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计量经济学(第四章多重共线性)

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《计量经济学》第四章精选题及答案

《计量经济学》第四章精选题及答案

第四章：多重共线性二、简答题1、导致多重共线性的原因有哪些？2、多重共线性为什么会使得模型的预测功能失效？3、如何利用辅回归模型来检验多重共线性？4、判断以下说法正确、错误，还是不确定？并简要陈述你的理由。

(1)尽管存在完全的多重共线性，OLS 估计量还是最优线性无偏估计量（BLUE ）。

(2)在高度多重共线性的情况下，要评价一个或者多个偏回归系数的个别显著性是不可能的。

(3)如果某一辅回归显示出较高的2i R 值，则必然会存在高度的多重共线性。

(4)变量之间的相关系数较高是存在多重共线性的充分必要条件。

(5)如果回归的目的仅仅是为了预测，则变量之间存在多重共线性是无害的。

12233i i i Y X X βββ=++来对以上数据进行拟合回归。

(1) 我们能得到这3个估计量吗？并说明理由。

(2) 如果不能，那么我们能否估计得到这些参数的线性组合？可以的话，写出必要的计算过程。

6、考虑以下模型：231234i i i i i Y X X X ββββμ=++++由于2X 和3X 是X 的函数，那么它们之间存在多重共线性。

这种说法对吗？为什么？ 7、在涉及时间序列数据的回归分析中，如果回归模型不仅含有解释变量的当前值，同时还含有它们的滞后值，我们把这类模型称为分布滞后模型（distributed-lag model ）。

我们考虑以下模型：12313233i t t t t t Y X X X X βββββμ---=+++++其中Y ——消费，X ——收入，t ——时间。

该模型表示当期的消费是其现期的收入及其滞后三期的收入的线性函数。

（1） 在这一类模型中是否会存在多重共线性？为什么？ （2） 如果存在多重共线性的话，应该如何解决这个问题？ 8、设想在模型12233i i i i Y X X βββμ=+++中，2X 和3X 之间的相关系数23r 为零。

如果我们做如下的回归：1221i i i Y X ααμ=++ 1332i i i Y X γγμ=++（1）会不会存在22ˆˆαβ=且33ˆˆγβ=？为什么？ （2）1ˆβ会等于1ˆα或1ˆγ或两者的某个线性组合吗？ （3）会不会有22ˆˆvar()var()βα=且33ˆˆvar()var()γβ=？ 9、通过一些简单的计量软件（比如EViews 、SPSS ），我们可以得到各变量之间的相关矩阵：2323232311 1k k k k r r r r R r r ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M M M L 。

4.1 多重共线性(计量经济学)

4.1 多重共线性(计量经济学)
第四章 经典单方程计量经济学模型：
放宽基本假定的模型
说明
• 经典多元线性模型在满足若干基本假定的条件下， 应用普通最小二乘法得到了无偏、有效且一致的 参数估计量。
• 在实际的计量经济学问题中，完全满足这些基本 假定的情况并不多见。不满足基本假定的情况， 称为基本假定违背。
• 对截面数据模型来说，违背基本假定的情形主要 包括：
•逐步回归法（Stepwise forward Regression）
– 以Y为被解释变量，逐个引入解释变量，构成回归 模型，进行模型估计。
– 根据拟合优度的变化决定新引入的变量是否独立。 • 如果拟合优度变化显著，则说明新引入的变量是 一个独立解释变量；
• 如果拟合优度变化很不显著，则说明新引入的变 量与其它变量之间存在共线性关系。
§4.1 多重共线性 Multicollinearity
一、多重共线性 二、实际经济问题中的多重共线性 三、多重共线性的后果 四、多重共线性的检验 五、克服多重共线性的方法 六、案例
一、多重共线性的概念
1、多重共线性
Yi 0 1Xi1 2 Xi2 k Xik i i 1, 2, , n
实际上：正态性假设的违背
• 李子奈（2011）：计量经济学模型方法论 – 当存在模型关系误差时，如果解释变量是随机的，随 机误差项的正态性将得不到保证。 – 当模型遗漏了显著的变量，如果遗漏的变量是非正态 的随机变量，随机误差项将不具有正态性。 – 如果待估计的模型是原模型经过函数变换得到的，随 机误差项将不再服从正态分布。 – 当模型存在被解释变量的观测误差，如果观测误差相 对于随机误差项的标准差特别大、样本长度又特别小， 随机误差项的正态性假设会导致显著性水平产生一定 程度的扭曲。 – 当模型存在解释变量观测误差时，一般情况下，随机 误差项的正态性假设都是不能成立的；只有在回归函 数是线性的，且观测误差分布是正态的特殊情形下， 随机误差项的正态性才成立。

