2017_2018学年高中数学课下能力提升十二柱锥台的体积北师大版必修2

课下能力提升（十二）柱、锥、台的体积一、选择题1．已知圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则它的体积是( )A．955πB．955C．355π D．3552．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( )A.23B.76C.45D.563．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A．6 B．9C．12 D．184．(浙江高考)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A．108 cm3 B．100 cm3C．92 cm3 D．84 cm35．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是( )A．1∶2∶ 3 B．6∶23∶ 3C．6∶23∶3 D．3∶23∶6二、填空题6．如图已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．7．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面的尺寸如图所示，两容器盛有液体的体积正好相等，且液面高均为h，则h＝________.8．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．三、解答题9．如图所示，是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？(π＝3.14)10．若E，F是三棱柱ABC­A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A­BEFC的体积．答案1. 解析：选C 设圆锥底面圆的半径为r，则2πr＝6π，∴r＝3.设圆锥的高为h，则h＝82－32＝55，∴V 圆锥＝13πr 2h ＝355π.2. 解析：选 D 用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，所得三棱锥的体积为13×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝148，故剩下的凸多面体的体积为1－8×148＝56.3. 解析：选B 由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形，高为3的三棱锥，其体积为13×12×6×3×3＝9.4. 解析：选B 根据几何体的三视图可知，所求几何体是一个长方体截去一个三棱锥，∴几何体的体积V ＝6×6×3－13×12×4×4×3＝100 cm 3.5. 解析：选C 设如图所示的Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，BC ＝1，则AB ＝2，AC ＝3，求得斜边上的高CD ＝32，旋转所得几何体的体积分别为V 1＝13π(3)2×1＝π，V 2＝13π×12×3＝33π，V 3＝13π(32)2×2＝12π. V 1∶V 2∶V 3＝1∶33∶12＝6∶23∶3. 6. 解析：采取补体方法，相当于一个母线长为a ＋b 的圆柱截成了两个体积相等的部分，所以剩下部分的体积V ＝πr 2a ＋b2.答案：πr 2a ＋b27. 解析：锥体的底面半径和高都是h ，圆柱体的底面半径是a 2，高为h ，依题意得π3h 2·h＝π·(a 2)2·h ，解得h ＝32a .答案：32a 8.解析：此几何体的直观图如图，ABCD 为正方形，边长为20 cm ，S 在底面的射影为CD 中点E ，SE ＝20 cm ，V S ­ABCD ＝13S ABCD ·SE ＝8 0003cm 3. 答案：8 0003cm 39. 解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃的底面一样，是一直径为20 cm 的圆柱，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度．因为圆锥形铅锤的体积为13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫622×20＝60π(cm 3)，设水面下降的高度为x ，则小圆柱的体积为π×(20÷2)2×x ＝100πx (cm 3)，所以有方程60π＝100πx ，解此方程得x ＝0.6(cm)．答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6 cm. 10. 解：如图所示，连接AB 1，AC 1.∵B 1E ＝CF ，∴梯形BEFC 的面积等于梯形B 1EFC 1的面积． 又四棱锥A ­BEFC 的高与四棱锥A ­B 1EFC 1的高相等， ∴V A ­BEFC ＝VA ­B 1EFC 1＝12VA ­BB 1C 1C .又VA ­A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ，VABC ­A 1B 1C 1＝m ，∴VA ­A 1B 1C 1＝m3，∴VA ­BB 1C 1C ＝VABC ­A 1B 1C 1－VA ­A 1B 1C 1＝23m ，∴V A ­BEFC ＝12×23m ＝m 3，即四棱锥A ­BEFC 的体积是m3.。

北师大版2017-2018学年高中数学必修二全册课下能力提升目录课时跟踪检测（一）简单几何体 (1)课时跟踪检测（二）直观图 (6)课时跟踪检测（三）三视图 (11)课时跟踪检测（四）空间图形基本关系的认识与公理1~3 (17)课时跟踪检测（五）公理4及等角定理 (22)课时跟踪检测（六）平行关系的判定 (27)课时跟踪检测（七）平行关系的性质 (32)课时跟踪检测（八）直线与平面垂直的判定 (37)课时跟踪检测（九）平面与平面垂直的判定 (42)课时跟踪检测（十）垂直关系的性质 (48)课时跟踪检测（十一）柱、锥、台的侧面展开与面积 (55)课时跟踪检测（十二）柱、锥、台的体积 (60)课时跟踪检测（十三）球 (67)课时跟踪检测（十四）直线的倾斜角和斜率 (73)课时跟踪检测（十五）直线方程的点斜式 (77)课时跟踪检测（十六）直线方程的两点式和一般式 (82)课时跟踪检测（十七）两条直线的位置关系 (87)课时跟踪检测（十八）两条直线的交点 (92)课时跟踪检测（十九）两点间的距离公式 (97)课时跟踪检测（二十）点到直线的距离公式 (102)课时跟踪检测（二十一）圆的标准方程 (108)课时跟踪检测（二十二）圆的一般方程 (113)课时跟踪检测（二十三）直线与圆的位置关系 (118)课时跟踪检测（二十四）圆与圆的位置关系 (123)课时跟踪检测（二十五）空间直角坐标系的建立 (128)课时跟踪检测（二十六）空间两点间的距离公式 (133)模块综合检测 (138)课时跟踪检测（一）简单几何体层级一学业水平达标1．下列几何体中棱柱有()A．5个B．4个C．3个D．2个解析：选D由棱柱定义知，①③为棱柱．2．