19.4综合与实践多边形的镶嵌课件(共20张PPT)

还有其它正多边形能镶嵌吗？
一个内 能否平 角度数 面镶嵌 正三角形 60° 能
图形
一个顶点周 围正多边形 的个数
6
正方形
90° 能
4
正五边形 108° 不能
正六边形 120° 能
3Leabharlann 结论： 形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成平面图形.
结论： 形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图形.
还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？
答：需正三角形2个，正六边形2个或正三角形4个，正六边 形1个.
课堂小结
要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，需使 得拼接点处的所有角之和等于360°.
可以用同一种正多边形镶嵌的图形只有： 正三角形，正四边形，正六边形.
用一种形状、大小完全相同的三角形、四边形也能进行 平面镶嵌.
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
19.4 综合与实践 多边形的镶嵌
情景导入
好漂亮的地板!这是怎么铺设的?一点空隙也没有.
自主学习
定义：
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆 盖，这叫做平面镶嵌，镶嵌也叫密铺.

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•
•
想一想
如果选择边长相等的两种正多边形进行镶嵌, 你又会选择哪两种呢?
•
解：设每个顶点周围有x个正三角形 和y个正四边形, 则: 60°x+90°y=360° 即: 2x+3y=12 又x、y是正整数, 解得:x=3,y=2. 即每个顶点处用正三角形的三个 内角,正方形的两个内角进行拼接.
•
正三角形和正方形 的平面镶嵌
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•
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这些图形拼成一个平面图案的共 同特征是什么？
•
平面镶嵌:用形状相同或不同的平面封闭图形， 覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全 部覆盖，在几何里面叫做平面镶嵌。
•
•
•
•
思考:仅限于同一种正多边形镶嵌,还能 找到能镶嵌的其他正多边形吗?
•
假设正多边形的边数为n,由K个正多边形恰好 可以镶嵌时,则这些铺在一个顶点处的K个正多边形 的K个内角和应等于 360°, 而正n边形的每个内角的度数为, ( n 2) 180
1 m
1 1 ++= n t
•
1 2
如果用三种不同的正多边形镶嵌，并且每一顶点处一种多边形 只有一个，那么三种正多边形的边数应满足什么条件？
•
小结
1、平面镶嵌的定义. 2、正多边形平面镶嵌的条件. 3、关注身边的数学,关注数学中的美.
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镶嵌之父
M.C.埃舍尔是荷兰的现代版画艺术家、“图形艺
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资料2：镶嵌画历史悠久，最早见于公元前 4000余年的 美索不达米亚，苏美尔人是这种艺术的始祖。镶嵌画以其 色彩的真实性和永久性，制作的多样性以及题材的广泛性 而得以在世界上绵延流传。公元 1 ～ 4 世纪，镶嵌画得到 很大的发展，色彩技巧日臻完善，当时罗马人对它十分推 崇。在美术史上，罗马以及中世纪东罗马时期的镶嵌画无 论在数量上或质量上都名列前茅。如意大利庞培城出土的 《伊苏之战》、拜占庭时期君士坦丁堡的圣索菲亚教堂中 的佐伊皇帝像等许多镶嵌画，都是这个时期的艺术珍品， 在历史上产生过深远的影响。随着罗马人的足迹，镶嵌画 传入其他地方，各国艺术家都以各自的民族风格，发展了 这一艺术。镶嵌画在现代世界艺术中日益占有重要地位。 墨西哥、苏联和民主德国等国家的镶嵌画以其规模的宏大 和新颖的技艺而著称。