计量经济学：多重共线性

计量经济学：多重共线性

计量经济学：多重共线性多重共线性52=.53085123 第四章专门讨论古典假定中⽆多重共线性假定被违反的情况，主要内容包括多重共线性的实质和产⽣的原因、多重共线性产⽣的后果、多重共线性的检测⽅法及⽆多重共线性假定违反后的处置⽅法。

第⼀节什么是多重共线性⼀、多重共线性的含义第三章讨论多元线性回归模型的估计时，强调了假定⽆多重共线性，即假定各解释变量之间不存在线性关系，或者说各解释变量的观测值之间线性⽆关。

在计量经济学中所谓的多重共线性(Multi-Collinearity)，不仅包括解释变量之间精确的线性关系，还包括解释变量之间近似的线性关系。

从数学意义上去说明多重共线性，就是对于解释变量k X 、、X X 32，如果存在不全为0的数k λλλ,2,1 ，能使得n ,2, ,1i 033221 ==++++ki k i i X X X λλλλ ( 4.1 )则称解释变量k X X X ,,,32 之间存在着完全的多重共线性。

⽤矩阵表⽰，解释变量的数据矩阵为X=213112232223111k k nnkn X X X X X X X X X ??（4.2）当Rank(X )在实际经济问题中，完全的多重共线性并不多见。

常见的情形是解释变量k X X X ,,,32 之间存在不完全的多重共线性。

所谓不完全的多重共线性，是指对于解释变量k X 、、X X 32，存在不全为0的数k λλλ,2,1 ，使得n ,2, ,1i 033221 ==+++++i ki k i i u X X X λλλλ（4.3）其中,i u 为随机变量。

这表明解释变量k X 、、X X 32只是⼀种近似的线性关系。

如果k 个解释变量之间不存在完全或不完全的线性关系，则称⽆多重共线性。

若⽤矩阵4表⽰，这时X 为满秩矩阵，即Rank(X )=k 。

需要强调，解释变量之间不存在线性关系，并⾮不存在⾮线性关系，当解释变量存在⾮线性关系时，并不违反⽆多重共线性假定。

计量经济学第四章多重共线性

计量经济学第四章多重共线性

R-squared
0.989654
Adjusted R-squared 0.986955 S.E. of regression 1437.448 Sum squared resid 47523916 Log likelihood -256.7013 Durbin-Watson stat 1.654140
4
（二）不完全的多重共线性
实际中，常见的情形是解释变量之间存在不 完全的多重共线性。
对于解释变量 X 2 , X 3, X k，存在不全为0的数
1
,

2
,
，使得
k
1 2X2 3X3 ...k Xk u 0
5
（三）解释变量的关系小节
可能表现为三种情形： r为相关系数 (1) rxixj 0 ，解释变量间毫无线性关系。这时多元
Var(ˆ2 )
9
二、不完全多重共线性产生的后果
1、参数估计值的方差增大
Var( βˆ 2 ) = σ 2
1 x22i (1-
r223 )
=
σ2
1
x22i (1 - r223 )
当 r23增大时,
^
Var( 2)
也增大
10
方差膨胀因子 (Variance Inflation Factor)
17 17
2、交叉相关系数（Cross correlation）
相关系数计算的是两组样本的同期相关程 度，交叉相关则可以表示不同期之间的相关 程度。
Eviews操作： Group窗口的view/cross correlation/输入 滞后期设定/ 输出结果阅读：看是否超出2倍标准差线
18
2倍 标准 差线
1、参数估计值有很大的偶然性。 2、参数显著性检验未通过。 3、经济意义检验未通过。 4、相关系数大。

