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课题：3.1.2用二分法求方程的近似解一、三维目标：知识与技能: 能够借助计算器用二分法求方程的近似解，了解二分法是求方程近似解的常用方法；理解二分法的步骤与思想。
过程与方法：了解用二分法求方程的近似解的特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想。
情感态度与价值观: 回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历史，激发学习的热情和学习的兴趣。
二、学习重、难点：用二分法求方程的近似解。
三、学法指导：认真阅读教材P89—90，了解用二分法求方程近似解的步骤与思想。
四、知识链接：1函数零点的概念：2．等价关系：方程f(x)＝0 ⇔函数y＝f(x)的图象⇔函数y＝f(x)3．函数零点存在定理：4.30枚硬币中含有一枚质量稍轻的假币，用天平最少需几次称量才能将假币区分出来？（请写出具体过程）五、学习过程：今天想同大家一起探讨一个熟悉的问题——解方程．请学生们思考下面的问题：能否求解下列方程：（1）x2-2x-1=0；（2）lg x=3-x；（3）x3-3x-1=0。
实际工作中求方程的近似值往往有更大的实用价值，学完本节课，你将对如何求一元方程的近似解有新的收获。
认真阅读P89—90页，回答下面问题：1、什么叫做二分法：2、用二分法可求所有函数零点的近似值吗？利用二分法求函数零点必须满足什么条件？A例1、下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是 ( )注：(1)准确理解“二分法”的含义：二分就是平均分成两部分；二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点。
(2)“二分法”与判定函数零点的定理密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点。
3．给定精确度ε，用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下：(1)确定 ，验证 ，给定 ； (2)求区间 ；(3)计算 ；①若 ，则c 就是函数的零点；②若 ，则令 (此时零点x 0∈(a ，c ))；③若 ，则令 (此时零点x 0∈(c ，b ))。
4.5.2用二分法求方程的近似解一、学习目标1、用二分法求方程的近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性；2、通过二分法体会“逐步逼近”的思想．二、知识梳理（复习导入）零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．（新授探究）探究1：我们已经知道，函数f(x)=lnx+2x−6在区间(2,3)内存在一个零点.进一步的问题是，如何求出这个零点呢？对于区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.注：判断一个函数能否用二分法的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点的近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.探究2：给定精确度ε，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：1.确定零点x0初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0.2.求区间(a,b)的中点c.3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：(1)若f(c)=0(此时x0=c)，则c就是函数的零点；(2)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c))，则令b=c；(3)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b))，则令a=c.4.判断是否达到精确度ε：若|a−b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4.由函数零点与相应方程解的关系，我们可用二分法来求方程的近似解. 【概念辨析】“精确到”与“精确度”(1)精确度：近似数的误差不超过某个数，就说它的精确度是多少，即设x为准确值，x′为x的一个近似值，若|x′－x|<ε，则x′是精确度为ε的x的一个近似值．用二分法求方程的近似解时，只要根的存在区间(a，b)满足|a－b|<ε，两端点或区间内的任意一个数均可作为方程的近似解．(2)精确到：按四舍五入的原则得到准确值x的前几位近似值x′，x′的最后一位有效数字在某一数位，就说精确到某一数位．如：π＝3.141 592 6…，若取3位有效数字，则x′≈3.14，精确到0.01(即百分位)；若取5位有效数字，则x′≈3.141 6，精确到0.000 1(即万分位)．（典例剖析）例1用二分法求方程x3+x−3=0的一个正实数近似解(精确度0.1)例2.下图4个函数的图象的零点不能用二分法求近似值的是（）.A B C D（课堂小结）(1)二分法的概念；(2)用二分法求函数零点近似值的步骤.。
《§3.1.2用二分法求方程的近似解》导学案高一数学组编写人：刘慧影审核人：房淑萍使用日期：【学习目标】：1.根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；2.通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.【学习重、难点】学习重点:：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。
