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广东省实验中学2020届高三年级第二次阶段考试数 学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域 内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂 改液．不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．1．己知是i 虚数单位，z 是z 的共轭复数，若i ii z +-=+11)1(，则z 的虚部为( ) A ．21B ．21-C ．i 21D ．i 21-2．在ABC ∆中，点N M ,满足,2MC AM =.NC BN =若,AC y AB x MN +=则=+y x （ ） A ．31B ．21C ．21-D ．41 3．“0<λ”是“数列*),2}({2N n n n a a n n ∈-=λ为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．己知),(x f )(x g 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ， =+)1()1(g f （ ）A ．－3B ．－1C ．1D ．35．4)1)(2(x x x-+的展开式中x 的系数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．126．己知43)2sin(=+βα，,31cos =ββα,为锐角，则)sin(βα+的值为( )A ．122273-B ．121423-C ．122273+D ．121423+7．安排,,,,,,F E D C B A 共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到 义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，则安排方法 共有( ) A ．30种 B ．40种 C ．42种 D ．48种 8．若b a ,是函数)0,0()(2>>+-=q p q px x x f 的两个不同的零点，且2,,-b a 这三个数可适当 排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则q p +的值等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．99．如图，正三棱柱111C B A ABC -的各条棱长均相等，D 为1AA 的中点，N M ,分别是线段1BB 和 线段1CC 上的动点（含端点），且满足.1N C BM =当N M ,运动时，下列 结论不正确的是（ ） A ．平面⊥DMN 平面11B BCC B ．三棱锥DMN A -1的体积为定值 C ．DMN ∆可能为直角三角形D ．平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为⎥⎦⎤⎝⎛4,0π10．己知B A ,是单位圆O 上的两点（O 为圆心），,120=∠AOB点是线段AB 上不与B A 、重合的动点，MN 是圆O 的一条直径，则CM ·CN 的取值范围是( ) A ．)0,43[-B ．)1,1[-C ．)1,21[-D ．)0,1[-11．设双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by x C α的左、右焦点分别为,,21F F c F F 221=，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为,A 己知,23,⎪⎭⎫⎝⎛a c Q ,22A F Q F >点P 是双曲线C 右支 上的动点，且21123F F PQ PF >+恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,210 B ．⎪⎭⎫⎝⎛67,1C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210,67D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210,1 12．若函数0(log )(>=a x x f a 且1=/a ）的定义域与值域都是),](,[n m n m <则a 的取值范围是 A ．),1(+∞B ．),(+∞eC ．),1(eD ．),1(1ee第II 卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．函数,43cos 3)3sin(cos )(2+-+⋅=x x x x f π]4,4[ππ-∈x 的最小值为 . 14．己知数列}{n a 的前项和为,n S ,12141--=+n S a n n 11=a 且*,N n ∈则=n a .15．己知向量),2,1(=a )3,2(-=b ，),5,4(=c 若c b a ⊥+)(λ，则实数=λ . 16．在锐角ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，ABC ∆的面积,2=S 且满足 ),cos 1(cos A b B a +=则))((a b c b a c -+-+的取值范围是 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个 试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足对任意的*,N n ∈都有,0>n a 且.)(22133231n n a a a a a a +++=+++(1)求21,a a 的值；(2)求数列}{n a 的通项公式n a ;(3)设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n n a a 的前n 项和为n S ，不等式)1(log 31a S a n ->对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，31=BB ，,101=AB .601=∠CBB(1)求证：平面⊥ABC 平面;11B BCC (2)求二面角C AB B --1的正弦值.19．（本小题满分12分）已知椭圆C 以)0,1(1-F ，)0,1(2F 为焦点，且离心率⋅=22e (1)求椭圆C 的方程;(2)过点2,0(M ),斜率为k 的直线1l 与椭圆C 有两个不同的交点P 、,Q 求k 的取值范围； (3)设椭圆C 与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在直线1l ,满足(2)中的条件且使得向量OQ OP +与AB 垂直？如果存在，求出1l 的方程；如果不存在，请说明理由． 20．（本小题满分12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变，近年来，移动支付己成为主要支付方式之一，为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；(2)从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额 大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；(3)己知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3 人，发现他们本月的支付金额都大于2000元，根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生 中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由． 21．（本小题满分12分） 己知),,0(3ln 2)(2R m x mx x e x x f x∈>--=(1)若)(x f 在1=x 处的切线与直线03=+ey x 垂直，求xe x xf xg 2)()(-=的极值；(2)若1)(≥x f 对任意的正实数x 恒成立，求m 的取值范围.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=m m y mm x 612612(m 为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1)3cos(=+πθρ(1)求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程； (2)己知点)0,2(M ,若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求MQMP 11+的值．23.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 己知z y x ,,是正数．(1)若1<xy ,证明：xyz y z z x 4||||>+⋅+; (2)若,31=++z y x xyz 求xz yz xy 222⋅⋅的最小值.数学（理科）参考答案一、选择题1～12 AAACC DCDCA BD 二、填空题 13．21-14．12-n 15．2- 16．)8,828(- 三、解答题 17．（本小题12分）解：(1)当1=n 时，有,2131a a =由于,0>n a 所以11=a当2=n 时，有,)(2213231a a a a +=+由于,0>n a 所以2,=a ——2分(2)由于22133231)(n n a a a a a a +++=+++ ①则有21213133231)(++++++=++++n n n n a a a a a a a a ② ②－①得：),(22112131n n n n a a a a a a ++++=+++ 由于0>n a 所以：)(221121n n n a a a a a ++++=++ ③ ——3分 同样有)2(),(21212≥++++=-n a a a a a n n n ④ ③－④得：n n n n a a a a +=-++1221 ——4分所以)2(11≥=-+n a a n n因为当1=n 时，11212=-=-a a ——5分所以}{n a 是以11=a 为首项，以1为公差的等差数列，.n a n = ——6分 （备注：没有检验当1=n 时，11212=-=-a a ，扣1分） （3）因为)211(21)2(112+-=+=+n n n n a a n n ——7分所以21153423111111++-+++++=n n n n n a a a a a a a a a a S)211111151314121311(21+-++--++-+-+-=n nn n)2111(2143)2111211(21+++-=+-+-+=n n n n ——9分因为,0)3)(1(11>++=-+n n S S n n 所以数列}{n S 是递增数列 ——10分所以311=≥S S n ，要使不等式)1(log 31a S a n ->对任意的正整数n 恒成立。
