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第 十 五 组足球队排名次的方法摘 要本文讨论了依据我国12支足球队在1988-1989年全国足球甲级队联赛中的成绩，给他们进行排列名次的问题。
根据全国足球甲级队联赛的比赛规则，符合要求的排名方法是多种多样的，然而都希望实现尽量公平、尽量精确的排名策略。
我们针对排名的问题，建立了从简单到复杂，从粗糙到较为精确的三个模型，分别用了平均积分法、图论的相关知识、比分矩阵法以及层次分析法。
模型一：依次计算出各个队的总积分，按照国家足球甲级队联赛的规则，可知：获胜加3分，平局各得一分，失败就得零分，同时统计每一个队进行的比赛场数，对总积分/比赛的场数进行排序，所得结果就可以近似的作为各队的排名。
模型二：根据比赛的数据，建立了一个1212⨯的数字矩阵1212ij )(a A ⨯=，在合理的假设条件下，进行分析，从而完善矩阵，用C++编程，输入所得矩阵，求出哈密顿开路的路径，再结合模型一的分析，对其排出名次。
模型三：用三分制计算对任意第i 队与第j 队（i 不等于j ）的得分比ij b ，其中ii b =1，得到比分矩阵1212)(⨯=ij b B ,求出比分矩阵的最大特征值，并求出相应的特征向量。
比较分向量的大小，即可求出排名。
模型四：用层次分析法，把平均积分、净球数和获胜场数与参赛场数的比值作为准则层的影响因素，根据它们的比重关系，构造正互反矩阵(逆称矩阵)，通过求最大特征值及其特征向量，从而求出排名。
四个模型的运行结果如下的表所示：的条件是不一样的。
关键词：足球排名积分图论比分矩阵层次分析一、问题描述近几十年以来，足球这一运动项目在我国较为流行，深受许多球迷的喜爱，越来越多的大型的足球比赛在国组织起来，其中全国足球联赛就是一个比较正式，比赛要求较为严谨的一个比赛组织，公平、公正、公开的评分原则显现的更为重要。
题目中给出了1988-1989年全国足球甲级队联赛的比赛成绩列表，根据列表的数据，要求设计一个合理的方案对十二支队进行排列名次，并给出用该方案排名次的结果。
数学建模中的概率统计方法选讲案例一：常用分布及中心极限定理与“DVD 在线租赁”问题（2005B ）“DVD 在线租赁”为2005年全国大学生建模竞赛的B 题，原题参见附件中的文件“2005B ”。
现考虑问题（1）：网站正准备购买一些新的DVD ，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD 的人数（表1给出了其中5种DVD 的数据）。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD 两次，而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD 来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD ？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD 呢？问题（1）的分析与求解：可以通过“点估计”的方法，得到抽样的1000名会员租赁上述5种DVD 的概率为● 通过1000个样本来推断10万个会员的“总体”： 假设随机变量，否则种个会员租第第⎩⎨⎧=,0,1DVDj i ij ξ 其中10000,...,2,1=i . 显然，ij ξ服从两点分布，即j ij p P ==)1(ξ,而上表就给出了这些概率的估计值。
进一步，设∑==Ni ij j 1ξη，10000=N ，即表示10000人中愿意租赁第j 张DVD 的人数，显然，随机变量),10000(~j j p B η。
● 由De Moivre —Laplace 中心极限定理，如果准备了)5.0(j E η张DVD ，则满足至少jη5.0人看到该DVD 的概率（可靠性）为5.0)0(}0)5.0()5.0(5.0{)}5.0(5.0{=Φ≈≤-=≤j j j j j D E P E P ηηηηη显然，为了增加右边的可靠性，比如，增加到0.99，则由等式99.0)33.2(})5.0()5.0()5.0()5.0(5.0{}5.0{=Φ≈-≤-=≤j j j j j j D E X D E P X P ηηηηηη,可知)1(100002133.25000)5.0(33.2)5.0(j j j j j p p p D E X -⨯⨯+=+=ηη如何考虑“60％的会员每个月会租赁DVD 两次，40％的会员每个月会租赁DVD 一次”的问题？方法一：10万人的60%为6万人，每个月租赁两次，即12万次；40%为4万人，每月租赁一次，即4万次，合计每月有16万人次的租赁，对于第j 张DVD ，能否类似地假设为∑==Mi ij j 1ξη，16000=M ，而且随机变量),16000(~j j p B η，然后再求？答案是否定的，因为),16000(~j j p B η不再成立。