学习难点：为何由I a — b丨＜£便可判断零点的近似值为3(或b)?【学法指导及要求】：1、认真研读教材P89-P9I页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，做好记号；2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理到解错题本上，多复习记忆。
【知识链接】1：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？(1)对于函数y = /(x),我们把使__________ 的实数兀叫做函数y = /(x)的零点.(2)方程/(x) = 0有实数根o函数y = /(x)的图象与x轴________________________ o函数y = /⑴ ___________ •(3)如果函数)u /(x)在区间［a,b］上的图彖是连续不断的一条曲线，并且有______________ ，那么，函数y = /O)在区间(“)内有零点.【学习过程】%1.自主学习探究任务：二分法的思想及步骤问题：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好.解法：第一次，两端各放______ 个球，低的那一端一定有重球；第二次，两端各放________个球，低的那一端一定有重球；第三次，两端各放______ 个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.%1.合作探讨思考：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求)=lnx + 2x-6的零点所在区间？如何找出这个零点？一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。
§3.1.2用二分法求方程的近似解一、教学目标1．知识与技能（1）解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；（2）体会程序化解决问题的思想，为算法的学习作准备。
2．过程与方法（1）让学生在求解方程近似解的实例中感知二分发思想；（2）让学生归纳整理本节所学的知识。
3．情感、态度与价值观①体会二分法的程序化解决问题的思想,认识二分法的价值所在，使学生更加热爱数学；②培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。
二、教学重点、难点重点：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。
难点：为何由︱a － b ︳＜ 便可判断零点的近似值为a(或b)?三、学法与教学用具1．想－想。
2．教学用具：计算器。
四、教学设想（一）、创设情景，揭示课题提出问题：（1）一元二次方程可以用公式求根，但是没有公式可以用来求解放程㏑x＋2x－6=0的根；联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求她的根呢？（2）通过前面一节课的学习，函数f(x)=㏑x＋2x－6在区间内有零点；进一步的问题是，如何找到这个零点呢？（二）、研讨新知一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。
取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084,因为f(2.5)*f(3)＜0,所以零点在区间（2.5，3）内；再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512,因为f(2.75)*f(2.5)＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。
高一数学用二分法求方程的近似解班级 学号 姓名学习任务：1．根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解2．理解函数与方程的相互转化的数学思想方法课前预习1．运用二分法求方程近似解的前提是要先判断根所在区间，一般利用 估算方程解所在的大致区间。
2．二分法求方程近似解时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同精确度ε，是指在计算过程中得到区间（a ，b ）后，若a 和b 在精确度ε下的近似值 ，则结束计算，所求零点近似值即为 ，否则 应继续计算，直至达到精确度为止。
合作探究学点一、函数零点类型的应用例1．设()338x f x x =+-，用二分法求方程3380x x +-=在(1,2)x ∈内近似解的过程中得(1)0,(1.5)0,(1.25)0f f f <><，则方程的根落在区间 。
变式训练1：设函数321()2x y x y -==与的图象的交点为（x 0，y 0），则x 0所在的区间是 A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3）D ．（3，4） 变式训练2：用二分法研究函数3()31f x x x =+-的零点时，第一次经计算(0)0,(0.5)0f f <>，可得其中一个零点0x ∈ ，第二次计算 。
学点二、二分法求函数近似零点例2．指出方程lg 0x x +=存在实数解，并给出一个实数解存在的一个区间变式训练3：已知函数2()3log x x f x =+，方程()0f x =在区间[1,14]内有没有实数解？为什么？变式训练4：用二分法求函数3()5f x x =+的一个零点（精确到0.1）自我检测1．已知函数()y f x =是定义在R 上的连续函数，且(1)(2)0,()f f y f x ⋅>=则（ ）A ．在区间[1，2]上没有零点B ．在区间[1，2]上有2个零点C ．在区间[1，2]上零点个数为偶数个D ．零点个数不确定2．方程(4)2log 3x x +=的实根的个数是 个。
高一数学导学案用二分法求方程的近似解-----课前案一、目标导航：（1）探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图；（2）能借助计算工具用二分法求方程的近似解；（3）了解用二分法求方程近似解具有一般性。
