2021年中考数学一轮复习基础考点及题型-专题13二次函数(含解析)

2021中考数学二次函数的图象及其性质一轮复习一、选择题1. 若二次函数y＝x2＋bx＋5配方后为y＝(x－2)2＋k，则b，k的值分别为()A. 0，5B. 0，1C. －4，5D. －4，12. 对于函数y＝－2(x－m)2，下列说法不正确的是()A．其图象开口向下B．其图象的对称轴是直线x＝mC．最大值为0D．其图象与y轴不相交3. 若抛物线y＝x2－2x＋3不动，将平面直角坐标系．．．．．．．．xOy先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线图象的解析式应变为() A. y＝(x－2)2＋3 B. y＝(x－2)2＋5C. y＝x2－1D. y＝x2＋44. （2020·深圳）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－1，n)，其部分图象如图所示，以下结论错误．．的是（）A．abc＞0 B．4ac－b2＜0C．3a＋c＞0 D．关于x的方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实数根5. 已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是()A. 当a＝1时，函数图象过点(－1，1)B. 当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C. 若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D. 若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大6. 点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y3＞y2＞y1B. y3＞y1＝y2C. y1＞y2＞y3D. y1＝y2＞y37. （2020·福建）10.已知()111,P x y ，()222,P x y 是抛物线22=-y ax ax 上的点，下列命题正确的是（ ）A.若12|1||1|->-x x ，则12>y yB.若12|1||1|->-x x ，则12<y yC.若12|1||1|-=-x x ，则12=y yD.若12=y y ，则12=x x二、填空题8. 将抛物线y ＝－(x ＋2)2向________平移________个单位长度，得到抛物线y ＝－(x －1)2.9. 如图，抛物线y=ax 2与直线y=bx+c 的两个交点坐标分别为A (-2，4)，B (1，1)，则方程ax 2=bx+c 的解是 .10. (2019•荆州)二次函数2245y x x =--+的最大值是__________．11. 已知二次函数y=-(x -1)2+2，当t<x<5时，y 随x 的增大而减小，则实数t 的取值范围是 .12. (2019•徐州)已知二次函数的图象经过点(2,2)P ，顶点为(0,0)O 将该图象向右平移，当它再次经过点P 时，所得抛物线的函数表达式为__________．13. 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数)的顶点为P ，且抛物线经过点A(－1，0)，B(m ，0)，C(－2，n)(1＜m ＜3，n ＜0)，有下列结论： ①abc ＞0； ②3a ＋c ＜0； ③a(m －1)＋2b ＞0；④a ＝－1时，存在点P 使△PAB 为直角三角形． 其中正确结论的序号为________．14. 如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，点D (0，1)，点P 在抛物线上，且△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为________．三、解答题15. 已知抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 与x 轴有两个不同的交点．(1)求c 的取值范围；(2)若抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m 与n 的大小，并说明理由．16. 如图，已知抛物线y ＝x 2－(m ＋3)x ＋9的顶点C 在x 轴正半轴上，一次函数y＝x ＋3与抛物线交于A 、B 两点，与x 、y 轴分别交于D 、E 两点． (1)求m 的值；(2)求A 、B 两点的坐标； (3)点P (a ，b )(－3<a <1)是抛物线上一点，当△P AB 的面积是△ABC 面积的2倍时，求a 、b 的值．17. (2019·山东滨州)如图①，抛物线211482y x x =-++与y 轴交于点A ，与x 轴交于点,B C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D ． (1)求直线AD 的函数解析式；(2)如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点 ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离；②当点P到直线AD的距离为524时，求sin PAD的值．2021中考数学二次函数的图象及其性质一轮复习-答案一、选择题1. 【答案】D【解析】由y＝(x－2)2＋k知此二次函数的顶点坐标为(2，k)，对称轴为x＝2，由y＝x2＋bx＋5知其对称轴为x＝－b2，得－b2＝2，所以b＝－4；于是可以得到函数的解析式是y＝x2－4x＋5，把(2，k)代入其中即得k＝1.2. 【答案】D3. 【答案】C【解析】由抛物线y＝x2－2x＋3得y＝(x－1)2＋2.保持抛物线不动，将平面直角坐标系先沿水平方向向右平移1个单位，其实质相当于抛物线向左平移1个单位，再将平面直角坐标系向上平移3个单位，则相当于抛物线向下平移3个单位，根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减，可得新的抛物线解析式为y＝(x－1＋1)2＋2－3＝x2－1.4. 【答案】C【解析】根据抛物线开口向下，得到a＜0，对称轴为直线x＝－b2a＝－1，知b＝2a＜0，抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，∴abc＞0，故选项A正确；根据抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，即4ac－b2＜0，故选项B正确；当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，又∵b＝2a，∴3a＋c＜0，∴选项C错误；∵抛物线开口向下，顶点为（－1，n），∴函数有最大值n，即抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y ＝n＋1无交点，一元二次方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实数根，选项D正确；而要选择结论错误．．的，因此本题选C．5. 【答案】D【解析】当a＝1时，函数为y＝x2－2x－1，当x＝－1时，y＝1＋2－1＝2，其图象经过点(－1，2)，不过点(－1，1)，所以A选项错误；当a＝－2时，函数为y＝－2x2＋4x－1，b2－4ac＝16－4×(－2)×(－1)＝8>0，抛物线与x 轴有两个交点，故选项B 错误；当a >0时，抛物线的开口向上，它的对称轴是直线x ＝－－2a2a ＝1，当x ≥1，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，所以C 选项错误；当a <0时，抛物线的开口向下，它的对称轴是直线x ＝－－2a2a ＝1，当x ≤1，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，所以D 选项正确．6. 【答案】D 【解析】此类题利用图象法比较大小更直观简单．容易求出二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 图象的对称轴为直线x ＝1，可画草图如解图：由解图知，P 1(－1，y 1)，P 2(3，y 2)关于直线x ＝1对称，P 3(5，y 3)在图象的右下方部分上，因此，y 1＝y 2>y 3.7. 【答案】C【解析】本题考查了二次函数的图象和性质，∵22=-y ax ax =a （x -1）2-a ，∴抛物线的对称轴为x =1，根据二次函数的对称性知若12|1||1|-=-x x ，则12=y y ，因此本题选C ． 二、填空题8. 【答案】右 39. 【答案】x 1=-2，x 2=1[解析]∵抛物线y=ax 2与直线y=bx +c 的两个交点坐标分别为A (-2，4)，B (1，1)，∴的解为即方程ax 2=bx +c的解是x 1=-2，x 2=1.10. 【答案】7【解析】222452(1)7y x x x =--+=-++， 即二次函数245y x x =--+的最大值是7， 故答案为：7．11. 【答案】1≤t<5[解析]抛物线的对称轴为直线x=1，因为a=-1<0，所以抛物线开口向下，所以当x>1时，y 的值随x 值的增大而减小，因为t<x<5时，y 随x 的增大而减小，所以1≤t<5.12. 【答案】21(4)2yx =- 【解析】设原来的抛物线解析式为：2y ax =(0)a ≠， 把(2,2)P 代入，得24a =， 解得12a =， 故原来的抛物线解析式是：212y x =， 设平移后的抛物线解析式为：21()2y x b =-， 把(2,2)P 代入，得212(2)2b =-，解得0b =(舍去)或4b =，所以平移后抛物线的解析式是：21(4)2y x =-， 故答案为：21(4)2y x =-．13. 【答案】②③ [解析] 由抛物线经过A(－1，0)，B(m ，0)，可知对称轴为x ＝m －12＝－b 2a， ∴－ba ＝m －1.∵1＜m ＜3，∴ab ＜0.画出二次函数y ＝ax 2＋bc ＋c 的大致图象可知a ＜0， ∴b ＞0.把(－1，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，可得a －b ＋c ＝0， ∴c ＝b －a ＞0.∴abc ＜0，故①错误． 当x ＝3时，y ＜0，∴9a ＋3b ＋c ＝9a ＋3(a ＋c)＋c ＝12a ＋4c ＝4(3a ＋c)＜0，∴3a ＋c<0，故②正确． ∴－ba ＝m －1，∴a(m －1)＋2b ＝－b ＋2b ＝b ＞0，故③正确．当a ＝－1时，y ＝－x 2＋bx ＋c ，∴P(b 2，b ＋1＋b 24)．若△PAB 为直角三角形，则△PAB 为等腰直角三角形， ∴b ＋1＋b 24＝b2＋1，∴b ＝－2或b ＝0.∵b ＞0，∴不存在点P 使△PAB 为直角三角形， 故④错误． 故答案为②③.14. 