曲面积分习题

第二类曲面积分例题曲面积分是对曲面上某个量进行积分的数学工具，用于计算曲面上的各种物理量或几何特性。

下面我会给出一个例题，并从多个角度进行解答。

例题，计算曲面积分 $\iint_S (x^2+y^2+z^2)dS$，其中曲面$S$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$，且法向量与 $z$ 轴的夹角小于$\frac{\pi}{2}$。

解答：1. 参数化法：我们可以使用球坐标系来参数化球面 $S$，令$x=a\sin\phi\cos\theta$，$y=a\sin\phi\sin\theta$，$z=a\cos\phi$，其中 $0\leq\phi\leq\frac{\pi}{2}$，$0\leq\theta\leq2\pi$。

计算曲面积分可转化为计算参数化后的积分：$$\iint_S (x^2+y^2+z^2)dS =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{2\pi}(a^2\sin^2\phi\cos^2\theta + a^2\sin^2\phi\sin^2\theta +a^2\cos^2\phi)a^2\sin\phi d\theta d\phi$$。

化简后可得结果。

2. 法向量法，由于曲面 $S$ 是球面，其法向量可以表示为$\mathbf{N} = \frac{\mathbf{r}}{a}$，其中 $\mathbf{r} =x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ 是曲面上的任意一点。

计算曲面积分可转化为计算 $\iint_S(\mathbf{r}\cdot\mathbf{N})dS$。

代入球面方程和法向量表达式后，进行积分即可得结果。

3. 散度定理法，根据散度定理，曲面积分可以转化为对曲面所围立体的体积分。

因为球面 $S$ 是闭合曲面，所以可以使用散度定理。

计算散度 $\nabla\cdot(\mathbf{F})$，其中 $\mathbf{F} = (x^2+y^2+z^2)\mathbf{i} + (x^2+y^2+z^2)\mathbf{j} +(x^2+y^2+z^2)\mathbf{k}$。

第二十二章 曲面积分一、 单选题1．设21,S S 分别为球面2222a z y x =++的上半部分和下半部分，指向外侧，0,:2222==++z a z y x L ，取逆时针方向为正方向，若⎰⎰⎰⎰++=++=1222222221,S S dxdy z dzdx y dydz x I dxdy z dzdx y dydz x I ，则（ D ）A 、21I I =B 、21I I <C 、21I I >D 、21I I -= 2．下列等式中成立的是 （ B ）A 、⎰⎰⎰≤++=++2222522234)(R z y x R dxdydz z y x π B 、⎰⎰=++=++42224)(Rz y x R dS z y x πC 、⎰⎰≤+=+222422)(R y x R dxdy y x π D 、dxdy y x R zdxdy R z y x R y x ⎰⎰⎰⎰=++≤+--=22222222223．用第二型曲面积分表示由封闭曲面S 所包围的立体积公式 ①⎰⎰=sxdydz V ②⎰⎰=sydzdx V ③⎰⎰=szdxdy V ④⎰⎰+=szdxdy xdydz V 21其中正确的是 （ D ）A 、①B 、①②C 、①②③D 、①②③④4．设S 是球面2222R z y x =++，则曲面积分()d S z y x S⎰⎰++222=（ ）A. 4R πB.42R πC. 44R πD. 46R π5．设S 为a z y x =++在第一卦限的部分并取左侧，则=⎰⎰Sdydz （ ）A. 2a -B. 2aC. 221a D. 221a -6.由光滑闭曲面S 围成的空间区域的体积是 ( ) (A) ⎰⎰++Szdzdx ydydz xdxdy ; (B)⎰⎰++Szdzdx ydydz xdxdy 31; (C) ⎰⎰-+Szdxdy ydzdx xdydz ; (D)⎰⎰-+Szdxdy ydzdx xdydz 31.二、填空题1．某流体以流速)),,(),,,(),,,((z y x R z y x Q z y x P V =在单位时间内从曲面S 的负侧流向正侧的总流量为E =⎰⎰++sRdxdy Qdzdx pdydz2．设S 为柱面222x y R +=被平面0,z z H ==所截的部分，则⎰⎰+syx ds22= R H π2 三 计算题1．用两种方法计算⎰⎰sxdzdy ，S 为球面0,01222≥≥=++z y z y x 在的部分，取球面外侧[答案]解一，化为重积分的方法{}{}dydzz y dydz z y dydz z y xdzdy z y z y D z y z y x S z y z y D z y z y x S xdydzxdydz xdzdy DDSDs s s⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--=------=≤+≤=∈---=≤+≤=∈--=+=2222222222222221121110),(),(,1:10),(),(,1:1261)1(31211)10,20(,sin ,cos 23221222ππθπθθθπ=--⋅=-=--≤≤≤≤==⎰⎰⎰⎰r drr r d dydz z y r r z r y D令⎰⎰=∴sxdydz 3π解二，利用高斯公式算添加坐标面上两个半圆⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=∴=⋅===≥=+≥=+=++sS VS sS VS xdydz dxdydz xdydz xdydz y y x S z z x S dxdydzxdydz xdydz xdydz 3334410,00,1:0,1:1212222221πππ2．计算()()⎰⎰-+-Sxdydz z y dxdy y x 其中S 为柱面122=+y x 及平面0=z 和3=z 所围成的空间闭区域V 的整个边界曲面的外侧.解 ()x z y P -=，0=Q ，y x R -=，z y x P -=∂∂，0=∂∂y Q 0=∂∂zR 由Gauss 公式()()⎰⎰∑-+-xdydz z y dxdy y x =()⎰⎰⎰Ω-dV z y()=-=⎰⎰⎰Ωdz d d z θρρθρsin ()⎰⎰⎰-πθρρρθ201030sin dz z d d π29-= 3.计算333Sx dydz y dzdx z dxdy ++⎰⎰，S 为球面2222x y z a ++=的外侧.解 33222222222()()SS S x dydz a y z dydz a y z =------⎰⎰⎰⎰⎰⎰后前3322222252242()2()5yzaS dydz a y z dydz d a r rdr a ππθ=--=-=⎰⎰⎰⎰ 同理 332225242()5SS S Szxy dzdx a y z dxdz a π=+=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰左右则 原式=55412355a a ππ⋅= 另解 (2)原式=2223()Vx y z dxdydz ++⎰⎰⎰5420512sin 3a dr r d d aπϕϕθππ==⎰⎰⎰4.222,Sx dydz y dxdz z dxdy S ++⎰⎰：立方体0,,x y z a ≤≤的外表面；解 (1)原式=(222)Vx y z dxdydz ++⎰⎰⎰402()3a a adx dy x y z dz a =++=⎰⎰⎰5.计算()⎰⎰--+SdS x x z xy 222， S 是平面622=++z y x 在第一卦限中的部分.解: S 在xOy 面上的投影为D {}x y x y x -≤≤≤≤=30,30),(， 由622=++z y x 得y x z 226--=,所以2-=x z ,2-=y z （2分） 因此()⎰⎰--+SdS x x z xy 222()⎰⎰---+=Dd x y x xy σ2223623()⎰⎰--+--=30302222363xdy y xy xx dx （4分）()()()()dx x x x x x x ]333236[323022---+---=⎰ ()dx x x ⎰+-=303231093427-=（6分） 6.计算⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++S dS y z x 342， S 是平面1432=++z y x 在第一卦限中的部分.解: S 在xOy 面上的投影为D ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤≤≤=2330,20),(x y x y x ，（2分）由1432=++z y x 得3424y x z --=,所以2-=x z ,34-=y z 因此⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++S dS y z x 342⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=D d y y x x σ3434242361（4分） 61436143614202330===⎰⎰⎰⎰-x Ddy dx d σ（6分）7. 计算第一型曲面积分ds y x S)(22+⎰⎰，其中S 是锥面22y x z +=与平面1=z 所围成的区域的整个边界曲面. 解：设1S ：22y x z +=，2S ：1=z1S 和2S 在xy 平面上的区域均为{}1:),(22≤+=y x y x Dds y x S)(22+⎰⎰ ++=⎰⎰ds y x S )(221ds y x S )(222+⎰⎰ dxdy y x dxdy y x y y x x y x DD )(1)(2222222222+++++++=⎰⎰⎰⎰2)12()12()()12(2010322+=+=++=⎰⎰⎰⎰πθπd dr r dxdyy x D8．⎰⎰+Sds y x )(22 其中S 为立体h z y x ≤≤+22的边界曲面。

