2020高中数学 考点53 关于点、直线对称的圆的方程庖丁解题 新人教A版必修2

考点53 关于点、直线对称的圆的方程1．设P 00(,)xy ，对称中心为（a ，b ），则P 关于A 的对称点为'00(2,2)P a x b y --． 2．设点P 00(,)x y 关于直线y =kx +b 的对称点为'''(,)P x y 则''0''00122y y k x x y y x xk b ⎧-⋅=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅+⎪⎩．【例】已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值是( ) A ．－1 B ．2 C ．3 D ．0【答案】C【秒杀技】抓住相交弦与连心线垂直即可．1．若直线x ＋y －3＝0始终平分圆(x －a )2＋(y －b )2＝2的周长，则a ＋b ＝( )A ．3B ．2C ．5D ．1【答案】A【解析】由题可知，圆心(a ，b )在直线x ＋y －3＝0上，∴a ＋b －3＝0，即a ＋b ＝3． 2．曲线x 2+y 2–=0关于（ ）A ．直线xB ．直线y =–x 成轴对称C ．点（–2D 0）成中心对称【答案】B【解析】方程可化为（x 2+（y 2=4 表示圆，可以看出圆关于直线y =–x 对称． 3．圆（x +2）2+y 2=5关于原点O （0，0）对称的圆的方程为（ ）A ．（x +2）2+（y +2）2=5 B ．x 2+（y –2）2=5 C ．（x –2）2+y 2=5 D ．x 2+（y +2）2=5【答案】C【解析】已知圆的圆心（–2，0）关于原点的对称点为（2，0），故所求对称圆的方程为（x –2）2+y 2=5． 【解题技巧】关于点、直线对称的圆，半径没有发生变化，只要用对称找到圆心即可． 4．方程x 2+ y 2+ Dx +Ey +F =0（D 2+E 2–4F >0）表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形，则（ ）A ．D +E =0B ．D +F =0C ．E + F =0D ．D +E +F =0【答案】A 【解析】Q ()22D E --，是圆心，∴22D E--=0， ∴D +E =0． 5．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a 、b 应满足的关系式是( )A ．a 2－2a －2b －3＝0 B ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0 C ．a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0 D ．3a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0【答案】B【解题技巧】两圆的方程相减即得公共弦所在直线方程．6．设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且直线x －y ＋1＝0被圆截得的弦长为22，求圆的方程．【解析】设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意，知直线x ＋2y ＝0过圆心， ∴a ＋2b ＝0．①又点A 在圆上，∴(2－a )2＋(3－b )2＝r 2．② ∵直线x －y ＋1＝0被圆截得的弦长为22，∴(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －b ＋1|12＋－22＝r 2．③由①②③可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6b ＝－3r 2＝52或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝－7，r 2＝244故所求方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244．1．若圆O ：x 2＋y 2＝4和圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y ＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x －y －2＝0D ．x －y ＋2＝0【答案】D【解析】由题意，知两圆的圆心分别为O (0,0)，C(－2,2)．由于直线l 为线段O C 的垂直平分线，故直线l 过线段O C 的中点(－1，1)，斜率为1，所以直线l 的方程是x －y ＋2＝0． 2．圆x 2+y 2–2x –1=0关于直线2x – y +3 =0对称的圆的方程是（ ）A ．（x +3）2+（y –2）2=12B ．（x –3）2+（y +2）2=12C ．（x +3）2+（y –2）2=2 D ．（x –3）2+（y +2）2=2【答案】C3．已知圆C : x 2+y 2+2x +ay –3= 0（a 为实数）上任意一点关于直线l :x –y +2=0的对称点都在圆C 上，则a =________．【答案】–2【解析】由题意可得圆C 的圆心（1,2a --） 在直线x –y +2=0上，将（1,2a--）代入，得–1–（2-a ）+2=0，解得a =–2．4．已知一个圆C ：(x ＋2)2＋(y －6)2＝1和一条直线l ：3x －4y ＋5＝0，求圆关于直线l 对称的圆的方程．【解析】圆C ：(x ＋2)2＋(y －6)2＝1的圆心为C(－2,6)，一个圆的故事有一个圆缺了一角，很不快乐，于是它动身去寻找所缺的一角．它一路向前滚一路唱“我要去寻找失去的一角”，它忍受着日晒，经受着寒冷，被冰雪冰冻，又被太阳温暖．由于缺了一角，它没法滚得太快，它有时候停下来和小虫说话，或是闻闻花的芳香，最快乐的是它和蝴蝶一起嬉戏的时光．它渡过海洋，穿越沼泽和湖泊，翻越丘陵和高山．终于有一天，它遇上了最合适的一角，总算找到了，它感觉真好．它把一角装上，成了一个完美的圆．它一路高兴地唱“我找到了我失去的一角”．因为不再缺少什么，它越滚越快，快得停不下来和小虫说话，停不下来闻闻花香，停不下来和蝴蝶嬉戏，最后它再也不能唱歌了．它开始明白了什么，停了下来，卸下那一角轻轻放下，从容的走开，又开始一路的歌唱“我要去寻找失去的一角”……。

