新颖，体现知识的灵活运用．。

2014-2015年度衡阳县四中高二数学（文）期末复习测试题一．选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，只有一项是符合题目要求的） 1. 设命题甲为：05x <<,命题乙为23x -<,则甲是乙的：（ A ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件2.已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数， 则下列命题中为真命题的是 （ D ）A ．q p ∨⌝)(B ．q p ∧C ．)()(q p ⌝∧⌝D ． )()(q p ⌝∨⌝3. 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( C )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π44、双曲线2214x y -=的渐近线的方程为（ A ） A ．2xy =±B ．y x =±C ．2y x =±D ．4y x =± 5. 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( B )A ．e 2B ．eC.ln 22D ．ln 26.双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r =( A ) A.3 B. 2 C. 3 D. 67.设1F 、2F 分别为双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得12||||3PF PF b +=，129||||4PF PF ab ⋅=，则该双曲线的离心率为( B )A.43B.53C.94D.3 8. 设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（ D ）A.6B.13C.12D.39.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是( A )A.2B.3C.115D.371610. ABC ∆的顶点(5,0),(5,0)A B -，ABC ∆的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是( C )A.221916x y -= B. 221169x y -= C.)3(116922>=-x y x D.221(4)169x y x -=>二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. “若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是__2______．12.“p 或q ”为真命题是“p 且q ”为真命题的___必要不充分_____条件．13、已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x 轴，且过点(P -，则抛物线的方程为 24y x =-14. 若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是___[2，＋∞)_____15. 椭圆 22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则12F PF ∠的大小为 32π. 三、解答题：本大题共6小题, 共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题12分)命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a <，命题q ：实数x 满足260x x --≤或2280x x +->，且 p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求a 的取值范围.解：设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＜0)}＝{x |3a ＜x ＜a }，……………………………2分 B ＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＜0}＝{x |x 2－x －6＜0}∪{x |x 2＋2x －8＞0}＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x ＜－4或x ＞2}＝{x |x ＜－4或x ≥－2}. …………………5分 因为 ⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，所以 q q P ,⇒推不出p ，由B A ⊂得 ……………………………8分320a a -⎧⎨⎩≥<或40a a -⎧⎨⎩≤< …………………………10分 即－23≤a ＜0或a ≤－4. ……………………………12分17．(本小题12分)如图, 直线y=21x 与抛物线y=81x 2－4交于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线与直线y=－5交于Q 点.（1）求点Q 的坐标；（2）当P 为抛物线上位于线段AB 下方（含A 、B ）的动点时, 求ΔOPQ 面积的最大值.【解】(1) 解方程组 481212-==x y xy 得 2411-=-=y x 或 4822==y x即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB 的中点为M(2,1).由k AB ==21,直线AB 的垂直平分线方程 y －1=21(x －2). 令y=－5, 得x =5, ∴Q(5,－5)． (2) 直线OQ 的方程为x +y=0, 设P(x , 81x 2－4).∵点P 到直线OQ 的距离d=24812-+x x =3282812-+x x ,25=OQ ,∴S ΔOPQ =21d OQ =3281652-+x x .∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－4≤x <43－4或43－4<x ≤8.∵函数y=x 2+8x －32在区间[－4,8] 上单调递增, ∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30．18(本小题12分).已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的点P 到左右两焦点12,F F 的距离之和为. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过右焦点2F 的直线l 交椭圆于A B 、两点，若y轴上一点M 满足 ||||MA MB =，求直线l 的斜率k 的值.解：（Ⅰ）|212PF |+|PF |a ==a =-----------------------1分c e a ==，∴1c ==， -----------------------2分∴222211b a c =-=-= -----------------------3分椭圆的标准方程为2212x y += -----------------------4分 （Ⅱ）已知2(1,0)F ,设直线的方程为(1)y k x =-，1122(,)(,)A x y B x y ----------5分联立直线与椭圆的方程22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得：2222(12)4220k x k x k +-+-= -----------------------6分∴2122412k x x k +=+，121222()212ky y k x x k k -+=+-=+ ∴AB 的中点坐标为2222(,)1212k kk k -++ -----------------------7分 ①当0k ≠时，AB 的中垂线方程为22212()1212k k y x k k k --=--++ --------------8分 ∵||||MA MB =，∴点M 在AB 的中垂线上，将点M 的坐标代入直线方程得：22271212k k k k+=++，即270k -=解得k =6k =-----------------------10分②当0k =时，AB 的中垂线方程为0x =，满足题意. -----------------------11分 ∴斜率k的取值为0，. -----------------------12分 19、(本小题13分)已知二次函数f(x)满足：①在x=1时有极值； ②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x+y=0平行. （1）求f(x)的解析式；（2）求函数g(x)=f(x 2)的单调递增区间.解：（1）设f(x)=ax 2+bx+c ，则 f．由题设可得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-='=',3)0(,2)0(,0)1(f f f 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-==+.3,2,02c b b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==.3,2,1c b a所以f(x)=x 2-2x-3． （2）g(x)=f(x 2)=x 4－2x 2－3，g3－4x=4x(x －1)(x+1)．列表：由表可得：函数g(x)的单调递增区间为(-1,0)，(1,+∞)．20. (本小题13分)若函数4)(3+-=bx ax x f ，当2=x 时，函数)(x f 有极值34-， （1）求函数的解析式；（2）若函数k x f =)(有3个解，求实数k 的取值范围． 解：()b ax x f -='23（1）由题意：()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==-='3442820122b a f b a f解得⎪⎩⎪⎨⎧==431b a∴所求解析式为()44313+-=x x x f （2）由（1）可得：()()()2242+-=-='x x x x f令()0='x f ，得2=x 或2-=x 当x 变化时，()x f '、()x f 的变化情况如下表：因此，当2-=x 时，()x f 有极大值3当2=x 时，()x f 有极小值34-∴函数()44313+-=x x x f 的图象大致如图：由图可知：32834<<-k21．(本小题13分) 已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<，（I ）求m 与n 的关系式；（II ）求()f x 的单调区间； （III ）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.解：(I)2()36(1)f x mx m x n '=-++，因为1x =是函数()f x 的一个极值点,所以(1)0f '=,即36(1)0m m n -++=，所以36n m =+（II ）由（I ）知，2()36(1)36f x mx m x m '=-+++=23(1)1m x x m ⎡⎤⎛⎫--+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当0m <时，有211m>+，当x 变化时，()f x 与()f x '的变化如下表：()f x 在2,1m ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭单调递减，在2(1,1)m+单调递增，在(1,)+∞上单调递减.（III ）由已知得()3f x m '>，即22(1)20mx m x -++>又0m <所以222(1)0x m x m m -++<即[]222(1)0,1,1x m x x m m -++<∈-① 设212()2(1)g x x x m m=-++，其函数开口向上，由题意知①式恒成立， 所以22(1)0120(1)010g m m g ⎧-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩解之得43m -<又0m <所以403m -<<即m 的取值范围为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭。