二、问题引领：我们已经知道，函数6=xxxf在区间（2，3）内存在一个零点。
进一步+2(-ln)的问题是，如何求出这个零点呢？三、路径导学：（1）二分法的定义对于在区间［a，b］上图象连续不断且f(a)f(b)＜０的函数y＝f（x），通过不断地把它的所在区间，使所得区间的两个逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（ｂｉｓｅｃｔｉｏｎ）．（2）用二分法求函数零点近似值的步骤x的近似值的一般步骤如下：给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x的初始区间［a，b］，验证f（a）f(b)＜０．1. 确定零点2. 求区间（a，b）的中点c．3. 计算f（c），并进一步确定零点所在的区间：x＝c），则c就是函数的零点；(1) 若f（c）＝０（此时x∈（a，c）），则令＝c；(2) 若f（a）f（c）＜０（此时x∈（c，b）），则令＝c．(3) 若f（c）f（b）＜０（此时4. 判断是否达到精确度ε：若｜a－b｜＜，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤2～4．4.5.3 函数模型的应用-----课前案一、目标导航1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.3.通过现实世界不同变化规律的数学化研究，提升数学建模、数据分析等核心素养.二、问题引领：我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画。
面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画呢？三、路径导学 几类常见函数模型名称 解析式 条件一次函数模型b kx y +=0≠k反比例函数模型b x ky +=0≠k二次函数模型 一般式:c bx ax y ++=2顶点式：ab ac a b x a y 44)2(22-++=0≠a指数函数模型 c a b y x +•= 0,10≠≠>b a a 且 对数函数模型 n x m y a +=log 0,10≠≠>m a a 且幂函数模型b ax y n +=0≠a ,0≠n4.5.2用二分法求方程的近似解-----课中案例1.用二分法求方程 ln 260x x +-=在区间(2,3)内的近似解（精确度为0.01）．例2.下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是（ ）A ．B ．C ．D ．例3.用二分法求函数()f x 在(,)a b 内的唯一零点时，精确度为0.002，则结束计算的条件是( ) A.||0.2a b -<B.||0.002a b -<C.||0.002a b ->D.||0.002a b -=例3.在用“二分法”求函数f （x ）零点近似值时，第一次所取的区间是[﹣2，4]，则第三次所取的区间可能是（ ） A ．[1，4]B ．[﹣2，1]C ．[﹣2，]D ．[﹣，1]例5.用二分法求函数f （x ）＝ln （2x +6）+2﹣3x零点时，用计算器得到如表：x 1.00 1.25 1.375 1.50 f （x ）1.07940.1918﹣0.3604﹣0.9989则由表中数据，可得到函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）为（ ） A ．1.125B ．1.3125C ．1.4375D ．1.46875例6..用二分法求函数()ln(1)1f x x x =++-在区间(0,1)上的零点，要求近似值的精确度达到0.01，则将区间二分的次数最少为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8用二分法求方程的近似解-----课后案1. 用二分法求函数5)(3+=x x f 的零点可以取的初始区间是 （ ）A. []1,2-B.[]0,1-C.[]1,0D.[]2,12. 在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点，经计算,0)64.0(<f ,0)68.0(,0)72.0(<>f f ,则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为（ ） A.0.68 B.0.72 C.0.7 D.0.63. 4.5.已知二次函数6)(2--=x x x f 在区间[]4,1上的图像是一条连续的曲线，且,06)4(,06)1(>=<-=f f 由零点存在性定理可知函数在[]4,1内有零点，用二分法求解时,取（1,4）的中点a ，则f(a)= .6.函数b ax x x f ++=2)(有零点，但不能用二分法求出，则a,b 的关系是 .7.用二分法求方程 250x -=的一个近似正解（精确度为0.1）。
3.1.2《用二分法求方程的近似解》导学案【学习目标】1.根据数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；2.通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.［重点难点】重点; '用丄分法求解函数/(x)的零点近似值的步骤。
