长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗？

其次要把椅脚着地用数学符号表示出来。

椅子在不同位置时椅脚与地面的距离不同，当距离为0时，就是椅子四只脚着地，所以这个距离就是椅子位置变量θ的函数。

虽椅子有四只脚，四个距离，但由长方形是中心对称图形可用两个距离函数就行了。

A,C 两脚与地面的距离之和为()f θB,D 两脚与地面的距离之和为()g θ由假设2知道地面为连续曲面所以()f θ，()g θ是连续函数。

由假设3可得对于任意的θ，()f θ，()g θ至少一个为0。

可以假设(0)f =0，(0)g 〉0，而当椅子旋转180度后，对角线AC ，BD 互换，于是()f π〉0，()g π=0。

这样，改变椅子的位置使四只脚着地，就归结为证明如下的数学问题：已知()f θ，()g θ是θ的连续函数， 对任意的θ，()f θ*()g θ=0，而且()(0)0f g π==， (0)0,()0f g π>>。

证明存在0θ，使(0)(0)0f g θθ==。

五、模型求解（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果）令()()()h f g θθθ=-，则(0)0h <和()0h π>。

由f 和g 的连续性知h 也是连续函数。

根据连续函数的基本性质，比存在0(0)θθπ<<使得(0)0h θ=，即(0)(0)f g θθ=。

最后因为(0)*(0)0f g θθ=，所以(0)(0)0f g θθ==。

文案 编辑词条B 添加义项?文案，原指放书的桌子，后来指在桌子上写字的人。

现在指的是公司或企业中从事文字工作的职位，就是以文字来表现已经制定的创意策略。

文案它不同于设计师用画面或其他手段的表现手法，它是一个与广告创意先后相继的表现的过程、发展的过程、深化的过程，多存在于广告公司，企业宣传，新闻策划等。

基本信息中文名称文案外文名称Copy目录1发展历程2主要工作3分类构成4基本要求5工作范围6文案写法7实际应用折叠编辑本段发展历程汉字"文案"(wén àn)是指古代官衙中掌管档案、负责起草文书的幕友,亦指官署中的公文、书信等;在现代，文案的称呼主要用在商业领域，其意义与中国古代所说的文案是有区别的。

数学建模知到章节测试答案智慧树2023年最新山东师范大学第一章测试1.人类研究原型的目的主要有（）。

参考答案:优化;预测;评价;控制2.概念模型指的是以图示、文字、符号等组成的流程图形式对事物的结构和机理进行描述的模型。

（）参考答案:对3.数学建模的全过程包括（）。

参考答案:模型应用;模型检验;模型求解;模型建立4.下面（）不是按问题特性对模型的分类。

参考答案:交通模型5.椅子放稳问题中，如果椅子是长方形的，则不能在不平的地面上放稳。

（）参考答案:错第二章测试1.山崖高度的估计模型中，测量时间中需要考虑的时间包括（）。

参考答案:物体下落的时间;声音返回的时间;人体的反应时间2.落体运动模型当阻力趋于零时变为自由落体模型。

（）参考答案:对3.安全行车距离与（）有关。

参考答案:车辆速度;车辆品牌;驾驶员水平4.人体反应时间的确定一般使用测试估计法进行。

（）参考答案:对5.当车速为80-120千米/小时时，简便的安全距离判断策略是（）。

参考答案:等于车速1.存贮模型的建模关键是（）。

参考答案:一个周期内存贮量的确定2.下面对简单的优化模型的描述（）是正确的。

参考答案:没有约束条件的优化模型3.商品生产费用因为数值太小，所以不需要考虑。

（）参考答案:错4.同等条件下，允许缺货时的生产周期比不允许缺货时的生产周期（）。

参考答案:偏大5.开始灭火后，火灾蔓延的速度会（）。

参考答案:变小1.如果工人工作每小时的影子价格是2元，则雇佣工人每小时的最高工资可以是3元。

（）参考答案:错2.下面关于线性规划的描述正确的是（）。

参考答案:可行域是凸多边形;最优解可以在可行域内部取得;目标函数是线性的;约束条件是线性的3.在牛奶加工模型中，牛奶资源约束是紧约束。

（）参考答案:对4.在牛奶加工模型中，A1的价格由24元增长到25元，应该生产计划。

（）参考答案:错5.求整数规划时，最优解应该采用（）获得。

参考答案:使用整数规划求解方法重新求解1.人口过多会带来（）。

09级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。

试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。

（15分）解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。

因此对这个问题我们假设 ：（1）地面为连续曲面（2）长方形桌的四条腿长度相同（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。