计量经济学实验报告四---多重共线性

计量经济学实验报告四---多重共线性

计量经济学实验报告四
[实验名称] 多重共线性
[实验目的] 用Eviews 软件检验模型的多重共线性.
[实验内容] (1)根据表列出的家庭消费支出Y与可支配收入X1和个人财富X2的统计数据,在Eviews软件下,OLS的估计结果为
所以模型为Yˆ=245.52+0.57X1-0.0058X2
（3.53）（0.79）（-0.08）
R2=0.962 F=88.845 D.W.=2.708
由拟合优度知,收入和财富一起解释了消费支出的96%.然而两者的t检验都在5%的显著性水平下是不显著的.不仅如此,财富变量的符号也与经济理论不相符合.但从F的检验值看,对收入与财富的参数同时为零的假设显然是拒绝的.因此,显著的F检验值与不显著t检验值,说明了收入与财富存在较高的相关性,使得无法分辨二者各自对消费的影响.只作消费支出关于收入的一元回归模型.如下
所以模型为Yˆ=244.55+0.509X1
(3.813)(14.24)
R2=0.962 F=202.87 D.W.=2.68
我们将上面模型与之相比,新引入的变量并没有带来拟合优度的显著变化,所以该引入的变量不是一个独立的解释变量.因此应该只作消费支出关于收入或财富的一元回归模型来对二元模型进行修正.。

第四章多重共线性

第四章多重共线性

2
x2j VIFj
注意：R2j 是多个解释变量辅助回归的多重可决系数，
而相关系数 r223只是说明两个变量的线性关系 。
（一元回归中可决系数的数值等于相关系数的平方）
17
方差扩大因子的作用
由
R2j 越大
VIFJ 1 (1 R2j ) 多重共线性越严重
VIFj越大
VIFj的大小可以反映解释变量之间存在多重共线性的严重
1 x22i (1
r223 )
2
x22i
1 (1 r223)
2
x22i
VIF2
当 r23 增大时，VIF2 增大， Var(ˆ2 ) 也会增大 ，
思考: 当 r23 0 时 Var(ˆ2) 2
x22i
(与一元回归比较)
当 r23 1 时 Var(ˆ2 )
（见前页结论） 8
三、当多重共线性严重时，甚至可能使估计
在总体中部分或全部解释变量可能没有线性关系，但是 在具体获得的样本中仍可能有共线性关系，因此多重共线 性问题本质上是一种样本现象。
正因为如此，我们无法对多重共线性问题进行统计假设 检验，只能设法评价解释变量之间多重共线性的严重程度。
5
第二节 多重共线性产生的后果
从参数估计看，在完全无多重共线性时，各解释变量都独
Kt
Kt
ln Qt ln A ln Lt ln Kt ln u
（ln Lt 与 ln Kt 有多重共线性） ln Qt ln A ln Lt ln u
Kt
Kt 22
三、截面数据与时间序列数据的结合
有时在时间序列数据中多重共线性严重的变量，在截 面数据中不一定有严重的共线性
假定前提：截面数据估计出的参数在时间序列中变化不大

计量经济学-庞皓-第二版-思考题-答案

第一章 绪论 思考题1.1答：计量经济学的产生源于对经济问题的定量研究，这是社会经济发展到一定阶段的客观需要。

计量经济学的发展是与现代科学技术成就结合在一起的，它反映了社会化大生产对各种经济因素和经济活动进行数量分析的客观要求。

经济学从定性研究向定量分析的发展，是经济学逐步向更加精密、更加科学发展的表现。

1.2答：理论计量经济学是以计量经济学理论与方法技术为研究内容，目的在于为应用计量经济学提供方法论。

所谓计量经济学理论与方法技术的研究，实质上是指研究如何运用、改造和发展数理统计方法，使之成为适合测定随机经济关系的特殊方法。

应用计量经济学是在一定的经济理论的指导下，以反映经济事实的统计数据为依据，用计量经济方法技术研究计量经济模型的实用化或探索实证经济规律、分析经济现象和预测经济行为以及对经济政策作定量评价。

