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第二章流体静力学--第七节

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第二章流体静力学

第二章流体静力学
如果叠加的点涡是逆时针方向的，则驻点位置与上面讨论 的情况正好相差 1800 ，即：
1、当 4r0
象限内。在保持
v时 ，驻点A、B左右对称，并落在第一、二
不v变 的情况下，随环量的增加，A、B驻点
向上偏移并逐渐靠近。
2、当 4 r0v 时，两个驻点合为一点，位于圆柱面的最
上端。
3、当 4 r0v 时，圆柱面上已不存在驻点。这表明驻点
v0r 0 cos
90
d 0
式中 为圆的半径r与水
平方向的夹角。
同样可以证明，均匀流中
沿任何其他封闭曲线的速
度环量也等于零。
25
二、汤姆逊（Thomson）定理 流体线：在运动流体中，始终由同样的流体质点所组成 的线叫做流体线。流体线随着流体质点的运动，可在流 动空间位移，变化其大小和形状，但始终由原来的那些 流体质点所组成。
一般情况下，涡线与流线不重 合，而与流线相交。与流线方程类 似，可以得到涡线的微分方程为：
x
dx
x, y
,
z
,
t
y
dy
x, y
,
z
,
t
z
dz
x, y
,
z
,
t
式中，t为参变量。
涡线具有瞬时的特性，不同瞬时，
它有不同的形状，在定常流动中，它的 形状保持不变。
15
2 、涡管、涡束 给定瞬时，在涡量场中任取一封闭曲线（不是涡线），
在速度环量总和的计算中，内周线各微元线段的切向速度线 积分均要计算两次，而两次所取的方向相反，所以这些线段 上的切向速度线积分互相抵消，剩下的只有沿外封闭周线K 各微元线段的切向速度线积分的总和，它正好是沿外封闭周 线的速度环量，故各微元矩形的涡通量的总和就是通过封闭 周线K所包围的单连通区域的涡通量。

流体力学讲义 第二章 流体静力学资料

流体力学讲义 第二章 流体静力学资料

第二章流体静力学作用在流体上的力有面积力与质量力。

静止流体中，面积力只有压应力——压强。

流体静力学主要研究流体在静止状态下的力学规律：它以压强为中心，主要阐述流体静压强的特性，静压强的分布规律，欧拉平衡微分方程，等压面概念，作用在平面上或曲面上静水总压力的计算方法，以及应用流体静力学原理来解决潜体与浮体的稳定性问题等。