90°
4个正方形可以镶嵌
探究多边形平面镶嵌的条件 用边长相同的正五边形能否镶嵌？
∠1+∠2+∠3=?
13 2
为什么边长相等的
正五边形不能镶嵌？
正六边形的平面镶嵌
3个正六边形可以镶嵌
探究多边形平面镶嵌的条件
一个内 能否平 角度数 面镶嵌
图形
一个顶点周 围正多边形 的个数
正三角形 60° 能
6
正方形 90° 能
19.4 综合与实践多边形的镶嵌
教学目标： 通过探究多边形平面镶嵌，知道三角形，四边形和
正六边形可以平面镶嵌，并能运用这几种图形进行简单 的镶嵌设计的条件． 教学重点：
探究多边形平面镶嵌的条件．
教学难点： 用两种正多边形进行平面镶嵌以及平面镶嵌的规律.
情景导入，生成问题 好漂亮的地板!这是怎么铺设的?
情景导入，生成问题 好漂亮的地板!这是怎么铺设的?
思考: 1.这些图案由哪些平面图形拼成的？ 2.这些图形拼成一个平面图案有什么特征？
学习新知 平面镶嵌： 用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖 平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部 覆盖，在几何里面叫做平面镶嵌.
探究多边形平面镶嵌的条件 拼一拼 选一选 活动1：一商铺要装修地板，在正三角形， 正方形，正五边形，正六边形瓷砖中只能选择 一种，你认为哪些可以供他选择？
分组操作，并填写表格
分组操作，并填写表格
一个内 能否平 角度数 面镶嵌
图形
一个顶点周 围正多边形 的个数
正三角形 60°
正方形 90°
正五边形 108°
正六边形 120°
探究多边形平面镶嵌的条件 正三角形的平面镶嵌
60° 60° 60° 60°60°60°

知1－练

，所以正五边形不能在一个顶点

处实现内角之和等于 360°，符合题意；
D 选项， 正六边形的内角为 120 °，
360 °÷120 ° =3，所以 3 个正六边形可以在
一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意 .
答案：C
感悟新知
知1－练
方法点拨
用一种正多边形作平面镶嵌的条件：
(1)边长要相等；
特别解读
使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼
在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组
成一个周角时，就可以作平面镶嵌 .
感悟新知
知1－讲
2.平面镶嵌的原理
在一个顶点处的几个内角恰好拼成一个
周角 .
3. 平面镶嵌的常用方法
(1)只用一种正多边形；
(2)同时用两种正多边形；
(3)用非正多边形 .
感悟新知
可以拼成 360°的角 , 但铺的过程会有重叠 , 故不
能铺满地面 , 此选项不符合题意 .
答案： C
感悟新知
知1－练
方法点拨
用多种正多边形作平面镶嵌应满足三个条件：
(1)拼接在一个顶点处的几个正多边形的内角加
在一起恰好能组成一个周角；
(2)边长相等；
(3)图形间既无缝隙又不重叠 .
感悟新知
例3 某生产瓷砖的厂家因工作失误，使一批正方形瓷
知1－练
砖的一个角都受到了同样的破坏(如图 19.4-1)，在有人
决定将这批瓷砖全部报废时，一名技术员设计了一个
合理的方案，使这批瓷砖经过简单的加工后又能铺设
地面了，请你说出工人师傅根据技术员
提出的方案采取了什么措施，才使破损
的瓷砖“变废为宝”的，画图表示这名技术员的设计 .

知1－练
1
一幅美丽的图案，在某个顶点处由三个边长相等 的正多边形镶嵌而成，其中有两个正八边形，那 么另一个是( )
A．正三角形
B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
知1－练
2 如图所示，已知等边三角形ABC的边长为1，按图
中所示的规律，用2 015个这样的三角形镶嵌而成 的四边形的周长是( A．2 015 ) B．2 016
C．2 017
D．2 018
知1－练
3
为了美化城市，建设中的某小广场准备用边长相 等的正方形和正八边形两种地砖镶嵌地面，在每 一个顶点周围，正方形，正八边形地砖的块数分
别是(
A．1，2 C．2，3
)
B．2，1 D．3，2
知2－讲
知识点
2
用同一种正多边形作平面镶嵌
1. 平面镶嵌的原则：围绕一点拼在一起的多边形的 内角加在一起恰好组成一个周角． 2. 平面镶嵌的常用方法：
理石地砖密铺，这样从里向外共铺了12层(不包括
中央的正六边形)，每一层的外 界都围成一个多边形，若中 央正六边形的地砖的边长为 0.5米，则第12层的外边界所
围成的多边形的周长是多少？
1. 用相同的正多边形镶嵌的条件： (1)边长要相等；
(2)有公共顶点；
(3)在公共顶点处各内角的和为360°. 2. 能用相同的正多边形镶嵌的只有正三角形、正方 形和正六边形三种．
知3－练
2
利用边长相等的正三角形和正六边形的地砖镶嵌 (密铺)地面时，若在每个顶点周围有a块正三角形
和b块正六边形的地砖(a，b≠0)，则a＋b的值为
( ) B．4或5 D．4
A．3或4 C．5或6
知3－练
3
如图是某广场的地面的一部分，地面的中央是一块 正六边形的地砖，周围用正三角形和正六边形的大

