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一元一次不等式和一元一次不等式组知识梳理（一）基本概念1．不等式：2．不等式的解：3．不等式的解集：4．一元一次不等式：5．一元一次不等式组的解集：（二）不等式的基本性质基本性质1：基本性质2：基本性质3：（三）基本方法1．不等式解集的表示方法：（１） （２）2．不等式的解法：【与解方程类似，不同之处就在：左右两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变。
】3．不等式组解法：“分开解，集中判”解出各个不等式，再判断所有解集的公共部分即为不等式组的解集。
4．不等式组解集规律：“同大取大，同小取小，不大不小中间找，又大又小无解了。
” 请用数轴展现：设 a > b ：⎩⎨⎧bx a x ⎩⎨⎧b x a x ⎩⎨⎧b x a x ⎩⎨⎧bx a x（四）方法思想1．数形结合思想：不等式（组）解集的两种表示方法。
2．不等式与一次函数的关系，可以利用函数图像来分析解答。
如：一次函数y 1=k 1x+b 1，y 2=k 2x+b 2图像如右图所示，求不等式k 1x+b 1≤k 2x+b 2的解集。
专题一：不等式的有关概念与不等式的基本性质解不等式（组）（一）、不等式的基本性质练习1、已知a ＜b ，用“＜”或“＞”填空(1) a －3b －3；(2) 6a6b ；(3) －a －b ；(4) a －b 0；2aa+b2、若a <b ，则不等式○1a-5<b-5 ○2a+k <b+k ○32a <2b ○4ac <b 中成立的有（ ） Ａ、1个 Ｂ、2个 Ｃ、3个 Ｄ、4个3、不等式7+5x 〈24 的正整数解的个数是（ ）A.1个B.3个C.无数个D.4个4、已知32,5221+-=-=x y x y ，如果21y y <，则x 的取值范围是（ ）A ．2>xB ．2<xC ．2->xD ．2-<x5、当x 时，能使x+4＞0和2x+1>0同时成立6、关于x 的方程632=-x a 的解是正数，那么a 的取值范围：__________（二）、解不等式（组）1（1）4352+>-x x （2）11237x x --≤2、解下列不等式组（1）⎪⎩⎪⎨⎧->->13132x x （2）⎩⎨⎧>+≤0312x x（3）⎩⎨⎧-≤+>+145321x x x x （4）24321<--<-x专题三、不等式组的特解1、求不等式x x 228)2(5-≤+的非负整数解2、解不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧---+≥+-xx x x 81311323 并写出该不等式组的整数解当堂练习1、求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤+421121 x x 的整数解2、求不等式()⎪⎩⎪⎨⎧-+≤+3212352x x x x 的正整数专题三 用不等式或不等式组解答实际问题一、课堂练习1、小明用30元钱买笔记本和练习本共30本，已知每个笔记本4元，每个练习本4角，那么他最多能买笔记本多少本？2、某校初一新生中有若干住宿生，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有21人无房住；若每间住7人，则有一间不空也不满，求住宿生人数．3、暑假，学校的老师将带领校、镇、市级“三好学生”去旅游.甲旅行社说：“其中一位带队老师买全票，全票价为240元，则其余老师和学生可享受半价优惠”；乙旅行社说：“包括带队老师和学生全部票价6折优惠”。
![一元一次不等式组(2)[上学期]--华师大版-(新201907)](https://img.taocdn.com/s1/m/fdfa326083c4bb4cf7ecd1ad.png)