下面有关棱台说法中，正确的是()A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台B．棱台的所有侧面都是梯形C．棱台的侧棱长必相等D．棱台的上下底面可能不是相似图形解析：选B由棱台的结构特点可知，A、C、D不正确．故B正确．3．下列说法正确的是()A．圆锥的母线长一定等于底面圆直径B．圆柱的母线与轴垂直C．圆台的母线与轴平行D．球的直径必过球心解析：选D由圆锥、圆柱、圆台的概念可知A、B、C均不正确，只有D正确．4．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是()A．四边形B．三角形C．三角形或四边形D．不可能为四边形解析：选C如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①)，如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②)．5．观察下图所示几何体，其中判断正确的是()A．①是棱台B．②是棱锥C．③是棱锥D．④不是棱柱解析：选C①中互相平行的两个平面四边形不相似，所以侧棱不会相交于一点，不是棱台．②侧面三角形无公共顶点，不是棱锥．③是棱锥，正确．④是棱柱．故选C.6．若一个棱台共有21条棱，则这个棱台是________棱台．解析：由棱台的概念可知，棱台的上下底面为相似多边形，边数相同；侧面为梯形，侧面个数与底面多边形边数相同，可知该棱台为七棱台．答案：七7．给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体，其中说法正确的是________．解析：(1)正确，圆柱的底面是圆面；(2)正确，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)不正确，圆台的母线延长一定相交于一点；(4)不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．答案：(1)(2)8．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是________．解析：由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱．答案：四棱柱9．观察下列四张图片，结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征．解：(1)是上海世博会中国馆，其主体结构是四棱台．(2)是法国卢浮宫，其主体结构是四棱锥．(3)是国家游泳中心“水立方”，其主体结构是四棱柱．(4)是美国五角大楼，其主体结构是五棱柱．10．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．解：图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．层级二应试能力达标1．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()解析：选D A、B、C中底面边数与侧面个数不一致，故不能围成棱柱．2．如右图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：选B圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.3．下列命题：①圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；②在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；③圆柱的任意两条母线相互平行．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．③解析：选C②所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义．①③符合圆锥、圆柱母线的定义及性质．4．给出以下说法：①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面是矩形．其中正确说法的序号是________．解析：根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆；④正确．答案：①④5．一个正方体的表面展开图的五个正方形如图阴影部分，第六个正方形在编号1～5的适当位置，则所有可能的位置编号为________．解析：将展开图还原为正方体，当第六个正方形在①④⑤的位置时，满足题意．答案：①④⑤6．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则在图中，可能是截面的是________．解析：在组合体内取截面时，要注意交点是否在截面上，如：当截面过对角面时，得(2)；当截面平行正方体的其中一个侧面时，得(3)；当截面不平行于任一侧面且不过对角面时，得(1)，只要是过球心就不可能截出截面(4)．答案：(1)(2)(3)7．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．解：如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．8．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．解：圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm,3x cm ，延长AA 1交OO 1的延长线于S ，在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，则∠SAO ＝45°，所以SO ＝AO ＝3x ，SO 1＝A 1O 1＝x ，所以OO 1＝2x .又S 轴截面＝12(6x ＋2x )·2x ＝392，所以x ＝7. 所以圆台的高OO 1＝14(cm)，母线长l ＝2OO 1＝142(cm)，两底面半径分别为7 cm,21 cm.课时跟踪检测（二）直观图层级一 学业水平达标1．下列关于直观图的说法不正确的是( )A ．原图形中平行于y 轴的线段，对应线段平行于直观图中y ′轴，长度不变B ．原图形中平行于x 轴的线段，对应线段平行于直观图中x ′轴，长度不变C ．画与直角坐标系xOy 对应的x ′O ′y ′时，∠x ′O ′y 可以画成45°D ．在画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同解析：选A 平行于y 轴的线段，直观图中长度变为原来的一半，故A 错．2．若把一个高为10 cm 的圆柱的底面画在x ′O ′y ′平面上，则圆柱的高应画成( )A ．平行于z ′轴且大小为10 cmB ．平行于z ′轴且大小为5 cmC ．与z ′轴成45°且大小为10 cmD ．与z ′轴成45°且大小为5 cm解析：选A 平行于z 轴(或在z 轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．3.