第九章练习题4：对面积的曲面积分 王克金基本概念 1.第一类曲面积分dS ∑⎰⎰= ；答案：∑的面积2.设曲面∑为：2222x y z a ++=，则222()x y z dS ∑++=⎰⎰ ； 答案：44a π 解222222()44x y z d S a d S a a aππ∑∑++==⋅=⎰⎰⎰⎰对称性1. 设∑：2222x y z a ++=．则2z dS ∑⎰⎰ = ；443a π 答案：443a π 解 积分曲面关于三个坐标面对称，故222z dS x dS y dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2221()3x y z dS ∑=++⎰⎰ =443a π 2. 设∑是球面2222x y z R ++=在第一卦限部分，2x dS ∑⎰⎰=_______ 答案：46R π解 由()22222213x dS y dS z dS x y z dS ∑∑∑∑===++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ =224114386R R R ππ⋅⋅= 3.设∑为球面2222R z y x =++，则22()84x y dS ∑+⎰⎰=（ ）C （A ）24R π （B ）545R π（C ）24R π （D ）R π4答案：（C ）解 由于积分曲面关于三个坐标面对称，且满足轮换，故有2222224114()4333x dS x y z dS R R R ππ∑∑=++=⋅=⎰⎰⎰⎰，所求利用上述结论，为238x dS ∑⎰⎰，故选C 。

平面1. 设∑是yoz 平面上的圆域221y z +≤，则()222d xy z S ∑++⎰⎰等于（ ）D（A ）0 （B ）π （C ）4π （D ）2π 答案：（D ）解 在∑上，0x =，被积函数化为22y z +，原积分化为二重积分为()222Dy z dydz π+=⎰⎰，选D2.若∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的部分,则4(2)3z x y dS ∑++=⎰⎰解 ∑在xoy 的投影为03(1):202xy x y D x ⎧≤≤-⎪⎨⎪≤≤⎩,=4(2)43xyD z x y dS ∑++==⎰⎰⎰⎰.3.设∑为平面1234x y z ++=在第一卦限内的部分，则423z x y dS ∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰=（ ）D (A) 23(1)204xdx dy -⎰⎰。

探索解析几何的曲面积分与体积练习题解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究几何图形的性质和变换。

其中，曲面积分和体积是解析几何中的重要概念之一。

本文将围绕这一主题，提供一些曲面积分和体积的练习题，用以巩固读者对这一知识点的理解和运用能力。

1. 曲面积分练习题（1）计算曲面积分∫∫_S▒〖(x^2+y^2+z^2 ) dS〗，其中S为球面x^2+y^2+z^2=4。

（2）求曲面积分∫∫_S▒〖z dS〗，其中S为锥面z=√(x^2+y^2 )。

解析：（1）首先，球面x^2+y^2+z^2=4可参数化为x=2sinθcosφ，y=2sinθsinφ，z=2cosθ，其中θ∈[0,π]，φ∈[0,2π]。

通过计算可得到曲面积分为∫∫_S▒(x^2+y^2+z^2 ) dS=∫∫_D▒(4sinθ )dφdθ，其中D为θ-φ平面上的单位圆。

化简计算可得，∫∫_D▒(4sinθ ) dφdθ=[∫_0^1▒(∫_0^(2π)▒4sinθdφ)dθ]=8π∫_0^1▒sinθdθ=-8πcosθ|[0^1]=-8π(cos1-cos0)=8π(1-cos1)。

（2）将锥面z=√(x^2+y^2 )用柱坐标参数化，可得z=z，ρ=ρ，φ=φ，其中ρ∈[0,1]，φ∈[0,2π]。

则曲面积分∫∫_S▒z dS=∫∫_D▒(ρcosφ )ρdρdφ，其中D为ρ-φ平面上的单位圆。

计算后可得，∫∫_D▒(ρcosφ )ρdρdφ=[∫_0^(2π)▒(∫_0^1▒ρ^2cosφdρ)dφ]=∫_0^(2π)▒1/3cosφdφ=0。

2. 体积练习题（1）求由平面2x+y+z=2与平面x+2y+z=2及坐标轴所围成的立体的体积。

解析：首先，将平面2x+y+z=2与平面x+2y+z=2化简为z=2-2x-y与z=2-x-2y。

则两平面交点为解方程组2-2x-y=2-x-2y，得到x=y=1，代入任意一个方程可得z=1。

曲线积分与曲面积分单元练习题一、 填空题：1．设L 为122=+y x 上点)0,1(到)0,1(-的上半弧段，则2d Ls ⎰= π2；2．⎰+Cds y x z 22= 285π ，其中C 是曲线⎪⎩⎪⎨⎧===t z t y tx sin 2cos 2介于0=t 到π=t 一段； 3．L 为逆时针方向的圆周:4)3()2(22=++-y x ,则=-⎰Lxdy ydx π8-；4．设C 是由ｘ轴、ｙ轴与直线ｘ＋ｙ＝１围成的区域的正向边界，则⎰=-Cxdy ydx1-；5． 第一类曲面积分⎰⎰∑dS =的面积∑；6． 设曲面∑为：2222x y z a ++=，则222()xy z dS ∑++=⎰⎰44a π；7．设∑：2222a z y x =++．则dS z ⎰⎰∑2=434a π； 8．格林(Green)公式指出了下列两类积分：_平面上第二类曲线积分和二重积分之间关系。

高斯(Gauss)公式指出了下列两类积分：空间上的第二类曲面积分与三重积分__之间关系。

二、计算题： 1．计算⎰Lds y ，其中L 是抛物线2x y =上自点（0，0）到（1，1）的一段弧。

解12155|)41(121411023212-=+=+⎰x dx x x 。

2．计算⎰Lxyds ，其中L 为从（0，0）到（2，0）的上半圆弧：)0(222≥=+y x y x。

解2sin )cos 1(0=+=⎰⎰πtdt t xyds L3．已知平面曲线弧段L 是圆 4 22=+y x 上从点 ()0,2到()2,0的有向弧段，试计算⎰=Lxydx I .解 ()t d t t I cos 2sin 2cos 220⎰π=dt t t ⎰π-=202sin cos 838-=4．计算224(2)()LI x xy dx x y dy =+++⎰,其中L 为由点(0,0)O 到点(1,1)A 的曲线sin2y x π=.解法一：由于2242,P x xy Q x y =+=+，2P Q x y x∂∂==∂∂，所以积分与路径无关。

例 1 ． 计算积分1 dS ， 是球面 x 2y 2z 2R 2被平面 z h （ 0 h R ）截出的z顶部。

例 2． 计算积分òxydS ，是圆柱面 x 2y 2 1与平面 z0 ， x z 2 围成的立体的全表面。

例 3 ． 求 F (t )f ( x, y, z)dS ， 其 中为 x 2 y 2 z 2t 2 （ t 0 ）， 被 积 函 数f ( x, y, z) x 2y zx 2 y 2。

zx 2y 2例 4．计算积分1dS ，⑴ 是球面 x 2y 2z 2R 2；⑵ 是介于平面 z 0 ，222x yz之间的圆柱面 x 2y 2R 2 。

z 1例 5． 计算积分 z 2dS ，此中： x 2y 2 z 2 R 2 。

例 6．计算积分 (xyz)dS ， 是上半球面 x 2 y 2z 2 2 被旋转抛物面 zx 2y 2截出的顶部。

例 7．计算曲面积分( xy yz zx)dS ， 为锥面 zx 2 y 2 被圆柱面 x 2 y 22ay（ a 0 ）所截下的部分。

例 8． 计算半径为 a 的平均半球壳的重心。

例 1 ． 计算积分1dS ， 是球面 x 2y 2 z 2R 2 被平面 z h （ 0 hR ）截出的z顶部。

解：： zR 2 x 2 y 2 ，在 xoy 面上的投影地区 D ： x 2 y 2 R 2 h 2 ，1 z2 z 21x 2y 2R RxyR2x 2 y 2R2x 2 y 2R2x 2y 211RddSzDR 2 x 2 y 2R 2 x 2 y 2x 2y 2R 2 h 2R 2dRrdrd R2R 2h 2r2 drR 2 x 2y 22 dR 2rDDR r2 R ( 1 ln( R 2 r 2 ) 0 R 2h 2R (2ln R2ln h) 2RlnR2h例 2． 计算积分 ò xydS ，是圆柱面 x 2 y 21与平面 z 0 ， x z 2 围成的立体的全表面。