一元一次不等式（组）与方程（组）的结合培优资料考点·方法·破译1．进一步熟悉二元一次方程组的解法，以及一元二次不等式组的解法．2．综合运用一元一次不等式组和二元一次方程组解决一些典型的实际问题．经典·考题·赏析【例1】求方程3x +27＝17的正整数解．【解法指导】一般地，一个二元一次方程有无数个解，但它的特殊解是有限个,如一个二元一次方程的正整数解，非负整数解都是有限个．求不定方程的正（非负）整数解时，往往借助不等式，整数的奇偶性等相关知识来帮助求解．解：将方程变形为2y ＝17－3x 即2317x y -= ∵y ＞0 ∴2317x -＞0 ∴x ＜317即x ＜325 又∵y 为正整数（即2317x -为整数） ∴17－3x 为偶数∴x 必为奇数∴x ＝1，3，5当x ＝1时，7213172317=⨯-=-=x y 当x ＝3时,4233172317=⨯-=-=x y 当x ＝5时，1253172317=⨯-=-=x y故原方程的正整数解为错误! 或错误! 或错误!【变式题组】01．求下列各方程的正整数解：⑴2x +y ＝10（2） 3x +4y ＝2102．有10个苹果，要分给两个女孩和一个男孩，要求苹果不得切开，且两个女孩所得的苹果数相等，每个孩子都有苹果吃，问有哪几种分法？【例2】足球联赛得分规定如下:胜1场得3分，平1场得1分,负1场得0分•某队在足球联赛的4场比赛中得6分，这个队胜了几场，平了几场，负了几场?【解法指导】本题中，所有的等量关系只有两个，而未知量有三个•因而所列方程的个数少于未知数的个数，即为不定方程组，但每个未知数量的数目必为非负整数•因此，此题的实质就是滶不定方程的非负整数解的问题．此方程组有两个方和，三个未知数，解法仍然是消元，即消去某一个未知数后，变为二元一次方程，再仿照例1的解法施行．解：设该队胜了x场,平了y场 ,负了z场，依题意可得：错误!②－①得：2x－z＝2 ③变形得：z＝2x－2∵0≤z≤2∴0≤2x－2≤2即1≤x≤2又x为正整数∴x＝1,2相应地，y＝3，0 z＝0，2答:这个队胜了1场，平了3场，或胜了2，负了2场．【变式题组】01．（佳木斯)为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元;经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么可能购买甲种笔（）．A．11支B．9支C．7支D．5支02．一旅游团50人到一旅舍住宿，旅舍的客户有三人间、二人间、单人间三种•其中三人间的客房每人每晚20元,二人间的客房每人每晚30元，单人间的客房每人每晚50元．(1）若旅游团共住满了20间客房，问三种客房各住了几间？怎样住消费最低?（2）若该旅游团中,夫妻住二人间，单身住三人间，小孩随父母住在一起,现已知有小孩4人(每对夫妻最多只带1个小孩)，单身30人，其中男性17人，有两名单身心脏病患者要求住单人间,问这一行人共需多少间客房？【例3】已知：关于x、y的方程组错误!若x＞y，求a的取值范围．【解法指导】解本题的指导思想就是构建以a为未知数的不等式•解之即得a的取值范围，构建不等式的依据就是x＞y，而解方程组即可用a的代数式分别表示x和y，进而可得不等式．解：解方程组错误!得错误!∵x＞y∴2a＋1＞a－2 解得a＞－3故a的取值范围是a＞－3．【变式题组】01．已知：关于x的方程3x－（2a－3) ＝5x＋(3a＋6)的解是负数，则a的取值范围是_____．02．已知：关于x、y的方程组错误!的解为非负数．(1)求a的取值范围；(2)化简｜4a+5｜－｜a－4｜．03．当m 为何值时，关于x 的方程2153166--=--m x m x 的解大于1？4．已知方程组错误! 的解x 、y 都是正数,且x 的值小于y 的值,求m 的取值范围．【例4】(凉州）若不等式{x －a ＞2，b －2x ＞0 的解集是－1＜x ＜1，求（a +b ）2009的值． 【解法指导】解此不等式组得a +2＜x ＜2b ，而依题意，该不等式的解集又是－1＜x ＜1,而解集是唯一的，因此两解集的边界点分别“吻合”，从而得两等式即得方程组，解之可得a 、b 之值．解：解不等式组错误! 得a +2＜x ＜2b 又∵此不等式组的解集是－1＜x ＜1∴ 错误! 解设错误!∴（a +b ）2009＝（－1)2009＝－1【变式题组】 01．若错误! 的解集为－1＜x ＜2，则a ＝___________，b ＝_____________．02．已知：关于x 的不等式组错误!的解集为3≤x ＜5，则a b 的值为（ ） A ．－2 B ．21- C ．－4 D ． 41- 03．若关于x 的不等式组错误! 的解集为x ＜2，则a 的取值范围是___________．04．已知：不等式组错误! 的解庥为－1＜x ＜2，求(a +b )2008的值．【例5】（永春）商场正在销售“福娃"玩具和徽章两种奥运商品，已知购买1盒“福娃”玩具和2盒徽章共需145元；购买2盒“福娃”玩具和3盒徽章共需280元•（1)一盒“福娃"玩具和一盒徽章的价格各是多少元?(2)某公司准备购买这两种奥运商品共20盒送给幼儿园（要求每种商品都要购买），且购买金额不能超过450元，请你帮该公司设计购买方案•【解法指导】本题属材料选择类的方程与不等式结合的实际应用题,但方程组与不等式组是分开的•分析可知:第（1）问只需依照题目主干所提供的两个等量关系即可列出二元一次方程组•第（2)问由题目所给不等关系“购买金额不能超过450元”及第(1)问所求出的数据列出不等式,从而求解•解：（1)设一盒“福娃"玩具和一盒徽章的价格分别为x元和y元．依题意,得错误!解得错误!答：一盒“福娃”玩具和一盒徽章的价格分别是125元和10元．(2)设购买“福娃”玩具m盒，则购买徽章(20－m）盒．由题意,得125m+10（20－m）≤450,解得m≤2。