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知B ′C ′＝4，A ′C ′＝3，B ′C ′∥y ′轴，则△ABC 中AB 边上的中线的长度为( ) A.732 B.73C ．5 D.52 解析：选A 由斜二测画法规则知AC ⊥BC ，即△ABC 为直角三角形，其中AC ＝3，BC ＝8，所以AB ＝73，AB 边上的中线长度为732.故选A. 4．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m, 10 m ，四棱锥的高为8 m ，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为( )A ．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB ．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC ．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD ．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析：选C 由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm, 1 cm, 2 cm 和1.6 cm ，再结合直观图特征，图形的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.5．水平放置的△ABC ，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A ′B ′C ′，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形解析：选C 如图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC 是钝角三角形．6.水平放置的正方形ABCO 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为________．解析：由斜二测画法画出的直观图如图所示，作B ′E⊥x ′轴于点E ，在Rt △B ′EC ′中，B ′C ′＝2，∠B ′C ′E ＝45°，所以B ′E ＝B ′C ′sin 45°＝2×22＝ 2. 答案： 27．已知△ABC 的直观图如图所示，则原△ABC 的面积为________．解析：由题意，易知在△ABC 中，AC ⊥AB ，且AC ＝6，AB ＝3.∴S △ABC ＝12×6×3＝9. 答案：98．在如图所示的直观图中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2 cm ，则在xOy 坐标系中，四边形ABCO 的形状为______，面积为______cm 2.解析：由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在xOy 坐标系中，四边形ABCO 是个长为4 cm ，宽为2 cm 的矩形，所以四边形ABCO 的面积为8 cm 2.答案：矩形 89．画出水平放置的四边形OBCD (如图所示)的直观图．解：(1)过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ，如图①所示，画出对应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图②所示．(2)如图②所示，在x ′轴上取点B ′，E ′，使得O ′B ′＝OB ，O ′E ′＝OE ；在y ′轴上取一点D ，使得O ′D ′＝12OD ；过E ′作E ′C ′∥y ′轴，使E ′C ′＝12EC . (3)连接B ′C ′，C ′D ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O ′B ′C ′D ′就是所求的直观图．10．如图，△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，作出其原图形．解：画法：(1)如图②，画直角坐标系xOy ，在x 轴上取OA ＝O ′A ′，即CA ＝C ′A ′；(2)在图①中，过B ′作B ′D ′∥y ′轴，交x ′轴于D ′，在图②中，在x 轴上取OD ＝O ′D ′，过D 作DB ∥y 轴，并使DB ＝2D ′B ′.(3)连接AB ，BC ，则△ABC 即为△A ′B ′C ′原来的图形，如图②.层级二 应试能力达标1．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )解析：选A 由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直．2．如图所示，△A ′O ′B ′表示水平放置的△AOB 的直观图，B ′在x ′轴上，A ′O ′和x ′轴垂直，且A ′O ′＝2，则△AOB 的边OB 上的高为( )A ．2B ．4C ．2 2D ．4 2解析：选D 由直观图与原图形中边OB 长度不变，得S 原图形＝22S 直观图，得12×OB ×h＝22×12×2×O ′B ′，∵OB ＝O ′B ′，∴h ＝4 2. 3．如图△A ′B ′C ′是水平放置的△ABC 的直观图，则在△ABC 的三边及中线AD 中，最长的线段是( )A ．AB B ．AC C ．BCD ．AD解析：选B 由直观图可知△ABC 是以∠B 为直角的三角形，所以斜边AC 最长． 4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm解析：选D 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5 cm ，在直观图中与z 轴平行线段长度不变，仍为5 cm.5．有一个长为5，宽为4的矩形，则其直观图的面积为________． 解析：由于该矩形的面积为S ＝5×4＝20，所以由公式S ′＝24S ，其直观图的面积为S ′＝24S ＝5 2. 答案：5 26．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是________．解析：由斜二测直观图画法的规则画出原图形，如图是等腰梯形A ′B ′C ′D ′的原平面图形，且AB ＝2，BC ＝1＋2，AD ＝1，所以S梯形ABCD＝2＋ 2.答案：2＋ 27．如图所示，四边形ABCD 是一个梯形，CD ∥AB ，CD ＝AO ＝1，三角形AOD 为等腰直角三角形，O 为AB 的中点，试求梯形ABCD 水平放置的直观图的面积．解：在梯形ABCD 中，AB ＝2，高OD ＝1，由于梯形ABCD 水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD 和下底AB 的长度都不变，如图所示，在直观图中，O ′D ′＝12OD ，梯形的高D ′E ′＝24，于是梯形A ′B ′C ′D ′的面积为12×(1＋2)×24＝328.8.如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积．