广东实验中学2020届高三级第三次阶段考试数 学（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区 域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}260A x x x =--<，集合{}2|log 1B x x =<，则AB =（ ）A. ()2,3-B. (),3-∞C. ()2,2-D. ()0,22.己知i 是虚数单位，复数z 满足1zi z=-，则z 的模是( ) A. 1B. 123.若2,a ln =125b -=，201cos 2c xdx π=⎰，则,,a b c 的大小关系（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. c b a <<D. b c a <<4.若2sin cos 12x x π⎛⎫-+=⎪⎝⎭，则cos2x =（ ） A. 89-B. 79-C. 79D. -15.(,2)m ∈-∞-是方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条D. 既不充分也不必要条件6.点P 是ABC △所在平面上一点，若2355AP AB AC =+，则ABP △与ACP △的面积之比是（ ） A. 35B. 52C.32D.237.已知()121sin 221xxf x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，则函数()y f x =的图象大致为（） A. B.C. D.8.某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A. 24B. 16C. 8D. 129.已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是（ ）.A. 3(0,]5B. 13[,]25C. 13[,]24D. 15[,)2210.设变量y 满足约束条件342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则z ＝|x －3y |的最大值为( )A. 8B. 4C. 2D.511.AOB 中，OA a OB b ==，，满足||2a b a b ⋅=-=，则AOB ∆的面积的最大值为（ ） B. 2C.D. 12.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上有一点P ，1F ，2F 分别为椭圆左、右焦点，椭圆内一点Q 在线段2PF 的延长线上，且1,QF QP ⊥15sin 13F PQ ∠=，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） A ⎫⎪⎪⎝⎭B. 15⎛ ⎝⎭C. 15⎛ ⎝⎭D. ⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数()3ln 2f x x x x =+，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是___________．14.()422x x --的展开式中，3x 的系数为 ． （用数字填写答案）15.己知函数sin ()xx af x e-=有极值，则实数a 的取值范围为_____________ 16.点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，5,AC =4,BC =将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使B DC '∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后AB '的最小值是_______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．.（一）必考题：共60分．17.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比是正数的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知．1122331,3,8,15a b a b T S ==+=-= (Ⅰ)求{}{},n n a b 的通项公式； (Ⅱ)若数列{}n c 满足11211222n n n n a c a c a c n +--+++=--对任意*n N ∈都成立；求证：数列{}n c 是等比数列．18.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠BCD ＝120°，四边形BFED 为矩形，平面BFED ⊥平面ABCD ，BF ＝1.(1)求证：AD ⊥平面BFED ；(2)点P 在线段EF 上运动，设平面PAB 与平面ADE 所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．19.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()12,0F -，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N . （1）求椭圆C 的方程；（2）以MN 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由． 20.某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）. （2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布())2,N μσ，经计算第（1）问中样本标准差s 的近似值为50．用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.参考数据：若随机变量服从正态分布()2N μσ，，则()0.6827P μσξμσ-<+≈…，(33)0.9973P μσξμσ-<+≈…，(22)0.9545P μσξμσ-<+≈…（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券3万元．已知硬币出现正、反面的概率都是0.5方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次．若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k 到1k +）若掷出反面遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第1(1)9n n 剟格的概率为P 试证明{}1n n P P --是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值．21.已知函数sin ()()cos sin xf xg x x x x x==⋅-，. （1）判断函数()g x 在区间(0)3π，上零点的个数； （2）函数()f x 在区间(0)+∞，上的极值点从小到大分别为1234nx x x x x ，，，，，证明：（Ⅰ）()()120f x f x +<；（Ⅱ）对一切()()()()*1230n n N f x f x f x f x ∈++++<，成立..（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=，[)0,2θ∈π. （1）求1C 的直角坐标方程；（2）曲线2C 的参数方程为cos 6sin6x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求1C 与2C 的公共点的极坐标.23.设()f x x 1x 1=-++ (1)求()f x x 2≤+ 的解集;(2)若不等式()a 12a 1f x a+--≥,对任意实数a 0≠恒成立,求实数x 的取值范围..。
