椅子放稳模型

数学建模部分课后习题解答1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？ 解：模型假设（1） 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形 （2） 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即从数学角度来看，地面是连续曲面。

这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件（3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。

为了保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。

因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。

模型建立在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。

首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。

生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。

然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。

于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。

注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。

把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。

于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。

为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。

设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC 所在的直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系。

椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角）0（πθθ≤≤表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置。

其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。

当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。

由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。

由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数，而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。

1 椅子能在不平的地面上放稳得问题的拓展.模型假设对椅子和地面应该作一些必要的假设:1.椅子的四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点。

四脚的连线呈长方形。

2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，即地面可视为数学上连续曲面。

3.对于脚的间距和椅腿的长度而言，地面时相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三个脚同时着地。

模型构成中心问题是用数学语言把椅子的四只脚同时着地的条件和结论表示出来。

首先要用变量把椅子的位置，注意到椅脚连线呈长方形。

以中心为对称点，长方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是因此可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置。

在图中椅线B’D’与X轴重合，椅子绕中心点O轴旋转角度θ后。

长方形A’B’C’D’转至ABCD位置。

用θ(对角线与x 轴的夹角)表示椅子位置，椅脚与地面距离为θ的函数.A,C 两脚与地面距离之和 ~ f (θ,),B,D 两脚与地面距离之和 ~ g (θ)地面为连续曲面 F (θ) , g (θ)是连续数.椅子在任意位置至少三只脚着地.对任意θ, f (θ ),g (θ )至少一个为0.已知： f (θ ) , g (θ )是连续函数 ;对任意θ， f (θ)• g (θ )=0 ;且g (0)=0， f(0) > 0.证明：存在θ0，使 f (θ0) = g (θ0) = 0.模型求解证明；设长方形的长为a ,宽为b。

将椅子旋转θ=2arctanb/a，对角线AC取代BD的位置。

由g(0)=0，f(0) > 0 ，知f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )>0.或,g（2arctanb/a )=0（1）f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )=0,桌子能放平衡。

（2）f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )>0令h(θ)= f(θ)–g(θ), 则h(0)>0和h(2arctanb/a)<0.由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在θ0 , 使h(θ0)=0, 即f(θ0) = g(θ0) .因为f(θ) • g(θ)=0, 所以f(θ0) = g(θ0) = 0.第一题一根1米长的水平弹性绳子，存在A端和B端。

12110224135 12物本 张威明
椅子能在不平的地面上放稳吗？
问题分析：三只脚着地，放稳 四只脚着地
模型假设：四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。

模型改造：四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈长方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。

模型求解：
设A ，B 与地面的距离之和为)(x f ，C,D 与地面的距离之和为)(x g 。

设0)0(=f ，则)(x g =b>0.
设)()()(x g x f x F -=。

当x=0时，)()()0(x g x f F -=<0;
当A,B,C,D 旋转π时，0)0()(>==b g f π，0)(=πg 。

当x=π时，0)()()(>-=πππg f F 。

所以，)(x F 在（0，π）内，必存在δ，使得)(x F =0.，即)()(δδg f =
又因为任意时刻，必有3只脚着地，所以)(x f 或)(x g 在任意时刻，总有一个为0。

所以存在)()(δδg f ==0，使得椅子的四只脚同时着地，使得椅子平衡。

长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗？模型假设为了明确问题，对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下，作出如下假设：（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断．（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．建立模型椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。

于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题．如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置．设A、C两脚与地面竖直距离之和为f（θ），B、D两脚与地面竖直距离之和为g（θ），其中θ∈[0，π]，从而将原问题数学化。

数学模型：已知f（θ）和g（θ）是θ的非负连续函数，对任意θ，f （θ）•g(θ)＝0，证明：存在θ0∈[0，π]，使得f（θ0）＝g（θ0）＝0成立。

求解模型如果f（0）＝g（0）＝0，那么结论成立。

如果f（0）与g（0）不同时为零，不妨设f（0）＞0，g（0）＝0。

这时，将长方形ABCD绕点O逆时针旋转角度π后，点A，B分别与C，D互换，但长方形ABCD在地面上所处的位置不变，由此可知，f（π）＝g（0），g（π）＝f （0）.而由f（0）＞0，g（0）＝0，得g（π）＞0， f（π）＝0。