D题: 足球比赛问题目录一．摘要 2 二．问题的提出 2 三．问题的分析 3 四．模型设计及算法 3五．分析及模型求解模型5一．摘要本文主要以12支甲B球队前四名晋级甲A问题为研究对象，讨论武汉雅琪队是否一定能提前三轮晋级甲A。
本文主要运用了层次分析法建立了一个数学模型，其主要是一个算法。
现通过分析得出武汉雅琪队在最坏的情况下（剩余三场全负）一定可以提前三轮晋级甲A，即一定在前四名，这种方法只能确定武汉雅琪队一定能晋级甲A，只是不知道名次，所以本文又对模型进行了假设，在假定的前提下，能够通过模型的具体分析，把武汉雅琪队在最后的三场比赛结束后最坏的几种可能情况列举出来，从而进一步分析武汉雅琪是否一定可以提前三轮晋级甲A.二．问题的提出中国足球甲级队比赛，分成甲A和甲B两组进行主客场双循环制，1997年足协决定：12支甲B球队的前四名将升入甲A，球队排序的原则如下：（1）胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分；（2）球队的名次按积分多少排序，积分高的队排名在前；（3）积分相同的球队，按净胜球的多少排序，净胜球（踢进球数减被踢入球数）多的队排名在前；（4）若积分相同、净胜球数也相同，则按进球数排序，踢进球总数多的队排名在前.以下是甲B联赛（共赛22轮）第19轮后的形势：队名胜平负得失球积分队名胜平负得失球积分武汉雅琪 10 6 3 29/18 36 佛山佛斯弟 8 2 9 26/28 26深圳平安 9 5 5 34/27 32 辽宁双星 7 4 8 20/19 25深圳金鹏 8 5 6 32/38 29 上海浦东 7 4 8 28/23 25河南建业 8 5 6 20/18 29 上海豫园 6 5 8 23/29 23广州松日 7 7 5 27/19 28 天津万科 5 7 7 22/23 22沈阳海狮 7 7 5 28/23 28 火车头杉杉 2 3 14 14/48 9还剩三轮，对阵表如下：上海浦东——深圳平安广州松日——河南建业杉杉——广州松日深圳平安——辽宁双星河南建业——上海浦东广州松日—天津—万科深圳平安——沈阳海狮上海豫园——河南建业辽宁双星——天津万科深圳金鹏——上海豫园武汉雅琪——佛斯第沈阳海狮——杉杉沈阳海狮——深圳金鹏天津万科——佛斯第上海豫园——武汉雅琪辽宁双星——深圳金鹏佛斯第——杉杉武汉雅琪——上海浦东试问：武汉雅琪队是否一定可以提前三轮晋升甲A？说明理由.三．问题的分析题目给出的是12支甲B球队前19轮的比赛结果，还剩三轮比赛。
足球场上的不同威胁摘要：01年的冬天如莽撞的少年，无意间闯入了溢香的花园。
积雪早已掩盖了残花败草，慵懒的夜蚕食着欲颓的夕阳。
我独自一人穿行于雪雾之中，冥冥中我要去完成一件例行的使命，那就是照例去体彩投注站，花上两元钱买上一方小小的足球彩票。
这是一位笔友对足球的执着！在足球场上，球员在对方球门前不同的位置起脚射门对球门的威胁是不一样的。
在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧射门；近距离的射门对球门的威胁要大于远射！我们针对三种情况做出模型的建立与分析，一：吊门入射，这种入射一定要把握起射角度，我们通过抛物线和重力加速度等一些量的分析，从而解得起射角的有效范围。
具体运用到实际还要做相应的调整；二：通过各种射门方式的比较，我们又对边线进球做了分析，通过几何和线性以及均值不等式相应的性质，求得何时边线进球为最佳；三：对于任意球射门，我们通过二维正态分布及概率密度函数做了深入分析。
除此之外，还与运动员的心理和身体素质有关，以及技巧的纯熟度等一系列因素有关！关键词：抛物线方程；重力加速度；几何图形分析；均值不等式；二维正态分布；概率密度函数1 问题的重述:(i) 吊门入射(ii) 边线进球(iii) 任意球射门2 模型假设:已知标准球场长为104米，宽为69米；球门高为2.44米，宽为7.32米；球门区（小禁区）宽18.32米，（距球门端线）长为5.5米；罚球区（大禁区）长40.32米，（距球门端线）长16.5米。
3 模型的建立及求解:1) 问题一模型的建立以及求解如左图设球门OA=2.5米，守门员处于距球门b米处，最大模高为3米。
球门距守门员a米。
吊门球进入球门后的落点（假设球网能穿破）在球门后P点，设OP=1米。
不妨设球速为30米/秒。
首先我们以地面上的一条直线为x轴，以球在空中最高点向地面作的垂线为y轴建立直角坐标系（如右下图），则可以设球在空中的抛物线为y=-x2+C,从图象可以看出，C为球距地面的最大距离。