第一节作用于流体上的力一、分类1.按物理性质的不同分类：重力、摩擦力、惯性力、弹性力、表面张力等。

2.按作用方式分：质量力和面积力。

二、质量力1.质量力(mass force):是指作用于隔离体内每一流体质点上的力，它的大小与质量成正比。

对于均质流体（各点密度相同的流体），质量力与流体体积成正比，其质量力又称为体积力。

单位牛顿（N）。

2.单位质量力：单位质量流体所受到的质量力。

(2-1) 单位质量力的单位：m/s2 ，与加速度单位一致。

最常见的质量力有：重力、惯性力。

问题1：比较重力场（质量力只有重力）中，水和水银所受的单位质量力f水和f水银的大小？A. f水<f水银；B. f水=f水银；C. f水>f水银；D、不一定。

问题2：试问自由落体和加速度a向x方向运动状态下的液体所受的单位质量力大小（fX. fY. fZ）分别为多少？自由落体：X＝Y=0,Z=0。

加速运动：X=-a,Y=0,Z=-g。

三、面积力1.面积力（surface force）：又称表面力，是毗邻流体或其它物体作用在隔离体表面上的直接施加的接触力。

它的大小与作用面面积成正比。

表面力按作用方向可分为：压力：垂直于作用面。

切力：平行于作用面。

2.应力：单位面积上的表面力，单位：或图2-1压强(2-2)切应力(2-3) 考考你1.静止的流体受到哪几种力的作用？重力与压应力，无法承受剪切力。

2.理想流体受到哪几种力的作用？重力与压应力，因为无粘性，故无剪切力。

第二节流体静压强特性一、静止流体中任一点应力的特性1.静止流体表面应力只能是压应力或压强，且静水压强方向与作用面的内法线方向重合。

流体静力学

流体静力学

各坐标轴方向上的质量力：Fx、Fy、Fz
F f m
Fx fx m
fy
Fy m
Fz fz m
2
二 表面力
表面力：作用在所研究流体的表面上，并与流体的 表面积成正比的力。单位：N 可作用在外表面，和 内部任一表面。 分类（按方向分解）：与表面垂直的法向力P和与表 面相切的切向力T。 应力：单位面积上的表面力。单位：Pa 法向应力/ 正应力/压力
工程流体力学
第二章 流体静力学
1
第一节 作用在流体上的力
一 质量力
质量力：作用在流体每个质点上，其大小与流体质 量成正比的力。 符号：F 单位：N 单位质量的质量力（简称单位质量力）：作用在单 位质量流体上的力。符号：f 单位：N/kg或m/s2 举例：重力，带电流体受到的静电力。 设流体的质量：m 则： 质量力：F
二 等压面
1 定义：静止流体中压力相等的各点所组成的面称为等 压面。如：液体与气体交界的自由表面。
p( x, y, z) C
不同等压面上C不同，过任一点只有一个等压面通过。 由 dp 0 得等压面微分方程
dp ( f xdx +f ydy f zdz ) 0 f xdx +f ydy f zdz 0
p1 p2 z1 z2 g g
p0 C z0 g
21
二 方程的意义
测压管：是一端和大气相通，另一端和液体中某一 点相接的管子。
1 力学意义 静力学基本方程的变化形式：
p gz C
p —— 流体的静压力，Pa。 ρgz —— 单位底面积、高度为z的流体具有的重力， 简称位压，Pa。
10
第三节 流体的平衡微分方程

流体力学 第二章 流体静力学

流体力学 第二章 流体静力学

第二章 流体静力学1º 研究任务：流体在静止状态下的平衡规律及其应用。

根据平衡条件研究静止状态下压力的分布规律，进而确定静止流体作用在各种表面的总压力大小、方向、作用点。

2º 静止：是一个相对的概念，流体质点对建立的坐标系没有相对运动。

① 绝对静止：流体整体相对于地球没有相对运动。

② 相对静止：流体整体（如装在容器中）对地球有相对运动，但液体各部分之间没有相对运动。

共同点：不体现粘性，无切应力3º 适用范围：理想流体、实际流体4º 主要内容：流体平衡微分方程式静力学基本方程式（重点）等压面方程（测压计）作用于平面和曲面上的力（难点）重力压力重力压力重力直线惯性力压力重力离心惯性力压力质量力质量力第一节 流体静压强及其特性一、 基本概念1、 流体静压强：静止流体作用在单位面积上的力。

p设微小面积A ∆上的总压力为P ∆，则 平均静压强：A P p ∆∆= 点静压强：A P p A ∆∆=→∆lim 0即流体单位面积上所受的垂直于该表面上的力。

单位：N/m 2 (Pa)2、总压力：作用于某一面上的总的静压力。

P单位：N (牛)3、流体静压强单位：国际单位：N/m 2＝Pa物理单位：dyn/cm 21N=105dyn ，1Pa=10 dyn/cm 2工程单位：kgf/m 2混合单位：1kgf/cm 2 = 1at (工程大气压) ≠ 1atm (标准大气压)1 at=1 kgf/cm2 =9.8×104Pa=10m 水柱1atm ＝1.013×105Pa ＝10.3 m 水柱二、 流体静压强特性1、 静压强作用方向永远沿着作用面内法线方向——方向特性。