第二十二章 曲面积分总练习题1、设P=x 2+5λy+3yz, Q=5x+3λxz-2, R=(λ+2)xy-4z.(1)计算⎰++L Rdz Qdy Pdx , L 为螺旋线x=acost, y=asint, z=ct(0≤t ≤2π); (2)设A=(P ,Q,R), 求rotA;(3)问在什么条件下A 为有势场？并求势函数.解：(1)⎰++L Rdz Qdy Pdx =⎰-++πλ2022)sin )(sin 3sin 5cos (dt t a t act t a t a +⎰-+πλ20)cos )(2cos 3cos 5(dt t a t act t a +⎰-+πλ202]4cos sin )2[(cdt ct t t a =⎰++-πλ20222223)sin 3sin 5sin cos (dt t ct a t a t t a +⎰-+πλ202222)cos 2cos 3cos 5(dt t a t ct a t a +⎰-+πλ2022]4cos sin )2[(dt t c t t c a =-5πλa 2-3π2a 2c+5πa 2+3π2λa 2c-8π2c 2=πa 2(-5λ-3πc+5+3πλc)-8π2c 2 =πa 2[5(1-λ)-3πc(1+λ)]-8π2c 2=πa 2(1-λ)(5-3πc)-8π2c 2. (2)rotA=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q y R ,,=((λ+2)x-3λx,3y-(λ+2)y,5+3λz-5λ-3z) =(2(1-λ)x,(1-λ)y,(1-λ)(5-3z)).(3)当(2)知，当λ=1时，rotA=0，此时A 为有势场，其势函数为： u(x,y,z)=⎰-+-++++),,()0,0,0(2)43()235()35(z y x dz z xy dy xz x dx yz y x +C=⎰⎰⎰-+++z y x dz z xy dy x dx x 0002)43()25(+C=31x 3+5xy-2y+3xyz-2z 2+C.2、证明：若△u=22x u ∂∂+22yu ∂∂+22z u∂∂, S 为包围区域V 的曲面外侧, 则：(1)⎰⎰⎰∆Vudxdydz =⎰⎰∂∂SdS nu;(2)⎰⎰∂∂SdS n uu=⎰⎰⎰∇∙∇V udxdydz u +⎰⎰⎰∆∙Vudxdydz u , 其中u 在区域V 及界面S 上有二阶连续偏导数, nu∂∂为沿曲面S 外法线方向的方向导数. 证：(1)⎰⎰∂∂SdS n u =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂S dS z n z uy n y u x n x u ),cos(),cos(),cos( =⎰⎰∂∂+∂∂+∂∂外S dxdy z udzdx y u dydz x u =⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂V dxdydz z u y u x u 222222=⎰⎰⎰∆V udxdydz . (2)⎰⎰∂∂SdS n u u=⎰⎰∂∂+∂∂+∂∂外Sdxdy z uu dzdx y u u dydz x u u =⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂V dxdydz z u u z u y u u y u x u u x u 222222222=⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂V dxdydz z u y u x u 222+⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂V dxdydz z u y u x u u 222222 =⎰⎰⎰∇∙∇Vudxdydz u +⎰⎰⎰∆∙Vudxdydz u .3、设S 为光滑闭曲面，V 为S 所围的区域. 函数u(x,y,z)在V 与S 上具有二阶连续偏导数, 函数ω(x,y,z)偏导连续. 证明： (1)⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz x u ω=⎰⎰Sdydz u ω-⎰⎰⎰∂∂V dxdydz x u ω; (2)⎰⎰⎰∆Vudxdydz ω=⎰⎰∂∂SdS n uω+⎰⎰⎰∇∙∇Vdxdydz u ω. 证：(1)由高斯公式：⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz x P=⎰⎰SPdydz , 令P=u ω, 有 ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂V dxdydz x w u x uω=⎰⎰S dydz u ω, 即 ⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz x u ω=⎰⎰Sdydz u ω-⎰⎰⎰∂∂V dxdydz x u ω.(2)由(1)式用x u ∂∂代替u 有：⎰⎰⎰∂∂V dxdydz x u22ω=⎰⎰∂∂S dydz x u ω-⎰⎰⎰∂∂∂∂V dxdydz x x u ω. 同理可得：⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz y u22ω=⎰⎰∂∂S dzdx y u ω-⎰⎰⎰∂∂∂∂V dxdydz y y u ω; ⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz z u22ω=⎰⎰∂∂S dxdy z u ω-⎰⎰⎰∂∂∂∂V dxdydz z z u ω; 三式相加可得： ⎰⎰⎰∆Vudxdydz ω=⎰⎰∂∂SdS n uω+⎰⎰⎰∇∙∇Vdxdydz u ω. 4、设A=3||r r, S 为一封闭曲面, r=(x,y,z). 证明当原点在曲面S 的外、上、内时，分别有⎰⎰∙SdS A =0、2π、4π.证：设n 0=(cos α,cos β,cos γ)为曲面S 的单位法向量, 则ds=n 0ds, 当原点在S 的外面时，由奥高公式可得：⎰⎰∙SdS A =⎰⎰SdS An 0=⎰⎰++SdS r z y x 3||cos cos cos γβα=⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-V dxdydzr z r r y r r x r 523523523||3||1||3||1||3||1=⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Vdxdydz r r 33||3||3=0. 当原点在S 上时，则所给曲面积分变为广义的. 如果曲面S 在原点处有一确定的切面，则⎰⎰∙SdS A =2π.当原点在S 内时，作一个以原点为中心，以r 为半径的小球面σ， 在S 和σ之间的区域V 1上应用奥高公式，则有⎰⎰⎰⎰∙-外外S AdS σ=⎰⎰⎰⎰-外外S dS An σ0=⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-133||3||3V dxdydz r r =0,∴⎰⎰∙外S AdS =⎰⎰∙外σdS A =⎰⎰外σdS An 0=⎰⎰⋅外σdS r r r r ||||3=⎰⎰外σdS r 21=4πr 2·21r =4π.5、计算I=⎰⎰++Szydxdy yxdzdx xzdydz , 其中S 是柱面x 2+y 2=1在-1≤z ≤1和x ≥0的部分. 曲面侧的法向与x 轴正向成锐角. 解：∵曲面S 在xOy 平面上的投影曲线为x 2+y 2=1, ∴⎰⎰Szydxdy =⎰⎰≤+122y x zydxdy =0；∵曲面S 在yOz 平面上的投影区域D 为-1≤y,z ≤1, 曲面的则的法向与x 轴正向成锐角, 是正侧，x=21y -, ∴⎰⎰Sxzdydz =⎰⎰Dxzdydz =⎰⎰---112111dy y zdz =0；∵曲面在zOx 平面上的投影区域Ω为0≤x, -1≤z ≤1,记S 1: y=21x -, 它与y 轴正向夹角为锐角，是曲面的侧的正侧； S 2: y=-21x -, 它与y 轴正向夹角为钝角，是曲面的侧的负侧； 根据对称性，有⎰⎰Syxdzdx =2⎰⎰Ω-dzdx x x 21=2⎰⎰--102111dx x x dz =⎰⎰--1023210)1()1(32x d x dz =34. ∴I=⎰⎰++Szydxdy yxdzdx xzdydz =0+0+34=34.6、证明公式：⎰⎰++Dd d p n m f ϕθϕϕθϕθϕsin )cos sin sin cos sin (=2πdu p n m u f ⎰-++11222)(,其中D={(θ,φ)|0≤θ≤2π, 0≤φ≤π}, m 2+n 2+p 2>0, f(t)在|t|<222p n m ++时为连续函数.证：设S 为球面x 2+y 2+z 2=1, 则有.P=⎰⎰++Dd d p n m f ϕθϕϕθϕθϕsin )cos sin sin cos sin (=⎰⎰++Sds pz ny mx f )(.建立新坐标系O-uv ω, 与原坐标系O-xyz 共原点，且 O-v ω平面为O-xyz 坐标系的平面.mx+ny+pz=0, ou 轴过原点且垂直于O-v ω, 于是有u=222pn m pz ny mx ++++.在新坐标系O-uv ω中,P=ds p n m u f S⎰⎰++)(222. 球面S 可表示为：u=u, v=21u -cos ω, ω=21u -sin ω, (-1≤u ≤1, 0≤ω≤2π), 则ds=dud ω. ∴P=⎰⎰-++1122220)(du p n m u f d πω=2πdu p n m u f ⎰-++11222)(, 得证！。