专题2.9点、线间的对称关系1．点关于点的对称2．直线关于点的对称3．两点关于某直线对称(4)几种特殊位置的对称：4．直线关于直线的对称【题型1 点关于点的对称问题】【方法点拨】点关于点对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题.【例1】若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（）A．(0,4)B．(0,2)C．(−2,4)D．(4,−2)【变式1-1】点A(1,2)关于点P(3,4)对称的点的坐标为．【变式1-2】点A（5，8），B（4，1），则A点关于B点的对称点C的坐标为．【变式1-3】已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(−2,−3)，则点P(x,y)到原点的距离是. 【题型2 直线关于点的对称问题】【方法点拨】【例2】直线l:4x+3y−2=0关于点A(1,1)对称的直线方程为（）A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0【变式2-1】直线2x+3y−6=0关于点(−1,2)对称的直线方程是（）A．3x−2y−10=0B．3x−2y−23=0C．2x+3y−4=0D．2x+3y−2=0【变式2-2】直线ax+3y−9=0与直线x−3y+b=0关于原点对称，则a,b的值是A．a=−1，b=−9B．a=−1，b=9C．a=1，b=−9D．a=1，b=9【变式2-3】直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（）A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0【题型3 点关于直线的对称问题】【方法点拨】点关于直线的对称问题有三种情况：【例3】点P(2,0)关于直线l:x+y+1=0的对称点Q的坐标为（）A．(−1,−3)B．(−1,−4)C．(4,1)D．(2,3)【变式3-1】已知点A(−2,1)关于直线x+y=0的对称点为点B，则点B的坐标为（）A．(1,−2)B．(2,1)C．(2,−1)D．(−1,2)【变式3-2】已知A(4，－3)关于直线l的对称点为B(－2，5)，则直线l的方程是（）A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋1＝0C．4x＋3y－7＝0 D．3x＋4y－1＝0【变式3-3】已知点A（1，﹣2），B（m，n），关于直线x+2y﹣2＝0对称，则m+n的值是（）A．﹣2 B．3 C．5 D．7【题型4 直线关于直线的对称问题】【方法点拨】【例4】直线y=2x+1关于直线y=x对称的直线方程为（）A．x−3y+1=0B．x−3y−1=0C．x−2y−1=0D．x−2y+1=0【变式4-1】两直线l1:2x−y+1=0,l2:y=x，则直线l1关于直线l2对称的直线方程为（）A．2x−y+1=0B．x−3y+1=0C．2x−3y+2=0D．x−2y−1=0【变式4-2】求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（）A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0【变式4-3】若两条平行直线l1：x−2y+m=0(m>0)与l2：2x+ny−6=0之间的距离是2√5，则直线l1关于直线l2对称的直线方程为（）A．x−2y−13=0B．x−2y+2=0C．x−2y+4=0D．x−2y−6=0【题型5 光的反射问题】【方法点拨】光的反射问题，在这里主要是研究一条光线经过点P射到直线l上，然后反射经过点Q，求入射光线或反射光线所在直线方程等问题，关键是利用光学知识得到入射光线所在直线与反射光线所在直线关于直线l对称，然后转化为点(或直线)关于直线的对称问题来解决.1111将军饮马问题主要是点、线间的对称问题，借助题干条件，找出其中蕴含的对称关系，进行转化求解即可.【例6】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(−1,−4)，若将军从点A(−1,2)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=3.则“将军饮马“的最短总路程为（）A．√13B．√17C．2√17D．10【变式6-1】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(−4,−4)，若将军从点A(−2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=2，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．√13B．5C．2√10D．10【变式6-2】在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为(x+1)2+(y−1)2≤1，若将军从点(1,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+2y−5=0，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则当“将军饮马”的总路程最短时，将军去往河边饮马的行走路线所在的直线方程为（）A．12x+5y−12=0B．21x+2y−21=0C．4x+y−4=0D．11x+2y−11=0【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白。

