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课题 两条直线的位置关系1.掌握两条直线平行与垂直的条件 教学目 2. 根据直线方程判定两条直线的位置关系标 3. 掌握点到直线的距离公式及两平行线间距离公式教学重 两条直线平行与垂直的判定 点教学难 点教学方 法教具准 备点到直线的距离公式 讲练结合 教材教学过 程【基础练习】1.已知过点 A(-2，m)和 B(m，4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行，则 m 的值为-8 2.过点（－1，3）且垂直于直线 x－2y+3=0 的直线方程为 2x+y－ 1=03.若三条直线 2x 3y 8 0, x y 1 0和 x ky k 1 0 相交于 2一点，则 k 的值等于 1 24.已知点 P1 (1，1)、P 2 (5，4)到直线 l 的距离都等于 2．直 线 l 的方程为 3x-4y+11=0 或 3x-4y-9=0 或 7x+24y-81=0 或 x3=0.5.已知 A（7，8），B（10,4）,C（2,-4）,求ABC 的面积.简解：答案为 28 3【范例导析】【例 1】已知两条直线 l1 :x+m2y+6=0, l2 :(m-2)x+3my+2m=0，当 m 为何值时, l1 与 l2（1） 相交；（2）平行；（3）重合？ 分析：利用垂直、平行的充要条件解决.解:当ｍ＝0 时， l1 ：x＋６＝０， l2 ：x＝０，∴ l1 ∥ l2 ，当ｍ＝2 时， l1 ：x＋４y＋６＝０， l2 ：３y＋２＝０∴ l1 与 l2 相交；当 m≠０且 m≠２时，由 1 m2 得 m＝－１或 m＝３，由 m 2 3m1 6 得 m＝3 m 2 2m故（１）当 m≠－１且 m≠３且 m≠０时 l1 与 l2 相交。
（２）m＝－１或 m＝０时 l1 ∥ l2 ，（３）当 m＝３时 l1 与 l2 重合。
点拨：判断两条直线平行或垂直时，不要忘了考虑两条直线斜 率是否存在.例 2.已知直线 l 经过点 P（3，1），且被两平行直线 l1 ： x+y+1=0 和 l2 ：x+y+6=0 截得的线段之长为 5。
11.3(2)两条直线的夹角教学目标设计理解直线夹角公式的推导，能正确使用夹角公式求两条直线的夹角 . 进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法 . . 通过两条直线夹角公式的推导，形成运用数形结合、分类讨论的思想解决问题的能力教学重点及难点理解两条直线夹角公式的推导，会求两条直线的夹角 .教学用具准备多媒体设备教学流程设计复习引入两条直线夹两直线的两条直线的夹角的定义夹角角公式运用与深化 (例题解析、稳固练习)课堂小结并布置作业一、复习引入1．引例：判断以下各组直线的位置关系，如果相交，那么求出交点的坐标〔课本 p16 例1〕．〔1〕l1: 3x 4 y120 ， l 2 : 7x12y 1 0；〔2〕l1: 3x 4 y120， l 2 : x3；〔3〕l1: 3x 4 y120， l 2 : 6x 8y 5 0 ．解：〔参考课本p16~17〕[ 说明 ] 复习判断两直线的平行、重合、相交，以及求相交直线的交点坐标的方法. 由此引出新的课题 .思考并答复以下问题1．〔对于上述〔 1〕、〔 2〕这样〕，当两条直线相交时，用什么“量〞来描述两条直线的相对位置呢？教具演示：两条直线相交，使其中一条直线绕定点旋转，让学生观察这两条直线的关系.解答：两条直线的夹角.2．回忆旧知：在初中平面几何中“两直线夹角〞的定义是什么？解答：角是有公共端点的两条射线所组成的几何图形〔如右图〕．[ 说明 ] 在复习旧知的根底上引人新课.二、学习新课关于两直线的夹角1、概念形成两条直线的夹角如右图，两条直线相交，一共构成几个角？它们有什么关系？怎样定义两条直线的夹角呢？平面上两条直线l1和 l 2相交构成四个角，它们是两组互补的对顶角，因为相对而言，锐角比拟简单. 我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角.如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0. 因此 , 两条直线的夹角的取值范围是0,，而两条相交直线夹角的取值范围是〔0, ] .22现在我们可以用夹角来描述两直线的相对位置关系，当给出两条直线的方程时，它们的相对位置就确定了，它们的夹角也随之确定，那么，如何根据直线方程求两直线的夹角呢？[ 说明 ] ①为什么规定锐角或直角为两直线的夹角，说明其合理性；②提出问题，给学生造成认知冲突，激发学生探索欲2、夹角公式的推导分析：直线的方向——方向向量——斜率——倾斜角——夹角之间的关系. 由于直线的方向是由直线的方向向量或者斜率决定的，下面我们借助于这两条直线的方向向量来求得两直线的夹角 .[ 说明 ]引导学生画图分析，寻找夹角、倾斜角、方向向量之间的关系. 通过类比，寻求思路.设两条直线的方程分别为l1： a1 x b1 y c10 〔 a1 ,b1不全为零〕l 2： a2 x b2 y c20 〔 a2 , b2不全为零〕.设 l1与 l 2的夹角为， l1与 l 2的一方向向量分别为 d 1与 d 2，其夹角为，且d1= (b1 , a1 ) , d 2= (b2 , a2 ) ，当[0,] 时，那么如图甲2所示 ; 当(, ] 时，那么2,如图乙所示 .于是得 :cos| cosd1 d2|| a1 a2b1b2 |. | |222| d1 | | d 2 |2a1b1a2b2即为直线 l1与 l 2的夹角公式.特别地 , 当且仅当a1a2b1b20 时,l1与 l 2的夹角为, 即l1与l2垂直 . 也就是2说 : l1l 2d1垂直 d2n 垂直 n a1a2b1 b20 (其中 n, n2分别为 l1与 l2的一121个法向量 )而由 a1 a2b1b20, 易得当b10,b2a1 a 21 ,即当两条直线的斜率都0 时,有b2b1存在时 ,l 1与 l 2垂直的充要条件是 k1k21, 其中 k1 , k2分别为直线 l1与 l 2的斜率.[ 说明 ] ①培养学生周密分析，严格论证的能力. 由于直线的夹角与两个向量的夹角有区别, 前者的范围是 0,. 后者的范围是[ 0, ] , 因此必须考虑两种情况[ 0,] 与( , ] ;②2223、例题分析例 1：〔回到引例〕求以下各组直线的夹角：〔 1〕 l 1 : 3x 4 y 12 0 ， l 2 : 7 x 12 y 1 0 ； 〔 2〕 l 1 : 3x4 y12 0 ， l 2 : x 3 ；解：设 l 1 与 l 2 的夹角为，那么由两条直线的夹角公式得(1) cos| 3 7 4 ( 12) | 27 193 ,32 42 72 122 965arccos27193 即为所求 ;965(2) | 3 1 ( 4) 0 | 3,3cos4 2 12 0 2 5arccos32 5即为所求 .[ 说明 ] ①解决本课开头提出的问题 , 本环节的设计目的是使学生熟悉夹角公式的初步应用 ;②鼓励学生一题多解 , 对于小题 (2),由于直线 l 2 的斜率不存在 , 还可以数形结合( 图略 ) ，求得l 1 的倾斜角arctan 3, 得出 l 1 与 l 2 的夹角为2 arctan 3〕．44例 2：假设直线l 1a x 12 ： 2x (a 1) y 10 互相垂直，求实数 a 的值 . 