1.3答：1、计量经济学与经济学的关系。

联系：计量经济学研究的主体—经济现象和经济关系的数量规律；计量经济学必须以经济学提供的理论原则和经济运行规律为依据；经济计量分析的结果：对经济理论确定的原则加以验证、充实、完善。

区别：经济理论重在定性分析,并不对经济关系提供数量上的具体度量；计量经济学对经济关系要作出定量的估计，对经济理论提出经验的内容。

2、计量经济学与经济统计学的关系。

联系：经济统计侧重于对社会经济现象的描述性计量；经济统计提供的数据是计量经济学据以估计参数、验证经济理论的基本依据；经济现象不能作实验，只能被动地观测客观经济现象变动的既成事实，只能依赖于经济统计数据。

区别：经济统计学主要用统计指标和统计分析方法对经济现象进行描述和计量；计量经济学主要利用数理统计方法对经济变量间的关系进行计量。

1.4答：解释变量是变动的原因，被解释变量是变动的结果。

被解释变量是模型要分析研究的对象。

解释变量是说明被解释变量变动主要原因的变量。

1.5一个完整的计量经济模型应包括哪些基本要素？你能举一个例子吗？答：一个完整的计量经济模型应包括三个基本要素：经济变量、参数和随机误差项。

庞皓《计量经济学》(第4版)章节题库-第4章 多重共线性【圣才出品】

第4章　多重共线性一、选择题1．下列哪项回归分析中很可能出现多重共线性问题？（ ）A．“资本投入”“劳动投入”两个变量同时作为生产函数的解释变量B．“消费”作为被解释变量，“收入”作解释变量的消费函数C．“本期收入”和“前期收入”同时作为“消费”的解释变量的消费函数D．“每亩施肥量”“每亩施肥量的平方”同时作为“小麦亩产”的解释变量的模型【答案】C【解析】产生多重共线性的主要原因有：①经济变量相关的共同趋势；②模型设定不谨慎；③样本资料的限制。

C项中“本期收入”和“前期收入”两个解释变量之间很可能存在线性相关性，导致模型中很可能会出现多重共线性问题。

2．在线性回归模型Y i＝β0＋β1X i1＋β2X i2＋β3X i3＋u i中，如果X3i＝2X1i＋3X2i，则表明模型中存在（ ）。

A．异方差B．多重共线性C．序列相关D．设定误差【答案】B【解析】当存在不全为0的c i使c i X i1＋c2X i2＋…＋c k X ik＝0（i＝1，2，…，n），即某一个解释变量可以用其他解释变量的线性组合表示，则称为解释变量间存在完全共线性，模型的回归系数估计值不存在。

本题中，存在c i 不等于0，使得X 3i －2X 1i －3X 2i ＝0，因此模型存在完全多重共线性。

3．对于模型Y i ＝β0＋β1X 1i ＋β2X 2i ＋μi ，与r 12＝0相比，当r 12＝0.5时，估计量Error!1的方差Var （1）将是原来的（ ）倍。

A ．1.00B ．1.33C ．1.45D ．2.00【答案】B【解析】在二元线性回归模型中，()221211ˆ1i Var r X σβ=⋅-∑多重共线性使参数估计量的方差增大，方差膨胀因子为VIF （1）＝1/（1－r 2），所以当r 12＝0.5时，方差将是原来的1/（1－r 122）＝1/（1－0.52）＝1.33倍。

4．下列各项中，不属于解决多重共线性的方法的是（ ）。

计量经济学(第四章多重共线性)