2020届广东省实验中学2017级高三下学期3月线上月考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合[]{}{21,1,1,||,A y y x x B x y ==-∈-==则A B =（ ） A. 0,1B. []1,1-C. 0,1D. ∅【答案】A【解析】求函数[]21,1,1y x x =-∈-的值域化简集合A 的表示,再求出函数y =的定义域化简集合B 的表示,最后根据集合交集的定义结合数轴进行求解即可.【详解】因为[]{}{2|[0,11,1,]|[,,1),2A y y x x B x y ===-∈--===+∞ 所以A B =[]0,1.故选：A2.若复数z 满足()()3451i z i -=-,其中i 为虚数单位,则z 的虚部为（ ）A. 1B. 15-C. 15D. 1-【答案】C【解析】由已知等式化简变形得出()5134i z i -=-,利用复数的除法法则将复数化为一般形式,即可得出复数z 的虚部.【详解】根据已知得()()()()()515134771343434555i i i i z i i i i --++====+--+, 因此,复数z 的虚部为15. 故选：C.3.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===,则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】B【解析】 运用中间量0比较,a c ,运用中间量1比较,b c【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．4.求下列函数的零点,可以采用二分法的是（ ）A. 4()f x x =B. ()tan 2()22f x x x ππ=+-<<C. ()cos 1f x x =-D. ()23x f x =- 【答案】B【详解】4()f x x =不是单调函数,0y ≥,不能用二分法求零点； ()tan 2()22f x x x ππ=+-<<是单调函数,y R ∈,能用二分法求零点；()cos 1f x x =-不是单调函数,0y ≤,不能用二分法求零点；()23x f x =-不是单调函数,0y ≥,不能用二分法求零点.故选：B5.已知角α顶点为原点,始边与x 轴非负半轴重合,点()P 在终边上,则()cos 6πα-=（ ）A. 12B. 12- D. 【答案】B【解析】根据任意角三角函数定义可求得sin ,cos αα,代入两角和差余弦公式可求得结果.。
状元考前提醒拿到试卷：熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。
答题策略答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。
先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。
2. 先小后大。
先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。
3. 先局部后整体。
把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。
立足中下题目，力争高水平考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。
中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。
确保运算正确，立足一次性成功在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。
不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。
试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。
要学会“挤”分考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。
考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。
检查后的涂改方式要讲究发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。
如果对现有的题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。
有的同学先把原来写的题解涂抹了，写新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。
考试期间遇到这些事，莫慌乱！广东省实验中学2020届高三数学上学期第三次阶段考试试题理本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分 分，考试用时 分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
广东省广州市广东实验中学2020-2021学年高三第三次阶段考试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合{}2|60A x x x =--<，集合{}2|lo 1g B x x =<，则A B =（ ）A ．()2,3-B ．(),3-∞C ．()2,2-D ．()0,2 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足1z i z =-，则z 的模是( ) A ．1 B ．12CD3．若2,a ln =125b -=，201cos 2c xdx π=⎰，则,,a b c 的大小关系（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a << 4．若2sin cos 12x x π⎛⎫-+=⎪⎝⎭，则cos2x =（ ） A ．89- B ．79- C ．79 D ．-15．(,2)m ∈-∞-是方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条D ．既不充分也不必要条件 6．点P 是ABC 所在平面上一点，若2355A AP B AC =+，则ABP △与ACP △的面积之比是（ ）A ．35B ．52C ．32D ．23 7．已知()121sin 221x x f x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，则函数()y f x =的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．8．某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A ．24 B ．16C ．8D ．12 9．已知函数22()2sin cos sin (0)24x f x x x ωπωωω⎛⎫=⋅--> ⎪⎝⎭在区间25,56ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．15,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．设变量y 满足约束条件342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则z ＝|x －3y |的最大值为( )A ．8B ．4C ．2 D11．AOB 中，OA a OB b ==，，满足||2a b a b ⋅=-=，则AOB ∆的面积的最大值为（ ）AB ．2 C．D．12．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点P ，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点Q 在线段2PF 的延长线上，且1,QF QP ⊥15sin 13F PQ ∠=，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） A．⎫⎪⎪⎝⎭B．15⎛ ⎝⎭ C．1,52⎛ ⎝⎭ D．2⎝⎭二、填空题 13．设函数()3ln 2f x x x x =+，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是___________．14．()422x x --的展开式中，3x 的系数为 ． （用数字填写答案）15．已知函数sin ()x x a f x e-=有极值，则实数a 的取值范围为_____________ 16．点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，5,AC =4,BC =将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使B DC '∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后AB '的最小值是_______．三、解答题17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比是正数的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知．1122331,3,8,15a b a b T S ==+=-=(Ⅰ)求{}{},n n a b 的通项公式；(Ⅱ)若数列{}n c 满足11211222n n n n a c a c a c n +--+++=--对任意*n N ∈都成立；求证：数列{}n c 是等比数列．18．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠BCD ＝120°，四边形BFED 为矩形，平面BFED ⊥平面ABCD ，BF ＝1.(1)求证：AD ⊥平面BFED ；(2)点P 在线段EF 上运动，设平面P AB 与平面ADE 所成锐二面角为θ，试求θ的最小值． 19．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()12,0F -，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N .（1）求椭圆C 的方程；（2）以MN 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．20．某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布())2,N μσ，经计算第（1）问中样本标准差s 的近似值为50．用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.