令h（θ）＝f(θ)－g（θ），由f(θ)和g(θ)的连续性知h(θ)也是连续函数。

又h（0）＝f(0)－g（0）＞0，h（π）＝f(π)－g（π）＜0，,根据连续函数介值定理，必存在θ0∈（0，π）使得h（θ0）＝0，即f（θ0）＝g（θ0）；又因为f（θ0）•g（θ0）＝0，所以f（θ0）＝g（θ0）＝0。

（显示模子函数的结构进程）
在上述假设下,解决问题的症结在于选择适合的变量,把椅子四只脚同时着地暗示出来．
起首,引入适合的变量来暗示椅子地位的挪动．生涯经验告知我们,要把椅子经由过程挪动放稳,平日有拖动或迁移转变椅子两种办法,也就是数学上所说的平移与扭改变换．然而,平移椅子后问题的前提没有产生本质变更,所以用平移的办法是不克不及解决问题的．于是可测验测验将椅子当场扭转,并试图在扭转进程中找到一种椅子能放稳的情况．
留意到椅脚连线呈长方形,长方形是中间对称图形,绕它的对称中间扭转180度后,椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中间O扭转,这可以暗示椅子地位的改变.于是,扭转角度θ这一变量就暗示了椅子的地位．为此,在平面上树立直角坐标系来解决问题．
如下图所示,设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC地点的直线为x轴,对称中间O为原点,树立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针偏向扭转角度θ后,长方形ABCD转至A1B1C1D1 的地位,如许就可以用扭转角θ（0≤θ≤π）暗示出椅子绕点O扭转θ后的地位．
其次,把椅脚是否着地用数学情势暗示出来．
我们知道,当椅脚与地面的竖直距离为零时,椅脚就着地了,而当这个距离大于零时,椅脚不着地．因为椅子在不合的地位是θ的函数,是以,椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数．
因为椅子有四只脚,因而椅脚与地面的竖直距离有四个,它们都是θ的函数．而由假设(3)可知,椅子在任何地位至少有三只脚同时着地,即这四个函数对于随意率性的θ,其函数值至少有三个同时为0．是以,只需引入两个距离函数即可．斟酌到长方形ABCD是中间对称图形,绕其对称中间 O沿逆时针偏向扭转180°后,长方形地位不变,但A,C和B,D对调了．是以,记。