〔补充〕： y与 l33解：先把直线 l 1 的方程化为一般形式 l 1 ： ax 3y 10 .3∵两直线垂直 , ∴ 2a3(a 1) 0 ，∴ a为所求．5[ 说明 ] 通过练习强调两条直线垂直的充要条件，指出公式适合的前提条件是把直线的方程化 成一般式方程，以便确定系数．例 3：直线 l 过点 P(4,1) ，且与直线 m : 3x y 1 0 的夹角为 arccos3 10，求直线 l10的方程 .( 补充 )解：〔方法一〕设 l 的方程为 a( x 4)b( y 1) 0 〔其中 n(a, b) 为 l 的一法向量〕 ，那么| 3a b |3 10 即 3 a 22 | 3b |a 2b 2 32( 1) 210当 b 0时，那么a 0，此时方程为 x4当 3a4b0 时，方程为 4( x4) 3( y 1)0 ，即 4x3y 190综上 ,l 的方程是 x 4 或 4x3y19 0 .〔方法二〕设点斜式，按直线l 的斜率是否存在分两类讨论①假设直线 l 的斜率不存在，那么过点P(4,1) 直线 l的方程为x4 ，设它与直线m : 3x y 1 0 的夹角，那么cos| 31( 1)0 | 3 10 ,arccos3 10321212021010，满足题意 .②假设直线 l 的斜率存在，那么设直线l 的方程为y 1 k( x 4) ,即 kx y 4k 10 ,设它与直线m : 3x y 1 0 的夹角，那么那么| 3k 1 | 3 10 ,即3k21| 3k 1 | ,解得k4,所以直线 l 的k 2( 1) 232( 1) 2103方程为 y14( x4) ,化简得 4 x 3 y190 , 3由①②可知 ,l 的方程是 x4或 4x3y190.[ 说明 ]①启发学生探讨“求过某定点P ，且与直线夹角为的直线方程〞这类根本问题的处理方法；②一般地,求直线方程时, 往往采用待定系数法: 先设出的直线方程，再利用直线的夹角公式列式，求解；③分析思路，启发学生一题多解. 假设设点斜式，学生可能只求出一条直线，启发学生从平面几何分析，应有两条直线. 但为什么有的学生求到只有一条呢？让学生在矛盾中顿悟：需要按斜率是否存在分两类讨论，而且利用直线的夹角公式时，都必须先化为直线方程的一般形式. ④例 3 类同于教材中的例4，教材中例 4 给出的夹角为特殊值，3本例为 arccos 310，目的让学生熟悉反三角的表示.10例 4：ABC 的三个顶点为A(2,1), B(6,1), C (5,5)(1) 求ABC 中 A 的大小;(2)求 A 的平分线所在直线的方程.〔补充〕直线 AC 的方程为: 4x3y50 ,设它们的夹角为, 又 A 为锐角,所以 A =，33那么cos A, A arccos 即为所求;55方法二 : 数形结合 , 因为k AB0,k AC 4 ,A arctan 4即为所求 .33〔 2〕方法一：设角平分线所在直线方程a( x 2)b( y 1) 0 ，即 ax by 2a b 0 .由角平分线与两边AB , AC 成等角，运用夹角公式得| b || 4a 3b | 5 |b | | 4 3 |,a 2b 25 a 2b2a b解得 a2b或2a b ,由题意,舍 a2b所以角平分线的方程为：x 2 y0 .方法二 :数形结合 ,利用半角公式先求角平分线所在直线的斜率为k tan A2或1(舍2〕， k1, 又它过点〔 2， 1〕，222所以，角平分线的方程为：x 2 y0[ 说明 ] ①稳固提高 . 因为此题中 ,直线 AB 的方程为: y1,因此采用方法二更简洁些. 但是方法一却是解决此类问题的根本方法.②小题〔 1〕 , 求三角形的内角, 一般先求过A的两条边所在直线方程，由夹角公式可求得. 需要注意夹角公式所得的角是三角形内角或其补角；③小题〔 2〕 , 注意结合图形 , 正确取舍 .三、稳固练习练习 11.3 〔 2〕 ----1,3四、课堂小结1．本节课研究了两条直线的夹角，推导出两条直线的夹角公式的方法，要理解、体会其中的思想方法；2．会用两条直线垂直的充要条件解决与垂直有关的问题；3．熟练运用夹角公式求两条直线的夹角. 注意不垂直的两条相交直线的夹角为锐角；4．进一步讨论了求直线方程的方法：运用待定系数法时，可设直线方程为点法向式、或点斜式方程，而在用点斜式方程时，需要分类讨论.五、作业布置1、书面作业：练习11.3 〔2〕 ----2,4习题 11.3 A组----10,11,122、思考题：光线沿直线l 1： 2x y 2 0照射到直线 l 2： x 2y 20上后反射，求反射线所在直线 l3的方程.2 x y20解由2 y2，得反射点的坐标为 (2, 2) .x0设 l 3的方程为 a(x2)b( y2) 0〔其中n(a, b) 为一法向量， a, b 不同时为零〕由反射原理, 直线l1与l2的夹角等于l 2与 l 3的夹角，得22a2ba 2b或11a2b ,舍去 a 2b (否那么与 l 1重合) ,所以555 a 2 b 2a 2b ,得l3的方程为 2x11 y26 0 . 113．思考题：在y轴的正半轴上给定两点A〔 0，a〕，B〔 0，b〕，点 A 在点 B 上方，试在x轴正半轴上求一点 C，使∠ ACB取到最大值 .答： C ab .[ 说明 ]①作业1是课本习题，通过它来反应知识掌握效果，稳固所学知识，强化根本技能的训练，培养学生良好的学习习惯和品质；②作业2、 3 设计成思考题，是为了给学有余力的学生留出自由开展的空间，学生可以根据实际情况选用.。
§11.3两条直线平行和垂直（第1课时）教学目标: 1．掌握两条直线平行的条件2．掌握两条直线垂直的条件 教学重点: 两条直线的平行和垂直 教学难点：两条直线平行和垂直的条件 教学方法：讲解法，练习法． 教学过程： 一、引入平面几何里已研究过两条直线的位置关系，本节课将用斜率来进一步研究 二、新课两条不重合的直线12,l l 平行的情形。
如果12//l l ，它们的倾斜角相等，即12αα=：（1）当01290αα=≠时，12tg tg αα=即它们的斜率1k 与2k 相等；（2）当 9021==αα时，它们的斜率都不存在。
反过来，如果1l 和2l 的斜率1k 和2k 相等，即12tg tg αα=，因为⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈πππαα,22,0,21 ，所以12αα=，于是12//l l ；如果1l 和2l 的斜率都不存在，那么它们的倾斜角都是90，于是12//l l 。
因此，两条不重合的直线互相平行的充要条件是它们的斜率相等或斜率都不存在。
即1212//l l k k ⇔=或斜率都不存在。
三、例题讲解例1、求证：顺次连接()()()72,3,5,,2,3,4,42A B C D ⎛⎫--- ⎪⎝⎭四点的四边形是梯形。
证明：因为直线AB 的斜率6125)3(271-=----=k ，直线CD 的斜率6124342-=---=k ，所以21k k =。
又因ABCD 是四边形，因此AB ∥CD 。
因为直线BC 的斜率61352)27(33-=---=k ，直线DA 的斜率434,67)4(243k k k ≠-=----=，所以BC 与DA不平行，因此四边形ABCD 是梯形。
巩固练习：课本8P 1例2、在ABC ∆中，已知,D E 分别是,CA CB 的中点，用坐标法证明：//DE AB 且12DE AB =。