【答案】(1＋2，2)或(1－2，2) 【解析】抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，则点C 坐标是(0，3)，∵点D(0，1)，点P 在抛物线上，且△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，∴易得点P 的纵坐标是2，当y ＝2时，∴－x 2＋2x＋3＝2，则x 2－2x －1＝0，解得方程的两根是x ＝2±222＝1±2，∴点P 的坐标是(1＋2，2)或(1－2，2)．三、解答题15. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 与x 轴有两个不同的交点， ∴Δ＝b 2－4ac ＝16－8c ＞0，∴c ＜2.(2)m<n.理由：∵抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 的对称轴为直线x ＝1， ∴点A(2，m)和点B(3，n)都在对称轴的右侧． 又∵当x≥1时，y 随x 的增大而增大， ∴m ＜n.16. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝x 2－(m ＋3)x ＋9的顶点在x 轴的正半轴上， ∴方程x 2－(m ＋3)x ＋9＝0有两个相等的实数根， ∴b 2－4ac ＝[－(m ＋3)]2－4×9＝0，解得m ＝3或m ＝－9， 又∵抛物线对称轴大于0，即m ＋3>0， ∴m ＝3.(3分)(2)由(1)可知抛物线解析式为y ＝x 2－6x ＋9，联立一次函数y ＝x ＋3，可得⎩⎨⎧y ＝x 2－6x ＋9y ＝x ＋3，解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝4或⎩⎨⎧x ＝6y ＝9，∴A(1，4)，B(6，9)．(6分)(3)如解图，分别过A 、B 、P 三点作x 轴的垂线，垂足分别为R 、S 、T ，解图∵A(1，4)，B(6，9)，C(3，0)，P(a ，b)，∴AR ＝4，BS ＝9，RC ＝3－1＝2，CS ＝6－3＝3，RS ＝6－1＝5，PT ＝b ，RT ＝1－a ，ST ＝6－a ，∴S △ABC ＝S 梯形ABSR －S △ARC －S △BCS ＝12×(4＋9)×5－12×2×4－12×3×9＝15，S △PAB ＝S 梯形PBST －S 梯形ARTP －S 梯形ARSB ＝12(9＋b)(6－a)－12(b ＋4)(1－a)－12×(4＋9)×5＝12(5b －5a －15)．(8分) 又∵S △PAB ＝2S △ABC ， ∴12(5b －5a －15)＝30，即b －a ＝15， ∴b ＝15＋a ，∵P 点在抛物线上， ∴b ＝a 2－6a ＋9，∴15＋a ＝a 2－6a ＋9，解得a ＝7±732， ∵－3<a<1， ∴a ＝7－732，∴b ＝15＋7－732＝37－732.(10分)17. 【答案】(1)当0x =时,4y =，则点A 的坐标为()0,4，当0y =时，2110482x x =-++，解得，124,8x x =-=，则点B 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()8,0，∴4OA OB ==，∴45OBA OAB ∠=∠=︒， ∵将直线AB 绕点A 逆时针旋转90︒得到直线AD ， ∴90BAD ∠=︒，∴45OAD =︒，∴45ODA ∠=︒，∴OA OD =，∴点D 的坐标为()4,0， 设直线AD 的函数解析式为,y kx b =+440b k b =⎧⎨+=⎩，得14k b =-⎧⎨=⎩， 即直线AD 的函数解析式为4y x =-+；(2)作PN x ⊥轴交直线AD 于点N ，如图①所示，设点P 的坐标为211,482t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则点N 的坐标为(),4t t -+，∴2211134(4)8282PN t t t t t ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，∴PN x ⊥轴， ∴PN y ∥轴，∴45OAD PNH ∠=∠=︒，作PH AD ⊥于点H ，则90PHN ∠=︒， ∴22222132322926)2282164164PH PN t t t ⎫==-+=-+=--+⎪⎝⎭， ∴当6t =时，PH 92P 的坐标为(56,2)，即当点P 到直线AD 的距离最大时，点P 的坐标是(56,2)，最大距离是924；②当点P 到直线AD的距离为524时，如图②所示，则2232521644t t -+=，解得：122,10t t ==， 则1P 的坐标为(92,2)，2P 的坐标为(10,)72-，当1P 的坐标为(92,2)，则221917(20)42P A ⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭，∴125344sin 172P AD ∠==； 当2P 的坐标为(10,)72-，则222725(100)422P A ⎛⎫=-+--= ⎪⎝⎭，∴25224sin 252P AD ∠==；由上可得，sin PAD ∠的值是53434或210． 【名师点睛】本题是一道二次函数的综合性题目，关键在于设P 点的横坐标，最后将其转化成二次函数的最值问题，通过求解二次函数的最值问题来求解最短距离，难度系数较大，是一道特别好的题目，应当熟练的掌握.。

2021 中考数学 一轮复习专题 二次函数的图象及性质 -讲评卷一、选择题（本大题共10道小题）1. 如果将抛物线y ＝x 2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是( )A. y ＝(x －1)2＋2B. y ＝(x ＋1)2＋2C. y ＝x 2＋1D. y ＝x 2＋3【答案】C 【解析】根据图象平移变换口诀“左加右减，上加下减”进行解答．把抛物线y ＝x 2＋2向下平移1个单位得y ＝x 2＋2－1＝x 2＋1.2. 抛物线y ＝－3x 2＋6x ＋2的对称轴是( )A ．直线x ＝2B ．直线x ＝－2C ．直线x ＝1D ．直线x ＝－1【答案】C3. 若y ＝ax 2＋bx ＋c ，则由表格中的信息可知y 与x 之间的函数解析式是( )A.y ＝x 2－4x ＋3B ．y ＝x 2－3x ＋4C ．y ＝x 2－3x ＋3D ．y ＝x 2－4x ＋8【答案】A[解析] ∵x ＝1时，ax 2＝1，∴a ＝1.将(－1，8)，(0，3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧1－b ＋c ＝8，c ＝3，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3.∴y 与x 之间的函数解析式是y ＝x 2－4x ＋3.故选A.4. 抛物线y ＝2x 2－22x ＋1与坐标轴的交点个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】抛物线y ＝2x 2－22x ＋1，令x ＝0，得到y ＝1，即抛物线与y轴交点坐标为(0，1)；令y＝0，得到2x2－22x＋1＝0，即(2x－1)2＝0，解得：x1＝x2＝22，即抛物线与x轴交点坐标为(22，0)，则抛物线与坐标轴的交点个数是2.5. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(-3，0)，其对称轴为直线x=-.结合图象分析下列结论:①abc>0;②3a+c>0;③当x<0时，y随x的增大而增大;④一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=-，x2=;⑤<0;⑥若m，n(m<n)为方程a(x+3)·(x-2)+3=0的两个根，则m<-3，n>2，其中正确的结论有()A.3个B.4个C.5个D.6个【答案】C[解析]①由图象可知a<0，b<0，c>0，∴abc>0，故①正确;②由于对称轴是直线x=-，∴a=b.∵图象与x轴的一个交点是(-3，0)，∴另一个交点是(2，0)，把(2，0)代入解析式可得4a+2b+c=0，∴6a+c=0，∴3a+c=-3a，∵a<0，∴-3a>0，∴3a+c>0，故②正确;③由图象可知当-<x<0时，y随x的增大而减小，∴当x<0时，y随x的增大而增大是错误的;④一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1=-3，x2=2，∴一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=-，x2=，正确;⑤由图象顶点的纵坐标大于0可知，>0，∴<0，正确;⑥若m，n(m<n)为方程a(x+3)(x-2)+3=0的两个根，则a(x+3)(x-2)=-3，由图象可知，当y=-3时，m<-3，n>2，⑥正确，综上，正确的结论有5个，故选C.6. 在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象大致是()【答案】B7. 若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为()A. x1＝－3，x2＝－1B. x1＝1，x2＝3C. x1＝－1，x2＝3D. x1＝－3，x2＝1【答案】C【解析】∵图象过点(－1，0)，∴将点(－1，0)代入方程得a＋2a＋c ＝0，即3a＋c＝0.当x＝3时，将(3，0)代入方程也得到3a＋c＝0成立，当x＝－3时，将(－3，0)代入方程也得到15a＋c＝0(与3a＋c＝0不相符)，∴方程的两个根为x1＝－1，x2＝3.8. 若二次函数y＝x2＋mx的对称轴是x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为()A. x1＝0，x2＝6B. x1＝1，x2＝7C. x1＝1，x2＝－7D. x1＝－1，x2＝7【答案】D【解析】∵二次函数y＝x2＋mx的对称轴为x＝－m2＝3，解得m＝－6，则关于x的方程为x2－6x＝7，解得，x1＝－1，x2＝7.9. 二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是()【答案】D[解析] 由一次函数y ＝ax ＋a 可知，其图象与x 轴交于点(－1，0)，排除A ，B ；当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2的图象开口向上，一次函数y ＝ax ＋a 的图象经过第一、二、三象限；当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2的图象开口向下，一次函数y ＝ax ＋a 的图象经过第二、三、四象限．排除C.10. 如图，将函数y ＝12(x －2)2＋1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A (1，m )，B (4，n )平移后的对应点分别为点A ′，B ′.若曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数解析式是( )A ．y ＝12(x －2)2－2 B ．y ＝12(x －2)2＋7C ．y ＝12(x －2)2－5D ．y ＝12(x －2)2＋4【答案】D [解析] 如图，连接AB ，A′B′，则S 阴影＝S 四边形ABB′A′.由平移可知，AA′＝BB′，AA′∥BB′，所以四边形ABB′A′是平行四边形．分别延长A′A ，B′B 交x 轴于点M ，N ，因为A(1，m)，B(4，n)，所以MN ＝4－1＝3.因为S 阴影＝AA′·MN ，所以9＝3AA′，解得AA′＝3，即原抛物线沿y 轴向上平移了3个单位长度，所以新图象的函数解析式为y ＝12(x －2)2＋4.二、填空题（本大题共8道小题）11. 已知函数y=-(x-1)2图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a>2，则y1与y2的大小关系是y1y2(填“<”“>”或“=”).【答案】>[解析]因为二次项系数为-1，小于0，所以在对称轴x=1的左侧，y 随x的增大而增大;在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而减小，因为a>2>1，所以y1>y2.故填“>”.12. 已知二次函数y=-(x-1)2+2，当t<x<5时，y随x的增大而减小，则实数t的取值范围是.【答案】1≤t<5[解析]抛物线的对称轴为直线x=1，因为a=-1<0，所以抛物线开口向下，所以当x>1时，y的值随x值的增大而减小，因为t<x<5时，y随x的增大而减小，所以1≤t<5.13. 已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m，3)，B(n，3)两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是.【答案】[解析]∵抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m，3)，B(n，3)两点，∴=-=-2.∵线段AB的长不大于4，∴4a+1≥3，∴a≥，∴a2+a+1的最小值为:2++1=.14. 顶点坐标是(2，0)，且与抛物线y＝－3x2的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为________．【答案】y＝－3(x－2)215. 如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2－mx＋c＞n的解集是________．【答案】．x＜－1或x＞316. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1，其部分图象如图所示，下列说法中:①b>0;②a-b+c<0;③b+2c>0;④当-1<x<0时，y>0，正确的是(填写序号).【答案】①③④[解析]根据图象可得:a<0，c>0，对称轴:直线x=-=1，∴b=-2a.∵a<0，∴b>0，故①正确;把x=-1代入y=ax2+bx+c，得y=a-b+c.由抛物线的对称轴是直线x=1，且过点(3，0)，可得当x=-1时，y=0，∴a-b+c=0，故②错误;当x=1时，y=a+b+c>0.∵b=-2a，∴-+b+c>0，即b+2c>0，故③正确;由图象可以直接看出④正确.故答案为:①③④.17. 如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，点P在抛物线上，且△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为________．【答案】(1＋2，2)或(1－2，2) 【解析】抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，则点C 坐标是(0，3)，∵点D(0，1)，点P 在抛物线上，且△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，∴易得点P 的纵坐标是2，当y ＝2时，∴－x 2＋2x ＋3＝2，则x 2－2x －1＝0，解得方程的两根是x ＝2±222＝1±2，∴点P 的坐标是(1＋2，2)或(1－2，2)．18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx (a ＞0)的顶点为C ，与x 轴的正半轴交于点A ，它的对称轴与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)交于点B .若四边形ABOC 是正方形，则b 的值是________．【答案】－2 [解析] 抛物线y ＝ax 2＋bx 的顶点C 的坐标为(－b 2a ，－b24a)．把x ＝－b 2a 代入y ＝ax 2，得点B 的坐标为(－b 2a ，b 24a )．在y ＝ax 2＋bx 中，令y ＝0，则ax 2＋bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－b a ，∴A(－ba ，0)．∵四边形ABOC 为正方形，∴BC ＝OA ，∴2·b 24a ＝－ba ，即b 2＋2b ＝0.解得b ＝－2或b ＝0(不符合题意，舍去)．三、解答题（本大题共5道小题）19. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4(a ≠0)的对称轴为直线x ＝3，抛物线与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，已知B 点的坐标为(8，0)． (1)求抛物线的解析式；(2)点M 为线段BC 上方抛物线上的一点，点N 为线段BC 上的一点，若MN ∥y 轴，求MN 的最大值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ACQ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)根据题意得，ab 2-＝3，即b ＝－6a ，则抛物线的解析式为y ＝ax 2－6ax ＋4，将B (8，0)代入得，0＝64a －48a ＋4，解得a ＝－14，b ＝32，∴抛物线的解析式为y ＝－14x 2＋32x ＋4； (2)设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋d ，由抛物线解析式可知：当x ＝0时，y ＝4，即点C (0，4)， 将B (8，0)，C (0，4)代入得：804k d d +=⎧⎨=⎩，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12d ＝4， ∴直线BC 的解析式为y ＝－12x ＋4，设点M 的横坐标为x (0＜x ＜8)，则点M 的纵坐标为－14x 2＋32x ＋4，点N 的纵坐标为－12x ＋4， ∵点M 在抛物线上，点N 在线段BC 上，MN ∥y 轴，∴MN ＝－14x 2＋32x ＋4－(－12x ＋4)＝－14x 2＋32x ＋4＋12x －4＝－14x 2＋2x＝－14(x －4)2＋4，∴当x ＝4时，MN 的值最大，最大值为4； (3)存在．理由如下：令－14x 2＋32x ＋4＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝8， ∴A (－2，0)， 又∵C (0，4)，由勾股定理得，AC ＝22＋42＝25，如解图，过点C 作CD ⊥对称轴于点D ，连接AC .解图∵抛物线对称轴为直线x ＝3， 则CD ＝3，D (3，4)． ①当AC ＝CQ 时，DQ ＝CQ 2－CD 2＝（25）2－32＝11，当点Q 在点D 的上方时，点Q 到x 轴的距离为4＋11， 此时，点Q 1(3，4＋11)，当点Q 在点D 的下方时，点Q 到x 轴的距离为4－11， 此时点Q 2(3，4－11)；②当AQ ＝CQ 时，点Q 为对称轴与x 轴的交点，AQ ＝5，CQ ＝32＋42＝5， 此时，点Q 3(3，0)； ③当AC ＝AQ 时，∵AC ＝25，点A 到对称轴的距离为5，25<5， ∴不可能在对称轴上存在Q 点使AC ＝AQ ，综上所述，当点Q 的坐标为(3，4＋11)或(3，4－11)或(3，0)时，△ACQ 为等腰三角形．20. 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝34x ＋m 与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B (0，－1)，抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 经过点B ，交直线AB 于点C (4，n )． (1)分别求m 、n 的值； (2)求抛物线的解析式； (3)点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为t (0＜t ＜4)，DE ∥y 轴交直线AB 于点E ，点F 在直线AB 上，且四边形DFEG 为矩形(如图)，若矩形DFEG 的周长为p ，求p 与t 的函数关系式和p 的最大值．【答案】(1)∵直线y ＝34x ＋m 与y 轴交于点B (0，－1)，∴m ＝－1， ∴直线解析式为y ＝34x －1， ∵直线经过点C (4，n )，∴n ＝34×4－1＝2；(2)∵抛物线经过点C 和点B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12×42＋4b ＋c ＝2c ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－54c ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－54x －1；(3)∵点D 的横坐标为t (0＜t ＜4)，DE ∥y 轴交直线AB 于点E ，∴D (t ，12t 2－54t －1)，E (t ，34t －1)，∴DE ＝34t －1－(12t 2－54t －1)＝－12t 2＋2t ， ∵DE ∥y 轴，∴∠DEF ＝∠ABO ，且∠EFD ＝∠AOB ＝90°， ∴△DFE ∽△AOB ， ∴DF OA ＝EF OB ＝DE AB ，在y ＝34x －1中，令y ＝0可得x ＝43， ∴A (43，0)，∴OA ＝43，在Rt △AOB 中，OB ＝1，∴AB ＝53，∴DF 43＝EF 1＝DE 53，∴DF ＝45DE ，EF ＝35DE ，∴p ＝2(DF ＋EF )＝2×(45＋35)DE ＝145DE ＝145(－12t 2＋2t )＝－75t 2＋285t ＝－75(t －2)2＋285(0＜t ＜4)，∵－75＜0，∴当t ＝2时，p 有最大值285.21. 