（垂直并指向作用面）证明： 反证法证明之。

有一静止流体微团，用任意平面将其切割为两部分，取阴影部分为隔离体。

设切割面上任一点m 处静压强方向不是内法线方向，则它可分解为n p 和切应力τ。

而静止流体既不能承受切应力，也不能承受拉应力，如果有拉应力或切应力存在，将破坏平衡，这与静止的前提不符。

第2章—流体静力学

第2章—流体静力学
3
第一节—流体静压强及其特性
一. 流体静压强的定义
△P
在流体内部或流体与固体壁面间所存在的单 位面积上的法向作用力称为流体的压力。当流体 处于静止或相对静止状态时，流体的压力就称为 流体的静压力。
（1）流体内部
作用在单位面积上的力
p lim
（2）流体与固壁间
A 0
P d P A d A
空气 h A H ρ （a） B h' 0 ρ ρA A hA hp 1 （b） 2 ρ p
27
第四节 液柱测压计
p A g (h h H ) pB gh p A p B g ( h H )
三.微压计
p
测定微小压强，一般用于测定气体，倾斜放置
A2 L h
p pa g (h L sin )
B点绝对压强
O O
工程大气压单位
(绝对压强基准)
23
1个工程大气压（at）= 98×103 Pa 1kgf/cm2 10mH 2O 736mmHg
24
讲义
6
【例2-3】p24
第四节 液柱测压计
一.测压管
一根玻璃直管或U形管，一端连接在需要测定的 器壁孔口上，另一端开口，直接和大气相通。 （a） p2 pa 2 gh2
一、解析法求解
1. 总压力的大小
pa hC h dP A α 0 y dA C x yC
dP pdA ghdA gy sin dA
P gy sin dA g sin ydA
A A

A
ydA
平面AB对 x轴的静面 矩，其 大小为 yCA
P g sin yC A ghC A pC A

流体力学-流体静力学PPT课件-

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三.流体静压强分布图
1.绘制液体静压强分布图的知识点
流体静力学基本方程； 平衡流体中的应力特征（大小性、方向性）。
2.液体静压强分布图的绘制方法
（1）根据水静力学基本方程，计算出受压面上各点压强的大小，用一定 长度比例的箭头线表示各点的压强，箭头线必须垂直并指向作用面；
（2）对于不可压缩液体，重度γ为常量，p与h呈线性关系，当受压面为平 面时，只需用直线连接箭头线的尾部，即可得到压强分布图；而当受压面 为曲面时，由于曲面上各点的法向不同，因此需用曲线连接箭头线的尾部。
z1
p1
z2
p2
(2-11) （2-12）
或
p2 p1 (z1 z2 )
对于液体，如图所示，若液面压强为p0，则由式（2-12） 可知液体内任一点的静压强为
p p0 (z0 z) p0 h
(2-13)
式（2-13）为不可压缩静止液体的压强计算公式，通常亦称 为水静力学基本方程。该式表明：
故得欧拉平衡微分方程综合式（即全微分形式）
dp ( f xdx f ydy f z dz)
上式称为流体平衡微分方程的综合式。
而 dW f xdx f y dy f z dz
又 故有
dW W dx W dy W dz
x
y
z
W
fx
x
fy
W y
W f z z
（2-5） （2-6）
•方向性: 流体静压强p垂直指向受压面
证明：采用反证法, 其要点如下: 1 因平衡流体不能承受切应力，即 τ=0，故p垂直受压面；
2 因流体几乎不能承受拉应力，故 p指向受压面。
•大小性：平衡流体中任一点的静压强大小与其作用面的方位无关