证明：以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系。
设),(),0,(h a C b B ，那么根据线段中点公式可得点D 的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛2,2h a ，点E 的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛+2,2h b a 。
两直线的位置关系教案教案标题：两直线的位置关系教学目标：1. 理解并描述两条直线的位置关系，包括平行、垂直和相交。
2. 能够通过观察直线的特征，判断两条直线的位置关系。
3. 运用所学知识解决与两条直线位置关系相关的问题。
教学资源：1. 教材：包含与直线位置关系相关的知识点和例题。
2. 黑板/白板和彩色粉笔/白板笔。
3. 直尺和量角器。
4. 练习题和答案。
教学步骤：引入活动：1. 引导学生回顾并复习直线的基本概念，如直线段、射线等。
2. 提出一个问题：如果有两条直线，我们如何判断它们的位置关系呢？探究活动：3. 展示两条平行直线的图形，并让学生观察并描述它们的特征。
引导学生发现平行直线的特点：在同一平面上，永不相交，距离相等。
4. 给出更多的例子，让学生判断直线的位置关系是平行还是不平行。
5. 展示两条垂直直线的图形，并让学生观察并描述它们的特征。
引导学生发现垂直直线的特点：在同一平面上，相交成直角。
6. 给出更多的例子，让学生判断直线的位置关系是垂直还是不垂直。
巩固活动：7. 展示两条相交直线的图形，并让学生观察并描述它们的特征。
引导学生发现相交直线的特点：在同一平面上，交于一点。
8. 给出更多的例子，让学生判断直线的位置关系是相交还是不相交。
9. 给学生一些练习题，让他们通过观察直线的特征判断其位置关系，并解答与直线位置关系相关的问题。
10. 收集学生的答案并进行讨论，纠正他们可能存在的错误。
拓展活动：11. 引导学生思考：如果有三条直线，它们的位置关系又会是怎样的？让学生通过观察和讨论，发现三条直线的位置关系，如平行、垂直、相交等。
12. 给学生一些挑战性的问题，让他们运用所学知识解决问题，并展示解决过程和结果。
总结活动：13. 总结并复习本节课所学的知识点，强调直线的位置关系的重要性。
14. 鼓励学生在日常生活中观察和运用直线的位置关系，加深对该知识点的理解和应用。
评估活动：15. 给学生一份简单的练习题或小测验，检验他们对于直线位置关系的理解和应用能力。
课 题：7.3两条直线的位置关系（四）―点到直线的距离公式教学目的：1.2. 会用点到直线距离公式求解两平行线距离3. 认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题 教学重点：点到直线的距离公式教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离.在引入本节的研究问题：点到直线的距离公式之后，引导学生分析点到直线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，通过比较选择其中一种较好的方案来具体实施，以培养学生研究问题的习惯，分析问题进而解决问题的能力.在解决两平行线的距离问题时，注意启发学生与点到直线的距离产生联系，从而应用点到直线的距离公式求解 教学过程：一、复习引入：1．特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行； (2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直2．斜率存在时两直线的平行与垂直：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠ 已知直线1l 、2l 的方程为1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A1l ∥2l 的充要条件是212121C C B B A A ≠= ⑵两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是1k 和2k ，则这两条直线垂直的充要条件是121-=k k ．已知直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，则1l ⊥2l ⇔02121=+B B A A ．3.直线1l 到2l 的角的定义及公式：直线1l 按逆时针方向旋转到与2l 重合时所转的角,叫做1l 到2l 的角. 1l 到2l 的角θ：0°＜θ＜1８0°， 如果.2,1,012121πθ=-==+则即k k k k 如果0121≠+k k ，12121tan k k k k +-=θ4．直线1l 与2l 的夹角定义及公式:1l 到2l 的角是1θ, 2l 到1l 的角是π-1θ,当1l 与2l 相交但不垂直时, 1θ和π-1θ仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.当直线1l ⊥2l 时,直线1l 与2l 的夹角是2π.夹角α：0°＜α≤90°.如果.2,1,012121πα=-==+则即k k k k 如果0121≠+k k ，12121tan k k k k +-=α.5．两条直线是否相交的判断两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 是否有惟一解 二、讲解新课：1．点到直线距离公式：点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200BA C By Ax d +++=（1）提出问题在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为),(00y x ，直线l 的方程是0:=++C By Ax l ，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?（2）解决方案方案一：根据定义，点P 到直线l 的距离d 是点P 到直线l 的垂线段的长. 设点P 到直线l 的垂线段为PQ ，垂足为Q ，由PQ⊥l 可知，直线PQ 的斜率为AB（A ≠0），根据点斜式写出直线PQ 的方程，并由l 与PQ 的方程求出点Q 的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ ｜，得到点P 到直线l 的距离为d此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法方案二：设A ≠0，B ≠0，这时l 与x 轴、y 轴都相交，过点P 作x 轴的平行线，交l 于点),(01y x R ；作y 轴的平行线，交l 于点),(20y x S ，由⎩⎨⎧=++=++020011C By Ax C By x A 得B C Ax y A C By x --=--=0201,. 所以，｜P Ｒ｜＝｜10x x -｜＝ACBy Ax ++00｜PS ｜＝｜20y y -｜＝BCBy Ax ++00｜ＲS ｜＝ABB A PSPR 2222+=+×｜C By Ax ++00｜由三角形面积公式可知：d ·｜ＲS ｜＝｜P Ｒ｜·｜PS ｜所以2200BA C By Ax d +++=可证明，当A ＝0或B ＝0时，以上公式仍适用 2．