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋2与x 轴交于点A ，点B 是这条直线上第一象限内的一个点，过点B 作x 轴的垂线，垂足为D ，已知△ABD 的面积为18．（1）求点B 的坐标；（2）如果抛物线212y x bx c =-++经过点A 和点B ，求抛物线的解析式； （3）已知（2）中的抛物线与y 轴相交于点C ，该抛物线对称轴与x 轴交于点H ，P 是抛物线对称轴上的一点，过点P 作PQ //AC 交x 轴于点Q ，如果点Q 在线段AH 上，且AQ ＝CP ，求点P 的坐标．【答案】 （1）直线y ＝x ＋2与x 轴的夹角为45°，点A 的坐标为(－2, 0)．因为△ABD 是等腰直角三角形，面积为18，所以直角边长为6．因此OD ＝4．所以点B 的坐标为(4, 6)．（2）将A (－2, 0)、B (4, 6)代入212y x bx c =-++， 得220,84 6.b c b c --+=⎧⎨-++=⎩ 解得b ＝2，c ＝6．所以抛物线的解析式为21262y x x =-++． （3）由21262y x x =-++，得抛物线的对称轴为直线x ＝2，点C 的坐标为(0, 6)． 如果AQ ＝CP ，那么有两种情况：①如图2，当四边形CAQP 是平行四边形时，AQ //CP ，此时点P 的坐标为(2, 6)． ②如图3，当四边形CAQP 是等腰梯形时，作AC 的垂直平分线交x 轴于点F ，那么点P 在FC 上．设点F 的坐标为(x , 0)，根据F A 2＝FC 2列方程，得(x ＋2)2＝x 2＋62．解得x ＝8．所以OF ＝8，HF ＝6．因此39tan 642PH HF F =⋅∠=⨯=．此时点P 的坐标为9(2,)2．图2 图3第（3）题等腰梯形CAQP 时，求点P 的坐标也可以这样思考：过点P 作PE //x 轴交AC 于E ，那么PE ＝PC ．直线AC 的解析式为y ＝3x ＋6，设E (m , 3m ＋6)，那么P (2, 3m ＋6)．根据PE 2＝PC 2列方程，得(2－m )2＝22＋(3m )2．解得12m =-．所以P 9(2,)2． 其实第（3）题还有一个“一石二鸟”的方法：设QH ＝n ，那么AQ ＝4－n ，PH ＝3n ，P(2, 3n )．根据AQ 2＝CP 2，列方程，得．(4－n )2＝22＋(3n －6)2．整理，得2n 2－7n －6＝0．解得n 1＝2，232n =． 当n 1＝2时，P (2, 6)，对应平行四边形CAQP （如图2）；当232n =时，P 9(2,)2，对应等腰梯形CAQP （如图4）．图422. 如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A (0, 1)、B (2, 0)、O (0, 0)，将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到三角形A ′B ′O ．（1）一抛物线经过点A ′、B ′、B ，求该抛物线的解析式；（2）设点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P ，使四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB ′A ′B 是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．【答案】 （1）△AOB 绕着原点O 逆时针旋转90°，点A ′、B ′的坐标分别为(－1, 0) 、(0,2)．因为抛物线与x 轴交于A ′(－1, 0)、B (2, 0)，设解析式为y ＝a (x ＋1)(x －2)， 代入B ′(0, 2)，得a ＝1．所以该抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)(x －2) ＝－x 2＋x ＋2．（2）S △A ′B ′O ＝1．如果S 四边形PB ′A ′B ＝4 S △A ′B ′O ＝4，那么S 四边形PB ′OB ＝3 S △A ′B ′O ＝3．如图2，作PD ⊥OB ，垂足为D ．设点P 的坐标为 (x ，－x 2＋x ＋2)．232'1111(')(22)22222PB OD S DO B O PD x x x x x x =+=-++=-++梯形． 2321113(2)(2)22222PDB S DB PD x x x x x ∆=⨯=--++=-+． 所以2'''2+2PDB PB A D PB OD S S S x x ∆=+=-+四边形梯形． 解方程－x 2＋2x ＋2＝3，得x 1＝x 2＝1．所以点P 的坐标为(1，2)．图2 图3 图4（3）如图3，四边形PB ′A ′B 是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．第（2）题求四边形PB ′OB 的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．'11'222PB O PS B O x x x∆=⋅=⨯=．22112(2)222PBO PS BO y x x x x∆=⋅=⨯-++=-++．所以2'''2+2PB O PBOPB A DS S S x x∆∆=+=-+四边形．甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P：作△A′OB′关于抛物线的对称轴对称的△BOE，那么点E的坐标为(1，2)．而矩形EB′OD与△A′OB′、△BOP是等底等高的，所以四边形EB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．因此点E就是要探求的点P．23. 如图，已知抛物线的方程C1：1(2)()y x x mm=-+-(m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）将M(2, 2)代入1(2)()y x x mm=-+-，得124(2)mm=-⨯-．解得m＝4．（2）当m＝4时，2111(2)(4)2442y x x x x=-+-=-++．所以C(4, 0)，E(0, 2)．所以S△BCE＝1162622BC OE⋅=⨯⨯=．（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH 最小．设对称轴与x轴的交点为P，那么HP EOCP CO=．因此234HP=．解得32HP=．所以点H的坐标为3(1,)2．（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．由于∠BCE＝∠FBC，所以当CE BCCB BF=，即2BC CE BF=⋅时，△BCE∽△FBC．设点F的坐标为1(,(2)())x x x mm-+-，由''FF EOBF CO=，得1(2)()22x x mmx m+-=+．解得x＝m＋2．所以F′(m＋2, 0)．由'CO BF CE BF =，得244m BF m +=+．所以2(4)4m m BF ++=． 由2BC CE BF =⋅，得222(4)4(2)4m m m m +++=+⨯． 整理，得0＝16．此方程无解．图2 图3 图4②如图4，作∠CBF ＝45°交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′，由于∠EBC ＝∠CBF ，所以BE BC BC BF=，即2BC BE BF =⋅时，△BCE ∽△BFC ． 在Rt △BFF ′中，由FF ′＝BF ′，得1(2)()2x x m x m+-=+． 解得x ＝2m ．所以F ′(2,0)m ．所以BF ′＝2m ＋2，2(22)BF m =+． 由2BC BE BF =⋅，得2(2)222(22)m m +=+．解得222m =± 综合①、②，符合题意的m 为222+．。

2021年中考试题专题之13.2-二次函数试题及答案二、填空题1、〔2021年市〕假设把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式，其中,m k 为常数，则m k +=.2、〔2021年〕二次函数的图象经过原点及点〔12-，14-〕，且图象与*轴的另一交点到原 点的距离为1，则该二次函数的解析式为3、二次函数的图象经过原点及点〔12-，14-〕，且图象与*轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为．4、〔2021年市〕抛物线23(1)5y x 的顶点坐标为__________． 5、(2021年市)12．将抛物线22y x =-向上平移一个单位后，得以新的抛物线，则新的抛物线的表达式是．6、〔2021年〕二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．以下结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是个．7、〔2021襄樊市〕抛物线2y x bx c =-++的图象如图6所示，则此抛物线的解析式为．8、〔2021省市〕函数(2)(3)y x x =--取得最大值时，x =______．9、〔2021年市〕 请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 ．①过点(31)，；②当0x >时，y 随*的增大而减小；③当自变量的值为2时，函数值小于2．10、〔2021年省黔东南州〕二次函数322--=x x y 的图象关于原点O 〔0,0〕对称的图象的解析式是_________________。