第二章 流体静力学

工程实际：堤坝、闸门、桥墩 研究目标：合力的大小、方向、作用点 计算方法：解析法和图解法
h
h
一、解析法
如图所示，静止液体中有一倾斜放置的平面MN，试求作用 在该平面上的总压力。
1）粗线MN代表其侧视图，正面投影为绕其对称轴转90 度 2）平面MN的延伸面与自由液面的交角为；
3）坐标系：ox轴为平面MN的延伸面与自由液面的交线；
二、欧拉平衡微分方程的全微分形式
p X
x ×dx
p Y
y
×dy
p Z
z
×dz
p dx p dy p dz ( Xdx Ydy Zdz)
x y z
p p(x, y, z) dp p dx p dy p dz x y z
通常作用在流体上的单位 质量力是已知的，利用上 式便可求得流体静压强的 分布规律。
yD
sin Iox
P
sin Iox hc A
sin Iox yc sin A
I ox yc A
引入平行移轴公式 Iox Ic Ayc2
yD
I ox yc A
Ic yc2 A yc A
yc
Ic yc A
由此可知，压力中心D必位于受压面形心c之下。
说明：
工程中常见的受压平面多具有轴对称性（对称轴与
当流体存在真空时，工程习惯上用真空度（负压）表示。
真空
pv pabs pa
道 路
三者关系
当p>pa 时，绝对压强=表压强+当地大气压 当p<pa 时，绝对压强=当地大气压-真空度
p 表压强
p>pa 真空度
当地大气压 pa
绝对压强
p<pa
绝对真空 p=0

流体静力学


p
z
p
C

p
—压强水头(the pressure head)

z—测压管水头(piezometric head)
测压管(the piezometer tube) 是一端 和大气相通，另一端和液体中某一 点相接的管子。 p z C

表示同一容器的静止液体中，所有 各点的测压管水头均相等。 This shows that for incompressible fluid at rest the summation of the elevation z at any point in a fluid plus the pressure head at that point is equal to the sum of these two quantities at any other point. The significance of this statement is that, in a fluid at rest with an increase in elevation, there is a decrease in pressure head and vice versa.
第二章 流体静力学
(Chapter 2 Fluid Statics) • 流体静力学研究流体处于静止或相对静止状态下的平 衡规律及其应用。 • 静止的含义：流体的静止状态是一个相对的概念，指 流体质点之间不存在相对运动，或流体质点相对于参 考系没有相对运动，处于相对平衡状态。 • 静止流体的应力特征：当流体处于相对静止，质点之 间无相对运动的条件下，粘性将无从表现，流体内部 不存在切应力，而只存在正应力（亦即法向应力）。 事实上，由于流体不能承受拉应力，故流体质点间或 流体接触面之间的作用是通过压应力的形式来体现的。 因此，根据力学平衡条件研究静压强的空间分布规律， 确定各种承压面上静压强产生的总压力，是流体静力 学的主要任务。

流体静力学


bh 1/2bh
1/2h 2/3h
1/12bh3 1/36bh3
18
第五节 平衡流体对壁面的作用力
πr
π
4
2
r
h 2
π
4
r4
bh
π
64
bh 3
π
3
r
2
4 r 3π
9π 2 − 64 4 r 72π
19
第七节 流体的相对平衡
相对平衡： 1.液体质点间无相对运动 2.液体的整体对地球有相对运动 3.把坐标系选在运动的液体上 非惯性坐标系
dp = − ρdw = − ρgdz
一、不可压缩流体的静压强表达公式
dp dz + =0 ρg
ρ = c ∴z +
p ρg
p = c1 ρg
1.物理意义 z －位能
0+ p = hp + 0 ρg
－压强势能
p hp = ρg
8
第三节 重力场中的平衡流体 2.静压强的分布 设流体中两点的座标和压强分别为
Fx Fy Fz , , 合力方向的方向余弦： F F F
13
第五节 平衡流体对壁面的作用力
例1、圆管内压强对管壁的作用
Fx = Fy = pAy = pDl
Fx pD = σ= 2δ ⋅ l 2δ
14
第五节 平衡流体对壁面的作用力
例2、封闭曲面上的流体静压力
Fz = Fz 2 − Fz 2 = ρ g (Vadbef − Vacbef ) = ρ gV
二、度量 1.应力单位
Pa ( N / m 2 )
工程应用
MPa( N / mm 2 )
bar (0.1MPa)