06
总结与展望
研究结论总结
多重共线性现象普遍存在于经济数据中，对计量 经济学模型的估计和解释产生了重要影响。
通过使用多种诊断方法，如相关系数矩阵、方差膨 胀因子（VIF）和条件指数（CI），可以有效地识别 多重共线性问题。
在存在多重共线性的情况下，普通最小二乘法 （OLS）估计量虽然仍然是无偏的，但其方差可能 变得很大，导致估计结果不稳定。
主成分分析法的优点
可以消除多重共线性的影响，同 时降低自变量的维度，简化模型。
岭回归法
岭回归法的基本思想
通过在损失函数中加入L2正则化项（即所有自变量的平方和），使得回归系数的估计更加稳定， 从而消除多重共线性的影响。
岭回归法的步骤
首先确定正则化参数λ的值，然后求解包含L2正则化项的损失函数最小化问题，得到岭回归系数的估 计值。
逐步回归法的优点
可以自动选择重要的自变量，同时消除多重共线性的影响。
主成分分析法
主成分分析法的基本思想
通过正交变换将原始自变量转换 为互不相关的主成分，然后选择 少数几个主成分进行回归分析。
主成分分析法的步骤
首先对原始自变量进行标准化处理， 然后计算相关系数矩阵并进行特征值 分解，得到主成分及其对应的特征向 量。最后，选择少数几个主成分作为 新的自变量进行回归分析。
岭回归法的优点
可以有效地处理多重共线性问题，同时避免过拟合现象的发生。此外，岭回归法还可以提供对所 有自变量的系数进行压缩估计的功能，使得模型更加简洁易懂。
05
实证研究与结果分
析
数据来源及预处理
数据来源
本研究采用的数据集来自于公开的统 计数据库，涵盖了多个经济指标和影 响因素的观测值。
数据预处理

计量经济学第四章 多重共线性


x2i


3 2
x3i

x3i
参数的估计值为：
ˆ2
x32i x2i yi x2i x3i x3i yi
(
x22i )(
x32i ) (
x2i
x 3i
)2
x32i
2
x3i yi x32i 2 2
x32i x32i
x2i x3i x22i
x2i x3i
ˆ1 Y ˆ2 X 2 ˆ3 X 3
ˆ2
x32i x2i yi x2i x3i x3i yi ( x22i )( x32i ) ( x2i x3i )2
ˆ3
x22i x3i yi x2i x3i x2i yi •
(
x22i )(
x32i ) (
x2i
x 3i
)
2
x2i yi x3i yi
x2i x3i x32i
4.2多重共线性的后果
如果X1和X2完全线性相关，则存在非0的λ使得：
1 2 X 2i 3 X 3i 0
则有：
1 2 X 2 3 X 3 0
2 X 2i X 2 3 X3i X3 0
X 2i X3i X 2iYi
X
2 3i

X
3iYi


VAR
COV
(βˆ )