解：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′＝1 cm；在y轴上取OB＝2O′B′＝2 2 cm；在过点B的x轴的平行线上取BC＝B′C′＝1 cm.连接O，A，B，C各点，即得到了原图形．由作法可知，OABC为平行四边形，OC＝OB2＋BC2＝8＋1＝3 cm，∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8 cm，面积为S＝1×22＝2 2 cm2.课时跟踪检测（三）三视图层级一学业水平达标1．若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，则这个几何体可能是()A．圆柱B．三棱柱C．圆锥D．球体解析：选C主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆说明此几何体是圆锥．2．如图所示的是一个立体图形的三视图，此立体图形的名称为()A．圆锥B．圆柱C．长方体D．圆台解析：选B由俯视图可知几何体的上、下底面是全等的圆，结合主视图和左视图，可知其为圆柱．3．如图所示，五棱柱的左视图应为()解析：选B从五棱柱左面看，是2个矩形，上面的小一点，故选B.4．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱解析：选B将三视图还原为几何体即可．如图，几何体为三棱柱．5．如图所示，画出四面体AB1CD1三视图中的主视图，以面AA1D1D为投影面，则得到的主视图可以为()解析：选A显然AB1，AC，B1D1，CD1分别投影得到主视图的外轮廓，B1C为可见实线，AD1为不可见虚线．故A正确．6．如图所示的几何体中，主视图与左视图都是长方形的是________．解析：②的左视图是三角形，⑤的主视图和左视图都是等腰梯形，其余的都符合条件．答案：①③④7．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P-ABC的主视图与左视图的面积的比值为________．解析：三棱锥P-ABC的主视图与左视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.答案：18．如下图，图②③④是图①表示的几何体的三视图，其中图②是________，图③是________，图④是________(说出视图名称)．解析：由几何体的位置知，②为主视图，③为左视图，④为俯视图．答案：主视图左视图俯视图9．画出图中几何体的三视图．解：该几何体的三视图如图所示．10．根据如图所示的三视图，画出几何体．解：由主视图、左视图可知，该几何体为简单几何体的组合体，结合俯视图为大正方形里有一个小正方形，可知该组合体上面为一个正方体，下面为一个下底面是正方形的倒置的四棱台．如图所示．层级二应试能力达标1．直角边分别为1和3的三角形，绕一条直角边所在直线旋转，形成的圆锥的俯视图是半径为1的圆，则它的主视图是()A．等腰直角三角形B．边长为3的等边三角形C．边长为2的等边三角形D．不能确定解析：选C由俯视图知长为3的边在轴上．因此主视图为边长为2的等边三角形．2．如图是一几何体的直观图、主视图和俯视图．在主视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的左视图是( )解析：选B 由直观图和主视图、俯视图可知，该几何体的左视图应为面PAD ，且EC 投影在面PAD 上，故B 正确．3．底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其主视图有最大面积时，其左视图的面积为( )A ．23B ．3 C. 3D ．4解析：选A 当主视图的面积最大时，可知其正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示放置，此时S 左＝2 3.4.一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是( )A ．2B ．2 2 C. 3D ．2 3解析：选D 由四面体的三视图知其直观图为如图所示的正方体中的四面体A -BCD ，由三视图知正方体的棱长为2.所以S△ABD ＝12×2×22＝22，S △ADC ＝12×22×22×32＝23，S △ABC ＝12×2×22＝22，S △BCD ＝12×2×2＝2.所以所求的最大面积为2 3.故选D.5．若一个正三棱柱(底面为正三角形，侧面为矩形的棱柱)的三视图如图所示，则这个正三棱柱的侧棱长和底面边长分别为________、________.解析：左视图中尺寸2为正三棱柱的侧棱长，尺寸23为俯视图正三角形的高，所以正三棱柱的底面边长为4.答案：2 46．由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则该几何体由________块小正方体木块搭成．解析：小木块的排列方式如图所示．由图知，几何体由7块小正方体木块搭成．答案：77．如图所示的几何体是由一个长方体木块锯成的．(1)判断该几何是否为棱柱；(2)画出它的三视图．解：(1)是棱柱．因为该几何体的前、后两个面互相平行，其余各面都是矩形，而且相邻矩形的公共边都互相平行．(2)该几何体的三视图如图所示．8．已知，图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．解：图①几何体的三视图为：图②所示的几何体是上面为正六棱柱、下面为倒立的正六棱锥的组合体．课时跟踪检测（四）空间图形基本关系的认识与公理1~3层级一学业水平达标1．如果直线a 平面α，直线b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则()A．l αB．lαC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：选A∵M∈a，a α，∴M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l α.2．下列命题中正确命题的个数是()①三角形是平面图形；②梯形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C根据公理1可知①②④正确，③错误．故选C.3．已知直线m 平面α，P∉m，Q∈m，则()A．P∉α，Q∈αB．P∈α，Q∉αC．P∉α，Q∉αD．Q∈α解析：选D因为Q∈m，m α，所以Q∈α.因为P∉m，所以有可能P∈α，也可能有P∉α.4．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面()A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点解析：选D根据公理3可知，两个平面若有一个公共点，则这两个平面有且只有一个经过该点的公共直线．故选D.5．空间中四点可确定的平面有()A．1个B．3个C．4个D．1个或4个或无数个解析：选D当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任三点可确定一个平面，此时可确定4个平面．6．已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．