2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（上）1月段考数学试卷（理科）一、选择题（本题6小题，每题6分，共36分）1．设l1的方向向量为=（1，2，﹣2），l2的方向向量为=（﹣2，3，m），若l1⊥l2，则实数m的值为（）A． 3 B． 2 C． 1 D．2．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）A． B． C． D．3．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极大值点（）A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个4．函数f（x）=x2﹣ln2x的单调递减区间是（）A．（0，] B． [，+∞） C．（﹣∞，﹣]，（0，） D． [﹣，0），（0，）5．函数f（x）=x（1﹣x2）在[0，1]上的最大值为（）A． B． C． D．6．曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）A． B． C． D． 1二、填空题（本题4小题，每题6分，共24分）7．函数y=x•e1﹣2x的导数为．8．y=在点（1，1）处的切线方程．9．抛物线的方程是y=x2﹣1，则阴影部分的面积是．10．若函数f（x）=（2x2+ax）•e x的单调递减区间为（﹣3，﹣），则实数a的值为．三、解答题（本题2小题，每题20分，共40分）11．已知函数f（x）=x3﹣ax﹣1，（1）若a=3，试讨论f（x）的单调性．（2）若f（x）在区间（1，+∞）内为增函数，求a的取值范围．12．设函数f（x）=a2lnx﹣x2+ax，a＞0．（1）求f（x）的单调区间；（2）求满足条件的所有实数a，使e﹣1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立．2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（上）1月段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题6小题，每题6分，共36分）1．设l1的方向向量为=（1，2，﹣2），l2的方向向量为=（﹣2，3，m），若l1⊥l2，则实数m的值为（）A． 3 B． 2 C． 1 D．考点：向量的数量积判断向量的共线与垂直．专题：平面向量及应用．分析：利用l1⊥l2，可得其方向向量=0，解得m即可．解答：解：∵l1⊥l2，∴=1×（﹣2）+2×3﹣2m=0，解得m=2．∴实数m的值为2．故选：B．点评：本题出考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．2．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）A． B． C． D．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：根据题意可设CB=1，CA=CC1=2，分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，得到A、B、B1、C1四个点的坐标，从而得到向量与的坐标，根据异面直线所成的角的定义，结合空间两个向量数量积的坐标公式，可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值．解答：解：分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，∵CA=CC1=2CB，∴可设CB=1，CA=CC1=2∴A（2，0，0），B（0，0，1），B1（0，2，1），C1（0，2，0）∴=（0，2，﹣1），=（﹣2，2，1）可得•=0×（﹣2）+2×2+（﹣1）×1=3，且=，=3，向量与所成的角（或其补角）就是直线BC1与直线AB1夹角，设直线BC1与直线AB1夹角为θ，则cosθ==故选A点评：本题给出一个特殊的直三棱柱，求位于两个侧面的面对角线所成角的余弦之值，着重考查了空间向量的坐标运算和异面直线及其所成的角的概论，属于基础题．3．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极大值点（）A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个考点：函数在某点取得极值的条件．专题：导数的概念及应用．分析：根据题目给出的导函数的图象，得到导函数在给定定义域内不同区间上的符号，由此判断出原函数在各个区间上的单调性，从而判断出函数取得极大值的情况．解答：解：如图，不妨设导函数的零点从小到大分别为x1，x2，x3，x4．由导函数的图象可知：当x∈（a，x1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，当x∈（x2，x3）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（x3，x4）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（x4，b）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，由此可知，函数f（x）在开区间（a，b）内有两个极大值点，是当x=x1，x=x4时函数取得极大值．故选B．点评：本题考查了利用导函数研究函数的极值，由导函数在给定区间内的符号可以判断原函数的单调性，连续函数在某点处先增后减，该点是极大值点，先减后增，该点是极小值点．此题是中档题．4．函数f（x）=x2﹣ln2x的单调递减区间是（）A．（0，] B． [，+∞） C．（﹣∞，﹣]，（0，） D． [﹣，0），（0，）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数f（x）的导数，令导函数小于0，解出即可．解答：解：f′（x）=2x﹣=，（x＞0），令f′（x）≤0，解得：0＜x≤，故选：A．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．5．函数f（x）=x（1﹣x2）在[0，1]上的最大值为（）A． B． C． D．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：求出函数的导函数，令导函数为求出根，判断根左右两边的导函数符号，判断出函数的单调性，求出函数的最大值．