参考数据：若随机变量服从正态分布()2N μσ，，则()0.6827P μσξμσ-<+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<+≈，(22)0.9545P μσξμσ-<+≈.（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券3万元．已知硬币出现正、反面的概率都是0.5方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次．若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k 到1k +）若掷出反面遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第1(1)9n n 格的概率为P 试证明{}1n n P P --是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值． 21．已知函数sin ()()cos sin x f x g x x x x x==⋅-，. （1）判断函数()g x 在区间(0)3π，上零点的个数； （2）函数()f x 在区间(0)+∞，上的极值点从小到大分别为1234n x x x x x ，，，，，证明：（Ⅰ）()()120f x f x +<；（Ⅱ）对一切()()()()*1230n n N f x f x f x f x ∈++++<，成立.22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=，[)0,2θ∈π. （1）求1C 的直角坐标方程；（2）曲线2C 的参数方程为cos 6sin 6x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求1C 与2C 的公共点的极坐标. 23．设()f x x 1x 1=-++ .(1)求()f x x 2≤+ 的解集;(2)若不等式()a 12a 1f x a +--≥,对任意实数a 0≠恒成立,求实数x 的取值范围.参考答案1．A【分析】先由二次不等式的解法得{}|23A x x =-<<，由对数不等式的解法得{}|02B x x =<<，再结合集合并集的运算即可得解.【详解】解不等式260x x --<,解得23x -<<,则{}|23A x x =-<<,解不等式2log 1x <,解得02x <<,即{}|02B x x =<<,即A B =()2,3-,故选:A.【点睛】本题考查了二次不等式的解法及对数不等式的解法，重点考查了集合并集的运算，属基础题. 2．C【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．【详解】1z z=-i ， ∴z ＝i -zi ，∴z 1(1)11222i i i i i ===++-，∴|z |2==， 故选：C ．【点睛】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．3．D【分析】 利用对数函数的性质，以及微积分定理与12比较即可. 【详解】12ln,2a ln=>=121,25b-=<==()2111cos sin2222c xdx xππ=⎰=⨯=，故选：D【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的性质，微积分定理，考查利用中间量比较大小，属于常考题型.4．C【分析】利用诱导公式化简得到sin x，再结合二倍角的余弦公式即可求解.【详解】2sin sin1x x+=，即1sin3x=所以22cos212sin1799x x=-=-=故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，属于基础题.5．A【分析】方程表示双曲线，可得()()()5320m m m--+<，解得m范围即可判断出结论，解得m 范围即可判断出结论．【详解】由方程222156x ym m m+=---表示的图形为双曲线，可得()()2560m m m---<，即()()()5320m m m--+<即2m<-，或35m<<，∴ (,2)m ∈-∞-是方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线的充分不必要条件， 故选：A【点睛】本题考查了双曲线的标准方程、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．C【分析】 由向量的线性运算可得32=BP PC ，即点P 在线段AB 上，且32=BP PC ,由三角形面积公式可得:ABP S ∆APC S ∆:3:2BP PC ==，得解.【详解】解：因为点P 是ABC 所在平面上一点，又2355AP AB AC =+， 所以2233-=-5555AP AB AC AP ,即23=55BP PC ,即32=BP PC ， 则点P 在线段BC 上，且32=BP PC , 又1sin 2APC S AP PC APC ∆=∠，1sin 2ABP S AP BP APB ∆=∠, 又APB APC π∠+∠=，即sin sin APC APB ∠=∠，所以点P 在线段BC 上，且32=BP PC , :ABP S ∆APCS ∆1sin :2AP BP APB =∠1sin 2AP PC APC ∠:3:2BP PC ==， 故选：C.【点睛】 本题考查了向量的线性运算及三角形的面积公式，重点考查了运算能力，属中档题. 7．D【分析】由函数解析式可得()()f x f x =-，则函数()y f x =为偶函数，其图像关于y 轴对称，再取特殊变量4π得04f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，即可得在()0,∞+存在变量使得()0f x <，再观察图像即可. 【详解】解：因为()121sin 221x x f x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭， 则()121sin 221x x f x x x ---⎛⎫-=-+⋅ ⎪+⎝⎭=121sin 221x x x x -⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭， 即()()f x f x =-，则函数()y f x =为偶函数，其图像关于y 轴对称， 不妨取4x π=，则 ()4421(0821f x πππ-=<+， 即在()0,∞+存在变量使得()0f x <，故选D.【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断及函数的图像，重点考查了函数的思想，属中档题.8．B【分析】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解．【详解】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有222A =种情况；（2）将这个整体与英语全排列，有222A =中顺序，排好后，有3个空位； （3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2中情况，则数学、物理的安排方法有224⨯=种，所以不同的排课方法的种数是22416⨯⨯=种，故选B ．【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答红注意特殊问题和相邻问题与不能相邻问题的处理方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题． 9．D 【分析】将函数()f x 用三角恒等变换化简成正弦型函数，根据整体代换与正弦函数的性质，结合已知建立ω的不等量关系，即可求解. 【详解】22()2sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭2sin [1cos()]sin sin 2x x x x πωωωω=⋅+--=，()f x 在区间25,56ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 250,56x ωπωωπω>-≤≤，53,0625ππωω∴≤∴<≤. 当22(),()22k x k k Z x k Z πππωπωω=+∈=+∈时，()f x 取得最大值， 而()f x 在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，222ππωπππωω⎧≤⎪⎪∴⎨⎪+>⎪⎩，解得1522ω≤<，综上，1325ω≤≤. 故选:D. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换、正弦函数的性质，整体代换是解题的关键，属于中档题. 10．A 【解析】由题意作出满足条件的可行域如图中阴影部分，则对于目标函数z=|x ﹣3y |，平移直线y=13x 可知，当直线经过点A （﹣2，2）时，z=|x ﹣3y |取得最大值， 代值计算可得z max =|﹣2﹣3×2|=8． 故选：A ．11．A 【分析】利用数量积公式以及平方关系计算得到sin AOB ∠，利用模长公式以及基本不等式得到||||4a b ≤，结合三角形面积公式化简即可求解.【详解】||||cos 2a b a b AOB ⋅=∠=,即2cos ||||AOB a b ∠=2(||||)4sin |||||||a b AOB a b a b -∴∠==⎪⎭22||||2||2a b a a b b -=-⋅+= ，即228||||2||||a b a b =+≥所以||||4a b ≤ 所以22(||||)41111||||sin ||||=(||||)4164=32222||||AOBa b S a b AOB a b a b a b ∆-=∠=-≤-故选：A 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.12．