数学的实践与认识MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY1999　Vol.29　No.3 P.62-65在不平地面上把椅子放稳的充分必要条件赵彦晖摘　要：把椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地、放稳.本文指出，当且仅当椅子的四脚共圆时，才能在一般不平的地面上放稳，并对此建立了数学模型，给出了理论上的证明.关键词：椅子：不平地面；放稳；充分必要条件；数学模型The Sufficient and Necessary Condition toMake a Chair Steady on Uneven GroundZhao Yanhui(Xi′an Univ. of Arch. & Tech., Xi′an　710055)Abstract：Under normal conditions, it is impossible to make a chair Steady on uneven ground. In this paper, a mathematical model on this question is established, and it is proved that a sufficient and necessary conditon to make the chair Steady on uneven ground is four feet of the chair is on the common circle. Keywords：Chair, Uneven Ground, Stendy, Sufficient and Necessary Condition, Mathematical Model▲ 在不平的地面上能否把椅子放稳问题已在文［1］、［2］中作过介绍，但这些文献中都只就四脚连线呈正方形(或长方形)的椅子进行讨论.众所周知，我们日常生活中所遇到的椅子大都是四脚连线呈等腰梯形的椅子，那么，对这样的椅子甚至四脚连线为任意四边形的椅子是否也能在不平的地面上放稳?文［1］、［2］中并未讨论，也没有作出任何结论.对此，本文进行了全面的讨论，给出了完整的结论，使问题得到了圆满的解决.1　模型假设 首先讨论四脚共圆的椅子，对此，我们作如下的必要假设： 假设1　椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，椅子四脚连线为圆内接四边形　即椅子四个脚共面且共圆. 假设2　地面高度是连续变化的，即地面可视为数学上的连续曲面. 假设3　对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地. 上述假设显然是合理的［1］.2　模型建立 将椅子放在地面上任一位置，并使至少三只脚同时着地.这时以椅子四脚共圆的圆心O为原点，四脚所在的平面为xoy坐标面，并使椅脚之一(如椅脚A)在x轴的正半轴上建立平面坐标系，如图1.图1 由假设1，椅子四脚A、B、C、D共圆，设其圆的半径为R，则这四点必在圆周x2+y2=R2 (1)上，且各点的坐标分别为A(R，0)，B(Rcosθ1，Rsinθ1),C(Rcosθ2,Rsinθ2),D(Rcosθ3,Rsinθ3)，其中θ1,θ2,θ3分别为OB、OC、OD与OA的夹角.显然，这三个夹角应满足条件0＜θ1＜θ2＜θ3＜2π (2) 如果让椅子绕O点转动，则A、B、C、D四点将同时绕O点转动，并且转过同样的角度.设转过的角度为θ(取逆时针方向为正)，则转动后A、B、C、D四点对应的坐标分别为见图2.这样，参数θ就决定了椅子的位置.图2 由假设2，地面可视为数学上的连续曲面，因此，如果取过原点O，垂直于上述xoy面向上的轴为oz轴，则在如此选取的oxyz空间直角坐标系下，地面的方程便可写成z=f(x,y) (4)其中f(x,y)是x,y的二元连续函数.特别地，在圆周(1)上，z必为极角θ的以2π为周期的单值连续函数z=φ(θ) (5)于是，在空间直角坐标系下，地面上与(3)中A′,B′,C′,D′对应的点分别为 由假设3，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.这样，改变椅子位置(即让椅子绕O点转动)能否使四脚同时着地的问题就归结为求解是否存在θ∈[0,2π]使(6)中A"、B"、C"、D"四点共面.这就是我们对该问题建立的数学模型.3　模型求解 上面所建立的数学模型即证明下面的定理 定理1　设φ(θ)是以2π为周期的连续函数，R＞0，θ1,θ2,θ3是满足不等式(2)的任意常数，则一定存在θ0∈[0,2π]，使当θ=θ0时(6)中A",B",C",D"四点共面. 证　A",B",C",D"四点共面的充要条件是 (7)记，则直接计算可知将F(θ)在[0,2π]上积分，注意到φ(θ)是以2π为周期的连续函数，R,θ1,θ2,θ3均为常数，则立可得出于是，由积分中值定理知，存在θ0∈[0,2π]，使这说明，当θ=θ0时(7)式成立.从而，当θ=θ0时(6)中A",B",C",D"四点共面. 定理1说明，对四脚共圆的椅子，在不平的地面上，总可以经适当旋转把椅子放稳.4　放稳椅子的充要条件 前面，我们对四脚共圆的椅子进行了讨论，并建立了数学模型.那么，对四脚不共圆的椅子是否也能在一般不平的地面上放稳呢?回答是否定的，其反例如下： 例　设椅子的四脚共面但不共圆，地面为半径充分大的球面，则这样的椅子在相应的地面上总放不稳. 证　(用反证法)　假设在这样的球面上存在四点A、B、C、D使椅子的四脚在这四点同时着地，则这四点必共面，即在同一平面上.从而，这四点必在此平面与球面的交圆上，亦即，这四点必共圆.这就与椅子四脚不共圆矛盾，这个矛盾说明假设错而该例的结论真. 此例说明，当椅子四条腿一样长但四脚不共圆时，无论怎么放，也不可能在球面型的地面上放稳.而由前三部分所建立的数学模型及讨论说明，当椅子四条腿一样长且四脚共圆时，对任意的连续平坦地面，无论在何处，都可以经适当旋转把椅子放稳.这样，我们就证明了下面的结论： 定理2　在不平的地面上把椅子放稳的充分必要条件是椅子的四脚共圆.5　模型应用 椅子问题虽然是日常生活中一件非常普通的事，但在上段就一般椅子给出的结论对实践却有指导性的意义.通常，在制作椅子时，我们事先并不知道要把椅子放在什么样的地面上，因此，我们无法也不可能对地面提出任何要求，但为了保证椅子将来能在任何连续平坦的地面上放稳，我们可对椅子的设计提出一定的要求，这个要求就是，必须且只需把椅子做成四脚共圆或四脚连线呈圆内接四边形的形式.这也正好说明我们的祖先为什么都把椅子做成了正方形，长方形和等腰梯型，其原因就是它们都是圆内接四边形，这样的椅子能放稳. 当然，上述结论不只是对制作椅子有用，而对四脚共面的所有物体，如桌子，家用电器，甚至送上月球的四脚机器或设备等，都有设计方面的应用价值.■作者单位：赵彦晖(西安建筑科技大学，西安，710055)参考文献：［1］姜启源、数学模型，第二版，高等教育出版社，1993：8-11.［2］W.F.Lucas:Discrete and System Models.Springer-Verlay,1983收稿日期：1998-7-20在不平地面上把椅子放稳的充分必要条件作者：赵彦晖， Zhao Yanhui作者单位：西安建筑科技大学,西安,710055刊名：数学的实践与认识英文刊名：MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY年，卷(期)：1999，29(3)被引用次数：0次1.姜启源数学模型 19932.W F Lucas Discrete and System Models 1983本文链接：/Periodical_sxdsjyrs199903014.aspx授权使用：东北师范大学图书馆(dbsdt)，授权号：d07db1fe-35e1-4bd7-bb46-9df1010755d9下载时间：2010年9月14日。