y*O 3 *=1 图611、〔2021年市〕当x =_____________时，二次函数222y x x =+-有最小值． 12、〔2021年〕如图7，⊙O 的半径为2，C 1是函数y =12*2的图象，C 2是函数y =-12*2的图象，则阴影局部的面积是. 13、〔2021年庆阳〕图12为二次函数2y ax bx c =++的图象，给出以下说法：①0ab <；②方程20ax bx c ++=的根为1213x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时，y 随*值的增大而增大；⑤当0y >时，13x -<<．其中，正确的说法有．〔请写出所有正确说法的序号〕14、(2021年)把抛物线y ＝a*2+b*+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝*2－3*+5，则a+b+c=__________15、〔2021市〕抛物线2y x bx c =-++的局部图象如图8所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论：，．〔对称轴方程，图象与*正半轴、y 轴交点坐标例外〕16、(2021年)抛物线2y x bx c =-++的局部图象如图8所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论：，．〔对称轴方程，图象与*正半轴、y 轴交点坐标例外〕17、〔2021年〕将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm 2． 18、〔2021年〕二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．以下结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是个．19、〔2021年〕出售*种文具盒，假设每个获利x 元，一天可售出()6x -个，则当x =元时，一天出售该种文具盒的总利润y 最大．20、(2021年)如以下图，抛物线2y ax bx c =++〔0a ≠〕与x 轴的两个交点分别为(10)A -，和(20)B ，，当0y <时，x 的取值围是． 【21．(2021年)抛物线2y ax bx c =++〔a ＞0〕的对称轴为直线1x =，且经过点()()212y y -1，，，试比拟1y 和2y 的大小：1y _2y 〔填">〞，"<〞或"=〞〕22、〔2021年〕二次函数223y x =的图象如图12所示，点0A 位于坐标原点， 点1A ，2A ，3A ，…， 2008A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…， 2008B 在二次函数223y x =位于第一象限的图象上， 假设△011A B A ,△122A B A ，△233A B A ，…，△200720082008A B A 都为等边三角形，则△200720082008A B A 的边长＝.23、〔2021年市〕假设把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式，其中,m k 为常数，则m k +=.24．(2021年市)A 、B 是抛物线243y x x =-+上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点A 、B 的坐标可能是_____________．〔写出一对即可〕25、〔2021年〕二次函数的图象经过原点及点〔12-，14-〕，且图象与*轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为．26、〔2021年市〕假设抛物线23y ax bx =++与232y x x =-++的两交点关于原点对称，则a b 、分别为．27、〔2021 大兴安岭〕当=x 时，二次函数222-+=x x y 有最小值． 三、解答题1、〔2021年株洲市〕如图1，Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，3tan 4B =，点P 在线段AB 上运动，点Q 、R 分别在线段BC 、AC 上，且使得四边形APQR 是矩形．设AP 的长为x ，矩形APQR 的面积为y ，y 是x 的函数，其图象是过点〔12，36〕的抛物线的一局部〔如图2所示〕．〔1〕求AB 的长；〔2〕当AP 为何值时，矩形APQR 的面积最大，并求出最大值．为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：明：图2中的抛物线过点〔12，36〕在图1中表示什么呢.明：因为抛物线上的点(,)x y 是表示图1中AP 的长与矩形APQR 面积的对应关系，则，〔12，36〕表示当12AP =时，AP 的长与矩形APQR 面积的对应关系.明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！孔明：哦，这样就可以算出AB ，这个问题就可以解决了.请根据上述对话，帮他们解答这个问题.图1图2 2、〔2021年株洲市〕ABC ∆为直角三角形，90ACB ∠=︒，AC BC =,点A 、C 在x 轴上，点B坐标为〔3，m 〕〔0m >〕，线段AB 与y 轴相交于点D ，以P〔1，0〕为顶点的抛物线过点B 、D ． 〔1〕求点A 的坐标〔用m 表示〕；〔2〕求抛物线的解析式；〔3〕设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：(FC AC 3、〔2021年市江津区〕*这种童装开场时的售价为每件20件30元的稳定价格销售，直到11 〔1〕请建立销售价格y 〔元〕与周次* 〔2为12)8(812+--=x z ， 1≤ * ≤11，且*获得利润最大.并求最大利润为多少.4、〔2021年市江津区〕如图，抛物线x y -=2 〔1〕求该抛物线的解析式；〔2〕设〔1〕中的抛物线交y 轴与C 点，的周长最小.假设存在，求出Q 点的坐标；假设不存在，请说明理由.〔3〕在〔1〕中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大.，假设存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.假设没有，请说明理由.5、〔2021年滨州〕*商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答以下问题：〔1〕假设设每件降价x 元、每星期售出商品的利润为y 元，请写出y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值围；〔2〕当降价多少元时，每星期的利润最大.最大利润是多少.〔3〕请画出上述函数的大致图象．6、〔2021年滨州〕 如图①，*产品标志的截面图形由一个等腰梯形和抛R Q P C B A 第26题图物线的一局部组成，在等腰梯形ABCD 中，AB DC ∥，20cm 30cm 45AB DC ADC ==∠=，，°．对于抛物线局部，其顶点为CD 的中点O ，且过A B 、两点，开口终端的连线MN 平行且等于DC ．〔1〕如图①所示，在以点O 为原点，直线OC 为x 轴的坐标系，点C 的坐标为(150)，， 试求A B 、两点的坐标；〔2〕求标志的高度〔即标志的最高点到梯形下底所在直线的距离〕；〔3〕现根据实际情况，需在标志截面图形的梯形局部的外围均匀镀上一层厚度为3cm 的保护膜，如图②，请在图中补充完整镀膜局部的示意图，并求出镀膜的外围周长． 7、 (2021年省江市)如以下图，点A 〔－1，0〕，B 〔3，0〕，C 〔0，t 〕，且t ＞0，tan ∠BAC=3，抛物线经过A 、B 、C 三点，点P 〔2，m 〕是抛物线与直线)1(:+=x k y l 的一个交点。

2021年陕西省西安市中考数学总复习：二次函数一．选择题（共50小题）
1．在下列函数关系式中，二次函数的是（）
A．y=2
x B．y＝x+2
C．y＝x2+1D．y＝（x+3）2﹣x2
2．在平面直角坐标系中，已知点A（−1
2，1）和B（1，4）都在直线y＝2x+2上，若抛物
线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）
A．a≥4或a≤﹣2B．−9
4＜a≤−2
C．﹣2≤a≤4D．−9
4＜a≤−2或a≥4
3．已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+2，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数m 的取值范围是（）
A．m≤0B．0＜m≤1C．m≤1D．m≥1
4．已知点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）都在函数y＝（x﹣1）2的图象上，则（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3 5．将二次函数y＝2x2﹣4x+1的右边进行配方，正确的结果是（）
A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x+1）2﹣1
C．y＝2（x﹣1）2﹣1D．y＝2（x+1）2+1
6．如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与x轴的轴交于点A，与二次函数交于点
B、点C，点A、B、C三点的横坐标分别是a、b、c，则下面四个等式中不一定成立的是
（）
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13. 二次函数的图象与性质基础训练1. 抛物线y ＝－2x 2＋1的对称轴是( )A. 直线x ＝12B. 直线x ＝－12C. y 轴D. 直线x ＝22. 点A (1，y 1)，B (－2，y 2)在函数y ＝－(x ＋1)2＋2的图象上，则下列结论正确的是( )A. 2＞y 1＞y 2B. 2＞y 2＞y 1C. y 1＞y 2＞2D. y 2＞y 1＞23. (2020成都)关于二次函数y ＝x 2＋2x －8，下列说法正确的是( )A. 图象的对称轴在y 轴的右侧B. 图象与y 轴的交点坐标为(0，8)C. 图象与x 轴的交点坐标为(－2，0)和(4，0)D. y 的最小值为－94.若抛物线y ＝ax 2－4x ＋c 的开口向下，交y 轴于正半轴，则抛物线的顶点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 在二次函数y ＝x 2＋2x －3中，当－3≤x ≤0时，y 的最大值和最小值分别( )A. 0，－4B. 0，－3C. －3，－4D. 0，06. 抛物线y ＝2(x －1)2经过(m ，n )和(m ＋3，n )两点，则n 的值为( )A. 92B. －92C. 1D. －127. (2020温州)已知(－3，y 1)，(－2，y 2)，(1，y 3)是抛物线y ＝－3x 2－12x ＋m 上的点，则( )A. y 3<y 2<y 1B. y 3<y 1<y 2C. y 2<y 3<y 1D. y 1<y 3<y 28. (2020泰安)在同一平面直角坐标系内，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋b (a ≠0)与一次函数y ＝ax ＋b 的图象可能是( )9. (2020枣庄)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1.给出下列结论：①ac<0；②b2－4ac>0；③2a－b＝0；④a－b＋c＝0.其中，正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D. 4个第9题图10.(2020遂宁)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x＝－1，下列结论不正确的是()A. b2＞4acB. abc＞0C. a－c＜0D. am2＋bm≥a－b(m为任意实数)第10题图11. (2020哈尔滨)抛物线y＝3(x－1)2＋8的顶点坐标为________．12.把二次函数y＝x2＋4x－1变形为y＝a(x＋h)2＋k的形式为__________．13. (2020黔东南州)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为(－3，0)，对称轴为x＝－1，则当y<0时，x的取值范围是________.