C 【分析】首先满足QF 1⊥QP ，点Q 在椭圆的内部，故点Q 轨迹在以F 1F 2为直径，原点为圆心的圆上，且圆在椭圆的内部,得到2e <；根据Q 在线段2PF 的延长线上，考虑极端情况，得到15e >，得到答案. 【详解】∵QF 1⊥QP ，∴点Q 在以F 1F 2为直径，原点为圆心的圆上， ∵点Q 在椭圆的内部，∴以F 1F 2为直径的圆在椭圆内，∴c ＜b ；∴c 2＜a 2﹣c 2，∴212e ＜，故0＜e ； 当Q 点与2F 重合时，此时不妨设113PF =，则125F F =，故212PF =. 即252a =，52c =，此时15e =. Q 在线段2PF 的延长线上，故212PF F π>∠，故15e >.综上可得：1,52e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C ．【点睛】本题考查了椭圆的性质、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 13．750x y --= 【分析】先求函数()f x 的导函数()'fx ，再由导数的几何意义，求()'17f =，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线的斜率为7，再由直线的点斜式方程求解即可. 【详解】解：因为()3ln 2f x x x x =+，所以()'2ln 16fx x x =++，则()'21ln11617f =++⨯=，即曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是27(1)y x -=-，即750x y --=， 故答案为750x y --=. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线的点斜式方程，重点考查了导数的应用及运算能力，属基础题. 14．40- 【解析】试题分析：()422x x --()422x x ⎡⎤=-+⎣⎦展开后只有()42x +与()33242C x x -+中含3x 项其系数和为133124432240C C C ⨯-⨯⨯=-，故答案为40-.考点：二项展开式定理.15．( 【分析】求出函数的导函数，则cos sin ()xx x af x e -+'=有可变零点，求三角函数的值域得到结果.【详解】由sin ()x x a f x e -=可得：cos sin ()x x x af x e -+'=，∵函数sin ()xx af x e-=有极值， ∴cos sin ()xx x af x e -+'=有可变零点，∴cos sin 0x x a -+=，即sin cos 4a x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴(a ∈故答案为：( 【点睛】本题考查函数存在极值的条件，考查三角函数的值域问题，考查转化思想，属于中档题.16【分析】过点B ′作B ′E ⊥CD 于E ，连结BE ，AE ，设∠BCD ＝∠B ′CD ＝α，则有B ′E ＝4sin α，CE ＝4cos α，2ACE πα∠=-，由此利用余弦定理、勾股定理能求出当4πα=时，AB ′取【详解】解：过点B ′作B ′E ⊥CD 于E ，连结BE ，AE ， 设∠BCD ＝∠B ′CD ＝α，则有B ′E ＝4sin α，CE ＝4cos α，2ACE πα∠=-，在△AEC 中，由余弦定理得：222516402AE cos cos cos πααα⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭＝25+16cos 2α﹣40sin αcos α， 在Rt △AEB ′中，由勾股定理得：AB '2＝AE 2+B ′E 2＝25+16cos 2α﹣40sin αcos α+16sin 2α＝41﹣20sin2α，∴当4πα=时，AB ．【点睛】本题考查线段长的最小值的求法，考查余弦定理、勾股定理、直二面角等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．17．（1）1,32n n n a n b -==⋅；（2）证明见解析．【解析】(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为(0)q q >2375d q q q d +=+-=由题意得……………………………………………………………2分2375d q q q d +=+-=解得………………………………………………………5分(Ⅱ)由知两式相减：………………………………8分…………………………………………………………………10分当时，，适合上式即是等比数列…………………………18．（1）证明见解析 （2）θ最小值为60° 【分析】（1）在梯形ABCD 中，利用勾股定理，得到AD ⊥BD ，再结合面面垂直的判定，证得DE ⊥平面ABCD ，即可证得AD ⊥平面BFED ；（2）以D 为原点，直线DA ，DB ，DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面P AB 与平面ADE 法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。
- 1 - 广东实验中学2020届高三级第三次阶段考试数 学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分 分，考试用时 分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区 域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{},06|2<--=x x x A 集合{}1log |2<=x x B ，则=B A （ ） A ．)3,2(- B ．)3,(-∞ C ．)2,2(- D ．)2,0(2．己知i 是虚数单位，复数z 满足i zz =-1，则z 的模是( ) A ．1B ．21C ．22D ．2 3．若,2ln =a 215=b ，xdx c cos 2120⎰=π，则c b a ,,的大小关系( ) A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b << 4．若12cos sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛+-x x π，则=x 2cos （ ） A ．98- B ．97- C ．97 D ．1-5．)2,(--∞∈m 是方程165222=--+-m m y m x 表示的图形为双曲线的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．点p 是ABC ∆所在平面上一点，若AC AB AP 5352+=,则ABP ∆与ACP ∆的面积之比是( )A ．53B ．25C ．23D ．32。
2020届广东省华南师大附中、实验中学、广雅中学、深圳中学高三上学期期末联考数学（理）试题一、单选题1．集合1|,24k M x x k Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，1|,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．M N = B ．MN C ．N M D ．M N ⋂=∅【答案】B【解析】首先求出集合M 、N 中的元素，由集合的包含关系即可求解. 【详解】121|,,244k k M x x k Z x x k Z ⎧⎫-⎧⎫==-∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，12|,,424k k N x x k Z x k Z ⎧⎫+⎧⎫==+∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，2k Z +∈Q 可表示全体整数，21k -表示全体奇数，∴MN ，故选：B 【点睛】本题考查了集合与集合之间的关系，解题的关键是确定集合中的元素，属于基础题. 2．原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12=z z ”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ） A ．真，假，真 B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【答案】B【解析】试题分析：设复数1z a bi =+，则21z z a bi ==-，所以2212z z a b ==+，故原命题为真；逆命题：若12z z =，则12,z z 互为共轭复数；如134z i =+，243z i =+，且125z z ==，但此时12,z z 不互为共轭复，故逆命题为假；否命题：若12,z z 不互为共轭复数，则12z z ≠；如134z i =+，243z i =+，此时12,z z 不互为共轭复，但125z z ==，故否命题为假；原命题和逆否命题的真假相同，所以逆否命题为真；故选B.【考点】命题以及命题的真假.3．已知平面向量a r ,b r 是非零向量,|a r |=2,a r ⊥(a r +2b r ),则向量b r 在向量a r方向上的投影为( ) A ．1 B ．-1C ．2D ．-2【答案】B【解析】先根据向量垂直得到a r g (a r +2b r ),=0，化简得到a r g b r=﹣2，再根据投影的定义即可求出． 【详解】∵平面向量a r ,b r 是非零向量,|a r |=2,a r ⊥(a r +2b r), ∴a r g (a r +2b r),=0，即()2·20a a b +=vv v即a r g b r=﹣2∴向量b r 在向量a r 方向上的投影为·22a b a -=vv v =﹣1，故选：B ． 【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．4．平面α∥β平面的一个充分条件是（ ） A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α 【答案】D【解析】试题分析：对于A ，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A 不对；对于B ，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B 不对；对于C ，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C 不对；对于D ，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D 正确【考点】空间线面平行的判定与性质 5．函数2()log 3sin()2f x x x π=-零点的个数是 （ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【解析】试题分析：令2()log 3sin()2f x x x π=-=0，可得2()log 3sin()2f x x x π=-=， 因为2()log 3sin()2f x x x π=-[3,3]∈-，所以在同一平面直角坐标系内，画出y=2()log 3sin()2f x x x π=-,y=2()log 3sin()2f x x x π=-在[0,8]的图象，观察交点个数即得，选C 。