椅子能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。

下面用数学语言证明。

一、 模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设：1、 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形。

2、 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。

3、 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。

二、模型建立中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论。

首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度θ这一变量来表示椅子的位置。

其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了。

椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数。

由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A 、C 两脚与地面距离之和为()θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为()θg ，显然()θf 、()0≥θg ，由假设2知f 、g 都是连续函数，再由假设3知()θf 、()θg 至少有一个为0。

当0=θ时，不妨设()()0,0>=θθf g ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：命题 已知()θf 、()θg 是θ的连续函数，对任意θ，()θf *()θg =0，且()()00,00>=f g ，则存在0θ，使()()000==θθf g 。

三、模型求解将椅子旋转090，对角线AC 和BD 互换，由()()00,00>=f g 可知()()02,02=>ππf g 。

令()()()h f g θθθ=-，则()()02,00<>πh h ，由f 、g的连续性知h 也是连续函数，由零点定理，必存在()2000πθθ<<使()00=θh ，()()00θθf g =，由()()0*00=θθf g ，所以()()000==θθf g 。

目录摘要： (1)关键词: (1)Abstract : (1)Key word s: (1)前言 (1)1.椅子四脚连线为正方形的模型 (1)1.1 模型假设 (2)1.2 模型建立. (2)1.3 模型求解. (3)2、椅脚连线为长方形的情形 (3)2.1模型建立 (3)2.2模型求解. (4)3、椅脚连线为等腰梯形的情形 (4)4、椅脚连线为一般四边形的情形 (5)5、在不平地面上把椅子放稳的充分必要条件 (7)5.1模型建立 (7)5.2 模型求解 (8)5.3 放稳椅子的充要条件 (9)总结 (9)参考文献: (11)在不平的地面上把椅子放稳的充要条件摘要：把椅子放在不平的地面上,通常只有三只脚着地,放不稳然而只需稍挪动几次,就可以使四脚同时着地、放稳.文指出,当且仅当椅子的四脚共圆时,才能在一般不平的地面上放稳并对此建立了数学模型,给出了理论上的证明关键词: 椅子；不平地面；放稳；充分必要条件；数学模型The Sufficient and Necessary Conduction to Make a ChairSteady on Uneven GroundAbstract : Under normal conditions, it is impossible to make a chair Steady on uneven ground. In this paper, a mathematical model on this question is established, and it is proved that a sufficient and necessary conduction to make the chair Steady on uneven ground is four feet of the chair is on the common circle.Key words:前言在凸凹不平的地面上,很难一次将四条腿椅子放稳,但在任何位置,四条腿椅子至少有三条腿着地,然而将四条腿椅子旋转调整几次,就可以使其放稳.1.