解析：当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．答案：1或2或37．下列命题：①若直线a与平面α有公共点，则称a α；②若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；③三条平行直线共面；④若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面．其中正确的命题是________．(填写所有正确命题的序号)解析：①错误．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交或a α；②正确．由公理3知该命题正确；③错误．三条平行直线不一定共面，例如三棱柱的三条侧棱；④如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面．答案：②8．已知A∈α，B∉α，若A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有________个公共点．解析：若l与α有两个不同的公共点，则由公理一知l α，又B∈l，所以B∈α与B∉α矛盾，所以l与α有且仅有一个公共点A.答案：19．将下列符号语言转化为图形语言．(1)a α，b∩α＝A，A∉a.(2)α∩β＝c，a α，b β，a∥c，b∩c＝P.解：(1)(2)10．求证：三棱台A1B1C1-ABC三条侧棱延长后相交于一点．证明：延长AA1，BB1，设AA1∩BB1＝P，又BB1 平面BCC1B1，∴P∈平面BCC1B1，∵AA1 平面ACC1A1，∴P∈平面ACC1A1，∴P为平面BCC1B1和平面ACC1A1的公共点，又∵平面BCC1B1∩平面ACC1A1＝CC1，∴P∈CC1，即AA1，BB1，CC1延长后交于一点P.层级二应试能力达标1．能确定一个平面的条件是()A．空间三个点B．一个点和一条直线C．无数个点D．两条相交直线解析：选D不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．2．下列推理错误的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．lα，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合解析：选C当lα，A∈l时，也有可能A∈α，如l∩α＝A，故C错．3．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中()A．必有三点共线B．可能三点共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线解析：选B如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确．4．在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF交于一点P，则()A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上，也不在AC上解析：选B由题意知GH⊂平面ADC.因为GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由公理3可知点P一定在直线AC 上．5．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC 与平面β的交线是________．解析：因为平面α∩平面β＝l，AB∩l＝D，所以D∈平面β.因为AB 平面ABC，所以D∈平面ABC.又C∈平面ABC，C∈平面β，C∉l，所以平面ABC∩平面β＝CD.答案：直线CD6．空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是________．解析：若三条直线两两相交共有三个交点，则确定1个平面；若三条直线两两相交且交于同一点时，可能确定3个平面．答案：1或37．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．证明：(1)∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β.则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ.故P，Q，R三点共线．8．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB＞CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线．解：很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上．由于AB＞CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，∵E∈AC，AC 平面SAC，∴E∈平面SAC.同理，可证E∈平面SBD.∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线．课时跟踪检测（五）公理4及等角定理层级一学业水平达标1．不平行的两条直线的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．相交或异面解析：选D若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面．2．在三棱锥S -ABC中，与SA是异面直线的是()A．SB B．SCC．BC D．AB解析：选C如图所示，SB，SC，AB，AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，又不平行，是异面直线．3．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于()A．30°B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对解析：选B∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同．∴∠PQR＝30°或150°.4．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c()A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．平行、相交或异面都有可能解析：选D当a，b，c共面时，a∥c；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交．5．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A．平行或异面B．相交或异面C．异面D．相交解析：选B假设a与b是异面直线，而c∥a，则c显然与b不平行．(否则c∥b，则有a∥b，矛盾)c与b可能相交或异面．6．如果两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥所在的12条直线中，异面直线共有________对．