难点：为何由I & 一 b | < £便可判断零点•的近似值为a(或b)?【知识链接】(预习教材Pb Pm找出疑惑之处)复习1：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？对于函数y = f(X),我们把使_________ 的实数X叫做函数)u f(x)的零点.方程f(x) = 0有实数根o函数y = f(x)的图象与X轴_________ o函数y = f(x) _________ .如果函数y = f(x)在区间［d,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有______________ ,那么，函数y = f(x)在区间(a,b)内有零点.复习2：—元二次方程求根公式？三次方程？四次方程？【学习过程】探学习探究探究任务：二分法的思想及步骤问题：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称儿次可以找出这个球的，要求次数越少越好.解法：第一次，两端各放_____ 个球，低的那一端一定有重球；第二次，两端各放______ 个球，低的那一端一定有重球：第三次，两端各放_____ 个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.思考：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，来用类似的方法，如何求y = lnx + 2x-6的零点所在区间？如何找出这个零点？新知：对于在区间［a,b］上连续不断且f(a)Lf(b)<0的函数y = f(x),通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).反思：给定精度£，用二分法求函数/(兀)的零点近似值的步骤如何呢？①确定区间[a,b],验证f(a)Uf(b) < 0 ,给定精度e ；②求冈间(d,〃)的中点旳；③计算/(xj :若/(x,) = 0,则旺就是函数的零点;若/(a)Df(x I)<0,则令/?=西(此时零点X Q G (a,Xj))；若f(x t)Of(b)<O f则令a = Xj (此时零点x Q e (x p Z?))；④判断是否达到精度£ ；即^\a-b\<E,则得到零点零点值"(或小；否则重复步骤②〜④. 探典型例题例1、借助计算器或计算机，利用二分法求方程2，+3x = 7的近似解.变式：求方程2' +3x=7的根大致所在区间.探动手试试练1.求方程log3% + x = 3的解的个数及其大致所在区间.练2.求函数/(x) = x3 + x -2兀-2的一个正数零点(精确到0.1)练3.用二分法求叭的近似值.【学习反思】探学习小结①二分法的概念；②二分法步骤；③二分法思想.探知识拓展高次多项式方程公式解的探索史料在十六■世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois)的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解.同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算.因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点近似解的方法，这是一个在计算数学屮十分重要的课题.心【基础达和探自我评价你完成本节导学案的情况为( ).A.很好B.较好C. 一般D.较差探当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：1.若函数/(兀)在区间［a,b］±.为减函数，则/(x)在［a,b］± ()・A.至少冇-一个零点；B.只冇一个零点；C.没有零点；D.至多有一个零点.2.下列函数图象与兀轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是( ).3.函数/(x) = 2xln(x-2)-3的零点所在区间为( ).A. (2,3)；B. (3,4) ；C. (4,5)；D. (5,6).4.用二分法求方程2x-5 = 0在区间［2, 3］内的实根,由计算器可算得/(2) = -1,/(3) = 16, /(2.5) = 5.625,那么下一个有根区间为______________ .5.函数/(x) = lgx + 2x-7的零点个数为____________ ,大致所在区间为_____________上《…丄扭展提3JL1.求方程0.9’-0Ax = 0的实数解个数及其人致所在区间•2.借助于计算机或计算器，用二分法求函数/(X)= X3-2的零点(精确到0.01).赠:我的写字心得体会从小开始练习写字，几年来我认认真真地按老师的要求去练习写字。
3.1.2 《用二分法求方程的近似解》导学案【学习目标】1、 根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解。
2、 掌握用二分法求函数零点近似值的步骤,通过二分法求方程的近似解，体会方程与函数之间的关系。
【重点】二分法求方程的近似值。
【难点】二分法的应用。
【使用方法与学法指导】1、先精读一遍教材P89—P90内容，用红笔进行勾画；再针对预习案二次阅读教材，并回答问题，时间不超过15分钟；2、找出自己的疑惑和需要讨论的问题，随时记录在课本或导学案上，准备课上讨论质疑；预 习 案一、预习自学1、对于在区间[]b a ,上连续不断，且满足 的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到 的方法叫做二分法。
2、图像在闭区间[]b a ,上连续不断的单调函数)(x f ，在),(b a 上至多有 。
练习：判断下列函数在)2,2(-上的零点个数。
（1）x y 2-= （2）103-=xy3、函数零点的性质：（1）从“数”的角度看：即是使=)(x f 的实数；（2）从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图像与 交点的横坐标。
探 究 案探究点一：二分法概概念的理解：阅读《金版学案》P81 例1，完成P81跟踪训练第1题与P82基础达标第1题。
探究点二：判断零点的存在区间：1、用二分法研究函数13)(3-+=x x x f 的零点时，第一次经计算,0)5.0(,0)0(><f f 可得其中一个零点∈,0x ，第二次应计算 ，这时可判断∈0x 。
2、设22)(-+=x x f x ，用二分法求方程022=-+x x在）（1,0内近似解的过程中得,0)5.0(,0)1(,0)0(<><f f f 则方程的的根落在（ ）A ．)5.0,0( Ｂ．)1,5.0( Ｃ．不能确定 Ｄ．都不正确探究点三：判断零点的个数：1、已知函数)(x f 的图像是连续不断的，且有如下对应值表，则函数)(x f 至少有 个零点。