第二章 流体静力学


§2-4 液柱测压计
一、测压管
若被测流体的压强较高时，用一个U形管则过长，可以 采用串联的U形管组成多U形管测压计。通常采用双U形 管或三U形管测压计。若为n个串联U形管测压计，则被 测容器A中的相对压强计算通式为
p gh 1g hi 1 g h j
i 1 j 1
流体静压强的分布规律
静力学基本方程的另一种形式
如右图所示，选取如图所示基准 面，则静力学基本方程可写为：
z1
或：
p1

z2
p2

z0
p0

z
p

C
§2-2 流体静压强的分布规律
物理意义：在重力作用下，静止 的不可压缩流体中单位重量流体 的总势能保持不变
p p
z

z hp hp
P 、P 、G ldA 1 p1dA 2 p2 dA
将上式代入平衡方程得
p2 p1 h
§2-2 流体静压强的分布规律
如果液面的压强为p0 ，则液面以下深度h点处的压强为：
p p0 h ---------液体静力学基本方程式
结论：1）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强随深 度按线性规律增加。 2）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等于 表面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。 3）自由表面下深度h相等的各点压强均相等——只有重力 作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。 帕斯卡定律：静止液体任一边界面上面上的压强变化，将 等值的传到其他各点。 即： p p0
§2-4 液柱测压计
一、测压管
3、U型测压管 1）p>pa p1=p2 p1=p+ρ 1gh1 p2=pa+ρ 2gh2 所以 p+ρ 1gh1=pa+ρ 2gh2 M点的绝对压强为 pabs=pa+ρ 2gh2-ρ 1gh1 M点的相对压强为 p=p-pa=ρ 2gh2-ρ 1gh1 由右图知 而
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§2-6 静止流体作用在曲面上的总压力
工程实践中承受静水压力的还有曲面，例如，水利工程 中的弧形闸门、输水管及圆柱形的贮油设备等。
由于作用于曲面上各点的静水压力在各点与曲面垂直， 从其压力分布图可以看出曲面上各点的法线方向各不相 同，彼此不平行。
工程上多数曲面为双向曲面（即具有平行母线的柱面）， 本节主要讨论双向曲面上的静水压力计算。
解：（1）求作用在弧形闸门AB上的水平分力Px 曲面AB在铅垂面上的投影为AC，画出AC面上的静水压 强分布图⊿AEC。水平分力Px为: Px =γhcA=γ×h/2×h×b = γbh2/2 由于
h = RsinΦ ＝ 2×sin450 ＝ 1.414 m
故：
Px = ½×9800×4×（1.414)2 = 39.2 kN
第二章 流体静力学
主要内容
§2-1 流体静压力及其特性 §2-2 流体平衡微分方程 §2-3 重力作用下的流体平衡 §2-4 几种质量力作用下的流体平衡 §2-5 静止流体作用在平面上的总压力 §2-6 静止流体作用在曲面上的总压力 §2-7 物体在液体中潜伏原理
§2-4 几种质量力作用下的流体平衡
上式表明矩形平面上的静水总压力，可以表示为静水压力分布图的 面积与矩形平面宽度b的乘积。而静水压力分布图的面积代表平面的 单位宽度上的总压力。
静水总压力的作用点。
❖ 由力学知：平行力系的合力作用线过该力系的形心。可见，静水总压 力的作用点通过压强分布图的形心。
❖ 在图1-25a的情况下，合力P的作用线在离静水压力分布图△ABE的 BE底边以上 H/3 处。静水压强分布图的形心知道了，P的作用线就 可以确定了。
❖ 将ABCD面分为AB、BC、CD三段，分别计算作用在各部 分曲面上的垂直分力，最后取其代数和。图中ABCD曲面 的垂直分力，可看作AB、BC、CD三部分曲面的垂直分力 之和。