解析：六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两边相交，与另四条边异面，这样异面直线一共有4×6＝24(对)．答案：247．在空间四边形ABCD 中，如图所示，AE AB ＝AH AD ，CF CB ＝CGCD ，则EH 与FG 的位置关系是________．解析：如图，连接BD ，在△ABD 中，AE AB ＝AHAD ，则EH ∥BD ，同理可得FG ∥BD . ∴EH ∥FG . 答案：平行8．已知∠ABC ＝120°，异面直线MN ，PQ 其中MN ∥AB ，PQ ∥BC ，则异面直线MN 与PQ 所成的角为________．解析：结合等角定理及异面直线所成角的范围可知，异面直线MN 与PQ 所成的角为60°.答案：60°9．如图所示，OA ，OB ，OC 为不共面的三条射线，点A 1，B 1，C 1分别是OA ，OB ，OC 上的点，且OA 1OA ＝OB 1OB ＝OC 1OC 成立．求证：△A 1B 1C 1∽△ABC . 证明：在△OAB 中，因为OA 1OA ＝OB 1OB ，所以A 1B 1∥AB . 同理可证A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC .所以∠C 1A 1B 1＝∠CAB ，∠A 1B 1C 1＝∠ABC .所以△A 1B 1C 1∽△ABC .10．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中的平面A 1B 1C 1D 1内有一点P ，经过点P 作棱BC 的平行线，应该怎样画？并说明理由．解：如图所示，在平面A 1B 1C 1D 1内过P 作直线EF ∥B 1C 1，交A 1B 1于点E ，交C 1D 1于点F ，则直线EF 即为所求．理由：因为EF ∥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以EF ∥BC .层级二 应试能力达标1．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB 与CD 的位置关系为( )A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直解析：选D将展开图还原为正方体，如图所示，故AB与CD为不垂直的异面直线．2．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条()A．相交B．异面C．相交或异面D．平行解析：选C如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与BC异面．3．异面直线a，b，有a α，b β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是()A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交解析：选D若c与a，b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由公理4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是() A．空间四边形B．矩形C．菱形D．正方形解析：选B如图，易证四边形EFGH为平行四边形．又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，同理可得FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．5．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ。

6.2 柱、锥、台的体积课后训练巩固提升A 组1.已知直角三角形两直角边AB=3,AC=4,以AB 所在直线为旋转轴,旋转一周所得的几何体的体积为( ). A.12π B.16πC.20πD.24π2.设正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为√5,那么它的体积为( ). A.6√3 B.√3C.2√3D.23.已知圆台的上、下底面面积分别是π,4π,侧面积是6π,则这个圆台的体积是( ). A.2√33π B.2√3C.7√36π D.7√33π4.在三棱锥P-ABC 中,线段PC 上的点M 满足PM=13PC,线段PB 上的点N 满足PN=23PB,则三棱锥P-AMN 和三棱锥P-ABC 的体积之比为( ).A.19B.29C.13D.495.若正方体的棱长为√2,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( ).A.√26B.√23C.√33D.236.一正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8,体积为14 cm3,则该棱台的高为.7.已知圆锥的轴截面是一个顶角为2π3,腰长为2的等腰三角形,则该圆锥的体积为.8.如图①,一个正三棱柱形容器,底面边长为a,高为2a,内装水若干,现将容器放倒,把一个侧面作为底面,这时水面恰好为中截面,如图②,则原来容器内水面的高度为.①②9.如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,求三棱锥A1-ABC,三棱锥B-A1B1C与三棱锥C-A1B1C1的体积之比.B组1.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D1-ACD的体积是( ).A.16B.13C.12D.12.体积为52的圆台,一个底面积是另一个底面积的9倍,那么截得的这个圆台的圆锥的体积是( ).A.54B.54πC.58D.58π3.如图①,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由底面半径为1 cm 和底面半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体.当这个几何体如图②水平放置时,液面高度为20 cm,当这个几何体如图③水平放置时,液面高度为28 cm,则这个简单几何体的总高度为( ).A.29 cmB.30 cmC.32 cmD.48 cm4.在Rt △ABC 中,D 为斜边AB 上一点,△ACD 与△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到的几何体的体积分别为V 1,V 2,若V 1V 2=12,则AD AB=( ).A.√232B.12C.14D.√225.一个圆锥形容器和一个圆柱形容器,它们的轴截面尺寸如图所示,两容器内所盛液体的体积正好相等,且液面高度h 正好相同,则h 等于 .6.如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,P 是BC 的中点,Q 是棱CC 1上的动点.(1)点Q 在何位置时,直线D 1Q,DC,AP 交于一点,并说明理由; (2)求三棱锥B 1-DBQ 的体积;(3)若Q 是棱CC 1的中点,记过A,P,Q 三点的平面截正方体所得截面的面积为S,求S. 