第二十二章 曲面积分 1 第一型曲面积分一、第一型曲面积分的概念定义1：设S 是空间中可求面积的曲面，f(x,y,z)为定义在S 上的函数，对曲面S 作分割T ，它把S 分成n 个小曲面块S i (i=1,2,…,n)， 以△S i 记小曲面块S i 的面积，分割T 的细度T =ni ≤≤1max {S i 的直径}，在S i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ) (i=1,2,…,n)，若极限i ni i i i T S f ∆∑=→1),,(lim ζηξ存在， 且与分割T 及(ξi ,ηi ,ζi ) (i=1,2,…,n)的取法无关，则称此极限为f(x,y,z)在S 上的第一型曲面积分，记作⎰⎰SdS z y x f ),,(.性质：1、存在性：若f(x,y,z)在光滑曲面S 上连续，则第一型曲面积分存在.2、可加性：若曲面S 由互不相交的曲面S 1,S 2,…,S k 组成，且⎰⎰iS dS z y x f ),,((i=1,2,…,k)都存在，则⎰⎰SdS z y x f ),,(也存在，且⎰⎰SdS z y x f ),,(=∑⎰⎰=ki S idS z y x f 1),,(.3、线性：若⎰⎰Si dS z y x f ),,( (i=1,2,…,k)存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则⎰⎰∑=S k i ii dS z y x f c 1),,(=∑⎰⎰=ki SiidS z y x f c 1),,(.4、若⎰⎰SdS z y x f ),,(与⎰⎰SdS z y x g ),,(都存在，且f(x,y,z)≤g(x,y,z)，则⎰⎰SdS z y x f ),,(≤⎰⎰SdS z y x g ),,(.5、若⎰⎰SdS z y x f ),,(存在，则⎰⎰SdS z y x f |),,(|也存在，且⎰⎰SdS z y x f ),,(≤⎰⎰SdS z y x f |),,(|.6、若⎰⎰SdS z y x f ),,(存在，S 的表面积为s ，则存在常数c ，使得⎰⎰SdS z y x f ),,(=cs, 这里),,(infz y x f S≤c ≤),,(sup z y x f S.注：当f(x,y,z)=1时, 曲面积分⎰⎰SdS 就是曲面块S 的面积.二、第一型曲面积分的计算定理22.1：设光滑曲面S ：z=z(x,y), (x,y)∈D ，函数f(x,y,z)在S 上连续，则⎰⎰SdS z y x f ),,(=⎰⎰++Dy x dxdy z z y x z y x f 221)),(,,(. 证：由定义知⎰⎰SdS z y x f ),,(=i ni i i i T S f ∆∑=→1),,(lim ζηξ, 其中 △S i =⎰⎰∆++iD y x dxdy z z 221=i i i y i i xD z z ∆++),(),(122ηξηξ. ∴⎰⎰SdS z y x f ),,(=i i i y i i x ni i i i i T D z z z f ∆++∑=→),(),(1)),(,,(lim 221ηξηξηξηξ =⎰⎰++Dy x dxdy z z y x z y x f 221)),(,,(.例1：计算⎰⎰SzdS，其中S 是球面x 2+y 2+z 2=a 2被平面z=h(0<h<a)所截的顶部.解：曲面S 的方程为z=222y x a --, 定义域为圆域x 2+y 2≤a 2-h 2.∵221yxz z ++=222222221y x a y y x a x --+--+=222yx a a--,∴⎰⎰Sz dS =⎰⎰--⋅--D dxdy y x a ay x a 2222221=⎰⎰--D dxdy y x a a 222=⎰⎰--2202220h a rdr ra a d πθ=2a πln h a.例2：计算⎰⎰++SdS z y x )(222, 其中(1)S ：x 2+y 2+z 2=a 2；(2)S ：x 2+y 2+z 2=2az.解：(1)⎰⎰++SdS z y x )(222=⎰⎰SdS a 2= a 2·4πa 2=4πa 4.(2)⎰⎰++SdS z y x )(222=⎰⎰SazdS 2=⎰⎰12S azdS +⎰⎰22S azdS ，其中S 1=z 1=a+)222y x a --, (x,y)∈D; S 2=z 2=a-222y x a --, (x,y)∈D.∵21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =22221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =222yx a a --, ∴⎰⎰12S azdS =⎰⎰----+Ddxdy y x a a y x a a a 222222)(2,⎰⎰22S azdS =⎰⎰-----Ddxdy yx a ay x a a a 222222)(2,∴⎰⎰++SdS z y x )(222=4⎰⎰--Ddxdy y x a a 2223=4a3⎰⎰-ar a rdr d 02220πθ=8πa 4.注：在由参量形式表示的光滑曲面S ：⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(v u z z v u y y v u x x , (u,v)∈D上的第一型曲面积分的计算公式为：⎰⎰SdS z y x f ),,(=⎰⎰-Ddudv F EG v u z v u y v u x f 2)),,(),,(),,((, 其中E=x u 2+y u 2+z u 2, F=x u x v +y u y v +z u z v , G=x v 2+y v 2+z v 2, 且雅可比行列式),(),(v u y x ∂∂,),(),(v u z y ∂∂,),(),(v u x z ∂∂中至少有一个不等于0.例3：计算⎰⎰SzdS ,其中S 为螺旋面的一部分.⎪⎩⎪⎨⎧===vz v u y vu x sin cos , (u,v)∈D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤π200v a u . 解：E=x u 2+y u 2+z u 2=cos 2v+sin 2v=1; G=x v 2+y v 2+z v 2=u 2sin 2v+u 2cos 2v+1=u 2+1; F=x u x v +y u y v +z u z v =-usinvcosv+ucosvsinv=0；∴⎰⎰SzdS =⎰⎰+Ddudv u v 12=dv v du u a⎰⎰+π20021=2π2[])1ln(122++++a a a a .习题1、计算下列第一型曲面积分：(1)⎰⎰++SdS z y x )(，其中S 为上半球面x 2+y 2+z 2=a 2, z ≥0；(2)⎰⎰+SdS y x )(22，其中S 为立体22y x +≤z ≤1的边界曲面；(3)⎰⎰+Syx dS 22，其中S 为柱面x 2+y 2=R 2被平面z=0, z=H 所截取的部分； (4)⎰⎰SxyzdS ，其中S 为平面x+y+z=1在第一卦限中的部分.解：(1)∵z=222yx a --, z x 2=22z x , z y 2=22z y , ∴221y x z z ++=222zx a a --. 又D={(x,y)|x 2+y 2≤a 2}. ∴⎰⎰++SdS z y x )(=()⎰⎰----++Ddxdyz x a y x a y x a 222222 =a ⎰⎰+-+πθθθ20220)1sin cos (rd r a r r dr a=2πa ⎰ardr 0=πa 3.(2)S=S 1+S 2, 其中S 1：z 1=22y x +, S 2：z 2=1.∵21⎪⎭⎫⎝⎛∂∂x z =222y x x +; 21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y z =222y x y +; ∴21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =2. 又22221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =1, D={(x,y)|x 2+y 2≤1}； ∴⎰⎰+1)(22S dS y x =⎰⎰+Ddxdy y x )(222=⎰⎰103202dr r d πθ=22π; ⎰⎰+2)(22S dS y x =⎰⎰+Ddxdy y x )(22=⎰⎰1320dr r d πθ=2π; ∴⎰⎰+SdS y x )(22=⎰⎰+1)(22S dS y x +⎰⎰+2)(22S dS y x =)12(2+π.(3)⎰⎰+Sy x dS 22=⎰⎰SdS R 21=21R ·2πRH=RH π2. (4)z=1-x-y, z x =-1, z y =-1, ∴221y x z z ++=3.又D={(x,y)|x+y ≤1,0≤x ≤1}, ∴⎰⎰SxyzdS =⎰⎰--Ddxdy y x xy )1(3=⎰⎰---xdyy x xy dx 1010)1(3=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-10432612121613dx x x x x =1203.2、求均匀曲面：x 2+y 2+z 2=a 2, x ≥0,y ≥0,z ≥0的质心. 解：∵z=222yx a --, z x 2=2222y x a x --, z x 2=2222yx a y --,∴221y x z z ++=222y x a a--, 又曲面面积为21πa 2,D 为四分之一圆域x 2+y 2≤a 2在第一象限部分.∴x =⎰⎰SxdS a22π=dr r a ar d a a⎰⎰-022222cos 2θθππ=⎰20cos 2πθθd a =2a ；y =⎰⎰SydS a 22π=dr r a ar d a a⎰⎰-022222sin 2θθππ=⎰20sin 2πθθd a =2a；z =⎰⎰SzdS a22π=dr ar d a a⎰⎰222πθπ=2a . ∴曲面的质心为(2a ,2a ,2a ).3、求密度为ρ的均匀球面x 2+y 2+z 2=a 2 (z ≥0)对于z 轴的转动惯量. 解：J z =⎰⎰SdS z ρ2=ρdr r a ar d a⎰⎰-02220πθ=34πa 4ρ.4、计算.⎰⎰SdS z2, 其中S 为圆锥表面的一部分S ：⎪⎩⎪⎨⎧===θθϕθϕcos sin sin sin cos r z r y r x , (r,φ)∈D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤πϕ200a r ,θ为常数(0<θ<2π). 解：E=x r 2+y r 2+z r 2=cos 2φsin 2θ+sin 2φsin 2θ+cos 2θ=1; G=x φ2+y φ2+z φ2=r 2sin 2φsin 2θ+r 2cos 2φsin 2θ=r 2sin 2θ; F=x r x φ+y r y φ +z r z φ=-rsin φcos φsin θ+rsin φcos φsin θ=0； ∴⎰⎰S dS z 2=⎰⎰⋅Ddrd r r ϕθθsin cos 22=sin θcos 2θdr r d a⎰⎰0320πϕ=24a πsin θcos 2θ.。