2
(XX)1


2

N X 2i


X 3i
X2i
X
2 2i
X 2i X 3i
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不满足基本假定的情形（2）
3、解释变量之间相关=>多重共线 4、随机扰动项相关=>序列自相关
时间序列数据经常出现序列相关
5、随机扰动项方差不等于常数=>异方差
截面数据时，经常出现异方差
解决问题的思路
1、定义违反各个基本假定的基本概念 2、违反基本假定的原因、背景 3、诊断基本假定的违反 4、违反基本假定的补救措施（修正）
基本假定是: 矩阵X的各列向量之间是 线性无关的,即有：
r( X ) k (k n), 即 | X'X | 0 如果这一假定不满足，则称模型存在 多重共线性。
多重共线性分类
多重共线性表现为两种情况： （1）完全多重共线性：
r( X ) k,也就是| X'X |＝0（, X'X）－1不存在 （2）不完全多重共线性：（实际中多为此情况） | X'X | 0，（X'X）－1对角线元素较大
的符号与其经济意义相反。得出完全错 误的结论。
4.3 多重共线性的检验
（1）简单相关系数矩阵法（辅助手段）
此法简单易行；但要注意两变量的简单相关系数包 含了其他变量的影响，并非它们真实的线性相关程 度的反映；一般在0.8以上可初步判定它俩之间有线 性相关。
（2）变量显著性与方程显著性综合判断；
（修正）可决系数大，F值显著大于临界值，而t值 不显著；那么可认为存在多重共线性。
基本思想： 用逐步回归法发现产生共线性的解释变 量，将其剔除，从而减少共线性的影响。
这既是判断是否存在多重共线性的方法， 也是解决多重共线性的方法。
具体方法：见流程图（word文档：多重 共线性—逐步回归法流程图）
令Yt＝Yt Yt－1，
X 2,t＝X 2,t X ， 2，t－1
X 3,t＝X 3,t X ， 3，t－1 ut＝ut ut1
则上差分式子变成：Yt＝ 2X 2,t＋3X 3,t＋ut
差分
后，X
2和X
的
3
共线性将明显减弱
。但
是这
可能会出现ut序列自相关问题。所以一般慎用。
多重共线性的修正 （六）逐步回归法
多重共线性的修正 （五）变换模型形式（差分法）
假设X
2 和X
存在高度线性相关。
3
设原模型为:
Yt 1 2 X 2，t 3 X 3，t ut
将其滞后一期：Yt－1 1 X 2 2，t－1 X 3 3，t－1 ut1
将上两式相减，得：
Yt Yt－1 2 ( X 2,t X 2，t－1) 3 ( X 3,t X 3，t－1 ) ut ut1
( X ' X )1不存在，从( X ' X )1 ＝X 'Y
中没法解出唯一的 来。
（2）参数估计值的方差无限大；
COV (ˆ) 2 ( X ' X )1
不完全多重共线性下的后果
（1）参数估计仍是无偏估计，但不稳定； （2）参数估计式的方差随着共线性程度的
增大而增大。 （3）t检验失效，区间估计失去意义； （4）严重多重共线性时，甚至参数估计式
产生多重共线性的背景
（1）时间序列数据中经济变量在时间上常有共 同的变动趋势；
（2）经济变量之间本身具有内在联系（常在截 面数据中出现）；
（3）由于某种决定性因素的影响可能使各个变 量向着同方向变化；
（4）滞后变量引入模型，同一变量的逐次值一 般都存在相互关系；
4.2 多重共线性的后果
完全多重共线性下的后果 （1）参数估计值不确定；
4.1 多重共线性的实例、定义、 产生背景
实例 例一 消费与收入、家庭财富 例二 汽车保养费与汽车行驶里程、拥 有汽车时间
本章主要介绍
4.1 多重共线性的实例、定义、产生背景； 4.2 多重共线性产生的后果； 4.3 多重共线性的检验；性回归模型Y X中，对X的
剔除方差扩大因子最大（大于10）的变 量，重新做回归。若还有多重共线性， 继续剔除，直到没有严重共线性为止。
最好不要剔除理论分析中重要的变量。
多重共线性的修正 （三）利用先验信息改变约束形式
先验信息：在此之前的研究成果所提供 的信息。
利用某些先验信息，可以把有共线性的 变量组合成新的变量，从而消除共线性。
（3）辅助回归：
将每个解释变量对其余变量回归，若某个回归方程 显著成立，则该解释变量和其余变量有多重共线性。
多重共线性的检验
（4）方差扩大（膨胀）因子法
)
Var( j )
2 1
x2j 1 R2j
2
x2j VIFj
R2j 为线性相关系数的平方
（5）直观判断法
增加或者减少一个解释变量，或者改变一个观测 值时，回归参数发生较大变化。
多重共线性的修正 （四）截面数据和时序数据结合
有时在时间序列数据中多重共线性严重 的变量，在截面数据中不一定有严重的 共线性。
在假定截面数据估计出的参数在时间序 列数据中变化不大的前提下，可先用截 面数据估计出一些变量的参数，再代入 原模型估计另一些变量的参数。
例：销量与商品价格、消费者收入。P84
重要解释变量没有通过t检验。
有些解释变量的回归系数符号与定性分析的相反。
多重共线性的修正（一） 增加 样本容量
增加后，样本向量有可能不再线性相关。 这也可以降低观察误差，减小估计量的
方差，有助于提高估计精度。 但是，增加样本是比较困难的，也不能根
本解决它。
多重共线性的修正 （二） 直接剔除变量
第四章 放松基本假定的模型 ——多重共线性
问题的提出
在前述基本假定下OLS估计具有BLUE的优良性。 然而实际问题中，这些基本假定往往不能满足，
使OLS方法失效不再具有BLUE特性。 估计参数时，必须检验基本假定是否满足，并
针对基本假定不满足的情况，采取相应的补救 措施或者新的方法。 检验基本假定是否满足的检验称为计量经济学 检验