椅子四脚连线为正方形的模型为了比较彻底地解决这个问题,我们先从一种特殊的情形入手,假设椅子的四脚连线呈正方形.注意到椅脚连线是正方形,正方形绕它的中心旋转表示了椅子的位置改变.因此 ,可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置.椅子位于不同的位置 ,椅脚与地面之间的距离就不同 ,所以这个距离可以是旋转角度的函数.1.1 模型假设.(1)、 椅子四条腿一样长 ,即这样椅子绕中心旋转时 ,仅与旋转角有关 ,而不会因四条腿不一样长 ,而与椅腿有关 ,四只脚与地面接触处可视为一个点.(2)、 地面的高度是连续变化的 ,即为连续曲面 ,这样就不会出现台阶式地面.(3)、 对于椅子腿的长度和椅子脚之间的距离而言 ,地面是相对平坦的 ,也就是说 ,椅子在任何位置至少有三只脚可以同时着地.1.2 模型建立.现在根据模型假设 ,来建立数学模型.如图1 所示 , 图1ABCD 为椅子的初始位置 ,中心是O 点 ,''''A B C D 为椅子绕O 点旋转θ角后的位置 ,即''AC 与x 轴夹角为θ,记A ,C 两脚与地面距离之和为()f θ,BD 两脚与地面距离之和为 ()g θ .由假设 ,地面为连续曲面 ,则()f θ和()g θ 都是θ的连续函数 ,并且()0f θ≥,()0g θ≥,由于任何位置至少有三只脚着地 ,即对任意的θ,()f θ 和()g θ至少有一个为0 ,因此 ,恒有()()0f g θθ⋅=,不妨设当0θ=时,()0g θ= , ()0f θ≥.当椅子旋转2π时,只是AC 与BD 二位置互换 ,也就是AC 连线与BD 连线互换.这样当2πθ=时,有()0f θ=,()0g θ≥ .于是四条腿椅子放稳问题就成了数学问题.建立模型如下:已知()f θ,()g θ为连续函数 ,且对于任意的θ,恒有()()0f g θθ⋅=,并且当0θ=时,()0g θ=,()0f θ≥；当2πθ=时,()0f θ=,()0g θ≥.求证:存在0θ,使()00()0f g θθ== . 1.3 模型求解.引理:若函数()h x 在闭区间[]a b ，上连续 ,且()()0h a h b ⋅< (即()h a 与()h b 异号) ,则在区间(,)a b 至少存在一点ξ,使()0f ξ=.令()()()h f g θθθ=-则(0)0h ≥,()02h π≤因为()f θ,()g θ是连续函数 ,所以()h θ是连续函数 ,由引理知 ,必存在0θ,002πθ<<,使 0()0h θ=,即00()()0f g θθ-=又因为恒有()()0f g θθ⋅=,所以()00()0f g θθ⋅=,从而0()f θ和0()g θ 必有一个为零 ,于是00()()0f g θθ==,这就说明 ,存在0θ 方向 ,椅子的四条腿同时着地. 2、 椅脚连线为长方形的情形2.1模型建立当问题为稍一般情形 ,即椅子四脚连线呈长形时 ,借鉴上面问题的解决方法 ,也是建立椅脚与地面距离和旋转角度的函数关系 ,只是在处理问题的技巧上有一些变化 ,简述如下:如图2所示,ABCD 为椅子初始位置 ,CDAB 为椅子绕O 点旋转180角的位置 ,记 AD 两脚与地面距离之和为()f θ,BC 两脚与地面距离之和为()g θ,则由于椅子必有三条腿同时着地 ,所以必有两条相邻的椅脚同时着地 ,亦即对任意的旋转角,()f θ和()g θ少有一个为0 ,因此恒有:()()0f g θθ⋅=,不妨设当0θ=时()0g θ=,()0f θ≥.图2当椅子旋转180时,AD 与BC 位置互换 ,这样 ,当θπ=时 ,有()0f θ=()0g θ≥,此模型如下:已知()f θ,()g θ为连续函数 ,且对于任意的θ,恒有()()0f g θθ⋅= ,并且当0θ=时,()0g θ=,()0f θ≥；当θπ=时,()0f θ=()0g θ≥.求证存在0θ ,使 00()()0f g θθ==2.2模型求解.令()()()h f g θθθ=-则(0)0h ≥,()02h π≤因为()f θ,()g θ是连续函数 ,所以 ()h θ 是连续函数 ,由引理知 ,必存在0θ,00θπ<<,使0()0h θ= ,即 00()()0f g θθ-=又因为恒有()()0f g θθ⋅=,所以()00()0f g θθ⋅=,从而0()f θ和0()g θ必有一个为零 ,于是00()()0f g θθ==,这就说明 ,存在0θ方向 ,椅子的四条腿同时着地 3、椅脚连线为等腰梯形的情形对于四脚呈等腰梯形的椅子情况,也可用零点存在定理解释.