§3.1.2 用二分法求方程的近似解教案【教学目标】1. 根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；2. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.【教学重难点】教学重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．教学难点：精确度概念的理解，求方程近似解一般步骤的概括和理解 【教学过程】(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标。
探究任务：二分法的思想及步骤问题：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好,解法：第一次，两端各放 个球，低的那一端一定有重球； 第二次，两端各放 个球，低的那一端一定有重球；第三次，两端各放 个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.思考：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求ln 26y x x =+-的零点所在区间？如何找出这个零点？新知：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()f a f b <0的函数()y f x =，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).反思：给定精度ε，用二分法求函数()f x 的零点近似值的步骤如何呢？ ①确定区间[,]a b ，验证()()0f a f b <，给定精度ε；②求区间(,)a b 的中点1x ；③计算1()f x ： 若1()0f x =，则1x 就是函数的零点； 若1()()0f a f x <，则令1b x =（此时零点01(,)x a x ∈）； 若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）；④判断是否达到精度ε；即若||a b ε-<，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤②~④．（三）典型例题例1 借助计算器或计算机，利用二分法求方程237x x +=的近似解. 解析：如何进一步有效的缩小根所在的区间。
教考资源网高一数学导学案 二分法求方程的近似解知识网络学习目标1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用；2．能借助计算器用二分法求方程的近似解； 3．体会数学逼近过程，感受精确与近似的相1．二分法对于在区间上连续不断，且满足()f a ⋅)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精度ε，用二分法求函数()f x 的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间[,]a b ，验证()f a ⋅)(b f 0<，给定精度ε； （2）求区间(,)a b 的中点1x ； （3）计算)(1x f ：①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；② 若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）； ③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）；（4）判断是否达到精度ε：即若ε<-||b a ，则得到零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4．例1：利用计算器，求方程0122=--x x 的一个近似解（精确到0.1）． ；例2：利用计算器，求方程x x -=3lg 的近似解（精确到0.1）．例3：利用计算器，求方程24xx +=的近似解（精确到0.1）．1. 设0x 是方程ln 4x x =-+的解，则0x 所在的区间为 （ ）A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1)2. 估算方程25710x x --=的正根所在的区间是 （ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)3．计算器求得方程25710x x --=的负根所在的区间是（ ） A ．（1-，0） B ．()2,1-- C ．()2.5,2-- D ．()3, 2.5--4.利用计算器,求下列方程的近似解(精确到0.1) (1)lg 21x x =-+ (2)34xx =+5.方程22210x x k -+-=的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围是 ；6．已知函数()24f x mx =+，在[2,1]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是________________．答案： 1．二分法对于在区间上连续不断，且满足()f a ⋅)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精度ε，用二分法求函数()f x 的零点近似值的步骤如下： （1）确定区间[,]a b ，验证()f a ⋅)(b f 0<，给定精度ε； （2）求区间(,)a b 的中点1x ； （3）计算)(1x f ：①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；② 若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）； ③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）；（4）判断是否达到精度ε：即若ε<-||b a ，则得到零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4． 