答案： A 组1.B 旋转后的几何体为以AC=4为底面半径,高为3的圆锥, 则V 圆锥=13πr 2h=13π×42×3=16π.2.B 由正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为√5,可得高h=2, 又因为底面积S=3√32,所以体积V 正六棱锥=13Sh=13×3√32×2=√3. 3.D ∵S 上=π,S 下=4π,∴r 上=1,r 下=2. 又S 侧=6π=π(r 上+r 下)l,∴l=2.∴h=√3. ∴V 圆台=13π(1+4+2)×√3=7√33π.故选D.4.B 如图,将三棱锥P-AMN 看作三棱锥A-PMN,即以A 为顶点,△PMN 为底面的三棱锥,将三棱锥P-ABC 看作三棱锥A-PBC,即以A 为顶点,△PBC 为底面的三棱锥.因为S △PBC =12PB·PC·sin∠BPC,S △PMN =12PN·PM·sin∠NPM,而PN=23PB,PM=13PC,∠BPC=∠NPM,所以S △PMN =13×23S △PBC =29S △PBC ,点A 到底面PBC的距离和点A 到底面PMN 的距离相等,设为h,故V 三棱锥P -AMN V 三棱锥P -ABC=V 三棱锥A -PMN V 三棱锥A -PBC=13S △PMN ·h 13S △PBC·h =29.故选B.5.B 由题意知,以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是由两个同底等高的正四棱锥组成的,其中所有的棱长均为1,可得两个正四棱锥的高均为√22,故此多面体的体积V=2V 正四棱锥=2×13×12×√22=√23.故选B.6.2 cm 由题意可设该正四棱台的斜高与上、下底面边长分别为5,8x cm,则高h=√(5x )2-(4x -x )2=4x(cm).由棱台的体积公式,得13·4x·(4x 2+16x 2+64x 2)=14,解得.7.π 因为圆锥的轴截面是一个顶角为2π3,腰长为2的等腰三角形,所以此等腰三角形底边上的高即为圆锥的高h=2cos π3=1,圆锥底面圆半径r=√22-h 2=√3,所以该圆锥的体积V=13πr 2h=13π×(√3)2×1=π.8.32a 设题图①中容器内水面的高度为h,水的体积为V,则V=S △ABC ·h. 又题图②中水组成了一个直四棱柱,由题意知其底面积为34S △ABC ,高度为2a,所以V=34S △ABC ·2a,即S △ABC ·h=34S △ABC ·2a.解得h=32a.9.解设棱台的高为h,S △ABC =S,则S △A 1B 1C 1=4S, ∴V A 1-ABC =13S △ABC ·h=13Sh,V C -A 1B 1C 1=13S △A 1B 1C 1·h=43Sh.又V 台体=13h(S+4S+2S)=73Sh,∴V B -A 1B 1C =V 台体-V A 1-ABC −V C -A 1B 1C 1=73Sh-Sℎ3−4Sℎ3=23Sh.∴所求体积比为1∶2∶4. B 组1.A 三棱锥D 1-ADC 的体积V=13S △ADC ·D 1D=13×12·AD·DC·D 1D=13×12×1×1×1=16.2.A 设上底面半径为r,则由题意可得下底面半径为3r, 设圆台高为h 1,则13πh 1(r 2+9r 2+3r·r)=52,∴πr 2h 1=12.设原圆锥的高为h,则由相似知识得r3r=ℎ-ℎ1ℎ,∴h=32h 1.∴V 原圆锥=13π(3r)2×h=3πr 2×32h 1=92×12=54.3.A 在题图②和题图③中,瓶子上部没有液体的部分容积相等,设这个简单几何体的总高度为h,则有π×12×(h -20)=π×32×(h -28),解得h=29 cm.4.D 令ADAB =λ,BC=a,AC=b,作ED ∥BC,交AC 于点E,则AD AB=ED BC=AE AC=λ,ED=λa,EC=b -λb,AE=λb,所以V 2=13πa 2·b,V 1=13πλ2a 2·λb+13πλ2a 2(b-λb)=13πλ2a 2·b, 所以V1V 2=13πλ2a 2b 13πa 2b =λ2=12,所以λ=√22,故选D.5.√32a 设圆锥形容器的液面的半径为R,则液体的体积为13πR 2h,圆柱形容器内的液体体积为π(a 2)2h.根据题意,有13πR 2h=π(a 2)2h,解得R=√32a.再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形,得√32a a=ℎa,所以h=√32a.6.解(1)当Q 是棱CC 1的中点时,直线D 1Q,DC,AP 交于一点.理由如下:如图,延长D 1Q,DC 交于点O,则QC 为△DD 1O 的中位线,所以C为DO的中点.延长AP,DC交于点O',则PC为△ADO'的中位线,所以C为DO'的中点.所以点O与点O'重合.所以直线D1Q,DC,AP交于一点.(2)V B1-DBQ =V D-B1BQ=13×(12×2×2)×2=43.(3)如图,连接AD1,PQ,由(1)知,D1Q,AP交于一点,故点D1,Q,A,P确定一个平面.因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1,且平面APQD1分别与两平面相交,交线为AD1,PQ,所以AD1∥PQ,所以梯形APQD1为所求截面,梯形APQD1的高为√D1Q2-14(AD1-PQ)2=3√22,故S=12(√2+2√2)×3√22=92.。

2017-2018学年（新课标）北师大版高中数学必修二§7 简单几何体的面积和体积 7．1 简单几何体的侧面积7．2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积【课时目标】 1．了解柱体、锥体、台体的侧面积与体积的计算公式．2．会利用柱体、锥体、台体的侧面积与体积公式解决一些简单的实际问题．1．旋转体的侧面积名称图形侧面积公式 圆柱侧面积：S 侧＝______圆锥侧面积：S 侧＝______圆台侧面积：S 侧＝________ 2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 S 直棱柱侧＝______(c 为底面周长，h 为高) S 正棱锥侧＝______(c 为底面周长，h ′为斜高)S 正棱台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上、下底面周长，h ′为斜高)3．体积公式(1)柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝______． (2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝______．(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝13(S ′＋S ′S ＋S)h ．一、选择题 1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )A ．8B ．8πC ．4πD ．2π2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( )A ．