第13题图14.若二次函数y＝x2－4x－m图象与x轴有两个不同的交点，则实数m的取值范围是________．15.(2019泰安)若二次函数y＝x2＋bx－5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2＋bx－5＝2x－13的解为________．16. (2020温州)已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过点(1, －2)，(－2，13)．(1)求a，b的值；(2)若(5，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y2＝12－y1，求m的值．巩固训练17.(2020眉山)已知二次函数y＝x2－2ax＋a2－2a－4(a为常数)的图象与x轴有交点，且当x>3时，y 随x的增大而增大，则a的取值范围是()A. a≥－2B. a<3C. －2≤a<3D. －2≤a≤318.(2020滨州)对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，且a≠0)如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc<0，②b2>4ac，③4a＋2b＋c>0，④3a＋c>0，⑤a＋b≤m(am＋b)(m为任意实数)，⑥当x<－1时，y随x的增大而增大，其中结论正确的个数为()A. 3B. 4C. 5D. 6第18题图19.(2020遵义)抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2，抛物线与x轴的一个交点在点(－4，0)和点(－3，0)之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有：()①4a－b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2＋bx＋c＝2有两个不相等实数根；④b2＋2b>4ac.A.1个B.2个C.3个D. 4个第19题图20.(2020宜宾)函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点(2，0)，顶点坐标为(－1，n)，其中n>0.以下结论正确的是()①abc>0；②函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x＝1和x＝－2处的函数值相等；③函数y＝kx＋1的图象与y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数图象总有两个不同交点；④函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在－3≤x≤3内既有最大值又有最小值．A. ①③B. ①②③C. ①④D. ②③④21. (2020南充)如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)．若抛物线y＝ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是()A. 19≤a≤3 B.19≤a≤1 C.13≤a≤3 D.13≤a≤ 1第21题图能力提升22. (2020河北)如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1.下列判断正确的是()A. 乙错，丙对B. 甲和乙都错C. 乙对，丙错D. 甲错，丙对第22题图23.(2020北京)在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)上任意两点，其中x1<x2.(1)若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；(2)设抛物线的对称轴为x＝t.若对于x1＋x2>3，都有y1＜y2，求t的取值范围．参考答案1. C 【解析】∵抛物线y ＝－2x 2＋1的顶点坐标为(0，1)，∴对称轴是直线x ＝0，即y 轴．2. B 【解析】该二次函数的最大值为2，对称轴为直线x ＝－1，∵－1＜0，∴在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小，|1－(－1)|＝2，|－2－(－1)|＝1，2＞1，∴y 2＞y 1，∴2＞y 2＞y 1.3. D 【解析】∵y ＝x 2＋2x －8＝(x ＋1)2－9，∴对称轴为x ＝－1，在y 轴的左侧，故选项A 错误；∵当x ＝0时，y ＝－8，∴图象与y 轴的交点坐标为(0，－8)，故选项B 错误；∵当y ＝0时，(x ＋1)2－9＝0，解得x ＝2或－4，∴图象与x 轴的交点坐标为(2，0)和(－4，0)，故选项C 错误；∵y ＝x 2＋2x －8＝(x ＋1)2－9，a ＝1>0，∴图象开口向上，当x ＝－1时，y 有最小值，最小值为－9，故选项D 正确．4. B 【解析】∵二次函数y ＝ax 2－4x ＋c 的图象开口向下，交y 轴于正半轴，∴a ＜0，c ＞0，∵－b 2a＝－－42a ＝2a＜0，∴抛物线的顶点位于第二象限． 5. A 【解析】抛物线开口向上，对称轴是x ＝－1，则当x ＝－1时，y ＝1－2－3＝－4，是最小值；当x ＝－3时，y ＝9－6－3＝0是最大值．6. A 【解析】抛物线y ＝2(x －1)2经过(m ，n )和(m ＋3，n )两点，可知函数的对称轴x ＝m ＋m ＋32＝1，∴m ＝－12.将点(－12，n )代入函数解析式，可得n ＝2(－12－1)2＝92. 7. B 【解析】∵y ＝－3x 2－12x ＋m ＝－3(x ＋2)2＋12＋m ，∴对称轴为x ＝－2，∴点(－2，y 2)为抛物线的顶点，(－3，y 1)关于对称轴的对称点为(－1，y 1)，∵a ＝－3<0，∴抛物线的顶点为最高点，即y 2最大．在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，∵－1<1，∴y 1>y 3，∴y 3<y 1<y 2.8. C 【解析】A.由一次函数图象可知，a ＞0，b ＞0，由二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，不符合题意；B.由一次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，由二次函数图象可知，a ＜0，b ＜0，不符合题意；C.由一次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，由二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，符合题意；D.由一次函数图象可知，a ＜0，b ＝0，由二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，不符合题意．9. C 【解析】∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线交于y 轴的正半轴，则c ＞0，∴ac ＜0，故①正确；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac >0，故②正确；∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，则－b 2a＝1，即2a ＝－b ，∴2a ＋b ＝0，故③错误；∵抛物线经过点(3，0)，且对称轴为直线x ＝1，∴抛物线经过点(－1，0)，则a －b ＋c ＝0，故④正确，∴正确的结论有①②④，共3个．10. C 【解析】∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴有两个交点，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根，∴b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，∴选项A 正确；∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的开口向上，∴a >0，∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的对称轴为直线x ＝－1，∴－b 2a＝－1，∴b >0，∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与y 轴交于正半轴，∴c >0，∴abc >0，∴选项B 正确；∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的开口向上，对称轴为直线x ＝－1，∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)当x ＝－1时有最小值a －b ＋c ，∴am 2＋bm ＋c ≥a －b ＋c (m 为任意实数)，∴am 2＋bm ≥a －b (m 为任意实数)，∴选项D 正确．综上所述，选项A ，B ，D 均正确，故选C.11. (1，8)12. y ＝(x ＋2)2－513. －3<x <1 【解析】根据抛物线对称性质可得，抛物线交x 轴另一点坐标为(1，0)，故根据图象判断可知，当y <0时，x 的取值范围为－3<x <1.14. m ＞－4 【解析】b 2－4ac ＝(－4)2＋4×m ＞0，解得m ＞－4.15. x ＝2或4 【解析】∵二次函数y ＝x 2＋bx －5的对称轴是x ＝2，∴－b 2＝2，即b ＝－4.∴关于x 的方程x 2＋bx －5＝2x －13为x 2 －4x －5＝2x －13，解得x 1＝2，x 2＝4.16. 解：(1)把(1，－2)，(－2，13)代入y ＝ax 2＋bx ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＝a ＋b ＋1，13＝4a －2b ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4； (2)由(1)得函数表达式为y ＝x 2－4x ＋1，把x ＝5代入y ＝x 2－4x ＋1，得y 1＝6，∴y 2＝12－y 1＝6，∵y 1＝y 2，对称轴为直线x ＝2，∴m ＋52＝2，解得m ＝－1. 17. D 【解析】令y ＝0，即x 2－2ax ＋a 2－2a －4＝0，∴b 2－4ac ＝(－2a )2－4(a 2－2a －4)＝4a 2－4a 2＋8a ＋16＝8a ＋16≥0.