直线与圆的方程一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。

直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。

二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。

三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。

但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。

四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。

既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。

圆的方程考点一 圆的方程【例1】（1）（2019·河北新华.石家庄二中高一期末）过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（） A ．()()22314x y -++= B ．()()22314x y ++-= C ．()()22114x y -+-=D ．()()22114x y +++=（2）（2020·海林市朝鲜族中学高一期末）圆心为()3,1，半径为5的圆的标准方程是（ ） A ．()()22315x y +++= B ．()()223125x y +++= C ．()()22315x y -+-= D ．()()223125x y -+-=【答案】（1）C （2）D【解析】（1）本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线20x y +-=上，排除B 、D ， 点()1,1B -在圆上，排除A 故选C（2）∵所求圆的圆心为()3,1，半径为5，∴所求圆的标准方程为：()()223125x y -+-=，故选：D .【一隅三反】1．（2020·河南濮阳.高一期末（理））设(2,1),(4,1)A B -，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A ．22(3)2x y -+= B ．22(3)8x y -+= C ．22(3)2x y ++= D ．22(3)8x y ++=【答案】A【解析】AB 的中点坐标为(3,0)，圆的半径为||2AB r ===所以圆的方程为22(3)2x y -+=.故选：A.2．（2020·广东东莞四中高一月考）圆心为()1,2-，且与x 轴相切的圆的标准方程为（ ） A ．()()22122x y -+=+ B ．()()22124x y -++= C ．()()22122x y ++-= D ．()()22124x y ++-=【答案】B【解析】因为圆心为()1,2-，圆与x 轴相切，所以圆的半径为2， 所以圆的标准方程为()()22124x y -++=，故选：B3．（2020·河北运河.沧州市一中高一期末）已知点()3,6A ，()1,4B ，()1,0C ，则ABC ∆外接圆的圆心坐标为( ) A ．()5,2 B ．()5,2-C ．()2,5D ．()5,2-【答案】A【解析】线段AB 中点坐标为()2,5，线段AB 斜率为64131-=-，所以线段AB 垂直平分线的斜率为1-，故线段AB 的垂直平分线方程为()52y x -=--，即7y x =-+.线段AC 中点坐标为()2,3，线段AC 斜率为60331-=-，所以线段AC 垂直平分线的斜率为13-，故线段AC 的垂直平分线方程为()1323y x -=--，即11133y x =-+.由75111233y x x y y x =-+⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==-+⎩⎪⎩.所以ABC ∆外接圆的圆心坐标为()5,2.故选：A 考点二 根据圆的方程求参数【例2】（2020·西夏.宁夏大学附属中学高一期末）方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是( ) A ．a <－2或a >23B ．－23<a <2 C ．－2<a <0 D ．－2<a <23【答案】D【解析】由题意可得圆的标准方程2223()()124a x y a a a +++=--，由23104a a -->解得223a -<<，选D.【一隅三反】1．（2020·全国高二）已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（ ） A ．(),20-∞ B ．(),5-∞ C ．()5,+∞ D ．()20,+∞【答案】B【解析】由于方程22240x y x y m ++++=表示的曲线为圆，则222440m +->，解得5m <. 因此，实数m 的取值范围是(),5-∞.故选：B. 2．（2020·浙江丽水.高二期末）“12m >”是“2222530x y mx m m +---+=为圆方程”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】方程2222530x y mx m m +---+=表示圆需满足()()22245+30,3m m m m ---->∴<-或1>2m ，所以“12m >”是“2222530x y mx m m +---+=为圆方程”的充分不必要条件，故选：A.3．（2020·河北新乐市第一中学高二月考）已知方程()()2224232141690x y m x my m+-++++=─表示一个圆，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1(,1)7-B ．1(,1)7-C ．1(,)(1,)7-∞-⋃+∞D ．1(,1)(,)7-∞-⋃+∞【答案】B【解析】由题意可得()()()22244341441690m m m ++⨯--+>，所以()()7110m m +-<，解得117m -<<.故选：B ．考点三 点与圆的位置关系【例3】（2020·黑龙江南岗哈师大附中高二月考）点P (m,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( ) A ．在圆外 B ．在圆内 C ．在圆上 D ．不确定【答案】A【解析】因为a 2＋52＝a 2＋25＞24，所以点P 在圆外．【一隅三反】1．（2020·莆田第七中学高一月考）点()1,1在圆()2211x y +-=的（ ）A ．圆上B ．圆内C ．圆外D ．无法判定【答案】A【解析】将点()1,1的坐标代入圆()2211x y +-=的方程即()221111+-=，∴点()1,1在圆()2211x y +-=上，故选：A2．（2020·江苏泗洪。