§4 足球门的危险区域一、问题提出在足球比赛中，球员在对方球门前不同的位置起脚射门对对方球门的威胁是不一样的。
在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧射门；近距离的射门对球门的威胁要大于远射。
已知标准球场长为104米，宽为69米；球门高为2.44米，宽为7.32米。
实际上，球员之间的基本素质可能有一定差异，但对于职业球员来讲一般可以认为这种差别不大。
另外，根据统计资料显示，射门时球的速度一般在10米/秒左右。
下面要建模研究下列问题：（1）针对球员在不同位置射门对球门的威胁度进行分析，得出危险区域；（2）在有一名守门员防守的情况下，对球员射门的威胁度和危险区域作进一步研究。
二、问题分析根据这个问题，要确定球门的危险区域，也就是要确定球员射门最容易进球的区域。
球员无论从哪个地方射门，都有进与不进两种可能，这本身就是一个随机事件，无非是哪些地方进球的可能性最大，即是最危险的区域。
影响球员射门命中率的因素很多，其中最重要的两点是球员的基本素质（技术水平）和射门时的位置。
对每一个球员来说，基本素质在短时间内是不可能改变的，因此，我们主要是在确定条件下，对射门位置进行分析研究。
也就是说，我们主要是针对同素质的球员在球场上任意一点射门时，研究其对球门的威胁程度。
某一球员在球门前某处向球门内某目标点射门时，该球员的素质和球员到目标点的距离决定了球到达目标点的概率，即命中球门的概率。
事实上，当上述两个因素确定时，球飞向球门所在平面上的落点将呈现一个固定的概率分布。
稍作分析容易断定，该分布应该是二维正态分布，这是我们解决问题的关键所在。
球员从球场上某点射门时，首先必定在球门平面上确定一个目标点，射门后球依据该概率分布落入球门所在平面。
将球门视为所在平面上的一个区域，在区域内对该分布进行积分，即可得到这次射门命中的概率。
然而，球员在选择射门的目标点时是任意的，而命中球门的概率对目标点的选择有很强的依赖性。
这样，我们遍历球门区域内的所有点，对命中概率作积分，将其定义为球场上某点对球门的威胁程度，根据威胁度的大小来确定球门的危险区域。
三、模型假设1、在理想状态下，认为球员的基本素质是相同的，或差别不大；2、不考虑球员射门后空气、地面对球速的影响，设球速为10米/秒；3、球员射门只在前半场进行，为此假设前半场为有效射门区域；4、只考虑标准的球场：长为104米，宽为69米；球门高为2.44米，宽为7.32米。
四、符号说明Ω：半场上的一个球门所在平面，是地面以上的半平面； D ：球门内有点在球门平面π上所表示的区域，即Ω⊂D ；),(y x A ：球场上的点，),(y x 为其坐标； ),(z y B ：球门内的点，),(z y 为其坐标；),(z y p ：从球场上A 点对准球门内B 点射门对，命中球门的概率； ),(y x D ：球场上点),(y x 对球门的威胁度；k ：球员的基本素质，是一个相对指标； d ：球场上A 点到球门内B 点的直线距离；θ：直线AB 在地面上的投影线与球门平面π的夹角（锐角）。
五、模型建立与求解首先建立如图所示的空间直角坐标系，即以球门的底边中点为原点O ，地面为xOy 面， 球门所在的平面π为yOz 面。
x问题（1） 根据前面的分析，在此假设基本素质为k 的球员从),(00y x A 点向距离为d 的球门内目标点),(11z y B 射门时，球在目标平面π上的落点呈现二维正态分布，且随机变量z y ,是相互独立的。
其概率密度函数为Ω∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+--=),(,2)()(exp 21),(221212z y z z y y z y f σπσ（1）其中方差σ与球员素质k 成反比，与射门点),(00y x A 和目标点),(11z y B 之间的距离d 成正比，且偏角θ越大方差σ越小。
当2πθ=时（即正对球门中心），σ仅与k ，d 有关。
由此,我们可以确定σ的表达式为)1(cot +=θσkd其中01cot x y y -=θ，2120120)(z y y x d +-+=。
注意到，在（1）式的密度函数中，关于变量z y ,是对称的，但实际中球只能落在地面以上，即只有0≥z 。
为了平衡这个密度函数，我们令⎰⎰=DD dydz z y f z y y x p ),(),;,(1100 ⎰⎰ΩΩ=dydz z y f z y y x p ),(),;,(1100则取两者的比值即为这次射门命中球门的概率 ),;,(),;,(),;,(110011001100z y y x p z y y x p z y y x p D Ω=（2）对命中球门的概率（2）在球门区域D 内作积分，定义为球场上某点),(00y x A 对球门的威胁度，即 ⎰⎰=Ddz dy z y y x p y x D 11110000),;,(),(综合以上分析，对于球场上任意一点),(y x A 关于球门的威胁度为 ⎰⎰=Ddz dy z y y x p y x D 1111),;,(),(其中),;,(),;,(),;,(111111z y y x p z y y x p z y y x p D Ω=，21212)(z y y x d +-+=，xy y -=1cot θ。