例1：利用计算器，求方程0122=--x x 的一个近似解（精确到0.1）．【解】设2()21f x x x =--， 先画出函数图象的简图. (如右图所示) 因为(2)10,(3)20f f =-<=>，所以在区间(2,3)内，方程2210x x --=有一解，记为1x .取2与3的平均数2.5，因为(2.5)0.250f =>， 所以 12 2.5x <<.再取2与2.5的平均数2.25，因为(2.25)0.43750f =-<， 所以 12.25 2.5x <<. 如此继续下去，得1(2)0,(3)0(2,3)f f x <>⇒∈1(2)0,(2.5)0(2,2.5)f f x <>⇒∈1(2.25)0,(2.5)0(2.25,2.5)f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.5)0(2.375,2.5)f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.4375)0(2.375,f f x <>⇒∈ 2.4375)，因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为1 2.4x ≈.利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.点评:①第一步确定零点所在的大致区间),(b a ，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步． 例2：利用计算器，求方程x x -=3lg 的近似解（精确到0.1）． 分析：分别画函数lg y x =和3y x =-的图象，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程x x -=3lg 的解．由函数lg y x =与3y x=-方程x x -=3lg 有惟一解，记为1x ，并且这个的图象可以发现，解在区间(2,3)内.【解】设()lg 3f x x x =+-，利用计算器计算得1(2)0,(3)0(2,3)f f x <>⇒∈1(2.5)0,(3)0(2.5,3)f f x <>⇒∈1(2.5)0,(2.75)0(2.5,2.75)f f x <>⇒∈1(2.5)0,(2.625)0(2.5,2.625)f f x <>⇒∈(2.5625)0,(2.625)0f f <>1x ⇒∈(2.5625,2.625)因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以此方程的近似解为1 2.6x ≈.思考:发现计算的结果约稳定在2.58717.这实际上是求方程近似解的另一种方法——迭代法．除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等． 例3：利用计算器，求方程24xx +=的近似解（精确到0.1）． 【解】方程24xx += 可以化为24xx =-． 分别画函数2xy =与4y x =-的图象，由图象可以知道，方程24xx +=的解在区间(1,2)内，那么对于区间(1,2)，利用二分法就可以求得它的近似解为 1.4x ≈.1. 设0x 是方程ln 4x x =-+的解，则0x 所在的区间为 （ B ） A ．(3,4) B ．(2,3) C ．(1,2) D ．(0,1)2. 估算方程25710x x --=的正根所在的区间是 （ B ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)3．计算器求得方程25710x x --=的负根所在的区间是（ A ） A ．（1-，0） B ．()2,1-- C ．()2.5,2-- D ．()3, 2.5--4.利用计算器,求下列方程的近似解(精确到0.1) (1)lg 21x x =-+ (2)34xx =+ 答案: (1)0.8(2)1 3.9x ≈-,2 1.6x ≈例4：二次函数2()f x px qx r =++中实数p 、q 、r 满足021p q rm m m++=++，其中0m >，求证：（1）()01mpf m <+)； （2）方程()0f x =在(0,1)内恒有解．分析：本题的巧妙之处在于，第一小题提供了有益的依据：1mm +是区间(0,1) 内的数，且()01m pf m <+，这就启发我们把区间(0,1) 划分为(0，1m m +)和（1mm +，1）来处理． 【解】（1）2()[()()]111m m mpf p p q r m m m =+++++ 2[](1)1pm q rpm m m m=++++ 2[](1)2pm p pm m m =-++222(2)(1)[](1)(2)m m m p m m m +-+=++ 22(1)(2)p mm m =-++，由于()f x 是二次函数,故0p ≠，又0m >，所以，()01mpf m <+． ⑵ 由题意，得(0)f r =, (1)f p q r =++．①当0p >时，由（1）知()01mf m <+ 若0r >，则(0)0f >，又()01m f m <+,所以()f x 在（0，1mm +）内有解． 若0r ≤，则(1)f p q r =++=(1)p m ++()2p r r m m =--++=02p r m m ->+，又()01m f m <+，所以()0f x =在（1mm +,1）内有解．②当0p <时同理可证．点评：（1）题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数0p ≠．若将题中的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改．