第十章 曲线曲面积分§10．1对弧长的曲线积分一、选择题1. 设曲线弧段 AB 为，则曲线积分有关系( ).(A )(,)d (,)d ABBAf x y s f x y s =-⎰⎰； (B ) (,)d (,)d A B B Af x y sf x y s =⎰⎰；(C ) (,)d (,)d 0A B B Af x y s f x y s +=⎰⎰；(D)(,)d (,)d ABBAf x y s f x y s =--⎰⎰． 答(B).2. 设有物质曲线23:,,(01),23ttC x t y z t ===≤≤其线密度为ρ=,它的质量M =( ).(A )10t ⎰; (B )1tt ⎰;(C)t ⎰; (D)t ⎰. 答(A ).3.设OM 是从(0,0)O 到(1,1)M 的直线段,则与曲线积分O MI s=⎰不相等的积分是( ).(A )10x ⎰; (B )10y ⎰;(C)d rr ⎰; (D )1er ⎰ 答(D).4 .设L 是从(0,0)A 到(4,3)B 的直线段,则曲线积分()d Lx y s -=⎰( ).(A )43d 4x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰; (B)33d 4y y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰;(C)3034y y y ⎛- ⎝⎰; (D)4034x x x ⎛- ⎝⎰. 答(D). 5. 设L 为抛物线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧,则曲线积分s =⎰( ).(A )x ⎰; (B)y ⎰;(C)10x ⎰; (D)y ⎰. 答(C).6. 设L 是从(1,0)A 到(1,2)B -的直线段,则曲线积分()d Lx y s +=⎰( ).(A ); (B)2; (C) (D) 答(D).二、填空题1. 设L 是圆周221x y +=,则31d LI x s =⎰与52d LI x s =⎰的大小关系是.答:12.I I =2. 设L 是连接(1,0)A 与(0,1)B 两点的直线段, 则()d Lx y s +=⎰..3. 设:cos ,sin (02),L x a t y a t t π==≤≤则22()d nLx y s +=⎰.答：212a a π+.4. 设:cos ,sin (02),L x a t y a t t π==≤≤则22()d Lx y s -=⎰.答：0.5. 设L 是圆周221x y +=,则2d LI x s ==⎰.答：π.6. 设:cos ,sin ,t t t x e t y e t z e Γ===,上相应于t 从0变到2的这段弧,则曲线积分22()d Lx y s -=⎰.答:2)2e --.7. 设L 为曲线24y x =上从点(0,0)A 到点(1,2)B 的弧段,则Ls =⎰.答：3. 三、解答题1.计算下列对弧长的曲线积分： (1)d Lx s ⎰其中为由直线y x =与抛物线2y x =所围区域的整个边界.答： 11)12.(2)Ls ⎰其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.答： 2 2.4a a e π⎛⎫+- ⎪⎝⎭(3)2d x yz s Γ⎰，其中Γ为折线ABC D ，这里,,,A B C D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2).答：9. (4)2d Ly s ⎰其中L 为摆线一拱(sin ),(1cos )(02)x a t t y a t t π=-=-≤≤.答： 34232.53a ⋅⋅ (5)22()d Lx y s +⎰其中L 为曲线(cos sin )(sin cos )x a t t t y a t t t =+⎧⎨=-⎩(02)t π≤≤.答： 2322(12).a ππ+§10．2对坐标的曲线积分一、选择题1. 设AB 为由(0,)A π到(,0)B π的直线段,则sin d sin d ABy x x y +=⎰( ).(A )2; (B)1-; (C)0; (D)1. 答(C).2. 设C 表示椭圆22221x y ab+=,其方向为逆时针,则2()d Cx y x +=⎰ ( ).(A )ab π; (B)0; (C)2a b +; (D)1. 答(B).3. 设C 为由(1,1)A 到(2,3)B 的直线段,则(3)d (2)d Cx y x y x y +++=⎰( ).(A)21[(2)(23)]d x x x x x +++⎰； (B)21[(21)(213)]d x x x x x +-+-+⎰(C)21[(73)2(51)]d x x x -+-⎰; (D)21[(73)(51)]d x x x -+-⎰. 答(C).4. 设曲线C 的方程为x y ==(0)2t π≤≤,则22d d Cx y y y x x -=⎰( )(A)20[cos sin t π⎰； (B)2220(cos sin )d t t t π-⎰(C)220cos sin ππ-⎰⎰(D)201d 2t π⎰.答(D).5. 设()f u 连续可导,L 为以原点为心的单位圆,则必有( ).(A)22()(d d )0Lf x y x x y y ++=⎰；(B)22()(d d )0Lf x y x y y x ++=⎰(C)22()(d d )0Lf x y x y y ++=⎰; (D)22()(d d )0Lf x y x x y ++=⎰.答(A).6. 设C 是从(0,0)O 沿折线11y x =--到(2,0)A 到的折线段,则d d Cx y y x -=⎰( )(A )0; (B)1-; (C)2-; (D)2. 答(C). 二、填空题1. L 为xoy 平面内直线x a =上的一段,则(,)d LP x y x =⎰.答：0.2. 设L 为2y x =上从(0,0)O 到(2,4)A 的一段弧,则22()d Lx y x -=⎰.答：5615-.3. 设L 为2y x =上从(0,0)O 到(2,4)A 的一段弧,则22()d Lx y y -=⎰.答：403-.4．L 为圆弧y =(2,2)A 的一段弧,则d Lxy y =⎰.答：43.5．设L 为圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限的区域的整个边界(按逆时针方向绕行),则d Lxy y =⎰.答：32aπ-.6．设(2)d (23)d 9Lx y x x y y -++=-⎰ ,其中L 为xoy 平面上简单闭曲线,方向为逆时针.则L 所围成的平面区域D 的面积等于.答：32.三、解答题1．计算()d ()d Lx y x y x y ++-⎰,其中L 为:(1) 抛物线2y x =上从(1,1)到(4,2)的一段弧;(2) 从点(1,1)到点(4,2)的一直线段;(3) 先沿直线从点(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线; (4) 曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧. 答案：3432(1);(2)11;(3)14;(4).332．计算d d Ly x x y +⎰其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到2π的一段弧.答：0.3．计算22()d ()d Lx y x x y yx y+--+⎰,其中L 为圆周222x y a +=(方向按逆时针).答：2π-.4．计算d d (1)d x x y y x y z Γ+++-⎰其中Γ为从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直线段.答：13.5. 计算22(2)d (2)d Lx xy x y xy y -+-⎰,其中L 是2y x =上从点(1,1)-到点(1,1)的一段弧.答：1415-.§10．3 格林公式一、选择题1. 设C 是圆周222x y R +=,方向为逆时针方向,则22d d Cx y x xy y -+⎰用格林公式计算可化为( ).(A)23d d R r r πθ⎰⎰； (B)2200d d Rr r πθ⎰⎰;(C)23d 4sin cos d Rr r πθθθ-⎰⎰; (D)22d d R R r r πθ⎰⎰. 答(A).2. 设L 是圆周222x y a +=,方向为负向,则3223()d ()d Lx x y x xy y y -+-⎰ = ( ).(A )323a π; (B)4a π-; (C); (D)42a π-. 答(D).3. 设L 是从(0,0)O 沿折线22y x =--到(4,0)A 到的折线段,则d d Cx y y x -=⎰( )(A )8; (B)8-; (C)4-; (D)4. 答(B).4. 