1＋2π2πB ．1＋4π4πC ．1＋2ππD ．1＋4π2π3．中心角为135°，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于( )A ．11∶8B ．3∶8C ．8∶3D ．13∶84．已知直角三角形的两直角边长为a 、b ，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为( )A ．a ∶bB ．b ∶aC ．a 2∶b 2D ．b 2∶a 25．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm )，则该几何体的表面积和体积分别为( )A ．24π cm 2,12π cm 3B ．15π cm 2,12π cm 3C ．24π cm 2,36π cm 3D ．以上都不正确 6．三视图如图所示的几何体的全面积是( )A ．7＋ 2B ．112＋ 2C ．7＋ 3D ．32二、填空题7．一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________．8．圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为________________ cm 3．9．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm )，可得这个几何体的体积是________．三、解答题10．圆台的上、下底面半径分别为10 cm 和20 cm ．它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积和体积分别是多少？(结果中保留π)11．已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．能力提升12．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋2 3B ．4π＋2 3C ．2π＋233D ．4π＋23313．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．§7 简单几何体的面积和体积 7．1 简单几何体的侧面积7．2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积答案知识梳理 1．名称 图形侧面积公式 圆柱侧面积：S 侧＝2πrl圆锥侧面积：S 侧＝πrl圆台侧面积：S 侧＝π(r 1＋r 2)l2．ch12ch ′ 3．(1)Sh (2)13Sh 作业设计1．B [易知2πr ＝4，则2r ＝4π，所以轴截面面积＝4π×2＝8π．]2．A [设底面半径为r ，侧面积＝4π2r 2，全面积为＝2πr 2＋4π2r 2，其比为：1＋2π2π．]3．A [设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则2πr ＝34πl ，则l ＝83r ，所以A ＝83πr 2＋πr 2＝113πr 2，B ＝83πr 2，得A ∶B ＝11∶8．]4．B [以长为a 的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V ＝13πb 2a ，以长为b 的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V ＝13πa 2b ．]5．A [该几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，易得高为4，表面积和体积分别为24π cm 2，12π cm 3．]6．A [图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为1．可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，2，表面积S 表面＝2S 底＋S 侧面＝12(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋2)×1＝7＋2．]7．3解析 由题意知，圆柱侧面积等于圆柱上、下底面面积和，即2πr ×3＝2πr 2，所以r ＝3．8．288π或192π解析 (1)12为底面圆周长，则2πr ＝12，所以r ＝6π，所以V ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫6π2·8＝288π(cm 3)． (2)8为底面圆周长，则2πr ＝8，所以r ＝4π，所以V ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫4π2·12＝192π (cm 3)． 9．8 0003cm 3解析 由三视图知该几何体为四棱锥．由俯视图知，底面积S ＝400，高h ＝20，V ＝13Sh ＝8 0003 (cm 3)．10．解如图所示，设圆台的上底面周长为c ，因为扇环的圆心角是180°， 故c ＝π·SA ＝2π×10，所以SA ＝20，同理可得SB ＝40， 所以AB ＝SB －SA ＝20， ∴S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下＝π(r 1＋r 2)·AB ＋πr 21＋πr 22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202 ＝1 100π(cm 2)．故圆台的表面积为1 100π cm 2．h ＝AB 2－(OB －O 1A )2＝202－102＝103，V ＝13πh (r 21＋r 1r 2＋r 22) ＝13π×103×(102＋10×20＋202) ＝7 00033π (cm 3)． 即圆台的表面积为1 100π cm 2，体积为7 00033π cm 3．11．解 如图，E 、E 1分别是BC 、B 1C 1的中点，O 、O 1分别是下、上底面正方形的中心，则O 1O 为正四棱台的高，则O 1O ＝12．连接OE 、O 1E 1，则OE ＝12AB＝12×12＝6，O 1E 1＝12A 1B 1＝3． 过E 1作E 1H ⊥OE ，垂足为H ，则E 1H ＝O 1O ＝12，OH ＝O 1E 1＝3， HE ＝OE －O 1E 1＝6－3＝3．在Rt △E 1HE 中，E 1E 2＝E 1H 2＋HE 2＝122＋32 ＝32×42＋32＝32×17， 所以E 1E ＝317．所以S 侧＝4×12×(B 1C 1＋BC )×E 1E＝2×(12＋6)×317＝10817．12．C [该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233，所以该几何体的体积为2π＋233．]13．解 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，2，1． 考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍．∴S 表＝2S 下＋S 侧＝2×22＋4×[22＋(2)2＋12]＝36． ∴该几何体的表面积为36．。