模型的假设与上面的类似:同样, 如果某个位置表示椅脚与地面的竖直距离,那么这个距离为零时就是椅脚着地了,椅子在不同位置时椅脚与地面的距离不同,所以这个距离也是椅子位置变量θ的函数.如图 3 所示,AC 两脚与地面的距离和为()f θ,BD 两脚与地面的距离和为()g θ,在任何情况下至少三脚着地, 即()f θ,()g θ至少有一个为0, 并且()0f θ≥, ()0g θ≥.当 0θ=时,不妨设()0g θ=,()0f θ≥,图3以对角钱AC 、BD 的交点O 为中心, 旋转α, 使AC 与原来的BD 重合,此时不考BD 所处的位置,则AC 边所对应的函数值由原来的()0f θ>变为()0f θ=,故()0f α=.构造辅助函数()()()h f g θθθ=-,则(0)(0)(0)(0)0h f g f =-=>；()()()(0)0h f g f ααα=-=<由连续函数的零点存在定理可知:(0,)α之间一正一负,至少有一个1θ, 11()()0f g θθ-=.在任何情况下至少三脚着地,即()f θ、()g θ至少有一个为0,故11()()0f g θθ==. 所以,也存在一个适当角度能使四脚连线呈等腰梯形的椅子平稳.4、椅脚连线为一般四边形的情形分析 首先,椅子绕中心轴旋转一周.显然的,椅子与地面的接触点组成了三维空间中的一条封闭曲线.下面主要考虑这条封闭曲线的性质.其次, 选择一个水平面, 那么曲线中的每一个点与水平面都有一个距离, 并且这个距离是椅子位置变量θ的连续函数. 如图4所示, 记封闭曲线上关于中心轴对称的A 、C 两点与水平面的距离之和为()f θ, 而对称的B 、D 两点与水平面的距离之和为()()g f θθα=+. 由于假设2知, ()f θ和()g θ都是连续函数.显然,四只脚同时着地也就是两个距离和相等.最后,把四只椅子四脚同时着地的问题归结为如下的数学问题：已知()f θ和()g θ是θ的周期为2π连续函数,对于任意的[]02θπ∈，,()()g f θθα=+ 证明:存在0θ,使得00()()0f g θθ==.证明 构造函数()()()=()()h f g f f θθθθθα=--+,显然()h θ连续.()f θ是θ的周期为2π连续函数,那么根据闭区间连续函数最值的性质,存在1θ、2θ, 使1()max{()|[02]}f f x x θπ=∈，,2()min{()|[02]}f f x x θπ=∈，. 那么1()0h θ≥,2()0h θ≤如果两个不等式有一个等号成立,那么问题得证; 否则1()0h θ>、2()0h θ<. 根据连续函数的零点定理, 存在0θ, 使0()0h θ=,即00()()0f g θθ==.图4图5对于一般的四边形如何考察呢？显然,可以在一个封闭曲面上考察的. 如图5所示, 让A 、C 两点保持定长在封闭曲面上移动,E 点与水平面的距离是一个双变量的连续函数(,)f x y ; 让B 、D 两点保持定长在封闭曲面上移动,E 点与水平面的距离是一个双变量的连续函数(,)g x y .具体结论如下:在封闭曲面Ω上,在保长度的移动过程中,线段AC 中的E 点与水平面的距离是一个双变量的连续函数(,)f x y 可以取到最大值M 和最小值m ,线段BD 中的E 点与水平面的距离是一个双变量的连续函数(,)g x y 可以取到最大值'M 和最小值'm .如果''>M M m m >>, 那么一定存在一点00(,)x y ,使得0000(,)(,)f x y g x y =, 即椅子可以放平.5、在不平地面上把椅子放稳的充分必要条件在以上的讨论叙述中,从特殊到一般我们说明了椅子在地面可以放稳的情况,但最一般的情况是什么呢?接下来我们就探讨这个问题,找出椅子要在不平的地面放稳的充要条件.在上述的假设的基础上我们添加条件:椅子四脚连线为圆内接四边形,即椅子四个脚共面且共圆:5.1模型建立将椅子放在地面上任一位置,并使至少三只脚同时着地,这时以椅子四脚共圆的圆心为原点,四脚所在的平面为坐标面 ,并使椅脚之一 (如椅脚A )在x 轴的正半轴上建立平面坐标系,如图6由假设,椅子四脚A 、B 、C 、D 共圆,设其圆的半径为R ,则这四点必在圆周222x y R += (1)上,且各点的坐标分别为(,0)A R 11(cos ,sin )B R R θθ,22(cos ,sin )C R R θθ, 33(cos ,sin )D R R θθ,其中1θ,2θ,3θ分别为OB 、OC 、OD 与OA 的夹角. 