解答：解：∵f（x）=x﹣x3∴f′（x）=1﹣3x2令f′（x）=0得；所以当故答案为A点评：求函数在给定区间上的最值问题，应该先通过求导函数判断出函数的单调性，求出函数的极值，再求出区间端点对应的函数值，从中选出最值．6．曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）A． B． C． D． 1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与y轴和直线y=x的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可．解答：解：∵y=e﹣2x+1∴y'=（﹣2）e﹣2x∴y'|x=0=（﹣2）e﹣2x|x=0=﹣2∴曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线方程为y﹣2=﹣2（x﹣0）即2x+y﹣2=0令y=0解得x=1，令y=x解得x=y=∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为×1×=故选A点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题．二、填空题（本题4小题，每题6分，共24分）7．函数y=x•e1﹣2x的导数为e1﹣2x﹣2x2•e1﹣2x．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：根据复合函数的导数的运算法则，求导即可，解答：解：y′=x′•e1﹣2x+x•（e1﹣2x）′=e1﹣2x+x•e1﹣2x•（1﹣2x）′=e1﹣2x﹣2x2•e1﹣2x故答案为：e1﹣2x﹣2x2•e1﹣2x点评：本题考查了复合函数的导数的运算法则，属于基础题8．y=在点（1，1）处的切线方程x+y﹣2=0 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：由求导公式求出导数，根据导数的几何意义求出切线的斜率，代入点斜式方程，再化为一般式方程．解答：解：由题意得，，∴在点（1，1）处的切线斜率k=﹣1，则在点（1，1）处的切线方程是：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0．点评：本题考查了导数的几何意义，以及直线的点斜式方程，属于基础题．9．抛物线的方程是y=x2﹣1，则阴影部分的面积是．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：利用定积分表示阴影部分的面积，利用积分计算公式和法则进行运算，即可得到本题的答案．解答：解：由题意，阴影部分的面积为S=（1﹣x2）dx+（x2﹣1）dx=（x﹣）+（﹣x）=．故答案为：．点评：本题考查定积分知识的运用，解题的关键是确定被积区间与被积函数，属于基础题．10．（6分）（2014秋•衡阳县校级月考）若函数f（x）=（2x2+ax）•e x的单调递减区间为（﹣3，﹣），则实数a的值为 3 ．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：求f′（x）=[2x2+（4+a）x+a]e x，e x＞0，所以根据函数单调性和函数导数符号的关系即可得到不等式2x2+（4+a）x+a＜0的解为（﹣3，﹣），所以x=﹣3，便是一元二次方程2x2+（4+a）x+a=0的两实根，从而根据韦达定理即可求出a．解答：解：f′（x）=[2x2+（4+a）x+a]e x；∵f（x）的单调递减区间为（﹣3，）；∴f′（x）＜0的解为；即2x2+（4+a）x+a＜0的解为（﹣3，）；∴x=﹣3，﹣是方程2x2+（4+a）x+a=0的两实根；∴根据韦达定理；∴a=3．故答案为：3．点评：考查函数单调性和函数导数符号的关系，以及根据导数求函数单调区间的方法，一元二次不等式的解和对应一元二次方程根的关系．三、解答题（本题2小题，每题20分，共40分）11．已知函数f（x）=x3﹣ax﹣1，（1）若a=3，试讨论f（x）的单调性．（2）若f（x）在区间（1，+∞）内为增函数，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）由已知先求f′（x）=3x2﹣3，令3x﹣3=0 得：x=±1，通过讨论f′（x）＞0或f′（x）＜0即可得f（x）的单调性．（2）有f′（x）=3x2﹣a，且f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，可得a≤3x2在（1，+∞）恒成立，从而解得a的取值范围．解答：解：（1）f′（x）=3x2﹣3．令 3x2﹣3=0 得 x=±1当 x＞1 或 x＜﹣1 时，f′（x）＞0；当﹣1＜x＜1 时，f′（x）＜0．因此 f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上为增函数，f（x）在（﹣1，1）上为减函数．（2）因为f′（x）=3x2﹣a，且f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，所以f′（x）≥0在（1，+∞）恒成立，即3x2﹣a≥0在（1，+∞）恒成立，所以a≤3x2在（1，+∞）恒成立，即a≤3．故a的取值范围是（﹣∞，3]．点评：本题主要讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准，已知函数的单调性确定参数问题更是各类考试的重点，应注意掌握，属于中档题．12．设函数f（x）=a2lnx﹣x2+ax，a＞0．（1）求f（x）的单调区间；（2）求满足条件的所有实数a，使e﹣1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数与函数单调性的关系求得函数的单调区间；（2）e﹣1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立，等价于，由（1）的结论求得函数的最值，解不等式组解得即可．解答：解：（1）∵f（x）=a2lnx﹣x2+ax，a＞0．∴函数的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣2x+a=由于a＞0，即f（x）的增区间为（0，a），f（x）的减区间为（a，+∞）．（2）由题得，f（1）=a﹣1≥e﹣1，即a≥e，由（1）知f（x）在[1，e]内单调递增要使e﹣1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立只要解得a=e．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性求函数的最值等问题，考查恒成立问题的转化求解能力，属中档题．。