正三角形和正方形、正三角形和正六边形、 正方形和正八边形等
本节小结：
1、平面图形的镶嵌 2、平面图形镶嵌的条件 3、任意形状但全等的三角形都可以进行镶嵌 4、任意形状但全等的四边形也都可以进行镶嵌 5、用一种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形、
正方形、正六边形
6、用两种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形和正 方形、正三角形和正六边形、正方形和正八边形 等
1 3 2
36°
用正五边形和什么多边形能密铺？
只用正八边形能进行镶嵌吗？说说理由。
结论
1
能密铺的图形在一个拼接 点处的特点：
各角之和等于360º ,
正多边形边数
3
0
4
360
0
5
540
0
6
0
7
0
```
n
正多边形内角和 180
720 900
(n 2)180 0
正多边形每个 0 内角的度数 60
正六边形的平面镶嵌
试着做做
只用同一种图形,哪些图形可以 镶嵌呢?
①请尝试用你准备的全等三角形进行 镶嵌!同一种任意三角形可以进行镶嵌。 ②请尝试用你准备的四边形进行镶嵌!
同一种任意四边形可以进行镶嵌。
③请尝试用你准备的正六边形进行镶 嵌!同一种正六边形可以进行镶嵌。
只用正五边形能进行镶嵌吗？说说理由。
每个顶点周围有三个正三角形和两个正方形
正三角形和正方形
探究二
用两种正多边形镶嵌,哪些图形可以 进行镶嵌呢? ②尝试用正三角形和正六边形镶嵌
有两种情况： 每个顶点周围有四个正三角形和一个正六边形 每个顶点周围有两个正三角形和两个正六边形
探究二
用两种正多边形镶嵌,哪些图形可以 进行镶嵌呢? ③尝试用正方形和正八边形镶嵌

m·60°+n·90° =360°
2 m+3 n=12
∵ m,n 为正整数
m=3
∴解为
n=2
正三角形和正六边形
60°×4 + 120°=360° 60°×2+120°×2=360°
（二）正三角形与正六边形
设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正六 边形的角，则有
m·60°+n·120 °=360°
19.4 综合与实践 多边形的镶 嵌
定义： 用形状相同或不同的
平面封闭图形，覆盖平面区域， 使图形间既无缝隙又不重叠地
全部覆盖，在几何里面叫做平 面镶嵌.
探究1：仅用一种正多边形镶
嵌，哪些正多边形能单独镶嵌成 一个平面图案？
做一做： 正方形
正三角形
正六边形
镶嵌满足的条件: 能一铺点满的地内面角的和多为边（形36,0围°）绕某
3.任意形状但全等的四边形也都可以进行镶嵌
4.用一种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形、 正方形、正六边形
5.用两种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形和正 方形、正三角形和正六边形、正方形和正八边形 正 三角形和正十二边形等
6.用三种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形和正 方形和正六边形、正方形和正五边形和正十二边形等
∵ k 为正整数， n 为大于等于 3 的正整数
k=6
k=4
k=3
∴解为
n=3
n=4
n=6
探究2：用边长相等的两种正多边形镶嵌，
哪两种正多边形能镶嵌成一个平面图案？
正三角形
正方形
正六边形
正三角形和正方形
60°×3+90°×2=360°
（一）正三角形与正方形

新知讲解
探究三：
用几个形状、大小相同的任意三角形能镶嵌成 一个平面图案吗？任意四边形呢？如果能镶嵌，请说 明理由.
3
1
2
4
3
1
2
新知讲解
∵∴22∠(11∠3+311+∠2∠2+2+∠3∠=3)1=183306°02°
23 1 1 32
∴任3意三角形能镶嵌23 成平1 面图案。3
12
1 32
12
新知讲解
得出结论：如果用一种正多边形可以进行镶嵌， 那么每个内角都是360°的约数.