显然, 这三个夹角应满足条件12302θθθπ<<<< (2)如果让椅子绕O 点转动,则A 、B 、C 、D 四点将同时绕O 点转动,并且转过同样的角度.设转过的角度为θ(取逆时针方向为正) ,则转动后A 、B 、C 、D 四点对应的坐标分别为'(cos ,sin )A R R θθ,'11(cos(),sin())B R R θθθθ++,'22(cos(),sin())C R R θθθθ++,'33(cos(),sin())D R R θθθθ++ (3)见图7 这样 , 参数 就决定了椅子的位置 图6 图7 由假设2, 地面可视为数学上的连续曲面 ,因此 ,如果取过原点O 垂直于上述xoy 面向上的轴为oz 轴,则在如此选取的oxyz 空间直角坐标系下,地面的方程便可写成(,)z f x y = (4)其中(,)f x y 是,x y 的二元连续函数.特别地,在圆周(1)上, z 必为极角θ的以2π为周期的单值连续函数()z ϕθ= (5)于是在空间直角坐标系下,地面上与(3)中'A ,'B ,'C ,'D 对应的点分别为 "(cos ,sin ,())A R R θθϕθ"111(cos(),sin(),())B R R θθθθϕθθ+++"222(cos(),sin(),())C R R θθθθϕθθ+++"333(cos(),sin(),())D R R θθθθϕθθ+++由假设3 ,地面是相对平坦的 ,使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.这样,改变椅子位置(即让椅子绕O 点转动)能否使四脚同时着地的问题就归结为求解是否存在[]0,2θπ∈使上"A 、"B 、"C 、"D 四点共面,这就是我们对该问题建立的数学模型.5.2 模型求解上面所建立的数学模型即有下面的定理定理1 设()ϕθ是以2π为周期的连续函数, 0R >是满足不等式(2)的任意常数则一定存在[]00,2θπ∈,使当0θθ=时"A 、"B 、"C 、"D 四点共面定理1说明,四脚共圆的椅子,在不平的地面上总可以经适当旋转把椅子放稳.5.3 放稳椅子的充要条件前面,我们对四脚共圆的椅子进行了讨论,并建立 了数学模型.那么,对四脚不共圆的椅子是否也能在一般不平的地面上放稳呢?回答是否定的,其反例如下:例 设椅子的四脚共面但不共圆,地面为半径充分大的球面,则这样的椅子在相应的地面上总使放不稳.证 用反证法 假设在这样的球面上存在四点A 、B 、C 、D 使椅子的四脚在这四点同时着地,则这四点必共面,即在 同一平面上.从而,这四点必在此平面与球面的交圆上,亦即,这四点必共圆.这就与椅子四脚不共圆矛盾,这个矛盾说明假设错而该例的结论真.此例说明,当椅子四条腿一样长但四脚不共圆时,无论怎么放也不可能在球面型的地面上放稳.而由前几部分所建立的数学模型及讨论说明,当椅子四条腿一样长且四脚共圆时,对任意的连续平坦地面,无论在何处,都可以经适 当旋转把椅子放稳.这样,我们就证明了下面的结论:定理2 在不平的地面上把椅子放稳的充分必要条件是椅子的四脚共圆. 总结椅子问题虽然是日常生活 中一件非常普通的事,但在上段就一般椅子给出的结论对实践却有指导性的意义.通常,在制作椅子时,我们事先并不知道要把椅子放在什么样的地面上,因此,我们无法也不可能对地面提出任何要求,但为了保证椅子将来能在任何连续平坦的地面上放稳,我们可对椅子的设计提出一定的要求,这个要求就是,必须且只需把椅子做成四脚共圆或四脚连线呈圆内接四边形的形式.这也正好说明我们的祖先为什么都把椅子做成了正方形,长方形和等腰梯型,其原因就是它们都是圆内接四边形,这样的椅子能放稳.当然 ,上述结论不只是对制作椅子有用 ,而对四脚共面的所有物体,如桌子,家用电器,甚至送上月球的四脚机器或设备等,都有设计方面的应用价值.参考文献:[1] 邹云. 关于“稳定的椅子”模型问题[J]. 应用数学, 1990,(04)[2] 王文武. 椅子在不平的地面放平模型. 西南民族大学学报(自然科学版), 2010年03期[3] 陈雪梨. 椅子放稳问题另解. 湖州职业技术学院学报, 2008年03期[4] 李亮. 许宏伟; 王建军; 椅子放稳问题中的数学探究. 黑龙江科技信息, 2009年17期[5] 王焕许. 四条腿椅子能在不平地面放稳的数学模型. 绥化学院学报, 2005年03期[6] 赵彦晖. 平地面上把椅子放稳的充分必要条件. 数学的实践与认识, 1999年03期[7] 姜启源等。