（2）对字母p 、r 分类时先对哪个分类是有一定讲究的，本题的证明中，先对p 分类，然后对r 分类显然是比较好．1．若方程2210ax x --=在(0,1)内恰有一则实数a 的取值范围是 (B ) A ．1[,)8-+∞ B ．(1,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．1[,1)8-2.方程22210x x k -+-=的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围是112k <<； 3．已知函数()24f x mx =+，在[2,1]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是____12m m ≥≤-或_____________． 4．已知函数()3f x x x =+ ⑴试求函数()y f x =的零点；⑵是否存在自然数n ，使()1000f n =？若存在，求出n ，若不存在，请说明理由． 答案：（1）函数()y f x =的零点为0x =； （2）计算得(9)738f =，(10)1010f =，由函数的单调性，可知不存在自然数n ，使()1000f n =成立．。
高一数学《用二分法求方程的近似解》导学案高一数学《用二分法求方程的近似解》导学案教学目标知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．教学重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．教学难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．教材分析本节注重从学生已有的基础(一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质)出发，从具体(一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标之间的关系)到一般，揭示方程的根与对应函数零点之间的关系在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生感受到数学化方面的熏陶，所以在“阅读与思考”中，介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类明的贡献学情分析通过本节的学习，使学生在知识上学会用“二分法”求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系；在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力这就要求学生除了能熟练地运用计算器演算以外，还要能借助几何画板406中版中的“绘制新函数”功能画出基本初等函数的图象，掌握irsft Exel软一些基本的操作教学媒体分析多媒体微机室、Authrare702中版、几何画板406中版、irsft Exel、QBASI语言应用程序教学方法动手操作、分组讨论、合作交流、后实践教学环节设计流程图教学设计理念1构建共同基础，提供发展平台；2提供多样解法，适应个性选择；3倡导积极主动、勇于探索的学习方式；4注重提高学生的数学思维能力；发展学生的数学应用意识；6与时俱进地认识“双基”；7强调本质，注意适度形式化；8体现数学的化价值；9注重信息技术与数学程的整合；10建立合理、科学的评价体系教学过程与操作设计：环节教学内容设计师生双边互动信息技术应用中外历史上的方程求解在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座．虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月．由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点（即的根），对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题，在《九算术》，北宋数学家贾宪的《黄帝九算法细草》，南宋数学家秦九韶的《数书九》中均有记载在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果．1824年，挪威年轻数学家阿贝尔（N H Abel，1802-1829）成功地证明了五次以上一般方程没有根式解．1828年，法国天才数学家伽罗瓦（EGalis，1811-1832）巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程．人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的题．师：介绍中外历史上的方程求解问题，从高次代数方程解的探索历程引导学生认识引入二分法的意义，从而引入题．生：感受到数学化方面的熏陶，最大限度的调动学生的学习兴趣，提高学习的积极性和主动性Authrare702展示这节就让我们共同学习一下§312《用二分法求方程的近似解》想一想我们已经知道，函数在区间（2，3）内有零点，且＜0，＞0进一步的问题是，如何找出这个零点？做一做第一步：取区间(2，3)的中点2，用计算器算得(2)≈－0084因为(2)·＜0，所以零点在区间(2，3)内第二步：取区间(2，3)的中点27，用计算器算得(27)≈012 因为(2)·(27)＜0，所以零点在区间(2，27)内结论:由于(2，3) (2，3) (2，27)，所以零点所在的范围确实越越小了如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越越小(见下表和图) 师：一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值为了方便，下面我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围师：引导学生分析理解求区间，的中点的方法．