- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
即
x 2 y 3z 6
切向量 T (1, , )
目录 上页 下页 返回 结束
2. 曲线为一般式的情况
F ( x, y , z ) 0 光滑曲线 : G ( x, y , z ) 0 ( F , G) 当J 0 时， 可表示为 ( y, z )
, 且有
,
dy dx
1 (F , G) J ( z , x)
,
dz dx
1 (F , G) J ( x, y )
曲线上一点 M ( x0 , y 0 , z 0 ) 处的切向量为
T 1, ( x0 ) , ( x0 )
1 (F , G) 1, J ( z , x) ,
时, 令
则在点 ( x, y, z ), 故当函数 在点 ( x0 , y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
n ( f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ), 1)
Σ 在点 ( x0 , y0 , z0 ) 有
法向量
切平面方程
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 ) ( y y0 )
x x0 Fx ( M ) Gx (M ) y y0 Fy ( M ) G y (M )
z z0 Fz ( M ) Gz (M ) 0
(自己验证)
目录 上页 下页 返回 结束
例. 求曲线
解法1 令
( F , G) ( y, z )
x y z 6 , x y z 0 在点
过M点且垂直于切平面的直线 称为曲面 在点 M 的法线.
法线方程
x x0 y y0 z z0
T
M
Fx ( x0 , y0 , z0 )
Fy ( x0 , y0 , z0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 )
目录
上页
下页
返回
结束
特别, 当光滑曲面 的方程为显式
F ( x, y, z ) f ( x, y ) z
xz 0
解法2 方程组两边对 x 求导, 得
x z
y x
解得
dy dx
1 1
y 1 z 1
zx yz
,
dz dx
1 1 y z 1 1
x y yz
曲线在点 M(1,–2, 1) 处有: 切向量
dy z x y z d 6 T 1, , (1, 0 , 1) y z d x d x M 0 x M
目录
M
( y y0 ) ( z z0 ) 0
M
上页
下页
返回
结束
法平面方程
(F , G) ( y, z ) M ( x x0 ) (F , G) ( z , x) M (F , G) ( x , y ) M ( y y0 ) ( z z0 ) 0
也可表为
M
1 (F , G) J ( x , y)
M
目录 上页 下页 返回 结束
或
(F , G) T ( y, z )
,
M
(F , G) ( z , x)
M
,
(F , G) ( x , y)
M
则在点 M ( x0 , y0 , z0 )有
复习
目录
上页
下页
返回
结束
例. 求球面 x 2 y 2 z 2 14 在点(1 , 2 , 3) 处的切 平面及法线方程. 解: 令
法向量
n ( 2 x, 2 y , 2 z )
n
(1, 2, 3 )
( 2 , 4 , 6)
所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有: 切平面方程 即
n1 (2 x 3 , 2 y , 2 z ) (1,1,1) (1, 2 , 2 )
n 2 (2 , 3 , 5 )
因此切线的方向向量为 l n1 n 2 (16 , 9 , 1)
由此得切线:
x 1
16
y 1
9
z 1
1
法平面: 16( x 1) 9( y 1) ( z 1) 0
目录 上页 下页 返回 结束
例. 求曲线
x t, y t , z t
2
3
在点 M (1, 1, 1) 处的切线
方程与法平面方程. 解： x 1, y 2 t , z 3t 2 , 点(1, 1, 1) 对应于 故点M 处的切向量为 T (1, 2, 3) 因此所求切线方程为
即
16 x 9 y z 24 0
目录 上页 下页 返回 结束
z x
M
( x x0 )
( y y0 )
证明原点坐标满足上述方程 .
第七节
目录
上页
下页
返回
结束
3. 求曲线
与法平面.
x 2 y 2 z 2 3x 0 2 x 3 y 5 z 4 0
在点(1,1,1) 的切线
解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为
目录 上页 下页 返回 结束
证:
F ( (t ) , (t ) , (t ) ) 0
在 上,
T
M
两边在 t t0 处求导,注意 t t0 对应点M ,
得
Fx ( x0 , y0 , z0 ) (t0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) (t0 )
n2 ( x0 , y0 , z0 )
二曲面在点 M 相切, 故 n1 // n2 , 因此有
x0 y 0 z 0
x0
2ห้องสมุดไป่ตู้
x0 y0 z 0 y0
2
x0 y0 z 0 z 02
又点 M 在球面上,
于是有
x0 y0 z0
a
3
3 3
目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习
1. 如果平面 与椭球面 则
Fz ( x0 , y0 , z0 ) (t0 ) 0
令 T ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 ))
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
切向量 T n
法线方程
目录 上页 下页 返回 结束
用
向上,
表示法向量的方向角, 并假定法向量方向
法向量 n ( f x ( x0 , y0 ) , f y ( x0 , y0 ) , 1)
将 f x ( x0 , y0 ) , f y ( x0 , y0 ) 分别记为 f x , f y , 则
法向量的方向余弦：
目录 上页 下页 返回 结束
2
2
2
点 M (1,–2, 1) 处的切向量
T (1, 0 , 1)
切线方程
即 法平面方程 1 ( x 1) 0 ( y 2) (1) ( z 1) 0
即
xz 0
目录
上页
下页
返回
结束
二、曲面的切平面与法线
设 有光滑曲面 通过其上定点 任意引一条光滑曲线 不全为0 . 则 在
因此曲线 在点 M 处的 切线方程 法平面方程
x x0
(t 0 )
f (t0 )
y y0
(t0 )
z z0
M
(t0 )
(t0 )( x x0 ) (t0 ) ( y y0 ) (t0 )( z z0 ) 0
2( x 1) 4( y 2) 6( z 3) 0
x 1
1
法线方程
即
y2
2
z 3
3
x 1
y 2
z 3
(可见法线经过原点，即球心)
目录 上页 下页 返回 结束
例. 确定正数 使曲面 x y z 与球面 在点 M ( x0 , y0 , z0 ) 相切. 解: 二曲面在 M 点的法向量分别为
多元函数微分学的几何应用
目录
上页
下页
返回
结束
1. 曲线方程为参数方程的情况 给定光滑曲线
设 上的点 M ( x0 , y0 , z0 ) 对应 t t0 , (t0 ), (t0 ), (t0 )不全
为0, 则 在点M 的导向量为
f (t0 ) ( (t0 ), (t0 ), (t0 ))
由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以
为法向量
的平面上 , 从而切平面存在 .
目录 上页 下页 返回 结束
曲面 在点 M 的法向量:
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
切平面方程
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
x 1 y 1 z 1
思考: 光滑曲线
y ( x) : z ( x)
1
2
3
的切向量有何特点?
法平面方程为
( x 1) 2 ( y 1) 3( z 1) 0