两平行线间的距离公式已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=证明：设),(000y x P 是直线02=++C By Ax 上任一点，则点P 0到直线01=++C By Ax 的距离为22100BA C By Ax d +++=又 0200=++C By Ax即200C By Ax -=+，∴d ＝2221BA C C +-三、讲解范例：例1 求点)2,1(0-P 到下列直线的距离. (1)0102=-+y x ；(2)23=x解：(1)根据点到直线的距离公式得5212102)1(222=+-+-⨯=d(2)因为直线23=x 平行于y 轴，所以35|)1(32|=--=d 评述：此例题(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没局限于公式.例2 求两平行线1l ：0832=-+y x ，2l ：01032=-+y x 的距离. 解法一：在直线1l 上取一点P (４，0），因为1l ∥2l ，所以点P 到2l 的距离等于1l 与2l 的距离.于是131321323210034222==++⨯-⨯=d 解法二：1l ∥2l 又10,821-=-=C C .由两平行线间的距离公式得133232)10(822=+---=d 四、课堂练习： 课本P 53练习1.求原点到下列直线的距离： (1)3x ＋2y －26＝0；(2) x ＝y解：(1)132232622=+-=d .(2)∵原点在直线y ＝x 上，∴d ＝02.求下列点到直线的距离：(1)A （－2，3），3x ＋４y ＋3＝0；(2)B （1，0），3x ＋y －3＝0； (3)C （1，－2），４x ＋3y ＝0. 解：(1);5943334)2(322=++⨯+-⨯=d (2);01)3(332=+-=d(3)5234)2(31422=+-⨯+⨯=d 3.求下列两条平行线的距离：(1)2x ＋3y －８＝0，2x ＋3y ＋1８＝0， (2)3x ＋４y ＝10，3x ＋４y ＝0.解：(1)在直线2x ＋3y －８＝0上取一点P （４，0），则点P 到直线2x ＋3y ＋1８的距离就是两平行线的距离，∴d ＝13232184222=++⨯(2)在直线3x ＋４y ＝0上取一点O （0，0），则点O 到直线3x ＋４y ＝10的距离就是两平行线的距离，∴224310+=d ＝2五、小结 ：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式 六、课后作业： 课本P 53习题7.313.求点P (－5，7）到直线12x ＋5y －3＝0的距离.解：1328512375)5(1222=+-⨯+-⨯=d14.已知点A （a ，6）到直线3x －４y ＝2的距离d 取下列各值，求a 的值：(1)d ＝４，（2）d ＞４解：(1)22)4(32643-+-⨯-=a d ＝４，解得a ＝2或a ＝346(2)22)4(32643-+-⨯+=a d ＞４，解得a ＜2或a ＞346 15.已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=证明：设),(000y x P 是直线02=++C By Ax 上任一点，则点P 0到直线01=++C By Ax 的距离为22100BA C By Ax d +++=又 0200=++C By Ax即200C By Ax -=+，∴d ＝2221BA C C +-16.求两条平行线3x －2y －1＝0和3x －2y ＋1＝0的距离 解：在直线3x －2y －1＝0上任取一点P (0，－21），则点P 到直线3x －2y ＋1＝0的距离就是两平行线间距离，13132231)21(222=++-⨯-=d 七、板书设计（略） 八、课后记：。
11.3（2）两条直线的夹角教学目标理解直线夹角公式的推导过程，能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法.通过两条直线夹角公式的推导，形成运用数形结合、分类讨论的思想解决问题的能力教学重点及难点理解两条直线夹角公式的推导过程，会求两条直线的夹角教学过程一、复习引入1．引例：判断下列各组直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标（1）023:1=++y x l ， 032:2=--y x l ；（2）015:1=-x l ， 032:2=--y x l ；（3）0524:1=+-y x l ， 032:2=--y x l ．问题1：（对于上述（1）、（2）这样），当两条直线相交时，用什么“量”来描述两条直线的相对位置呢？二、学习新课1、概念形成两条直线的夹角如右图，两条直线相交，一共构成几个角？它们有什么关系？平面上两条直线1l 和2l 相交构成四个角，它们是两组互补的对顶角，因为相对而言，锐角比较简单.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角.如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0.因此,两条直线的夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π ，而两条相交直线夹角的取值范围是（]2,0π.问题2：现在我们可以用夹角来描述两直线的相对位置关系，当给出两条直线的方程时，它们的相对位置就确定了，它们的夹角也随之确定，那么，如何根据直线方程求两直线的夹角呢？2、夹角公式的推导引导学生画图分析，寻找夹角、方向向量之间的关系.设两条直线的方程分别为1l ：0111=++c y b x a （11,b a 不全为零）2l ：0222=++c y b x a （22,b a 不全为零）.设1l 与2l 的夹角为α，1l 与2l 的一方向向量分别为1d 与2d ，其夹角为θ，且1d =),(11a b -,2d =),(22a b -，当]2,0[πθ∈时，则θα=如图甲所示;当],2(ππθ∈时，则θπα-=,如图乙所示.于是得:2222212121212121|||||||||cos |cos b a b a b b a a d d +⋅++=⋅==θα.即为直线1l 与2l 的夹角公式.特别地,当且仅当02121=+b b a a 时, 1l 与2l 的夹角为2π,即1l 与2l 垂直.也就是说:1l ⊥2l ⇔1d 垂直2d ⇔1n 垂直2n ⇔02121=+b b a a (其中1n ,2n 分别为1l 与2l 的一个法向量)而由02121=+b b a a ,易得当0,021≠≠b b 时,有12211-=⋅b a b a ,即当两条直线的斜率都存在时, 1l 与2l 垂直的充要条件是,121-=k k 其中21,k k 分别为直线1l 与2l 的斜率.3、例题分析例1：（回到引例）求下列各组直线的夹角：（1）023:1=++y x l ， 032:2=--y x l ；（2）015:1=-x l ， 032:2=--y x l ；课堂练习：求下列各组直线的夹角θ（1）1:31l y x =-，2:340l y x +-=（2）1:10l y x -+=，2:4l y =（3）2:10l x y ++=，2:2l x =例2：已知直线0942=++y x 和直线08=++ay x 的夹角是14π ，求实数a 的值.例3：已知直线l 过点)3,2(-P ，且与直线023:0=+-y x l 的夹角为3π，求直线l 的方程.课堂练习：已知直线l 经过原点，且与直线1y =+的夹角为6π，求直线l 的方程。