设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内具有一阶连续偏导数,则d d LP x Q y +⎰在D 内与路径无关的充分必要条件是在D 内恒有( ).(A )0Q P x y ∂∂+=∂∂; (B)0Q P x y ∂∂-=∂∂; (C)0P Q xy∂∂-=∂∂; (D)0P Qxy∂∂+=∂∂. 答(B).5. 设L 为一条不过原点,不含原点在内的简单闭曲线, 则22d d 4Lx y y x x y-=+⎰( ).(A )4π; (B)π; (C)2π; (D)0. 答(D).6. 设L 为一条包含原点在内的简单闭曲线,则22d d 4Lx y y x I x y-==+⎰( ).(A )因为Q P xy∂∂=∂∂,所以0I =; (B)因为,Q Px y∂∂∂∂不连续,所以I 不存在; (C)2π; (D)因为Q P xy∂∂≠∂∂,所以沿不同的L ,I 的值不同. 答(C).7. 表达式(,)d (,)d P x y x Q x y y -为某函数(,)U x y 的全微分的充分心要条件是( ).(A )P Q x y ∂∂=∂∂; (B)P Q y x∂∂=∂∂;(C)P Qxy∂∂=-∂∂; (D)P Q yx∂∂=-∂∂. 答(D).8. 已知2()d d ()x ay x y yx y +++为某函数(,)U x y 的全微分,则a =( ).(A )0; (B)2; (C)1-; (D)1. 答(B).9. 设L 是从点(1,1)A 到点(2,3)B 的直线段, 则(3)d (3)d Lx y x y x y +++=⎰( ).(A )2311(3)d (6)d x x y y +++⎰⎰; (B)21[(6)(23)]d x x x x x +++⎰;(C)23111(31)d (3)d 2y x x y y ++++⋅⎰⎰; (D)21[(31)(51)]d x x x -++⎰.答(A ).10*. 设()f x 连续可导,且(0)1f =,曲线积分(,)43(0,0)()tan d ()d I yf x x x f x y ππ=-⎰与路径无关,则()f x =( ).(A )1cos x +; (B)1cos x -; (C)cos x ; (D)sin x . 答(C).二、填空题1. 设区域D 的边界为L ,方向为正向, D 的面积为σ. 则d d Lx y y x -=⎰ .答: 2σ.2. 设(,)f x y 在22:14xD y +≤上具有二阶连续偏导数, L 是D 的边界正向,则(,)d [3(,)]d y x Lf x y y y f x y x -+=⎰ .答: 6π.3. 设L 是圆周229x y +=,方向为逆时针,则2(2)d (4)d Lxy y x x x y -+-=⎰ .答: 27π-.4. 设L 为闭曲线2x y +=方向为逆时针,,a b 为常数, 则d d Lax y by x x y-+⎰=.答: 4()a b +.5. 设ABC D A 为以点(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)A B C D --为顶点的正方形逆时针方向一周,则d d Lx y x y++⎰=.答: 0.6. 设L 为圆周221x y +=上从(1,0)A 到(0,1)B 再到(1,0)C -的曲线段,则2d yLe y =⎰.答: 0. 7.(2,2)2(0,0)2d (3)d xy x x y +-=⎰.答: 2.8. 设L 为直线y x =从(0,0)O 到(2,2)A 的一段, 则22d 2d y y Le x xye y +=⎰.答: 42e .9*. 设L 为抛物线上一段弧,试将积分(,)d (,)d LP x y x Q x y y +⎰化为对弧长的曲线积分,其中(,),(,)P x y Q x y 在L 上连续.答:22d 14LP xQs x++⎰.10*. 设()f x 连续可导,且(0)0f =,曲线积分[()]sin d ()cos d xLf x e y x f x y y --⎰与路径无关,则()f x =.答:2x xe e--.三、解答题1. 计算22d d 2()Ly x x y x y -+⎰ ，其中L 为圆周22(1)2x y -+=的正向.答:π-.2. 计算(24)d (536)dLx y x y x y -+++-⎰ ，其中L 是顶点分别为(0,0)、(3,0)和(3,2)的三角形正向边界.答:12. 3. 计算3222(2c o s )d (12s i n 3)d Lx y y x x y x x yy -+-+⎰,其中L 为抛物线22x y π=上由点(0,0)到,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭的一段弧.答:24π.4. 计算22()d (sin )d Lx y x x y y --+⎰，其中L 是圆周y =上由(0,0)到(1,1)的一段弧.答:7sin 264-+.5. 证明下列曲线积分与路径无关,并计算积分值: (1) (2,3)(1,1)()d ()d x y x x y y ++-⎰.答:52.(2)(2,1)423(1,0)(23)d (4)d xy y x x xy y -++-⎰.答: 5.6. 验证下列(,)d (,)d P x y x Q x y y +在整个xoy 平面内是某函数(,)u x y 的全微分,并求函数(,)u x y .(1) (2)d (2)d x y x x y y +++. (2) 22d d xy x x y +.(3) 22(2cos cos )d (2sin sin )d x y y x x y x x y y ++-. 答: (1)22222xyxy ++; (2) 2x y ; (3)22cos sin x y y x +.7. 用格林公式计算223()d (2)d Lx x y x xy y y -+-+⎰，其中L 是圆周y =(2,0)A 到(0,0)O 的一段弧.答:324π-.8. 用格林公式计算423(23)d (4)d Lxy y x x x xy y -+++-⎰，其中L 是圆周y =(1,0)A 到(1,0)B -的一段弧.答:62π-.§10．4 对面积的曲面积分一、选择题1. 设∑是xoy 平面上的一个有界闭区域xy D ,则曲面积分(,,)d f x y z S ∑⎰⎰与二重积分(,)d d xyD f x y x y ⎰⎰的关系是 ( ).(A)(,,0)d f x y S ∑⎰⎰=(,)d d xyD f x y x y ⎰⎰;(B)(,,0)d f x y S ∑⎰⎰=(,)d d xyD f x y x y -⎰⎰;(C)(,,0)d f x y S ∑<⎰⎰(,)d d xyD f x y x y ⎰⎰;(D)(,,0)d f x y S ∑>⎰⎰(,)d d xyD f x y x y ⎰⎰.答(A).2. 设∑是抛物面22(04)z x y z =+≤≤,则下列各式正确的是( ).(A)(,,)d f x y z S ∑⎰⎰=22224(,,)d d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰;(B)(,,)d f x y z S ∑⎰⎰=22224(,,d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰;(C)(,,)d f x y z S ∑=⎰⎰22224(,,d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰;(D)(,,)d f x y z S ∑=⎰⎰22224(,,d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰. 答(D).3.设2222:(0)x y z a z ∑++=≥,1∑是∑在第一卦限中的部分,则有( ).(A)1d 4d x Sx S ∑∑=⎰⎰⎰⎰; (B )1d 4d y S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(C)1d 4d z Sz S ∑∑=⎰⎰⎰⎰; (D )1d 4d x y z S x y z S ∑∑=⎰⎰⎰⎰. 答(C).4. 设∑是锥面1)z z =≤≤,则22()d x y S ∑+=⎰⎰( ).(A)22()d x y S ∑+=⎰⎰212d d r r r πθ⋅⎰⎰;(B)22()d xy S ∑+=⎰⎰12d d r r r πθ⋅⎰⎰;(C)22()d xy S ∑+=⎰⎰21200d d r r πθ⎰;(D)22()d x y S ∑+=⎰⎰212d d r r r πθ⋅⎰;. 答(D).5. 设∑为平面1234x y z ++=在第一卦限内的部分,则42d 3z x y S ∑⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎰⎰( ). (A)4d d xyD x y ⎰⎰; (B)4d d 3xyD x y ⎰⎰;(C)234d d 3x y ⋅⎰;(D)324d d 3x y ⎰;. 