那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。

现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。

以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。

当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。

容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。

为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和，()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。

由假设（1），()f θ,()g θ均为θ的连续函数。

又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（∀θ）。

不妨设(0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。

证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。

作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。

09级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。

试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。

〔15分〕解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否认的。

因此对这个问题我们假设：〔1〕地面为连续曲面〔2〕长方形桌的四条腿长度一样〔3〕相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的〔4〕方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。

那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。

现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。

以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如下图，方桌的四条腿分别在A、B、C、D处，A、、D的初始位置在及x轴平行，再假设有一条在x轴上的线,那么也及A、B，C、D平行。

当方桌绕中心0旋转时，对角线及x轴的夹角记为θ。

容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。

为消除这一不确定性，令()gθ为fθ为A、B离地距离之与，() C、D离地距离之与，它们的值由θ唯一确定。

由假设〔1〕，()gθfθ,()均为θ的连续函数。

又由假设〔3〕，三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立〔∀θ〕。

不妨设(0)0f =(0)0g >〔假设(0)g 也为0，那么初始时刻已四条腿着地，不必再旋转〕，于是问题归结为： ()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。

证明：当θ=π时，及互换位置，故()0f π>，()0g π=。

作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。

12110224135 12物本 张威明
椅子能在不平的地面上放稳吗？
问题分析：三只脚着地，放稳 四只脚着地
模型假设：四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。

模型改造：四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈长方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。

模型求解：
设A ，B 与地面的距离之和为)(x f ，C,D 与地面的距离之和为)(x g 。

设0)0(=f ，则)(x g =b>0.
设)()()(x g x f x F -=。

当x=0时，)()()0(x g x f F -=<0;
当A,B,C,D 旋转π时，0)0()(>==b g f π，0)(=πg 。

当x=π时，0)()()(>-=πππg f F 。

所以，)(x F 在（0，π）内，必存在δ，使得)(x F =0.，即)()(δδg f =
又因为任意时刻，必有3只脚着地，所以)(x f 或)(x g 在任意时刻，总有一个为0。

所以存在)()(δδg f ==0，使得椅子的四只脚同时着地，使得椅子平衡。

椅子能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了.下面用数学语言证明.一、 模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设：1. 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形.2.3. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面.4.5. 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.二、模型建立中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论.首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转D '角度θ这一变量来表示椅子的位置.其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了.椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数.由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A 、C 两脚与地面距离之和为()θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为()θg ，显然()θf 、()0≥θg ，由假设2知f 、g 都是连续函数，再由假设3知()θf 、()θg 至少有一个为0.当0=θ时，不妨设()()0,0>=θθf g ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：命题 已知()θf 、()θg 是θ的连续函数，对任意θ，()θf *()θg =0，且()()00,00>=f g ，则存在0θ，使()()000==θθf g .三、模型求解将椅子旋转90︒，对角线AC 和BD 互换，由()()00,00>=f g 可知()()02,02=>ππf g .令()()()θθθf g h -=，则()()00,20h h π<>，由f 、g 的连续性知h 也是连续函数，由零点定理，必存在()2000πθθ<<使()00=θh ，()()00θθf g =，由()()000g f θθ⨯=，所以()()000==θθf g .四、评 注模型巧妙在于用一元变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转90︒并不是本质的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形.。

数学建模疫情题目及答案1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。

试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。

（15分）解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。

因此对这个问题我们假设：（1）地面为连续曲面（2）长方形桌的四条腿长度相同（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。

那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。

现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。

以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D处，A、B,C、D的初始位置在与x轴平行，再假设有一条在x轴上的线ab,则ab也与A、B，C、D平行。

当方桌绕中心0旋转时，对角线ab与x轴的夹角记为θ。

容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。

为消除这一不确定性，令()gθ为fθ为A、B离地距离之和，() C、D离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。