11.3两条直线位置关系一、教学内容分析本小节的内容大致可以分为两部分：一是两条直线的交点、位置关系；二是两条直线的夹角.预计需要三课时:第一课时, 两条直线的交点和位置关系; 第二课时, 两条直线的夹角; 第三课时,两直线的位置关系与夹角公式的应用.在初中平面几何中研究过两条直线的关系.在本小节的教学中，我们用代数方法，在平面直角坐标系中，研究怎样用直线的方程来判断两条直线的位置关系，体现了解析几何用方程研究曲线的基本思想.本小节的重点是由直线方程求两条直线的交点、两条直线位置关系的判断，以及根据直线方程求两条直线夹角的方法.在认识直线与直线方程的对应关系的基础上，抓住“形与数”的对应，理解求两条直线的交点就是求它们的方程的公共解，将两条直线位置关系的问题转化为相应的二元一次方程组的解的个数问题，由此得出两条直线的三种位置关系：相交、平行、重合，对于相应的二元一次方程组就是：有唯一解、无解、无数多个解.然后对两直线相交的情况作定量的研究，规定两条相交直线所交成的锐角或直角为两条相交直线的夹角，通过分析两条相交直线的图形的几何性质，联想两条直线的夹角与两条直线的方向向量的夹角的关系，推导出两条直线的夹角公式.本小节的难点是启发学生把研究两直线的位置关系问题转化为考查它们的方程组成的方程组的解的问题，以及两条直线的夹角公式的推导.突破难点的关键是：建立新旧知识的联系，寻找新知识的生长点，利用数形结合使学生理解“形与数”之间的联系，以及利用数量关系处理几何关系的方法.对直线方程的系数中含有未知数的两直线的位置关系的分类讨论是本小节的一个重点问题，也是一个难点问题.二、教学目标设计理解两条直线的交点就是它们所对应的一次方程组的解，会求两条相交直线的交点；掌握根据方程组解的情况判断两条直线平行、相交或重合的方法；理解两条直线的位置关系在它们的方向向量及其法向量的关系上的反映，理解“形”与“数”之间的联系.通过对两直线位置关系的讨论，运用已有知识解决新问题的能力，提高运用数形结合、分类讨论等思想方法的能力.三、教学重点及难点求两条直线的交点，掌握判断两条直线的位置关系的方法；两条直线的位置关系与相应的方程组的解的个数之间的对应.四、教学用具准备多媒体设备五、教学流程设计六、教学过程设计一、情境设置，导入新课用大屏幕打出直角坐标系中的两条直线，移动两条直线，让学生观察这两条直线的位置关系.思考并回答下列问题1、平面上两条直线有几种位置关系？各有什么几何特征？解答：两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合.从几何特征上看：相交⇔有唯一的公共点；平行⇔没有公共点；重合⇔至少有两个公共点，进而有无数个公共点.[说明] 通过教具演示，增强直观性，帮助学生迅速准确地发现两条直线的关系，由此引出新课,为进一步的研究作好铺垫.并指出，垂直是相交的一种特殊情况.2、在直角坐标系中，这三种位置关系在直线方程上是怎样体现的呢？[说明] 通过对已有相关知识的回顾，自然地提出此问题（暂不要学生回答），给出下面的引例，引导学生来到新知识的生成场景中.让学生带着问题学习，明确了本节课的学习目标，促进学生学习的主动性.二、学习新课关于两直线的交点、位置关系1、概念引入引例：解下列方程组：（1）⎩⎨⎧=++=-+0220243y x y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧+==+-21310362x y y x ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧+==-2131062x y y x ． 然后，请你回答：上述方程组所表示的两条直线的交点个数？如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？解答：由直线方程的概念，我们知道方程组（1）有唯一的解⎩⎨⎧=-=22y x ，两条直线有且只有一个公共点为)2,2(-；方程组（2）有无数组解，两条直线有无数个公共点；方程组（3）无解，两条直线无公共点.[说明] ①启发学生观察，并得出如下结论：方程组（1）~（3）的解的个数与其表示的两条直线的交点个数是相同的；方程组（1）的解就是两条直线的交点坐标.并根据上述实例，引导学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出两条直线的位置关系与方程组的解的关系.②在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，使得学生对概念的认识不断深入.2、概念形成一般地，设两条直线的方程分别为1l ：0111=++c y b x a （11,b a 不全为零）……①2l ：0222=++c y b x a （22,b a 不全为零）……②两条相交直线的交点坐标思考并回答：如何求直线1l 、2l 的交点？解答：由直线与直线方程的对应关系，若两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，则交点的坐标一定是两个方程的唯一公共解，反之，若两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是两条直线的交点.由此得出直线1l 、2l 交点的求法：联立1l 与2l 的方程:⎩⎨⎧=++=++002211c y b x a c y b x a ……(Ⅰ)，此方程组的解,即为直线1l 、2l 交点. 两条直线的位置关系与方程组的解的个数之间的关系思考并回答：由方程①②如何判断直线1l 、2l 的位置关系？解答：由引例分析、归纳出：直线1l 、2l 的三种位置关系：相交、平行、重合，对于直线1l 、2l 的方程联立的方程组是：有唯一解、无解、无数多个解．因此我们可以通过讨论方程组的解的个数得出直线1l 、2l 的位置关系.联立1l 与2l 的方程，得方程组:⎩⎨⎧=++=++002211c y b x a c y b x a …(Ⅰ)，此方程组的解的个数与直线1l 、2l 交点的个数一致.计算由方程的系数构成的行列式:2211b a b a D =，2211bc b c D x --=，2211c a c a D y --=.则 当02211≠=b a b a D 时，方程组(Ⅰ)有唯一的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DD y D D x yx ，此时1l 、2l 相交于一点，交点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D D D D y x ,. 当02211==b a b a D 且y x D D ,中至少有一个不为零时，方程组(Ⅰ)无解，此时1l 、2l 没有公共点，即直线1l 与2l 平行.当0===y x D D D 时，方程组(Ⅰ)有无穷多个解，此时1l 、2l 有无数多个公共点，即直线1l 与2l 重合.[说明]①这个问题是本节课的中心议题，应引导全班学生积极思维，让多一点学生发表意见，形成“高潮”；②指出：在平面几何中，我们研究两直线的位置关系时，不考虑两条直线重合的情况，而在解析几何中，由于两个不同的方程可以表示同一条直线，我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究.