一元一次不等式与一元二次不等式不等式是数学中非常重要的概念，它描述了数之间的大小关系。
在不等式中，一元一次不等式和一元二次不等式是我们常见的两种形式。
本文将详细介绍一元一次不等式和一元二次不等式的定义、性质以及解法。
一、一元一次不等式一元一次不等式是形如ax + b > 0 (a ≠ 0)或ax + b < 0 (a ≠ 0)的不等式，其中a、b分别为实数，x是未知数。
一元一次不等式的解法与一元一次方程非常相似。
我们可以通过移项、合并同类项等基本的等式运算，将不等式转化为等价的形式，从而求解出不等式的解集。
例如，我们考虑一元一次不等式2x + 3 > 5。
我们首先将3移项，得到2x > 5 - 3，即2x > 2。
接着，我们将不等式两边同时除以2，得到x > 1。
因此，不等式2x + 3 > 5的解集为x > 1。
在解一元一次不等式时，需要注意一元一次不等式的方向。
当系数a大于0时，不等式的方向与等号相同；当系数a小于0时，不等式的方向与等号相反。
二、一元二次不等式一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0 (a ≠ 0)或ax^2 + bx + c < 0 (a ≠ 0)的不等式，其中a、b、c分别为实数，x是未知数。
与一元一次不等式相比，一元二次不等式的解法稍微复杂一些。
一元二次不等式的解集可以通过求解对应的一元二次方程的解集来确定。
首先，我们可以将一元二次不等式转化为相应的一元二次方程。
对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，我们可以先求出对应的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的解集，然后再根据一元二次方程的解集确定不等式的解集。
例如，考虑一元二次不等式x^2 - x - 2 > 0。
首先，我们找到相应的一元二次方程x^2 - x - 2 = 0的解。
通过使用因式分解或配方法，我们可以求得(x - 2)(x + 1) = 0，得到方程的解为x = 2和x = -1。
1.6一元一次不等式组第2节一、教案背景1、面向学生：八年级学生学科：数学2、课时：13、教学准备：几何画板课件。
4、学生课前准备：（1）预习一元一次不等式组（2）内容。
（2）在白纸上画若干条数轴。
二、教学课题《一元一次不等式组（2）》1.进一步理解一元一次不等式组及其解的意义，感知利用一元一次不等式解集的数轴表示求不等式组的解和解集的方法。
2．利用数轴探究不等式组解集的公共部分出现的所有情形，并且能将不等式组的解集提升为口诀。
【学习重点】：巩固一元一次不等式组的解法。
【学习难点】：利用数轴探究不等式组解集的出现各种情形，经过理解并归纳为口诀。
三、教材分析《一元一次不等式组》是北师大版义务教育课程标准实验教科书数学信年级下册第一章第6节，我把本节内容分为3个课时，第一课时是一元一次不等式组的概念及解法，第二课时是巩固一元一次不等式组的解法，探究一元一次不等式组解的所有情形。
第三课时是一元一次不等式组的应用。
本课为一元一次不等式组第2课时，通过教材“做一做”、例2、例3的教学，让学生进一步巩固一元一次不等式组的解法，同时利用数轴数形结合探究不等式组解集的四种情形，从而达到真正理解不等式组解集的含义的目的。
四、教学方法。
本课我采用有效教学法和目标教学法，将传统教学与现代信息技术相结合，充分利用黑板，电子白板，电子展台，几何画板展示学生利用数轴求不等式组解集过程，同时发展学生化归能力，总结不等式组解集的四种情形。
所谓目标教学法，是本课开课时，我出示学习目标，让学生知道，本节课要学什么？所谓有效教学法，是本课我充分利用几何画板，电子展台来吸引学生的注意力，从而让学生学会如何利用数轴确定不等式组的解集（解），达有效教学的目的。
五、教学过程（一）、复习回顾。