由假设（1），()gθfθ,()均为θ的连续函数。

又由假设（3），三条腿总能同时着地，故()gθfθ()=0必成立（∀θ）。

不妨设(0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。

证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。

作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。

椅子能在不平的地面上放稳吗”是空间而非平面问题强载杰“椅子能在不平的地面上放稳吗”是“数学模型（姜启源编）”的第一个示例。

此例的原型来源于日常生活中一件普通的事实：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。

不难看出，有二个对象：一是椅子；二是不平的地面（此后，我们把不平的地面简称为地面）。

而其中的关键：地面是不平的。

显然，“椅子往不平的地面上放”不是一个数学上的平面问题。

纵览全节，除在模型假设2把地面“视为数学上的连续曲面”外，通篇看作平面问题；用一元函数来处理的。

那么，这样能合理的构成模型，严密地求得正确的解吗？先从模型假设开始，本示例作了三个假设。

假设1是对第一个对象——椅子所作的。

它将椅脚与地面接触处视为一个点，四脚的连线呈正方形（关于这一点，后面再讨论）。

于是，椅子的四只脚在一个平面上（其实，三只脚就可以确定一个平面了，第四只脚必在此平面上），不妨称其为椅脚平面。

假设2是对第二个对象——地面的数学描述。

地面可视为数学上的连续曲面，并且没有台阶。

不妨假想有一个平面（比如水平面），我们称其为地平面，地面只是在此地平面上下起伏。

假设3是对地面的不平坦程度作进一步假设，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。

在这里值得注意的有二点：其一，“椅子在任何位置”应是指椅子放置在地面上后所处的位置，并非指空间的任何位置；其二，任意二个位置至少有三只脚同时着地时，这二个椅脚平面不能确保在同一平面上，也不能确保在地平面上。

接着来看椅子位置的改变。

文中是以椅脚连线构成的正方形绕此正方形的中心点旋转代表椅子位置的改变。

注意，这里是在这个正方形所在的平面（椅脚平面）中的旋转。

我们不妨假设初始位置时，椅子是放置在地面上的，由假设3此时至少有三只脚同时着地，我们称由这三只脚构成的平面为初始椅脚平面。

椅子绕此椅脚连线构成的正方形的中心点旋转一个角度之后，代表椅脚的正方形的四个点仍在此初始椅脚平面上，但这并不表明已确实把椅子放置在地面上了。

椅子能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了.下面用数学语言证明.一、 模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设：1. 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形.2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面.3. 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位臵至少有三只脚同时着地.二、模型建立中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论.首先用变量表示椅子的位臵，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位臵的改变，于是可以用旋转角度θ这一变量来表示椅子的位臵.其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了.椅子要挪动位臵说明这个距离是位臵变量的函数.由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A 、C 两脚与地面距离之和为()θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为()θg ，显然()θf 、()0≥θg ，由假设2知f 、g 都是连续函数，再由假设3知()θf 、()θg 至少有一个为0.当0=θ时，不妨设()()0,0>=θθf g ，这样改变椅子的位臵使四只脚同时着地，就归结为如下命题：命题 已知()θf 、()θg 是θ的连续函数，对任意θ，()θf *()θg =0，且()()00,00>=f g ，则存在0θ，使()()000==θθf g .三、模型求解将椅子旋转90︒，对角线AC 和BD 互换，由()()00,00>=f g 可知()()02,02=>ππf g .令()()()θθθf g h -=，则()()00,20h h π<>，由f 、g 的连续性知h 也是连续函数，由零点定理，必存在()2000πθθ<<使()00=θh ，()()00θθf g =，由()()000g f θθ⨯=，所以()()000==θθf g .四、评 注模型巧妙在于用一元变量θ表示椅子的位臵，用θ的两个函数表示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转90︒并不是本质的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形.长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗？【问题提出】日常生活中有这样的现象：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，一般都可以使四只脚同时着地．试从数学的角度加以解释．【模型假设】为了明确问题，对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下，作出如下假设：（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件．（3）椅子在任何位臵至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的．【建立模型】在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．首先，引入合适的变量来表示椅子位臵的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O 旋转，这可以表示椅子位臵的改变。