⏹ 回到引例请学生用上述结论，判断引例中三组直线的位置关系.[说明] ①与引例前后呼应.本环节的设计目的是使学生初步掌握判断直线位置关系的方法：通过计算由直线方程的系数构成的行列式D 、y x D D 、的值，判断两直线的平行、重合、相交. ②通过引例（2）（3）指出，前提条件是直线方程为一般形式.3、概念的辨析⏹ 两条直线的位置关系与其方程的系数之间的关系:1l 与2l 相交⇔方程组(Ⅰ)有唯一解⇔0≠D 即1221b a b a ≠；1l 与2l 平行⇔方程组(Ⅰ)无解⇔0=D 且y x D D ,中至少有一个不为零；1l 与2l 重合⇔方程组(Ⅰ)有无穷多解⇔0===y x D D D .⏹ 02211==b a b a D 时，1l 与2l 平行或重合，即02211==b a b a D 是1l 与2l 平行的必要非充分条件.换言之，2112b a b a =1l ∥2l ；若两条直线不重合，则1221b a b a =⇔1l //2l ．[说明] 引导学生得出：①两条直线的位置关系，可以通过计算系数构成的行列式得到；②对易出错的概念进行反思.4、例题分析例1已知直线1l ：313--=x a y 与2l ：01)1(2=+++y a x ，求实数a 的值，使直线1l 与2l 平行.（补充例题）解：先把直线1l 的方程化为一般形式1l ：013=++y ax .21//l l ,由0=D ,∴(1)60a a +-=，解得3-=a 或2=a ，当时3-=a 两方程化为0133=++-y x 与0122=+-y x 显然平行；当时，2=a 两方程化为0132=++y x 与0132=++y x 两直线重合.∴2=a 不符合，∴3a =-即为所求．[说明]①学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，将学生容易忽略的环节，设置在补充的例题练习中，以便达到强化训练的目的．②强调0=D 是两直线平行的必要条件，求得的字母取值可能使两直线平行,也可能是重合，注意检验.例2 讨论直线下列各组直线之间的位置关系. （课本p17例2）(1)06:21=++y m x l 与023)2(:2=++-m my x m l ;(2) )3(1:11-=-x k y l 与)3(1:22+=-x k y l .[说明]①及时巩固重点内容，使学生在课堂上就能掌握.同时强调规范的书写和表达是否简洁.通过对例题的讲解，在解题步骤和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培养学生分析、思考，以及严谨认真的数学学习习惯;②小题(2)是直线方程的点斜式,需要先化为直线方程的一般形式.例3求经过原点且经过直线022:1=+-y x l 与直线022:2=--y x l 的交点的直线方程． 解：解方程组：⎩⎨⎧=--=+-022022y x y x 得⎩⎨⎧==22y x ，∴1l 与2l 的交点是)2,2(， 设经过原点的直线方程为kx y =，把点)2,2(代入，得1=k ，所以，所求的直线方程为x y =．[说明]例题的设计遵循了从了解到理解，从掌握到应用，由浅入深，循序渐进的不同层次要求.例 4 若三条直线1l ：023=+-y x ，2l ：032=++y x ，3l ：0=+y mx ，当m 为何值时，三条直线不能构成三角形？（补充例题）解:三条直线不能构成三角形⇔三条直线交于同一点或其中至少有两条直线平行.（1）若三条直线交于同一点时,解方程组⎩⎨⎧=++=+-032023y x y x , 得⎩⎨⎧-=-=11y x ，即1l 与2l 的交点是（1,1--），把点（1,1--）代入直线3l 的方程得1-=m ．（2）若其中至少有两条直线平行时，由1l //2l 得：3-=m ; 由32//l l 得:2=m ，综上：当1-=m 或3-=m 或2=m 时三条直线不能构成三角形.[说明]①本例为直线位置关系的综合运用，涉及到求直线的交点及直线的平行或重合时,系数应满足的条件,因此,需要分类讨论的思想方法.②解决三条直线交于一点的问题时,一般先求出其中两条直线的交点,再根据此交点也在第三条直线上，列式求解.5．问题拓展⏹ 从向量的角度,两条直线的三种位置关系有怎样的体现呢?1l 与2l 的一个方向向量分别是1d =),(11a b -,2d =),(22a b -;一个法向量分别是1n =),(11b a ,2n =),(22b a .则1l 与2l 有如下关系：相交⇔1d 不平行2d ⇔1d 不垂直2n ⇔02112≠-b a b a ;平行⇒1d 平行2d ⇔1d 垂直2n ⇔02112=-b a b a ;重合⇒1d 平行2d ⇔1d 垂直2n ⇔02112=-b a b a .⏹ 三种位置关系可以用直线的斜率表示吗？由于不是所有的直线都有斜率，因此需要按“斜率存在、斜率不存在”分类讨论.若至少有一条直线的斜率不存在，则设此直线方程为1x x =,通过图示观察,易知其关系. 若两直线的斜率都存在,直线方程可以化为1l :11d x k y +=，2l :22d x k y +=,则有 ①1l //2l ⇔21k k =且21d d ≠；②1l 和2l 重合⇔21k k =且21d d =；③1l 和2l 相交⇔21k k ≠.[说明] 判断直线位置关系的方法并不唯一，可以从行列式、向量、斜率三个不同角度考虑,使用时要注意方法上的选择.一般情况,采用计算行列式的方法比较单纯，这种方法更具一般性，便于使用，是本节课学习的重点.三、巩固练习练习11.3（1）[说明] 进一步强化判断两条直线位置关系的方法，反馈学生对知识的掌握情况，评价学生对学习目标的落实程度.四、课堂小结本课我们主要学习了哪些知识？应当注意什么？运用了那些思想方法？① 知识点：本节课主要学习了两条直线的位置关系的判定方法，求两条直线的交点坐标的方法.讨论了已知两直线的位置关系，求字母系数值的方法.解决问题时，注意区分两条直线平行与重合满足的条件.② 数学思想方法：类比、转化、数形结合思想，特殊到一般的方法．[说明] 引导学生从知识内容和思想方法两个方面进行小结，使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识，反思、巩固所用到的数学方法，达到巩固知识，明确方法的目的.五、作业布置1、书面作业：习题11.3 ----2,3,4,5,6,7,8,92、思考题：设直线的方程为(21)(32)1850m x m y m ++--+=，求证：不论m 为何值，所给的直线经过一定点.解 方法一：取m=0,1得:⎩⎨⎧⎩⎨⎧==⇒=-+=+-430133052y x y x y x ,把交点坐标(3,4)代入原方程,可知对于任意m, 原方程均成立,即不论m 为何值，所给的直线经过一定点(3,4).方法二：对于任意实数m,关于y x ,的方程(21)(32)1850m x m y m ++--+=的解都相同0)52()1832(=+-+-+⇔y x m y x 对于任意实数m 恒成立,得:⎩⎨⎧⎩⎨⎧===-+=+-43,01832052y x y x y x 解得, 即不论m 为何值，所给的直线经过一定点(3,4).[说明]①作业布置1是课本习题，通过它来反馈知识掌握效果，巩固所学知识，强化基本技能的训练，培养学生良好的学习习惯和品质；②作业布置2设计成思考题，是为了给学有余力的学生留出自由发展的空间，学生可以根据实际情况选用.。