一、把椅子往地面一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地放稳了，就四脚连线成长方形的情形建模并加以说明。

（15分） 解：一、模型假设：1. 椅子四只脚一样长，椅脚与地面的接触可以看作一个点，四脚连线呈长方形。

2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，地面可以看成一张光滑曲面。

3. 地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。

（3分） 二、建立模型：以初始位置的中位线为坐标轴建立直角坐标系，用θ表示椅子绕中心O 旋转的角度，椅子的位置可以用θ确定：()f θ记为A 、B 两点与地面的距离之和 ()g θ记为C 、D 两点与地面的距离之和由假设3可得，()f θ、()g θ中至少有一个为0。

由假设2知()f θ、()g θ是θ的连续函数。

（3分） 问题归结为：已知()f θ和()g θ是θ的连续函数，对任意θ，()()0f g θθ=，且设()()00,00g f =>。

证明存在0θ， 使得()()000f g θθ== （3分） 三、模型求解： 令()()()h f θθθ=－g 若()()000f g =，结论成立若()()000f g 、不同时为，不妨设()()00,00g f =>，椅子旋转()180π或后，AB 与CD 互换，即()()0,0g f ππ>=，则()(0)0,0h h π><。

（3分）由f g 和的连续性知h 也是连续函数。

根据连续函数的基本性质，必存在()000θθπ<<使000()0,()()h f g θθθ==即。

最后，因为00()()0f g θθ=，所以00()()0f g θθ==。

（3分）图 5二、给出7支队参加比赛的循环比赛赛程安排，要求各参赛队的每两场比赛之间的休息场次尽可能均衡，并列出表格说明。

解：设(1,2,7)i A i =表示7支参赛队。

【选修建模的⼩练习】长⽅形椅⼦的稳定性探究⼀.问题椅⼦四条腿的椅脚连线呈长⽅形能在不平的地⾯上放稳吗？⼆.问题分析经过分析，可以⽤变量表⽰椅⼦的位置，⽤函数表⽰椅⼦四脚与地⾯的距离，进⽽⽤数学语⾔把模型假设和椅脚同时着地表达出来.三模型假设（1）椅⼦四条腿⼀样长，椅脚与地⾯接触处视为⼀点，四脚的连线呈长⽅形．（2）地⾯⾼度是连续变化的，沿周围任意⽅向都不会出现间断 (⾼度突变)，即地⾯是连续曲⾯．这个假设相当于给出了椅⼦能放稳的必要条件．（3）椅⼦在任何位置⾄少有三只脚同时着地．为保证这⼀点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度⽽⾔，地⾯是相对平坦的．因为在地⾯上与椅脚间距和椅腿长度的尺⼨⼤⼩相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是⽆法同时着地的．四、模型建⽴综上可知，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅⼦四只脚同时着地表⽰出来．⾸先，引⼊合适的变量表⽰椅⼦位置的平移或旋转变换．其实平移椅⼦后问题的参数没有发⽣本质变化，所以将椅⼦就地旋转，找到椅⼦能放稳的条件．注意到椅脚连线呈长⽅形，是中⼼对称图形，绕它的对称中⼼旋转180度后，椅⼦仍在原地．把长⽅形绕它的对称中⼼O旋转，这可以表⽰椅⼦位置的改变。

于是，旋转⾓度θ这⼀变量就表⽰了椅⼦的位置．建⽴直⾓坐标系来解决问题．如下图所⽰，设椅脚连线为长⽅形ABCD，以对⾓线AC所在的直线为x轴，对称中⼼O为原点，建⽴平⾯直⾓坐标系．椅⼦绕O点沿逆时针⽅向旋转⾓度θ后，长⽅形ABCD转⾄A’B’C’D’的位置，这样就可以⽤旋转⾓θ（0≤θ≤π）表⽰出椅⼦绕点O旋转θ后的位置．其次，把椅脚是否着地⽤数学形式表⽰出来．我们知道，当椅脚与地⾯的竖直距离为零时，椅脚就着地了，⽽当这个距离⼤于零时，椅脚不着地．由于椅⼦在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地⾯的竖直距离也是θ的函数．因为椅⼦四只脚与地⾯的竖直距离有四个θ相关的函数．⽽由假设(3)可知，椅⼦在任何位置⾄少有三只脚同时着地，即这四个函数函数值对于任意⾓度θ⾄少有三个同时为0．因此，只需引⼊两个距离函数即可．考虑到长⽅形ABCD是中⼼对称图形，绕其对称中⼼O沿逆时针⽅向旋转180°后，长⽅形位置不变，但A,C和B,D对换了．因此，记 A、B两脚与地⾯竖直距离之和为f（θ），C、D两脚与地⾯竖直距离之和为g（θ），其中θ∈[0，π]，从⽽将原问题数学化。