要求解该问题一般是比较困难的，只能采用数值积分的方法求解。
首先确定反应球员基本素质的参数k ，具体方法如下：根据一般职业球员的情况，我们认为一个球员在球门的正前方（2πθ=）距离球门10米处（d =10）向球门内的目标点劲射，标准差应该在1米以内，即取1=σ，由)1(cot +=θσkd 可以得到10=k 。
于是，当球员的基本素质10=k 时，求解该模型可以得球场上任意点对球门的威胁度，部分特殊点的结果见下表。
根据各点的威胁度的值可以作出球场上等威胁度的曲线。
问题（2） 假设守门员站在射门点与两球门柱所夹角的角平分线上，即守门员站在球门在垂直射门线平面上的投影区域中心位置是最佳防守位置。
球员在球场上某点对球门内任一点D z y ∈),(起脚射门，经过时间t 到达球门平面，球到达该点时，守门员对球都有一个捕获的概率),,(0z y t p ，下面先分析一下这个函数),,(0z y t p 的形式。
首先注意到，当t 一定时，),,(0z y t p 应该是一个以守门员为中心向周围辐射衰减的二维函数，当t 变小时，曲面的峰度应增高，而面积减小，因此我们可以用二维正态分布的概率密度描述这种变化趋势。
参数t 表示从起脚射出的球到达球门的时间，也就是给守门员的反应时间，该时间越长，曲面越平滑，综上我们得到⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+--=ct z a y z y t p 220)25.1()(exp ),,(其中c 为守门员的反应系数，据专家预测，一般正常人的反应时间约为0.12~0.15秒。
根据著名的“纸条试验”可得到一般人反应时间约为10/2秒（即设想将一张纸条放在人的两手指之间，当纸条在重力作用下自由下落时，由25.0gt s =可以计算出人的反应时间）。
因此，在此不妨取c =1/7（实验值），守门员防守时偏离球门中心的距离为66.3)66.3()66.3()66.3(32.72020220220-+-+++++=xy xy x y a在问题（1）的基础上，对球员在球场上一点),(00y x A 射入球门的概率应修正如下：⎰⎰-=DD dydz z y t p z y f z y y x p )],,(1)[,(),;,(01100即),,(0z y t p 表示守门员捕获球的概率，),,(10z y t p -就表示捕不住球的概率。
于是类似地得到球场上任意一点),(y x A 对球门的威胁度为 ⎰⎰=Ddz dy z y y x p y x D 1111),;,(),(其中),;,(),;,(),;,(111111z y y x p z y y x p z y y x p D Ω=，),;,(11z y y x p Ω同问题（1），且)1(cot +=θσkd ，xy y -=1cot θ，21212)(z y y x d +-+=，0v d t =，0v 为常数。
这里同样可取进攻球员的基本素质10=k ，守门员的反应系数c =1/7，球速100=v 米/秒，类似于问题（1）的求解可得球场上任意点对球门的威胁度，这里给出了一些特殊点的值，见上表。
根据各点的威胁度的值同样可以作出球场上等威胁度的曲线。
六、结果分析与说明比较两个问题的结果可以看出，问题（2）有防守的情况比问题（1）无防守的情况有很大的差别，问题（2）主要是守门员的作用，使得危险区域明显地减小。
威胁度最大的区域是在球门附近，特别是正前方。
由此也说明了球场上的大、小禁区设置的合理性。
本模型中k 值是估算出来的，严格地讲，应该通过大量的实验按统计规律确定更好。
我们通过计算证明了，当k 增加（即球员的素质增强）时，对球门的威胁明显增加，危险区域变大。
关于守门员素质，在模型中没有考虑，是为了问题的简化。
关于有多名队员的进攻和防守情况和排兵布阵的相关问题就更复杂了。
这还是一个简化了的方法，实际中，从不同角度的位置射门，所看到的球门区域可能不是一个矩形区域，而是一个不规则的四边形，它的形状随着射门点的变化而变化，为了简化计算在矩形区域上作积分，这样与实际可能有些偏差。
另外该问题还有多种不同解法，比如可以借助于初等几何和代数的方法，在不同的射门点进行随机模拟，通过可能射入球门的概率来定义威胁度函数，也能得出相应的结果。