衡阳县四中2014-2015年下期高二期末考试数学（文）试题一、选择题（每小题5分，共60分） 1. 1.下列函数是奇函数的是（ ）．A. x x x f =)(B.x x f lg )(=C. x x x f -+=22)(D.1)(3-=x x f2.复数11i+的虚部是 （ ） A.12- B ．12 C ．12i D ．i 21-3. 已知命题00:R,sin 2p x x ∃∈=；命题2:R,10q x x x ∀∈-+>.则下列结论正确的是( )A ．命题p q ∨是假命题B . 命题p q ∧是真命题C ．命题()()p q ⌝∨⌝是真命题D ．命题()()p q ⌝∧⌝是真命题4.设函数2()23,[5,5]f x x x x =-++∈-.若从区间[5,5]-内随机选取一个实数0x ,则所选取的实数0x 满足0()0f x ≤的概率为 （ ） A ．0.3 B ．0.4 C ．0.5 D ．0.65.已知P 是圆122=+y x 上的动点，则 P 点到直线 022:=-+y x l 的距离的最小值为（ ）A ． 1B ．2C ． 2D ．226. 在平面直角坐标系xoy 中，若直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=ty tx 3221（t 为参数），则直线l 的斜率（ ）A ． 23 B.32- C. 23 D. 23-7. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x (万元) 4 2 3 5销售额y (万元)49263954根据上表可得回归方程a bx y +=中的b 为4.9，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 ( ) A ．63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元D.72.0万元8. 把函数x x x x x f 22cos 3cos sin 2sin )(+-=的图像沿x 轴向左平移)0(>m m 个单位，所得函数)(x g 的图像关于直线8π=x 对称，则m 的最小值为 （ ）Ａ．4π Ｂ．3π Ｃ．2πＤ．43π9. 若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为 （ ） A ．5n ≤？ B ．6n ≤？ C ．7n ≤？ D ．8n ≤？10. 设t 是函数x e x f x ln )(+=的零点，若0x t >，则0()f x 的值满足 （ ） A ．0()0f x = B ．0()0f x > C ．0()0f x < D ．0()f x 的符号不确定11. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A. 13B. 23C ．1D ．2 12.函数的定义域为D ，若满足：① ()f x 在D 内是单调函数；②存在[,]a b 上的值域为[,]22a b，那么就称函数y=f （x ）为“成功函数”，若函数()log ()(0,1)x c f x c t c c =+>≠是“成功函数”，则t 的取值范围为（ ）A ．(0,+∞）B ．(,0)-∞C ．1(,)4+∞D ．1(0,)4二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知向量),1(x a =，)2,1(-=x b ，若b a //，则=x __________________.14. 已知实数对),(y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≤012y x y x 则y x +2的最小值是____________．15.小王在做一道数学题目时发现：若复数111cos i sin ,z αα=+222 cos i sin ,z αα=+333cos i sin z =+αα(其中123,,R ∈ααα), 则121212cos()i sin(+)z z αααα⋅=++，232323cos()i sin(+)z z αααα⋅=++ ，根据上面的结论，可以提出猜想:z 1·z 2·z 3= ．16. 已知0a b >>，12,e e 分别是圆锥曲线22221x y a b +=和22221x y a b-=的离心率，设12ln ln m e e =+，则m 的取值范围是______________．二、解答题（第17题10分，其余均为12分，70分）17.本题满分10分)某电视台举办青年歌手大奖赛，有十名评委打分，已知甲、乙两名选手演唱后的得分如茎叶图所示：甲乙6 4 38 7 7 5 4 2 99 8 71 50 1 3 6 6 8 8 9 (1)从统计的角度，你认为甲与乙比较，演唱水平怎样？(2)现场有三名点评嘉宾A 、B 、C ，每位选手可以从中选两位进行指导，若选手选每位点评嘉宾的可能性相等，求甲、乙两选手选择的点评嘉宾恰有一人重复的概率．18.(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，满足:()0cos sin 3sin cos =++⋅C B c a C B c .(Ⅰ） 求C 的大小；（Ⅱ）若3=c , 求b a +的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的值.19.(本题满分10分)如图四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，60=∠DAB ，422===PD AD AB ,ABCD PD 底面⊥.(1)证明：BD PA ⊥;(2) 求三棱锥PBC D -的高.20．(本小题满分10分)已知2421n n ka n +=+，{}n a 为等差数列。