11.3两条直线位置关系一、教学内容分析本小节的内容大致可以分为两部分：一是两条直线的交点、位置关系；二是两条直线的夹角.预计需要三课时:第一课时, 两条直线的交点和位置关系; 第二课时, 两条直线的夹角; 第三课时,两直线的位置关系与夹角公式的应用.在初中平面几何中研究过两条直线的关系.在本小节的教学中，我们用代数方法，在平面直角坐标系中，研究怎样用直线的方程来判断两条直线的位置关系，体现了解析几何用方程研究曲线的基本思想.本小节的重点是由直线方程求两条直线的交点、两条直线位置关系的判断，以及根据直线方程求两条直线夹角的方法.在认识直线与直线方程的对应关系的基础上，抓住“形与数”的对应，理解求两条直线的交点就是求它们的方程的公共解，将两条直线位置关系的问题转化为相应的二元一次方程组的解的个数问题，由此得出两条直线的三种位置关系：相交、平行、重合，对于相应的二元一次方程组就是：有唯一解、无解、无数多个解.然后对两直线相交的情况作定量的研究，规定两条相交直线所交成的锐角或直角为两条相交直线的夹角，通过分析两条相交直线的图形的几何性质，联想两条直线的夹角与两条直线的方向向量的夹角的关系，推导出两条直线的夹角公式.本小节的难点是启发学生把研究两直线的位置关系问题转化为考查它们的方程组成的方程组的解的问题，以及两条直线的夹角公式的推导.突破难点的关键是：建立新旧知识的联系，寻找新知识的生长点，利用数形结合使学生理解“形与数”之间的联系，以及利用数量关系处理几何关系的方法.对直线方程的系数中含有未知数的两直线的位置关系的分类讨论是本小节的一个重点问题，也是一个难点问题.二、教学目标设计理解两条直线的交点就是它们所对应的一次方程组的解，会求两条相交直线的交点；掌握根据方程组解的情况判断两条直线平行、相交或重合的方法；理解两条直线的位置关系在它们的方向向量及其法向量的关系上的反映，理解“形”与“数”之间的联系.通过对两直线位置关系的讨论，运用已有知识解决新问题的能力，提高运用数形结合、分类讨论等思想方法的能力.三、教学重点及难点求两条直线的交点，掌握判断两条直线的位置关系的方法；两条直线的位置关系与相应的方程组的解的个数之间的对应.四、教学用具准备多媒体设备五、教学流程设计六、教学过程设计一、情境设置，导入新课用大屏幕打出直角坐标系中的两条直线，移动两条直线，让学生观察这两条直线的位置关系.思考并回答下列问题1、平面上两条直线有几种位置关系？各有什么几何特征？解答：两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合.从几何特征上看：相交⇔有唯一的公共点；平行⇔没有公共点；重合⇔至少有两个公共点，进而有无数个公共点.[说明] 通过教具演示，增强直观性，帮助学生迅速准确地发现两条直线的关系，由此引出新课,为进一步的研究作好铺垫.并指出，垂直是相交的一种特殊情况.2、在直角坐标系中，这三种位置关系在直线方程上是怎样体现的呢？[说明] 通过对已有相关知识的回顾，自然地提出此问题（暂不要学生回答），给出下面的引例，引导学生来到新知识的生成场景中.让学生带着问题学习，明确了本节课的学习目标，促进学生学习的主动性.二、学习新课关于两直线的交点、位置关系1、概念引入引例：解下列方程组：（1）⎩⎨⎧=++=-+0220243y x y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧+==+-21310362x y y x ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧+==-2131062x y y x ． 然后，请你回答：上述方程组所表示的两条直线的交点个数？如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？解答：由直线方程的概念，我们知道方程组（1）有唯一的解⎩⎨⎧=-=22y x ，两条直线有且只有一个公共点为)2,2(-；方程组（2）有无数组解，两条直线有无数个公共点；方程组（3）无解，两条直线无公共点.[说明] ①启发学生观察，并得出如下结论：方程组（1）~（3）的解的个数与其表示的两条直线的交点个数是相同的；方程组（1）的解就是两条直线的交点坐标.并根据上述实例，引导学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出两条直线的位置关系与方程组的解的关系.②在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，使得学生对概念的认识不断深入.2、概念形成一般地，设两条直线的方程分别为1l ：0111=++c y b x a （11,b a 不全为零）……①2l ：0222=++c y b x a （22,b a 不全为零）……②两条相交直线的交点坐标思考并回答：如何求直线1l 、2l 的交点？解答：由直线与直线方程的对应关系，若两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，则交点的坐标一定是两个方程的唯一公共解，反之，若两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是两条直线的交点.由此得出直线1l 、2l 交点的求法：联立1l 与2l 的方程:⎩⎨⎧=++=++002211c y b x a c y b x a ……(Ⅰ)，此方程组的解,即为直线1l 、2l 交点. 两条直线的位置关系与方程组的解的个数之间的关系思考并回答：由方程①②如何判断直线1l 、2l 的位置关系？解答：由引例分析、归纳出：直线1l 、2l 的三种位置关系：相交、平行、重合，对于直线1l 、2l 的方程联立的方程组是：有唯一解、无解、无数多个解．因此我们可以通过讨论方程组的解的个数得出直线1l 、2l 的位置关系.联立1l 与2l 的方程，得方程组:⎩⎨⎧=++=++002211c y b x a c y b x a …(Ⅰ)，此方程组的解的个数与直线1l 、2l 交点的个数一致.计算由方程的系数构成的行列式:2211b a b a D =，2211bc b c D x --=，2211c a c a D y --=.则 当02211≠=b a b a D 时，方程组(Ⅰ)有唯一的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DD y D D x yx ，此时1l 、2l 相交于一点，交点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D D D D y x ,. 当02211==b a b a D 且y x D D ,中至少有一个不为零时，方程组(Ⅰ)无解，此时1l 、2l 没有公共点，即直线1l 与2l 平行.当0===y x D D D 时，方程组(Ⅰ)有无穷多个解，此时1l 、2l 有无数多个公共点，即直线1l 与2l 重合.[说明]①这个问题是本节课的中心议题，应引导全班学生积极思维，让多一点学生发表意见，形成“高潮”；②指出：在平面几何中，我们研究两直线的位置关系时，不考虑两条直线重合的情况，而在解析几何中，由于两个不同的方程可以表示同一条直线，我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究.