生：用计算器算得(2)≈－0084(27)≈012几何画板406中版演示计算结果师：这样，在一定精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值例如，当精确度为001时，由于|239062－2312|=0007812＜001，所以，我们可以将=2312作为函数零点的近似值，也即方程根的近似值Authrare702展示议一议：你能说出二分法的意义及用二分法求函数零点近似值的步骤吗？1二分法的意义对于在区间[，]上连续不断且满足·＜0的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisetin)．2给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：(1)确定区间，，验证·＜0，给定精确度；(2)求区间，的中点；(3)计算：1若=，则就是函数的零点；2若·＜0，则令=（此时零点）；3若·＜0，则令=（此时零点）；(4)判断是否达到精确度；即若＜，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤2-4．结论: 由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法求方程的近似解思考：为什么由＜，便可判断零点的近似值为(或)？师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤．师：分析条“·＜0”、“精确度”、“区间中点”及“＜”的意义．生：结合求函数在区间（2，3）内的零点，理解二分法的算法思想与计算原理．Authrare702展示由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以借助几何画板406中版软和irsft Exel软完成计算我们还是以求函数的零点为例学生在教师引导下操作师：第一步：打开几何画板406中版软第二步：点击工具栏中的“图表”，选中“绘制新函数(trl+G)”，或在工作区中点击右键，选中“绘制新函数”第三步：在弹出的对话框中输入，点击“确定”几何画板406中版环节教学内容设计师生双边互动信息技术应用第四步：观察函数图象，确定零点所在的大致区间为(2，3)几何画板406中版第五步:打开irsft Exel软第六步: 分别在单元格A1、B1、1输入、、精确度，在2输入0，分别在A2、A3输入2、2，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖动“填充柄”到单元格内出现填充值4时为止，完成自动填充irsft Exel软环节教学内容设计师生双边互动信息技术应用第七步: 在B2单元格点击“粘贴函数”，输入函数值公式“=lnA2+2*A2-6”，得到与A2相应的函数值第八步:然后双击(或拖动)B2的“填充柄”，得到与第一列相应的函数值生：观察所得函数值，所以零点在区间(2，3)内第九步：重复上述操作：将A1、B1、1复制到A7、B7、7，把精确度设为02，在A8、B9分别输入2、27，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖动“填充柄”到单元格内出现填充值32时为止，完成自动填充复制B2到B8，得到与A8相应的函数值，然后双击(或拖动)B8的“填充柄”，得到与第一列相应的函数值生：观察所得函数值，所以零点在区间(2，27)内irsft Exel软环节教学内容设计师生双边互动信息技术应用结论：借助信息技术求方程近似解(函数零点)的步骤如下：1利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点所在的大致区间；2利用然后用irsft Exel软逐步计算解答．第十步：重复上述过程，将精确度设为上次操作的一半，直到小于001为止，特别地，这时可以将区间端点作为零点的近似值生：观察所得函数值，并且精确度为0007812＜001，所以零点在区间(2312 ，239062)内，*=2312可以为函数的零点生：认真思考，运用所学知识寻求确定方程近似解的方法，并进行讨论、交流、归纳、概括、评析形成结论．irsft Exel软例题：借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解(精确度01)解：（略）．打开几何画板打开Exel尝试练习：1 借助计算器或计算机，用二分法求函数的零点(精确度01)2 借助计算器或计算机，用二分法求方程的近似值(精确度001) 师：首先利用几何画板406中版软画出函数图象，确定函数零点所在的大致区间，然后用irsft Exel软逐步计算解答．生：独立完成解答，并进行交流、讨论、评析．Authrare702展示几何画板406中版irsft Exel软我们也可以借助QBASI语言编写一定的程序求方程的近似解（精确到001）程序框图：师：介绍学生感兴趣的计算机编程问题，渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔．Authrare702展示环节教学内容设计师生双边互动信息技术应用程序语句：INPUT “，，=”；，，*=(+)/2=LG()+2*－6 =LG(*)+2**－6 IF *＞0 THEN =*ELSE=*END IFLP UNTIL ABS(-) ＜R =0 PRINT打开QBASI师：输入零点的大致区间和精确度，执行程序，检验程序运行结果的正确性．QBASI语言应用程序1有兴趣的同学可以自学QBASI语言或其他计算机语言，编写程序，检验做题结果正确与否2查找有关资料或利用Internet查找有关高次代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galis），增强探索精神，培养创新意识．3谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解，对数学有了哪些新的认识？将你这节的收获与感受写成一篇小报告或小论的形式，发表在学校的数学论坛上师：继续激发学生学习数学的热情；感受数学化方面的熏陶；充分地利用学校资进行后续学习和交流Authrare702展示。