∴a ≥－2，∵对称轴x ＝－－2a 2＝a ，抛物线开口向上，且当x >3时，y 随x 的增大而增大，∴a ≤3，∴a 的取值范围的是－2≤a ≤3.18. A 【解析】19. C 【解析】由对称轴x ＝－b 2a＝－2，得b ＝4a ，∴4a －b ＝0，∴①正确；由函数图象可知，当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c >0，即a －4a ＋c >0，∴c >3a ，∴②错误；由函数图象可知抛物线与直线y ＝2有两个交点，∴ax 2＋bx ＋c ＝2有两个不相等的实数根，∴③正确；由函数图象可知抛物线顶点的纵坐标为3，即4ac －b 24a ＝3，∴4ac －b 2b＝3，∴b 2＋3b ＝4ac .∵a <0，∴b ＝4a <0，∴3b <2b ，∴b 2＋3b <b 2＋2b ，∴b 2＋2b >4ac ，∴④正确．20. C 【解析】∵图象与x 轴交于点(2，0)，顶点坐标为(－1，n )，且n ＞0，∴图象开口向下，抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴上，且对称轴为x ＝－1，∴a <0, －b 2a＝－1，c >0，∴b ＜0，∴①正确；∵抛物线的对称轴是x ＝－1, 1－(－1)＝2，－1－(－2)＝1，∴两个自变量不是关于x ＝－1对称，∴函数值不相等，故②错误；y ＝kx ＋1经过(0，1)点，无法确定与抛物线的交点个数，故③错误；∵抛物线的开口向下，对称轴为x ＝－1，∴在－3≤x ≤3的范围内，当x ＝－1时取得最大值，当x ＝3时取得最小值，故④正确．故正确结论为①④.21. A 【解析】根据题图可得，抛物线y ＝ax 2的图象经过点(1，3)时，a 取得最大值，此时a ＝3；抛物线y ＝ax 2的图象经过点(3，1)时，a 取得最小值，此时9a ＝1，解得a ＝19.∴实数a 的取值范围为19≤a ≤3. 22. C 【解析】∵y ＝x (4－x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(2，4)．∴当b ＝5时，点P 的个数为0；当b ＝4时，点P 是抛物线的顶点，即点P 的个数为1；当b ＝3时，点P 的个数为2.故丙判断错误，甲和乙判断正确．23. 解：(1)若抛物线的对称轴为x ＝1，则b ＝－2a ，故抛物线解析式为y ＝ax 2－2ax ＋c ，令y ＝c ，则ax 2－2x ＋c ＝c ，即x (ax －2)＝0，∵a ＞0，x 1＜x 2，∴x 1＝0，x 2＝2；(2)∵a ＞0且y 1＜y 2，∴x 2到对称轴x ＝t 的距离大于x 1到对称轴x ＝t 的距离．∴|x 2－t |＞|x 1－t |.①当x 1，x 2在对称轴左侧，不成立；②当x 1，x 2在对称轴右侧，则必有y 1＜y 2成立；③当x 1，x 2在对称轴异侧时，x 2－t ＞t －x 1，∴x 1＋x 2＞2t ，∵x 1＋x 2＞3，∴2t ≤3，∴t ≤32.。

中考数学一轮复习二次函数一、选择题1.若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为( )A.y =5(x-2)2+1B.y =5(x+2)2+1C.y =5(x-2)2-1D.y =5(x+2)2-12.函数y=﹣2x2﹣8x+m的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＜x2＜﹣2，则( )A.y1＜y2B.y1＞y2C.y1=y2D.y1、y2的大小不确定3.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A.a＞0B.不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5C.a﹣b+c＞0D.当x＞2时，y随x的增大而增大4.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是( )5.一次函数y=ax＋b(a≠0)与二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )6.二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x=－1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a＋b=0；④a－b＋c＞2.其中正确的结论的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为xcm.当x=3时，y=18，那么当成本为72元时，边长为( )A.6cmB.12cmC.24cmD.36cm8.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示,点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点,其中﹣3≤x1＜x2≤0,则下列结论正确的是（）A.y1＜y2B.y1＞y2C.y的最小值是﹣3D.y的最小值是﹣49.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A.﹣20mB.10mC.20mD.﹣10m10.如图,在正方形ABCD中,AB=3cm,动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度向B点运动,同时动点N自A点出发沿折线AD﹣DC﹣CB以每秒3cm的速度运动,到达B点时运动同时停止.设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（）11.如图所示，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积y与容器内水深x间的函数关系的图象可能是（）A． B． C． D．12.如图，正方形ABCD中，AB＝8 cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1 cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t(s)，△OEF的面积S(cm2)，则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为( B )二、填空题1.在直角坐标平面中，将抛物线y=2x2先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线解析式是2.二次函数y=(a﹣1)x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，则a的值为．3.若将二次函数y=x2﹣2x+3配方为y=(x﹣h)2+k的形式，则y= ．4.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中：①abc>0；②b=2a；③a+b+c<0；④a-b+c>0．正确的是．第4题图第5题图第6题图5.如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x=﹣2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为（用含a的式子表示）．6.如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB//CD,AB=2,CD=6m，点P到CD的距离是2.7m，则AB与CD间的距离是________m。

二次函数知识梳理要点透析一、二次函数 1.二次函数一般地，形如c bx ax y ++=2(a 、b 、c 是常数，且a ≠0)的函数称为二次函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数，2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数，bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项.二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的自变量x 可以是任意实数.2.二次函数的图象与性质（1）二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象是抛物线，对称轴是直线x =-ab2，顶点坐标为（-ab2，a b ac 442-）.①a ＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，x =-ab2时，y 的值最小，最小值为ab ac 442-.②a ＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，x =-ab2时，y 的值最大，最大值为ab ac 442-.（2）()k h x a y +-=2(a ≠0）的图象是抛物线，对称轴是直线h x =，顶点坐标为()k h ,.（3）抛物线的绘画：“五点法”即顶点加对称轴两边的各两点. 3. c bx ax y ++=2中a 、b 、c 的取值与函数图象的位置（1）由c bx ax y ++=2的a 、b 、c 的取值可以判断函数图象的位置a ——确定二次函数的开口方向；b ——在a 的值确定的前提下，b 的值确定-ab2的值大于或等于或小于0，从而确定函数图象的对称轴在y 轴的右边、y 轴还是在y 轴的左边.c——二次函数的图象与y 轴的交点坐标为（0，c ），c 的值确定图象与y 轴的交点在x 轴的上方、原点还是在x 轴的下方.（2）由二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象能说明a 、b 、c 的符号开口方向——a ，对称轴的位置——-ab2，与y 轴的交点——c 4.二次函数解析式的确定 （1）二次函数的三种解析式①一般式：c bx ax y ++=2（a ≠0）②顶点式：()k h x a y +-=2(a ≠0）其中（h ，k ）为顶点③双根式：()()21x x x x a y --=(0≠a )其中1x 、2x 为抛物线与x 轴两交点的横坐标 （2）三种解析式的选用当已知条件是“图象过任意三点”或给出的是三组对应的x 、y 的值，用一般式，列出方程组，求出系数a 、b 、c .当已知条件涉及图象顶点、对称轴、最大值或最小值时，用顶点式，求待定系数a 、h 、k .当已知条件为抛物线与x 轴两交点坐标时，用双根式较为简捷. 5.抛物线的平移与对称（1）上、下平移直接在抛物线的解析式后进行加减，向上为“+”，向下为“-”；左、右移动，在()k h x a y +-=2的括号内进行加减，向左为“+”，向右为“-”.如果所给函数关系式为一般式c bx ax y ++=2，应化为顶点式，也可按照这样的方法实施：向上平移m 个单位（m ＞0），则变为c bx ax y ++=2+m ；向下平移m 个单位（m ＞0），则变为c bx ax y ++=2-m ；向左平移m 个单位（m ＞0），则变为()()c m x b m x a y ++++=2；向右平移m 个单位（m ＞0），则变为()()c m x b m x a y +-+-=2.