例2-3 挡水弧形闸门（图1-34），宽b=4.0m，弧形为 圆柱曲面，圆心角ψ=45°,半径R=2.0m，闸门转轴恰 与水面齐平。 求：作用在闸门上的静水总压力。
作业题2：一直径d=2000mm的涵洞，其圆形闸门AB在 顶部A处铰接，如图1-30所示。若门重为3000N，试求：
（1）作用于闸门上的静水总压力P； （2）P的作用点； （3）阻止闸门开启的水平力F。
作业题3： 图1-28a所示，左边为水箱，其上压力表的读 数为 -0.147×105 Pa，右边为油箱，油γ′=7350N/m3 ， 用宽为1.2m的闸门隔开，闸门在A点铰接。 求：为使闸门AB处于平衡，必须在B点施加多大的水平力 F。
常见图形的面积A，形心坐标yc 以及惯性矩Ixc见 表1-1。
444...555米米米 OO
444555°°° 闸闸闸门门门宽宽宽度度度bbb===111米米米
222...555米米米
例2-2 图1-27为一水池，左边AB为矩形闸门， 右边EF为三角形闸门，其尺寸如图所示。试求：
（1）作用在两个闸门上的静水总压力； （2）作用点位置。
（2）求作用在弧形闸门AB上的垂直分力Pz 作出AB曲面的压力体ABK，垂直分力Pz应等于压力体体 积ABK的水重，即: Pz=(面积ABK)×b×γ 而面积ABK:
上面讨论的都是静止液体内任一点的压强计算方法。在 工程实践中，常需确定静止液体作用于整个受压面上的 水压力，即静水总压力。例如蓄水池、道桥工程中的涵 洞及闸门等结构设计，必须计算整个结构物表面上的静 水总压力，它是水工建筑物设计时必须考虑的主要载荷。
求静水总压力，即是求力的大小、方向和作用点，通 常称为力的三要素。
二、匀角速旋转容器中流体的相对平衡
液体的相对平衡在生产中的应用
离心铸造的流体力学基础
自来水管道所用的铸铁管都是采用离心铸造方法生产的。 如图1-42所示，它是将金属液体浇注到转动的铸模中， 使之在离心力作用下充满铸模，待凝固后可获得金属组 织致密、强度较高的管子铸件。
§2-5 静止流体作用在平面上的总压力
关于垂直分力Pz的方向，存在两种可能性：向下 或者向上
❖ 当液体和压力体位于曲面之同侧时（图1-32a），Pz 向下（实压力体）。
❖ 当液体和压力体位于曲面之异侧时（图1-32b），Pz 向上（虚压力体），即意味着曲面受有向上的顶托力。
当曲面为凹凸相间的复杂情况时，如图1-33a中曲面 ABCD可分成几段，使每段均可绘出简单的压力体。
本节着重讲述求解作用在平面上的静水总压力的两种 方式：图解法和分析法。这两种方法的原理，都是以静 压力的特性及流体静力学基本方程式为依据的。
（一）图解法 图解法是利用压力分布图来计算静水总压力的方法。 以矩形平面的受压面为例，说明求静水总压力的图解法。
作用在ABCD上的静水总压力P就是作用在其上所有微小面积dA上 压力的合力，即 压强分布体（ABEFCD）的体积 压强分布体ABEFCD的体积=压强分布图ABE的面积A乘宽度b.则作 用在闸门AB上的静水总压力P应为
Байду номын сангаас
（1）矩形闸门
总压力
P1=γhc1A1=9800×(1.22+1)×2×1=4.35kN 。
作用点
（2）三角形闸门 总压力
作用点
作业题1：图1-29所示为可以绕转轴转动的矩形闸门 （40cm×20cm）。左右两侧均有水，左侧水面高出闸 门顶13cm，右侧水面高出闸门顶3cm。 求：作用在闸门上的静水总压力及其作用点的位置。
❖ 如果静水压强分布图是梯形，静水总压力大小同样为静水压强分布图 的面积与矩形平面宽度b的乘积。 P的作用线距底边的位置为：
（二）分析法 对于不规则非矩形平面， 如圆形闸门，并且闸门平面与水平面成
一倾角，用压强分布图求其合力作用点的方法比较繁琐，因此常用 分析法求其静水总压力大小和作用点的位置。 图1-26所示为一放置在水中任意位置的任意形状的倾斜平面AB。 平面一侧有水。该平面的延续面与水面的夹角为α。为确定平面上某 点的位置，便于看图分析，将斜面AB转90°，成一平铺在纸面上的 平面。取ox为横坐标，平面AB的延续面oy为纵坐标,则平面AB上任 一点位置可由坐标(x,y)来确定。