答(B).6. 设∑为曲面222()z x y =-+在xoy 平面上方的部分,则d z S ∑=⎰⎰( ).(A)2222d (2)d r r r r πθ--⋅⎰⎰;(B)22200d (2d r r r πθ-⎰⎰;(C)22d )d r r r πθ-⋅⎰⎰;(D)220d d r r r πθ-⎰⎰. 答(D).7. 设∑为球面2222x y z z ++=,则下列等式错误的是( ).(A)22()d 0x yz S ∑+=⎰⎰ ; (B )22()d 0y y z S ∑+=⎰⎰ ;(C)22()d 0z x y S ∑+=⎰⎰; (D)2()d 0x y z S ∑+=⎰⎰. 答(C).二、填空题1. 设2222:x y z a ∑++=,则222()d x y z S ∑++=⎰⎰ .答: 44a π.2. 设∑为球面2222x y z a ++=,则222d x y z S ∑=⎰⎰ .答: 0.3. 设∑为上半球面z =,则d z S ∑=⎰⎰.答: 3a π.4. 设∑为下半球面z =则d z S ∑=⎰⎰.答: 3a π.5 设∑为球面2222x y z a ++=,则d z S ∑=⎰⎰ .答: 23a π.6. 设∑为上半球面z =,则d x S ∑=⎰⎰.答: 0. 7. 设∑为平面1232x y z++=在第一卦限部分,则2d 3z y x S ∑⎛⎫++=⎪⎝⎭⎰⎰.答: 8. 设∑为平面1x y z ++=在第一卦限部分,则d z S ∑=⎰⎰.答:6.9. 设∑为平面226x y z ++=在第一卦限部分, 则(522)d x y z S ∑---=⎰⎰.答: 272-.三、解答题1. 计算曲面积分(,,)d f x y z S ∑⎰⎰,其中∑为抛物面222()z x y =-+在xoy 面上方部分,(,,)f x y z 分别如下:(1) (,,)1f x y z =; (2) 22(,,)f x y z x y =+; (3) (,,)2f x y z z =. 答: (1)136π; (2)14930π; (3)11110π.2. 计算22()d x y S ∑+⎰⎰ ,其中∑是锥面z =1z =所围成的区域的整个边界曲面.答:2.3. 计算22()d x y S ∑+⎰⎰,其中∑是锥面222z x y =+被平面0z =和3z =所截得的部分.答: 9π.4. 计算42d 3z x y S ∑⎛⎫++⎪⎝⎭⎰⎰,其中∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的部分.答: .5. 计算()d x y z S ∑++⎰⎰,其中∑为球面2222x y z a ++=上(0)z h h a ≥<<的部分.答: 22()a a h π-.§10．5 对坐标的曲面积分一、选择题1. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧,222:xy D x y a +≤,则下列结论正确的是( ).(A) 2d d z x y ∑=⎰⎰222()d d xyD ax y x y --⎰⎰;(B)2d d z x y ∑=⎰⎰2222()d d xyD a x y x y --⎰⎰;(C)2d d zx y ∑=⎰⎰ 0; (D ) (A)(B)(C)都不对. 答(C).2. 设∑为柱面222x y a +=被平面0z =及3z =所截得的部分外侧,则d d d d d d z x y x y z y x z ∑++=⎰⎰( ).(A) 3d d z x y ∑⎰⎰; (B)3d d x y z ∑⎰⎰;(C)3d d y x z ∑⎰⎰0; (D)d d d d x y z y x z ∑+⎰⎰. 答(D).3. 设∑为柱面222x y a +=被平面0z =及3z =所截得的部分外侧在第一卦限内的部分,则d d d d d d z x y x y z y x z ∑++=⎰⎰( ).(A) 303d y x ⎰⎰; (B)3002d z y ⎰⎰;(C)30d z x ⎰⎰; (D)30d z x ⎰⎰. 答(B).4. 设2222:x y z a ∑++=,1:z ∑=,∑取外侧, 1∑取上侧.下列结论正确的是( ).(A) 12222()d d d d xy z x y ax y ∑∑++=⎰⎰⎰⎰ ;(B)12222()d d 2d d x y z x y a x y ∑∑++=⎰⎰⎰⎰ ;(C)2222222()d d 2d d x y ax y z x y ax y ∑+≤++=⎰⎰⎰⎰; (D) 0. 答(D).5. 已知∑为平面1x y z ++=在第一卦限内的下侧,则d d z x y ∑=⎰⎰( ).(A) 1100d (1)d x x x y y ----⎰⎰; (B)110d (1)d x x x y y ---⎰⎰; (C)110d (1)d xy x y x ---⎰⎰; (D) 110d (1)d x y x y x ----⎰⎰. 答(A).6. 曲面积分2d d z x y ∑⎰⎰在数值上等于( ).(A)向量2z i穿过曲面∑的流量;(B)密度为2z 的曲面∑的质量;(C)向量2z k 穿过曲面∑的流量;(D)向量2z j 穿过曲面∑的流量. 答(C).二、填空题1. 设∑是xoy 平面上的闭区域0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩的上侧,则()d d x y z y z ∑++=⎰⎰.答: 0.2. 设∑是xoy 平面上的闭区域0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩的上侧,则()d d x y z x y ∑++=⎰⎰.答: 1.3. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则222()d d x y z x y ∑++=⎰⎰ ..答: 0.4. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则d d z x y ∑=⎰⎰ ..答:343a π.5. 设∑为球面2222()()()x a y b z c R-+-+-=取外侧, 则曲面积分d d z x y ∑=⎰⎰ ..答:343R π.6. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则222()d d x y z x y ∑++=⎰⎰ .答: 0. 三、解答题1. 计算22d d x y z x y ∑⎰⎰,其中∑是球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.答:77426422453753105R R ππ⎛⎫⋅-⋅⋅= ⎪⎝⎭. 2. 计算d d d d d d z x y x y z y z x ∑++⎰⎰,其中∑是柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截得的在第一卦限内的部分的前侧.答:32π.3. 计算d d d d d d x z x y x y y z y zz x ∑++⎰⎰ ,其中∑是平面0x =,0y =,0z =,及1x y z ++=所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.答:18.4*. 把对坐标的曲面积分(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y∑++⎰⎰化成对面积的曲面积分,其中:(1) ∑是平面326x y ++=在第一卦限部分的上侧. (2) ∑是抛物面228()z x y =-+在xoy 面上方部分的上侧.答:(1)32d 555P Q S ∑⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰;(2) S ∑⎰⎰.§10．6 高斯公式一、选择题1. 设空间闭区域Ω的边界是分片光滑的闭曲面∑围成, ∑取外侧，则Ω的体积V =( ).(A)1d d d d d d 3y y z z z x x x y ∑++⎰⎰; (B )1d d d d d d 3x y z y z xz x y∑++⎰⎰ ; (C)1d d d d d d 3z y z z z x y x y ∑++⎰⎰; (D)1d d d d d d 3x y z z z x y x y ∑++⎰⎰ .答(B).2.设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰ ( ).(A) 2a bc ; (B)2ab c ; (C)2abc ; (D) ()a b c abc ++. 答(D).3. 在高斯定理的条件下,下列等式不成立的是( ).