⏹ 回到引例请学生用上述结论，判断引例中三组直线的位置关系.[说明] ①与引例前后呼应.本环节的设计目的是使学生初步掌握判断直线位置关系的方法：通过计算由直线方程的系数构成的行列式D 、y x D D 、的值，判断两直线的平行、重合、相交. ②通过引例（2）（3）指出，前提条件是直线方程为一般形式.3、概念的辨析⏹ 两条直线的位置关系与其方程的系数之间的关系:1l 与2l 相交⇔方程组(Ⅰ)有唯一解⇔0≠D 即1221b a b a ≠；1l 与2l 平行⇔方程组(Ⅰ)无解⇔0=D 且y x D D ,中至少有一个不为零；1l 与2l 重合⇔方程组(Ⅰ)有无穷多解⇔0===y x D D D .⏹ 02211==b a b a D 时，1l 与2l 平行或重合，即02211==b a b a D 是1l 与2l 平行的必要非充分条件.换言之，2112b a b a =1l ∥2l ；若两条直线不重合，则1221b a b a =⇔1l //2l ．[说明] 引导学生得出：①两条直线的位置关系，可以通过计算系数构成的行列式得到；②对易出错的概念进行反思.4、例题分析例1已知直线1l ：313--=x a y 与2l ：01)1(2=+++y a x ，求实数a 的值，使直线1l 与2l 平行.（补充例题）解：先把直线1l 的方程化为一般形式1l ：013=++y ax .21//l l ,由0=D ,∴(1)60a a +-=，解得3-=a 或2=a ，当时3-=a 两方程化为0133=++-y x 与0122=+-y x 显然平行；当时，2=a 两方程化为0132=++y x 与0132=++y x 两直线重合.∴2=a 不符合，∴3a =-即为所求．[说明]①学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，将学生容易忽略的环节，设置在补充的例题练习中，以便达到强化训练的目的．②强调0=D 是两直线平行的必要条件，求得的字母取值可能使两直线平行,也可能是重合，注意检验.例2 讨论直线下列各组直线之间的位置关系. （课本p17例2）(1)06:21=++y m x l 与023)2(:2=++-m my x m l ;(2) )3(1:11-=-x k y l 与)3(1:22+=-x k y l .[说明]①及时巩固重点内容，使学生在课堂上就能掌握.同时强调规范的书写和表达是否简洁.通过对例题的讲解，在解题步骤和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培养学生分析、思考，以及严谨认真的数学学习习惯;②小题(2)是直线方程的点斜式,需要先化为直线方程的一般形式.例3求经过原点且经过直线022:1=+-y x l 与直线022:2=--y x l 的交点的直线方程． 解：解方程组：⎩⎨⎧=--=+-022022y x y x 得⎩⎨⎧==22y x ，∴1l 与2l 的交点是)2,2(， 设经过原点的直线方程为kx y =，把点)2,2(代入，得1=k ，所以，所求的直线方程为x y =．[说明]例题的设计遵循了从了解到理解，从掌握到应用，由浅入深，循序渐进的不同层次要求.例 4 若三条直线1l ：023=+-y x ，2l ：032=++y x ，3l ：0=+y mx ，当m 为何值时，三条直线不能构成三角形？（补充例题）解:三条直线不能构成三角形⇔三条直线交于同一点或其中至少有两条直线平行.（1）若三条直线交于同一点时,解方程组⎩⎨⎧=++=+-032023y x y x , 得⎩⎨⎧-=-=11y x ，即1l 与2l 的交点是（1,1--），把点（1,1--）代入直线3l 的方程得1-=m ．（2）若其中至少有两条直线平行时，由1l //2l 得：3-=m ; 由32//l l 得:2=m ，综上：当1-=m 或3-=m 或2=m 时三条直线不能构成三角形.[说明]①本例为直线位置关系的综合运用，涉及到求直线的交点及直线的平行或重合时,系数应满足的条件,因此,需要分类讨论的思想方法.②解决三条直线交于一点的问题时,一般先求出其中两条直线的交点,再根据此交点也在第三条直线上，列式求解.5．问题拓展⏹ 从向量的角度,两条直线的三种位置关系有怎样的体现呢?1l 与2l 的一个方向向量分别是1d =),(11a b -,2d =),(22a b -;一个法向量分别是1n =),(11b a ,2n =),(22b a .则1l 与2l 有如下关系：相交⇔1d 不平行2d ⇔1d 不垂直2n ⇔02112≠-b a b a ;平行⇒1d 平行2d ⇔1d 垂直2n ⇔02112=-b a b a ;重合⇒1d 平行2d ⇔1d 垂直2n ⇔02112=-b a b a .⏹ 三种位置关系可以用直线的斜率表示吗？由于不是所有的直线都有斜率，因此需要按“斜率存在、斜率不存在”分类讨论. 若至少有一条直线的斜率不存在，则设此直线方程为1x x =,通过图示观察,易知其关系. 若两直线的斜率都存在,直线方程可以化为1l :11d x k y +=，2l :22d x k y +=,则有 ①1l //2l ⇔21k k =且21d d ≠；②1l 和2l 重合⇔21k k =且21d d =；③1l 和2l 相交⇔21k k ≠.[说明] 判断直线位置关系的方法并不唯一，可以从行列式、向量、斜率三个不同角度考虑,使用时要注意方法上的选择.一般情况,采用计算行列式的方法比较单纯，这种方法更具一般性，便于使用，是本节课学习的重点.三、巩固练习练习11.3（1）[说明] 进一步强化判断两条直线位置关系的方法，反馈学生对知识的掌握情况，评价学生对学习目标的落实程度.四、课堂小结本课我们主要学习了哪些知识？应当注意什么？运用了那些思想方法？① 知识点：本节课主要学习了两条直线的位置关系的判定方法，求两条直线的交点坐标的方法.讨论了已知两直线的位置关系，求字母系数值的方法.解决问题时，注意区分两条直线平行与重合满足的条件.② 数学思想方法：类比、转化、数形结合思想，特殊到一般的方法．[说明] 引导学生从知识内容和思想方法两个方面进行小结，使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识，反思、巩固所用到的数学方法，达到巩固知识，明确方法的目的.五、作业布置1、书面作业：习题11.3 ----2,3,4,5,6,7,8,92、思考题：设直线的方程为(21)(32)1850m x m y m ++--+=，求证：不论m 为何值，所给的直线经过一定点.解 方法一：取m=0,1得:⎩⎨⎧⎩⎨⎧==⇒=-+=+-430133052y x y x y x ,把交点坐标(3,4)代入原方程,可知对于任意m, 原方程均成立,即不论m 为何值，所给的直线经过一定点(3,4).方法二：对于任意实数m,关于y x ,的方程(21)(32)1850m x m y m ++--+=的解都相同0)52()1832(=+-+-+⇔y x m y x 对于任意实数m 恒成立,得:⎩⎨⎧⎩⎨⎧===-+=+-43,01832052y x y x y x 解得, 即不论m 为何值，所给的直线经过一定点(3,4).[说明]①作业布置1是课本习题，通过它来反馈知识掌握效果，巩固所学知识，强化基本技能的训练，培养学生良好的学习习惯和品质；②作业布置2设计成思考题，是为了给学有余力的学生留出自由发展的空间，学生可以根据实际情况选用.。