2014-2015年度 衡阳县四中高二数学期末复习测试题《必修五》一、选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知实数m 是1和5的等差中项，则m 等于 ( C )A B ． C ．3 D ．3±2、不等式0652≤+--x x 的解集为（ D ）A ．}16|{-≤≥x x x 或B ． }32|{≥≤x x x 或C ．}16|{≤≤-x xD ．}16|{≥-≤x x x 或3.等差数列{错误！未找到引用源。

}中，首项错误！未找到引用源。

=1，公差d =5，如果错误！未找到引用源。

= 2 006，则序号n 等于（C ）A.400B.401C.402D.4034、在等差数列{}n a 中,若45076543=++++a a a a a ，则=+82a a （ C ） A.45 B.75 C. 180 D.3005.在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，若错误！未找到引用源。

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＝错误！未找到引用源。

＋ab ，则C ＝( A ) A.60° B.120° C.45° D.30°6.在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为错误！未找到引用源。

，则边BC 的长为( A )A.错误！未找到引用源。

B.3C.错误！未找到引用源。

D.77.某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km /h 的速度由A 处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B 处时，发现北偏西45°方向有一艘船C ，若船C 位于A 处北偏东30°方向上，则缉私艇B 与船C 的距离是( D ) A.5(错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

) km B.5(错误！未找到引用源。

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