(A)d d d P Q R x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂++=⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰(cos cos cos )d P Q R S αβγ∑++⎰⎰ ;(B)d d d d d d P y z Q z x R x y ∑++=⎰⎰d d d P Q R x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰;(C)d d d d d d P y z Q z x R x y ∑++=⎰⎰d d d R Q P x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰;(D)d d d d d d P y z Q z x R x y ∑++=⎰⎰ (cos cos cos )d P Q R S αβγ∑++⎰⎰ .答(C).4. 若∑是空间区域Ω的外表面,下述计算用高斯公式正确的是( ).(A) 2d d (2)d d xy z z y x y ∑++=⎰⎰ (22)d d d x x y z Ω+⎰⎰⎰;(B)3()d d 2d d d d x yz y z xy z x z x y ∑--+=⎰⎰ 2(321)d d d xx x y z Ω-+⎰⎰⎰;(C) 2d d (2)d d x y z z y z x ∑++=⎰⎰(21)d d d x x y z Ω+⎰⎰⎰;(D)2d d (2)d d xx y z y y z ∑++=⎰⎰ (22)d d d x x y z Ω+⎰⎰⎰. 答(B).二、填空题1. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧, 则d d z x y ∑=⎰⎰ .答:343a π.2. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧, 则333d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰.答:525a π.3. 设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰ .答: 3abc .4. 设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰ .答: ()a b c abc ++.5. 向量A y z i z x j x y k =++穿过圆柱222(0)x y a z h +=≤≤全表面∑流向外侧的通量Φ=.答: 0.6.向量2(23)()(2)A x z i xz y j y z k =+-+++ 穿过球面 222(3)(1)(2)9x y z -+++-=∑流向外侧的通量Φ=.答: 108π.三、解答题1. 计算222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰ ,其中∑为平面0x =,0y =,0z =及x a =,y a =,z a =所围成的立体的表面外侧.答: 43a .2. 计算333d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰ ,其中∑为球面2222x y z a ++=外侧.答:525a π.3. 计算2232d d ()d d (2)d d x z y z x y z z x x y y z x y ∑+-++⎰⎰ ,其中∑为上半球体222x y a +≤,0z ≤≤.答:525a π.4. 计算d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰ ,其中∑是界于0z =和3z =之间的圆柱体223x y +≤的整个表面外侧. 答: 81π.5. 计算24d d d d d d xz y z y z x yz x y ∑-+⎰⎰ ,其中∑是平面0x =,0y =,0z =与平面1x =,1y =,1z =所围成的立方体的全表面外侧. 答:32.6. 计算22d d (2)d d d d 2z x y z z xy z x x y ∑+-+⎰⎰ ,其中∑为曲面22z x y =+与平面1z =所围成的立体的表面外侧. 答:4π.7. 计算曲面积分3333d d (2)d d ()d d x y z y z x z x x y ∑+++-⎰⎰,其中∑为曲面z =z =.答: 326(1cos 2)5π⋅⋅-.8. 计算曲面积分222d d d d (1)d d xyy z z z x z x x y ∑++-⎰⎰ ,其中∑为由曲面z =0z =所围成的空间区域的整个边界表面外侧.答: 322161625335πππ⋅⋅-=. 9*.用Gauss 公式计算曲面积分2()d d d d z x y z z x y ∑+-⎰⎰,其中∑是旋转抛物面221()2z x y =+介于平面0z =及2z =之间部分的下侧.答: 8π.§10．7 斯托克斯公式一、选择题1. 在斯托克斯定理的条件下,下列等式不成立的是( ).(A)d d d P x Q y R z Γ++=⎰d d d d d d y zz x x y x y z P Q R ∑∂∂∂∂∂∂⎰⎰;(B)d d d P x Q y R z Γ++=⎰cos cos cos d S x y z PQRαβγ∑∂∂∂∂∂∂⎰⎰;(C)d d d P x Q y R z Γ++=⎰{}cos ,cos ,cos d i j k S x y z P Q R αβγ∑∂∂∂⋅∂∂∂⎰⎰;(D)d d d P x Q y R z Γ++=⎰{}d ,d ,d ij k x y z x y z PQR∑∂∂∂⋅∂∂∂⎰⎰. 答(D). 2. 设Γ是从点(,0,0)a 到点(0,,0)a 再到(0,0,)a 最后回到(,0,0)a 的三角形边界(0a >),则()d ()d ()d z y x x z y y x z Γ-+-+-=⎰ ( ).(A) 23a ; (B )26a ; (C )22a ; (D) 2a . 答(A).3. 设Γ为圆周2229,0x y z z ++==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.则22d 3d d y x x y z z Γ+-=⎰ ( ).(A) π; (B)6π; 9π; (D) 0. 答(C).二、填空题1. 设Γ为圆周2222,0x y z a z ++==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.22d 2d d y x x y z z Γ+-=⎰.答: 0.2. 设u xy yz zx xyz =+++, 则(1)grad u =.答: {},,y z yz z x xz x y xy ++++++(2) div(grad )u = .答: 0.(3) rot(grad )u =.答: 0 .3. 设向量场(23)(3)(2)A z y i x z j y x k =-+-+-,则rot A = .答: 246i j k ++.4. 设向量场22sin sin()sin(cos )A x yi y xz j xy z k =++ ,则rot A =.答: 222[sin(cos )cos()]sin(cos )[cos()cos ]x z xy xz i y z j y z xz x y k --+- .三、解答题1. 计算d d d y x z y x z Γ++⎰,其中Γ为圆周2222,0x y z a x y z ++=++=,若高等数学 第十章 曲线曲面积分 第 21 页 学院 专业学号 姓名从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.答: 2a .2*. 计算()d ()d ()d yz x z x y x y z Γ+-+-⎰ ,其中Γ为椭圆222x y a +=, 1(0,0)xya b a b +=>>,若从x 轴正向看去, Γ为逆时针方向.答: π3. 计算23d d d y x x z y y z z Γ-+⎰ ,其中Γ为圆周222,2x y z z +==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.答: 20π-.4. 计算22d 3d d y x x y z z Γ+-⎰ ,其中Γ为圆周2229,0x y z z ++==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.答: 9π.5*. 利用斯托克斯公式把曲面积分rot d A n S ∑⋅⎰⎰ 化为曲线积分,并计算积分值,其中A 、∑及n分别如下:(1) 2A y i xyj xzk =++ ,∑为上半球面z =的上侧, n 是∑的单位法向量.(2) ()A y z i yzj xzk =-+- ,∑为{}(,,)02,02,02x y z x y z ≤≤≤≤≤≤的表面外侧去掉xoy 平面上的那个底面,, n 是∑的单位法向量.答: (1) 0. (2) 4-.。