所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、 正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不能镶嵌．
新知讲解
探究二：
小明搬新家了,他的房间要自己设计,地板想用两种正多边 形来镶嵌，帮忙设计一个方案吧？
新知讲解 活动1：
用边长相等的正三角形和正方形，能否镶嵌成平面图案？请 你试一试！
你知道正三角形及正方形各需要多少吗？ 解：设在一个拼接点周围有 m 个正三角形的角,n 个 正方边形的角， 则有m·60° +n·90° =360° 2m+3n=12 ∵ m,n 为正整数 ∴解为m=3.n=2
需要三个正三角形及两个正方形镶嵌。
新知讲解 请问：同一个组合会有不同的镶嵌效果吗？
图案1
课堂练习
2.某商店出售下列四种形状的地砖：
①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．
若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）
A．4 种 B．3 种
C．2 种 D．1 种
【分析】由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要 看一看正多边形的内角度数是否能整除 360°，能整除的可以 平面镶嵌，反之则不能．

(一）全等的正三角形的平面镶嵌
60°
60°
60°
60° 60°
60°
6个正三角形可以镶嵌
（二）全等的正方形的平面镶嵌
90°
4个正方形可以镶嵌
（三）全等的正六边形的平面镶嵌 3个正六边形可以镶嵌
（四）用全等的正五边形能否镶嵌？
13 2
思考：
为什么全等的正五边形不能 镶嵌，而全等的正三角形、正方 形、正六边形能镶嵌？
谢谢
（二）同一种任意四角形的镶嵌
34
12
34
12
12
12
34
34 12
34
12
34
34 12
12
34
34
12
34
12
12
12
34
34
结论：形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图形。
通过探究我发现：
在每个拼接点处有___个四角，而这___ 四个角的和恰好是这个四边形的四个内角 之___,也和就是它们的和为____.360º
∴解为
n=3
n=4
n=6
同种正多边形可以镶嵌的条件：
360o能被每个内角整除。源自探究（二）用两种边长相等的正多边形镶 嵌，哪些能镶嵌成一个平面区域?
3个正三角形+2个正方形
（一）正三角形与正方形
设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正方形的角
m·60° +n·90° =360°
2 m+3 n=12
结论：
要用图形镶嵌一个平面区域，需拼接点处的所有 角之和等于360°。
1.用一种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形、 正方形、正六边形
2.用两种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形和正 方形、正三角形和正六边形、正方形和正八边形 等

19.4 综合与实践 多边形的镶 嵌
用形状相同或不同的平面封闭图形 把一块平面既无缝隙又不重叠的全 部覆盖叫平面镶嵌。
注意：镶嵌的原则是不重 叠，又无空隙。
探究问题（一）
仅用一种正多边形镶嵌， 哪几种正多边形能镶嵌成一 个平面？
想一想
镶嵌平面图案需要什么条件？
拼接在同一个点的各个角 的和恰好等于360度
探究问题（二）
用多种正多边形镶嵌, 哪些能镶嵌成一个平 面?
思考：
同一种任意三角形可否镶嵌 成一个平面？ 同一种任意四 边形可否镶嵌成一个平面？
课堂小结
通过本节课的学 习你收获了什么？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ还有哪些困惑？
课后作业：
1. 请你收集自己身边的关于镶 嵌的图片，课下和同学交流 其中的数学知识。
2. 发挥自己的想象力，请你帮 老师设计一个客厅地砖铺设 方案。
谢谢