广东实验中学2020届高三级第三次阶段考试数 学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分 分，考试用时 分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区 域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{},06|2<--=x x x A 集合{}1log |2<=x x B ，则=B A （ ）A ．)3,2(-B ．)3,(-∞C ．)2,2(-D ．)2,0(2．己知i 是虚数单位，复数z 满足i zz=-1，则z 的模是( ) A ．1B ．21C ．22D ．23．若,2ln =a 215=b ，xdx c cos 2120⎰=π，则c b a ,,的大小关系( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b <<4．若12cos sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛+-x x π，则=x 2cos （ ） A ．98-B ．97-C ．97D ．1-5．)2,(--∞∈m 是方程165222=--+-m m y m x 表示的图形为双曲线的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．点p 是ABC ∆所在平面上一点，若AC AB AP 5352+=,则ABP ∆与ACP ∆的面积之比是( ) A ．53B ．25C ．23 D ．327．己知,1212sin 21)(+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=xxx x x f 则函数)(x f y =的图象大致为()8．某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是( ) A ．16 B ．24 C ．8 D ．12 9．己知函数)0(sin )42(cos sin 2)(22>--=w wx wx wx x f π在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,32ππ上是增函数，且在区间],0[π上恰好取得一次最大值1，则w 的取值范围是( ) A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛53,0B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡53,21C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,21D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡25,21 10．设变量y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥,243,x y x x y ，则y x z 3-=的最大值为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．55411．AOB ∆中，=，,=满足2=-=⋅，则A O B ∆的面积的最大值为（ ） A ．3B ．2C ．32D ．2212．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上有一点P ，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点Q 在线段2PF 的延长线上，且,QP QF ⊥135sin 1=∠PQ F ，则该椭圆离心率的取值范围是( ) A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛1,2626 B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛35,51 C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,51D ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,2626第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设函数32ln )(x x x x f +=，则曲线)(x f y =在点)2,1(处的切线方程是14．()422--x x 的展开式中，3x 的系数为 （用数字填写答案） 15．己知函数xeax x f -=sin )(有极值，则实数a 的取值范围为 16．点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，,5=AC ,4=BC 将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使DC B '∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后B A '的最小值是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分． 17.（本小题满分12分）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，公比是正数的等比数列}{n b 的前n 项和为n T ，己知,11=a31=b ，822=+b α，.1533=-S T （1）求}{n a ，}{n b 的通项公式；(2)若数列}{n c 满足221121121--=+++++--n c a c a c a c a n n n n n 对任意*N n ∈都成立，求证：数列}{n c 是等比数列．18.（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，,//CD AB ,1===CB DC AD120=∠BCD ，四边形BFED 为矩形，平面⊥BFED 平面,ABCD .1=BF(I)求证：⊥AD 平面;BFED(II)点P 在线段FE 上运动，设平面PAB 与平面ADE 所成锐二面角为,θ试求θ的最小值． 19．（本小题满分12分）己知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为)0,2(1-F ，点)2,2(B在椭圆C 上，直线)0(=/=k kx y 与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点.,N M(I)求椭圆C 的方程；(II)以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．20.（本小题满分12分）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试。
2018-2019学年广东省广州市实验中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、（每题5分，共60分）1．（5分）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱2．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°3．（5分）若D′是平面α外一点，则下列命题正确的是（）A．过D′只能作一条直线与平面α相交B．过D′可作无数条直线与平面α垂直C．过D′只能作一条直线与平面α平行D．过D′可作无数条直线与平面α平行4．（5分）点（1，﹣1）到直线x﹣y+1=0的距离是（）A．B．C．D．5．（5分）已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β=n，则m∥n，其中不正确的命题的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个6．（5分）设直线l1：2x﹣my﹣1=0，l2：（m﹣1）x﹣y+1=0．若l1∥l2，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．1或﹣27．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）若变量x，y满足x+5y+13=0（﹣3≤x≤2，且x≠1），则的取值范围是（）A．k≥或k≤﹣4 B．﹣4≤k≤C．≤k≤4 D．﹣≤k≤49．（5分）如图，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC．那么，动点C在平面α内的轨迹是（）A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点C．一个椭圆，但要去掉两个点D．半圆，但要去掉两个点10．（5分）若直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（）A．（0，4） B．（0，2） C．（﹣2，4）D．（4，﹣2）11．（5分）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积等于（）A．B．C．D．12．（5分）如图，在体积为2的三棱锥A﹣BCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G，使AE：EB=AF：FC=AG：GD=2：1，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱锥O﹣BCD的体积等于（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是14．（5分）过点A（2，3）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线方程为．15．（5分）如图四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=3BC，过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q，则以下四个结论：①QC∥A1D②B1Q=2QB；③直线A1B与直线CD相交；④四棱柱被平面α分成的上下两部分的体积相等．其中正确的有．16．（5分）已知△ABC中，顶点A（﹣2，1），点B在直线l：x+y﹣3=0上，点C在x轴上，则△ABC周长的最小值．三、解答题（共6大题，共计70分）17．（10分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．18．（12分）根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点（﹣3，4），且在两坐标轴上的截距相等；（2）直线过点（5，10），且到原点的距离为5．19．（12分）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．20．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1，求；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．21．（12分）已知函数f（x）=x+的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．（1）求a的值．（2）问：|PM|•|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．22．（12分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E 与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．（Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；（Ⅱ）当PB取得最小值时，请解答以下问题：（i）求四棱锥P﹣BDEF的体积；（ii）若点Q满足=λ（λ＞0），试探究：直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于？并说明理由．2018-2019学年广东省广州市实验中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、（每题5分，共60分）1．（5分）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱【解答】解：A、球的三视图均为圆，且大小均等；B、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，其三视图均为三角形且形状都相同；C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；D、圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形．故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱．故选：D．2．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：设其倾斜角为α，∵直线x+y+1=0的斜率为k=﹣，∴tanα=﹣，又α∈[0°，180°），∴α=120°．故选：C．3．（5分）若D′是平面α外一点，则下列命题正确的是（）A．过D′只能作一条直线与平面α相交B．过D′可作无数条直线与平面α垂直C．过D′只能作一条直线与平面α平行D．过D′可作无数条直线与平面α平行【解答】解：观察正方体，A、过D′可以能作不止一条直线与平面α相交，故A错；B、过D′只可作一数条直线与平面α垂直，故B错；C、过D′能作不止一条直线与平面α平行，故C错；D、过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行，且这个平面内的任一条直线都与已知平面平行，故D对．故选：D．4．（5分）点（1，﹣1）到直线x﹣y+1=0的距离是（）A．B．C．D．【解答】解：点（1，﹣1）到直线x﹣y+1=0的距离是：=故选：D．5．（5分）已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β=n，则m∥n，其中不正确的命题的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：真命题有①直线与平面垂直的判定定理之一；②两个平面平行的判定之一；③直线与平面垂直推出平面与平面垂直判定．④是假命题，m、n可以是异面直线．故选：B．6．（5分）设直线l1：2x﹣my﹣1=0，l2：（m﹣1）x﹣y+1=0．若l1∥l2，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．1或﹣2【解答】解：∵直线l1：2x﹣my﹣1=0，l2：（m﹣1）x﹣y+1=0，且l1∥l2，∴2×（﹣1）﹣（﹣m）（m﹣1）=0，解得m=﹣1或m=2，经验证当m=﹣1时两直线重合，应舍去故选：A．7．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，设AA1=2AB=2，则A1E=1，BE==，A1B==，∴cos∠A1BE===．∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．故选：C．8．（5分）若变量x，y满足x+5y+13=0（﹣3≤x≤2，且x≠1），则的取值范围是（）A．k≥或k≤﹣4 B．﹣4≤k≤C．≤k≤4 D．﹣≤k≤4【解答】解：如图所示，∵P（1，1），A（2，﹣3），C（﹣3，﹣2），k PA==﹣4，k PC==．∴则的取值范围是k≥或k≤﹣4．故选：A．9．（5分）如图，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC．那么，动点C在平面α内的轨迹是（）A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点C．一个椭圆，但要去掉两个点D．半圆，但要去掉两个点【解答】解：∵PB⊥α∴PB⊥AC又∵PC⊥AC∴AC⊥面PBC∴BC⊥AC∴动点C在平面α内的轨迹是以AB为直径的一个圆，但要去掉A、B两个点故选：B．10．（5分）若直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（）A．（0，4） B．（0，2） C．（﹣2，4）D．（4，﹣2）【解答】解：由于直线l1：y=k（x﹣4）恒过定点（4，0），其关于点（2，1）对称的点为（0，2），又由于直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，∴直线l2恒过定点（0，2）．故选：B．11．（5分）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积等于（）A．B．C．D．【解答】解：如图在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，设∠AA1B1=∠AA1C1=60°，由条件有∠C1A1B1=60°，作AO⊥面A1B1C1于点O，则∴∴∴故选：B．12．（5分）如图，在体积为2的三棱锥A﹣BCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G，使AE：EB=AF：FC=AG：GD=2：1，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱锥O﹣BCD的体积等于（）A．B．C．D．【解答】解：AA'为正三棱锥A﹣BCD的高；OO'为正三棱锥O﹣BCD的高因为底面△BCD相同，则它们的体积比为高之比已知三棱锥A﹣BCD的体积为2所以，三棱锥O﹣BCD的体积为： (1)由前面知，FG∥CD且=所以由平行得到，==所以，=[面BCG所在的平面图如左上角简图]同理，=则=所以，PN∥BC那么，==亦即，==设GQ=x那么，GT=x则，QT=GQ﹣GT=x﹣x=x而===，所以：=则，TO=QT=×x=所以：GO=GT+TO=x+=所以，OQ=GQ﹣GO=x==又=所以，= (2)且，=所以：= (3)由（2）*（3）得到：=代入到（1）得到：三棱锥O﹣BCD的体积就是=．故选：D．