1.什么是一元一次不等式组的解集？怎样求一元一次不等式组的解集？2.解一元一次不等组的步骤有哪些？(1).分别求出两个一元一次不等式的解集.(2).在同一条数轴上确定它们的公共部分。
1-2一元一次不等式（组）（二）一、重点难点提示重点：理解一元一次不等式组的概念及解集的概念。
难点：一元一次不等式组的解集含义的理解及一元一次不等式组的几个基本类型解集的确定。
二、学习指导：1、几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
但这“几个一元一次不等式”必须含有同一个未知数，否则就不是一元一次不等式组了。
2、前面学习过的二元一次方程组是由二个一次方程联立而成，在解方程组时，两个方程不是独立存在的（代入法和加减法本身就说明了这点）；而一元一次不等式组中几个不等式却是独立的，而且组成不等式组的不等式的个数可以是三个或多个。
（我们主要学习由两个一元一次不等式组成的不等式组）。
3、在不等式组中，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。
（注意借助于数轴找公共解）4、一元一次不等式组的基本类型（以两个不等式组成的不等式组为例）类型（设a>b）不等式组的解集数轴表示1.（同大型，同大取大）x>a2.（同小型，同小取小）x<b3.（一大一小型，小大之间）b<x<a4.（比大的大，比小的小空集）无解三、一元一次不等式组的解法例1.解不等式组，并将解集标在数轴上分析：解不等式组的基本思路是求组成这个不等式组的各个不等式的解集的公共部分，在解的过程中各个不等式彼此之间无关系，是独立的，在每一个不等式的解集都求出之后，才从“组”的角度去求“组”的解集，在此可借助于数轴用数形结合的思想去分析和解决问题。
步骤：解：解不等式(1)得x>解不等式(2)得x≤4∴（利用数轴确定不等式组的解集）∴原不等式组的解集为<x≤4∴（1）分别解不等式组的每一个不等式（2）求组的解集（借助数轴找公共部分）（3）写出不等式组解集（4）将解集标在数轴上例2.解不等式组解：解不等式(1)得x>-1, 解不等式(2)得x≤1,解不等式(3)得x<2,∴∵在数轴上表示出各个解为：∴原不等式组解集为-1<x≤1注意：借助数轴找公共解时，应选图中阴影部分，解集应用小于号连接，由小到大排列，解集不包括-1而包括1在内，找公共解的图为图（1），若标出解集应按图（2）来画。
例3.解不等式组解：解不等式(1)得x>-1, 解不等式(2), ∵|x|≤5, ∴-5≤x≤5,∴将(3)(4)解在数轴上表示出来如图，∴原不等式组解集为-1<x≤5。
∴四、一元一次不等式组的应用。
例4.求不等式组的正整数解。
步骤：解：解不等式3x-2>4x-5得：x<3，解不等式≤1得x≤2，∴∴原不等式组解集为x≤2，∴这个不等式组的正整数解为x=1或x=2 1、先求出不等式组的解集。
2、在解集中找出它所要求的特殊解，正整数解。
例5，m 为何整数时，方程组的解是非负数？分析：本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念，即。
先解方程组用m的代数式表示x, y, 再运用“转化思想”，依据方程组的解集为非负数的条件列出不等式组寻求m的取值范围，最后切勿忘记确定m 的整数值。
解：解方程组得∵方程组的解是非负数，∴即解不等式组∴此不等式组解集为≤m≤,又∵m为整数，∴m=3或m=4。
例6，解不等式<0。
分析：由“”这部分可看成二个数的“商”此题转化为求商为负数的问题。
两个数的商为负数这两个数异号，进行分类讨论，可有两种情况。
(1) 或(2)因此，本题可转化为解两个不等式组。
解：∵<0, ∴(1) 或(2)由(1)∴无解，由(2)∴-<x<,∴原不等式的解为-<x<。
例7.解不等式-3≤3x-1<5。
解法（1）:原不等式相当于不等式组解不等式组得-≤x<2，∴原不等式解集为-≤x<2。
解法（2）:将原不等式的两边和中间都加上1，得-2≤3x<6,将这个不等式的两边和中间都除以3得，-≤x<2, ∴原不等式解集为-≤x<2。
例8.x取哪些整数时，代数式与代数式的差不小于6而小于8。
分析：(1)“不小于6”即≥6, (2) 由题意转化成不等式问题解决，解：由题意可得，6≤-<8,将不等式转化为不等式组，∴∴解不等式(1)得x≤6,解不等式(2)得x>-,∴∴原不等式组解集为-<x≤6,∴-<x≤6的整数解为x=±3, ±2, ±1, 0, 4, 5, 6。