（2）抛物线()k h x a y +-=2的顶点为（h ，k ），关于x 轴对称为（h ，-k ），抛物线关于x 轴对称的解析式变为()k h x a y ---=2,y =-〔()k h x a +-2〕，在解析式前添上“-”即可.一般式c bx ax y ++=2关于x 轴对称时，相同的x ，对应的y 正好相反，故-c bx ax y ++=2，即c bx ax y ---=2，所有系数均变为相反数.（3）抛物线()k h x a y +-=2的顶点为（h ，k ），关于y 轴对称的点的坐标为（-h ，k ），解析式变为()k h x a y ++=2.一般式c bx ax y ++=2关于y 轴对称时，对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，故解析式为c x b x a y +-+-=)()(2，即c bx ax y +-=2，只需把一次项系数变为相反数. （4）抛物线()k h x a y +-=2的顶点为（h ，k ），关于原点对称的点的坐标为（-h ，-k ），解析式变为()k h x a y -+-=2.一般式c bx ax y ++=2关于原点对称，对称点的横、纵坐标均变为其相反数，故解析式为-c x b x a y +-+-=)()(2，即c bx ax y -+-=2，二次项系数、常数项均变为相反数，一次项系数不变. 6．特别提示（1）二次函数的图象用“五点法”绘画，其中关键一点是顶点，然后在顶点两边各取两个点.（2）三元一次方程组的解法课标不作要求，已知任意三点坐标，求二次函数的解析式，一般难以出现.二、二次函数与一元二次方程1.一般地，二次函数c bx ax y ++=2的图象与一元二次方程02=++c bx ax 的根有如下关系：如果二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根.如果二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有一个公共点，那么一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根.如果二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴没有公共点，那么一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根.反之，根据一元二次方程02=++c bx ax 根的情况也可以知道二次函数的图象c bx ax y ++=2与x 轴的位置关系.2.一元二次方程02=++c bx ax 的近似求解（1）画出c bx ax y ++=2的图象，读出图象与x 轴交点的横坐标，即是对应方程的解. （2）在同一直角坐标系中画出2ax y =与c bx y --=的图象，读出交点的横坐标，即是方程的解.比较方法（1），虽说画了两个函数图象，但相比较而言，这两个图象要容易画得多. 3．特别提示：已知二次函数求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，可以解对应的一元二次方程，但若问，自变量取何值时，函数值大于0或小于0，就不能解对应的一元二次不等式，而应画出函数图象，直接由函数图象读出. 典例演示例1．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图5.2-1所示，则一次函数a bx y +=的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限思路点拨 由二次函数的图象知a ＞0,b ＞0,c ＞0,一次函数a bx y +=的图象过一、二、三象限. 解：选D.例2.已知抛物线c bx ax y ++=2的开口向下，顶点坐标为（2，－3），那么该抛物线有（ ） A. 最小值 －3 B. 最大值－3 C. 最小值2 D. 最大值2 思路点拨 抛物线开口向下，有最大值，最大值为顶点的纵坐标. 解：选B.例3.二次函数5632+--=x x y 的图像的顶点坐标是（ ） A ．（-1，8） B ．（1，8） C ．（-1，2） D ．（1，-4）思路点拨 配方法或直接代入公式（ab 2-，a b ac 442-）求顶点坐标.解：选A.例4.抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为（ ） A .2=b ，2=c B. 2=b ，0=cC . 2-=b ，1-=c D. 3-=b ，2=c思路点拨 将抛物线322--=x x y 向左平移两个单位，再向上平移三个单位即得到抛物线c bx x y ++=2，有c bx x y ++=2=34)21(2+-+-xx图5.2-1y O图5.2-2解：选B.例5.已知二次函数)1()2(2-+-=a a x y （a 为常数），当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．图5.2-2分别是当1-=a ，0=a ，1=a ，2=a 时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y = .思路点拨 顶点坐标为（a 2，1-a ），a x 2=，1-=a y ，消去a ，就可以得到顶点的横、纵坐标满足的函数关系式. 解：12-=xy 例6.若二次函数k x x y ++-=22的部分图象如图5.2-3所示，则关于x 的一元二次方程022=++-k x x 的一个解31=x ，另一个解=2x ；思路点拨 抛物线关于直线1=x 对称，对应方程的解为抛物线与x 轴的两个交点的横坐标. 解：-1例7.如图5.2-4，是二次函数c bx ax y ++=2图象的一部分，其对称轴为直线1=x ，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式c bx ax ++2＜0的解集是 . 思路点拨 根据图象读出抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），不等式的解即为图象在x 轴下方对应的x 的值. 解：－1＜x ＜3.例8.已知二次函数32-+=bx ax y 的图象经过点A （2，－3），B （－1，0）． （1）求二次函数的解析式；（2）填空：要使该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，应把图象沿y 轴向上平移 个单位．思路点拨 （1）函数图象过点，说明点的坐标适合函数解析式，（2）抛物线与x 轴只有一个公共点，对应的ac b 42-=0.解：(1)由已知，有⎩⎨⎧=---=-+033324b a b a ，即⎩⎨⎧=-=+3024b a b a ，解得⎩⎨⎧-==21b a∴所求的二次函数的解析式为322--=x x y . (2) 4y图5.2-3Ox1 3图5.2-4例9．如图5.2-5，已知二次函数c bx x y ++-=221的图象经过A （2，0）、B （0，－6）两点. （1）求这个二次函数的解析式（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ， 连结BA 、BC ，求△ABC 的面积.思路点拨 （1）代入求出b 、c.(2)确定对称轴，求出C 点坐标，再求△ABC 的面积.解：（1）把A （2，0）、B （0，－6）代入c bx x y ++-=221 得：⎩⎨⎧-==++-6022c c b 解得⎩⎨⎧-==64c b∴这个二次函数的解析式为64212-+-=x x y（2）∵该抛物线对称轴为直线4)21(24=-⨯-=x∴点C 的坐标为（4，0）∴224=-=-=OA OC AC ∴6622121=⨯⨯=⨯⨯=∆OB AC S ABC 例10.用长度为20m 的金属材料制成如图5.2-6所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m ．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．思路点拨 用x 表示出金属框围成图形的面积S ，得到一二次函数，二次项系数为负，有最大值.配方或公式求出何时取得最大值. 解：根据题意可得：等腰直角三角形的直角边为x 2cm ，矩形的一边长为x 2cm ．其相邻边长为x x)22(102)224(20+-=+-该金属框围成的面积[]x x x x S 2221)22(102•⨯++-•==x x 20)223(2++-（25100-<<x ） 当2203022310-=+=x 时, 金属框围成的面积最大，此时矩形的一边是220602-=x （m ）,相邻边长为10210)223(10)22(10-=-⨯+-(m)∴)22-(3100=最大S (2m )答：当矩形的一边是（22060-）m ,相邻边长为（10210-）米时，面积最大，y xCAO B图5.2-5 图5.2-6为)22-(31002m .例11.某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件.(1)假定每件商品降价x 元，商店每天销售这种小商品的利润是y 元，请写出y 与x 间的函数关系式，并注明x 的取值范围．(2)每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？(注：销售利润＝销售收入－购进成本)思路点拨 （1）用每件利润乘以销售件数就得到利润.（2）函数关系式为二次函数，二次项系数为负有最大值.解：(1)设降价x 元时利润最大．依题意：)100500)(5.25.13(x x y +--=整理得：)556(1002++-=x x y (0＜x ≤1) (2)由(1)可知，当x ＝3时y 取最大值，最大值是6400即降价3元时利润最大，∴销售单价为10.5元时，最大利润6400元 答：销售单价为10.5元时利润最大，最大利润为6400元. 方法归纳一、二次函数的图象位置与字母系数取值a :开口方向 c :与y 轴的交点的纵坐标 a 、b ：对称轴的位置 b 2-4ac :与x 轴的交点个数 a+b+c :x=1时，y 的值 a-b+c :x =-1时，y 的值 2a+b:对称轴在直线x=1的左边还是右边 2a-b: 对称轴在直线x=-1的左边还是右边. 二、二次函数的图象变换二次函数的图象变换，关键是顶点的变换，结合考虑抛物线的开口方向. 三、二次函数的实际应用1.根据题意，布列出函数关系式，再利用二次函数的知识解决相关问题；2.已知实际生活中的抛物线，建立坐标系解决问题时，坐标系的建立力求简单，通常以抛物线的顶点为坐标原点，水平直线为x 轴，竖直直线为y 轴.此处提醒注意的是：距离与点的坐标之间的关系.四、二次函数中存在性题的处理基本思路：先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导出矛盾，则否定先前的假设；若推出合理的结论，则说明假设正确，由此得出问题的结论.。