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复变函数总结完整版第一章 复数12i =-11-=i 欧拉公式z=x+iy实部Re z 虚部Im z2运算①2121Re Re z z z z =⇔≡21Im Im z z =②()()()()()2121212121Im Im Re Re Im Re z z z z z z z z z z++±=±+±=±③()()()()1221212121122121221121y x y x i y y x x y y y ix yix x x iy x iy x z z ++-=-++=++=⋅④()()()()222221212222212122222211222121y x y x x y iy x y y x x iy x iy x iy x iy x z z z z zz+-+++=-+-+==⑤iy x z -= 共轭复数()()22y x iy x iy x z z +=-+=⋅ 共轭技巧运算律 P1页3代数，几何表示iyx z += z 与平面点()y x ,一一对应，与向量一一对应辐角 当z ≠0时，向量z 和x 轴正向之间的夹角θ，记作θ=Arg z=πθk 20+ k=±1±2±3…把位于-π＜0θ≤π的0θ叫做Arg z 辐角主值 记作0θ=0arg z4如何寻找arg z例：z=1-i4π-z=i 2π z=1+i 4π z=-1 π5极坐标： θcos r x =， θsin r y =()θθsin cos i r iy x z +=+=利用欧拉公式 θθθsin cos i e i += 可得到θi re z =()21212121212121θθθθθθ+=⋅=⋅=⋅i i i i i e r r e e r r e r e r z z6 高次幂及n 次方()θθθn i n r e r z z z z z n in n n sin cos +==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=凡是满足方程zn=ω的ω值称为z 的n 次方根，记作 nz=ω ()nk i re z ωπθ==+2即nr ω=nr1=ωϕπθn k =+2nk πθϕ2+=第二章解析函数1极限 2函数极限① 复变函数对于任一D Z ∈都有E ∈W 与其对应()z f =ω 注：与实际情况相比，定义域，值域变化 例 ()z z f = ②()A =→z f z z 0limz z → 称()z f 当0z z →时以A 为极限 ☆当()0z f =A 时，连续例1 证明()z z f =在每一点都连续 证：()()00→-=-=-z z z z z f z f 0z z →所以()z z f =在每一点都连续3导数()()()()000limz z z z z z df z z z f z f z f =→=--='例2()Cz f = 时有 ()0'=C证：对z ∀有()()0lim lim 0=∆-=∆-∆+→∆→∆zCC z z f z z f z z 所以()0'=C例3证明()z z f =不可导 解：令0z z -=ω()()iyx iyx z z z z z z z z z z z f z f +-==--=--=--ωω000000当0→ω时，不存在，所以不可导。
复变函数表达式复变函数是数学分析中的重要概念，是指由复数集合到复数集合的映射。
它具有形式为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的表达式，其中z=x+iy是复数变量，u(x,y)和v(x,y)是实数函数。
复变函数的研究是复分析的核心内容之一，它在物理学、工程学以及计算机科学等领域中都有广泛的应用。
复变函数的研究主要涉及到函数的解析性、积分、级数、留数等概念。
解析函数是指在其定义域内处处可导的复变函数。
对于解析函数，我们可以利用柯西-黎曼方程推导出它的柯西-黎曼条件，即u 和v满足一阶偏导数关系式。
这一条件是解析函数的充要条件，也是复变函数理论中的重要定理之一。
复变函数的积分也是其研究的重要内容。
在复平面上，我们可以定义沿一条曲线的积分，称为复积分。
复积分具有路径无关性，这是由于复变函数解析的性质所决定的。
通过计算复积分，我们可以得到很多重要的结果，比如柯西积分定理和留数定理等。
复级数也是复变函数理论中的重要概念之一。
对于复数列{an}，我们可以将其求和得到复级数。
复级数的收敛性与实数级数类似，但是复级数的性质更加丰富。
通过研究复级数的收敛性和性质，我们可以得到一些重要的结论，如柯西收敛准则和绝对收敛性等。
留数是复变函数理论中的重要概念之一。
对于解析函数f(z)，在其奇点z0处可以定义留数Res(f,z0)。
留数的计算可以通过留数定理来进行，这个定理是复分析中的核心定理之一。
留数定理为计算复积分提供了重要的工具，也为计算一些特殊函数的积分提供了便利。
复变函数理论在物理学中有广泛的应用。
量子力学中的波函数、电磁学中的电势函数等都可以使用复变函数来描述。
复变函数的解析性和路径无关性使得它在物理学中具有重要的意义。
复变函数理论还在工程学和计算机科学中有广泛的应用。
在信号处理中，复变函数可以用来分析信号的频谱特性；在图像处理中，复变函数可以用来进行图像的滤波和增强等。
复变函数的理论为这些应用提供了基础和工具。