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是【解答】解：几何体为上面为圆锥下面为圆柱且被轴截面分割出的一半的组合体，底面是半径为2的半圆，圆锥的高为2，圆柱的高为1．所以体积V=（π•22•2+π•22•1）=π．故答案为：．14．（5分）过点A（2，3）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线方程为x﹣2y+4=0．【解答】解：∵直线2x+y﹣5=0的斜率为﹣2，∴由垂直关系可得所求直线的斜率为，∴所求直线的方程为y﹣3=（x﹣2），化为一般式可得x﹣2y+4=0故答案为：x﹣2y+4=015．（5分）如图四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=3BC，过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q，则以下四个结论：①QC∥A1D②B1Q=2QB；③直线A1B与直线CD相交；④四棱柱被平面α分成的上下两部分的体积相等．其中正确的有①②．【解答】解：①∵平面BCB1C1∥平面ADD1A1，平面BCB1C1∩α=CQ，α∥平面ADD1A1=A1D，∴QC ∥A1D，正确；②如图所示，设A1Q∩DC=E点，则E点也在AB的延长线上，∵A1B1∥AB，BC∥AD，∴====，∴B1Q=2QB，正确；③直线A1B与直线CD是异面直线，不可能相交，因此不正确；==BC•BB1．S△BCQ==S1，==3QB=9×④如图所示，设S=S1．=•H=，（h为平面BCCB1与平面ADD1A1之间的距离）．=•h=，因此四棱柱被平面α分成的上下两部分的体积不相等，不正确．综上可得：只有①②正确．故答案为：①②．16．（5分）已知△ABC中，顶点A（﹣2，1），点B在直线l：x+y﹣3=0上，点C在x轴上，则△ABC周长的最小值2．【解答】解：设A关于直线l：x+y﹣3=0的对称点为E（a，b），则，解得a=2，b=5，即E（2，5）．设A关于x轴的对称点为D，则D（﹣2，﹣1）．∴DE===2．故答案为2．三、解答题（共6大题，共计70分）17．（10分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．【解答】证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD18．（12分）根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点（﹣3，4），且在两坐标轴上的截距相等；（2）直线过点（5，10），且到原点的距离为5．【解答】（本题12分）解：（1）若截距不为0，设直线的方程为+=1，﹣﹣（1分）∵直线过点（﹣3，4），∴+=1，解得a=1．﹣﹣（2分）此时直线方程为x+y﹣1=0．﹣﹣（3分）若截距为0，设直线方程为y=kx，代入点（﹣3，4），有4=﹣3k，解得k=﹣，﹣﹣（4分）此时直线方程为4x+3y=0．﹣﹣（5分）综上，所求直线方程为x+y﹣1=0或4x+3y=0．﹣﹣（6分）（2）由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x﹣5=0．﹣﹣（8分）当直线斜率存在时，设其方程为y﹣10=k（x﹣5），即kx﹣y+（10﹣5k）=0．﹣﹣（9分）由点到直线的距离公式，得=5，解得k=．﹣﹣（10分）此时直线方程为3x﹣4y+25=0．﹣﹣（11分）综上知，所求直线方程为x﹣5=0或3x﹣4y+25=0．﹣﹣（12分）19．（12分）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，∴PC⊥DE，∵CE=2，CD=DE=，∴△CDE为等腰直角三角形，∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C，DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，∴DE⊥平面PCD（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=，过点D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，由∠ACB=得DF∥AC，，故AC=DF=，以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），P（0，0，3），A（，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0），∴=（1，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，3），=（，﹣1，0），设平面PAD的法向量=（x，y，z），由，故可取=（2，1，1），由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量可取=（1，﹣1，0），∴两法向量夹角的余弦值cos＜，＞==∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．20．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1，求；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．【解答】解：（1）取BC中点N，连结MN，C1N，…（1分）∵M，N分别为AB，CB中点∴MN∥AC∥A1C1，∴A1，M，N，C1四点共面，…（3分）且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N，又DE∩平面BCC1B1，且DE∥平面A1MC1，∴DE∥C1N，∵D为CC1的中点，∴E是CN的中点，…（5分）∴．…（6分）（2）连结B1M，…（7分）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AB，即四边形ABB1A1为矩形，且AB=2AA1，∵M是AB的中点，∴B1M⊥A1M，又A1C1⊥平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1M，从而B1M⊥平面A1MC1，…（9分）∴MC1是B1C1在平面A1MC1内的射影，∴B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M，又B1C1∥BC，∴直线BC和平面A1MC1所成的角即B1C1与平面A1MC1所成的角…（10分）设AB=2AA1=2，且三角形A1MC1是等腰三角形∴，则MC 1=2，，∴cos=，∴直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值为．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=x+的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．（1）求a的值．（2）问：|PM|•|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．【解答】解：（1）∵f（2）=2+=2+，∴a=．（2）设点P的坐标为（x0，y0），则有y0=x0+，x0＞0，由点到直线的距离公式可知，|PM|==，|PN|=x0，∴有|PM|•|PN|=1，即|PM|•|PN|为定值，这个值为1．（3）由题意可设M（t，t），可知N（0，y0）．∵PM与直线y=x垂直，∴k PM•1=﹣1，即=﹣1．解得t=（x0+y0）．又y0=x0+，∴t=x0+．=+，S△OPN=x02+．∴S△OPM=S△OPM+S△OPN=（x02+）+≥1+．∴S四边形OMPN当且仅当x0=1时，等号成立．此时四边形OMPN的面积有最小值：1+．22．（12分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E 与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．（Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；（Ⅱ）当PB取得最小值时，请解答以下问题：（i）求四棱锥P﹣BDEF的体积；（ii）若点Q满足=λ（λ＞0），试探究：直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于？并说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO⊂平面PEF，∴PO⊥平面ABFED，∵BD⊂平面ABFED，∴PO⊥BD．∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（4分）（Ⅱ）如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz．（5分）（ⅰ）设AO∩BD=H．因为∠DAB=60°，所以△BDC为等边三角形，故BD=4，HB=2，HC=2．又设PO=x，则OH=2﹣x，OA=4﹣x．所以O（0，0，0），P（0，0，x），B（2﹣x，2，0），故=（2﹣x，2，﹣x），（6分）所以||=，∴当x=时，|PB|min=．此时PO=，OH=（7分）由（Ⅰ）知，PO⊥平面ABFED，所以=3．（8分）（ⅱ）设点Q的坐标为（a，0，c），由（i）知，OP=，则A（3，0，0），B（，2，0），D（，﹣2，0），P（0，0，）．所以，（9分）∵=λ（λ＞0），∴，∴．∴Q（，0，），∴=（）．（10分）设平面PBD的法向量为，则．∵，∴，取x=1，解得：y=0，z=1，所以．（11分）设直线OQ与平面PBD所成的角θ，∴sinθ=|cos|==．（12分）又∵λ＞0∴sinθ＞．（13分）∵θ∈[0，]，∴θ＞．因此直线OQ与平面PBD所成角大于，即结论成立．（14分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