∴当x取±3，±2，±1，0，4，5，6时两个代数式差不小于6而小于8。
例9.有一个两位数，它十位上的数比个位上的数小2，如果这个两位数大于20并且小于40，求这个两位数。
分析：这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式的知识来解决。
题目中有两个主要未知数------十位上的数字与个位上的数；一个相等关系：个位上的数＝十位上的数+2,一个不等关系：20<原两位数<40。
解法（1）:设十位上的数为x, 则个位上的数为(x+2), 原两位数为10x+(x+2),由题意可得：20<10x+(x+2)<40, 解这个不等式得，1<x<3,∵x为正整数，∴1<x<3的整数为x=2或x=3，∴当x=2时，∴10x+(x+2)=24,当x=3时，∴10x+(x+2)=35, 答：这个两位数为24或35。
解法（2）:设十位上的数为x, 个位上的数为y, 则两位数为10x+y,由题意可得（这是由一个方程和一个不等式构成的整体，既不是方程组也不是不等式组，通常叫做“混合组”）。
将(1)代入(2)得，20<11x+2<40, 解不等式得：1<x<3,∵x为正整数，1<x<3的整数为x=2或x=3, ∴当x=2时，y=4，∴10x+y=24,当x=3时，y=5, ∴10x+y=35。
答：这个两位数为24或35。
解法（3）:可通过“心算”直接求解。
方法如下：既然这个两位数大于20且小于40，所以它十位上的数只能是2和3。
当十位数为2时，个位数为4，当十位数为3时，个位数为5，所以原两位数分别为24或35。
例10.解下列不等式：(1)||≤4；(2)<0；(3)(3x-6)(2x-1)>0。
（1）分析：这个不等式不是一元一次不等式，因此，不能用解一元一次不等式的方法来解。
但由绝对值的知识|x|<a, (a>0)可知-a<x<a, 将其转化为；若|x|>a, (a>0)则x>a或x<-a。
解：||≤4, -4≤≤4,∴由绝对值的定义可转化为：即解不等式(1)，去分母：3x-1≥-8,解不等式(2)去分母：3x-1≤8,移项：3x≥-8+1,移项：3x≤8+1,合并同类项：3x≥-7 合并同类项：3x≤9,系数化为1，∴x≥-, 系数化为1：∴x≤3,∴，∴原不等式的解集为-≤x≤3。
（2）分析：不等式的左边为是两个一次式的比的形式（也是以后要讲的分式形式），右边是零。
它可以理解成“当x取什么值时，两个一次式的商是负数？”由除法的符号法则可知，只要被除式与除式异号，商就为负值。
因此这个不等式的求解问题，可以转化为解一元一次不等式组的问题。
解：∵<0，∴3x-6与2x+1异号，即：I 或II解I的不等式组得, ∴不等式组无解，解II的不等式组得, ∴不等式组的解集为-<x<2, ∴原不等式的解集为-<x<2。
（3）分析：不等式的左边是(3x-6)(2x+1)为两个一次式的积的形式，右边是零。
它可以理解为“当x取何值时，两个一次式的积是正数？”由乘法的符号法则可知只要两个因式同号，积就为正值。
因此这个不等式的求解问题，也可以转化为解一元一次不等式组的问题。
解：∵(3x-6)(2x+1)>0, ∴(3x-6)与(2x+1)同号，即I或II解I的不等式组得, ∴不等式组的解集为x>2,解II的不等式组得, ∴不等式组的解集为x<-, ∴原不等式的解集为x>2或x<-。
说明：ab>0(或>0)与ab<0（或<0）这两类不等式都可以转化为不等式组的形式，进行分类讨论。
这类问题一般转化如下：（1）ab>0(或>0), ∴a、b同号，即I或II , 再分别解不等式组I和II，如例10的（3）题。
（2）ab<0（或<0）,∵ab<0(或<0), ∴a、b异号，即I或II, 再分别解不等式组I和不等式组II。
例11.已知整数x满足不等式3x-4≤6x-2和不等式-1<, 并且满足方程3(x+a)=5a-2试求代数式5a3-的值。
分析：同时满足两个不等式的解的x值实际是将这两个不等式组成不等式组，这个不等式组的解集中的整数为x值。
再将x值代入方程3(x+a)=5a-2，转化成a的方程求出a值，再将a代入代数式5a3-即可。
解：∵整数x满足3x-4≤6x-2和-1<, ∴x为，解集的整数值，解不等式(1)，得x≥-, 解不等式(2)得，x<1,∴的解集为-≤x<1。
∴-≤x<1的整数x为x=0, 又∵x=0满足方程3(x+a)=5a-2,∴将x=0代入3(x+a)=5a-2中, ∴3(0+a)=5a-2, ∴a=1, 当a=1时，5a3-=5×13-=4,答：代数式5a3-的值为4。
