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高考数学章节测试题及答案（第七章）（120分钟 150分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2012·天津模拟)已知直线a、b是两条异面直线,直线c平行于直线a，则直线c与直线b( )(A)一定是异面直线(B)一定是相交直线(C)不可能是平行直线(D)不可能是相交直线2.在△ABC中，AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°,若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )(A)32π (B)52π (C)72π (D)92π3.如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且CF CG2CB CD3==，则( )(A)EF与GH互相平行(B)EF与GH异面(C)EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上(D)EF与GH的交点M一定在直线AC上4．（2012·黄冈模拟）已知α,β是两个不同平面，m,n是直线，下列命题中不正确的是( )（A）若m∥n,m⊥α,则n⊥α（B）若m∥α,α∩β=n,则m∥n（C）若m⊥α,m⊥β,则α∥β（D）若m⊥α,m⊂β,则α⊥β5.（2011·江西高考）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为 ( )6．如图，下列四个正方体图形中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )（A）①④（B）②④（C）①③④（D）①③7.如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)18.（2012·珠海模拟）如图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题：①点M到AB的距离为2；；②三棱锥C-DNE的体积是16.③AB与EF所成的角是2其中正确命题的个数是( )（A）0 （B）1 （C）2 （D）39．(易错题)如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是( )(A)点H是△A1BD的垂心(B)AH的延长线经过点C1(C)AH垂直平面CB1D1(D)直线AH和BB1所成角为45°10.（2012·北京模拟）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=2，BD⊥CD. 将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD,则下列结论正确的是( )（A）A′C⊥BD（B）∠BA′C=90°（C）CA′与平面A′BD所成的角为30°（D）四面体A′BCD的体积为13二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)11.已知三个球的半径R1,R2,R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1,S2,S3满足的等量关系是_________.12.（2012·长沙模拟）一个五面体的三视图如图，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为_____．13．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm,那么该棱柱的表面积为________.14.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，已知这个球的体积是32，那么这个三棱柱的体积是_________.315.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P、Q、R、S分别是AB、BC、C1D1、C1C、A1B1、B1B的中点，则下列判断:（1）PQ与RS共面；（2）MN与RS共面；（3）PQ与MN共面.则正确结论的序号是_________.16.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_________.17.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．三、解答题(本大题共5小题，共65分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18.（12分）（2011·陕西高考）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°.（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；（2）设BD=1，求三棱锥D-ABC的表面积.19.（13分）如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1,∠ACB=90°,AC=BC=2,AA1=4.E、F 分别是棱CC1、AB的中点.(1)求证：CF⊥BB1;(2)求四棱锥A-ECBB1的体积.20.（13分）(预测题)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E在CC1上，点F是C1D1的中点.(1)若AF∥平面BDE,求CE的长;(2)若平面BDE⊥平面A1BD,求三棱锥F-ABE的体积.21.（13分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，D，E分别为BC，BB1的中点，四边形B1BCC1是边长为6的正方形.(1)求证：A1B∥平面AC1D;(2)求证:CE⊥平面AC1D.22．（14分）(2011·新课标全国卷)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（1）证明：PA⊥BD;（2）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高．答案解析1.【解析】选C.若c∥b，∵c∥a，∴a∥b,与已知矛盾.2.【解题指南】△ABC绕直线BC旋转一周后所得几何体为一圆锥，但其内部缺少一部分.用大圆锥的体积减去小圆锥的体积即为所求几何体的体积.【解析】选A.旋转后得到的几何体是一个大圆锥中挖去一个小圆锥.故所求体积为V=V大圆锥-V小圆锥=13πr2(1+1.5-1)=32π.3.【解析】选D.依题意可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，所以E、F、G、H共面，因为EH＝12BD，FG2BD3=，故EH≠FG，所以四边形EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M，因为点M在EF上，故点M在平面ACB上，同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，所以点M一定在平面ACB与平面ACD的交线AC上，故选D.4．【解析】选B.如图m∥α,α∩β=n,但m与n不平行.5.【解题指南】在左视图中，长方体的体对角线投到了侧面，成了侧面的面对角线，易得答案．【解析】选D．根据正投影的性质，结合左视图的要求知，长方体的体对角线投到了侧面，成了侧面的面对角线，结合选项即得选项D正确．6．【解析】选D.①取前面棱的中点，证AB平行于平面MNP即可；③可证AB与MP平行.7.【解析】选B.因为AB⊥BD,面ABD⊥面BCD，且交线为BD，故有AB⊥面BCD，·则面ABC⊥面BCD，同理CD⊥面ABD，则面ACD⊥面ABD，因此共有3对互相垂直的平面.8.【解析】选D.依题意可作出正方体的直观图如图，显然M到AB的距离为12MC=22，∴①正确，而V C-DNE=111⨯⨯⨯⨯,∴②正确，111=326π，AB与EF所成的角等于AB与MC所成的角，即为2∴③正确.9．【解析】选D.因为三棱锥A-A1BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射影是底面中心，A正确；平面A1BD∥平面CB1D1,而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，C正确；根据对称性知B正确.故选D.10．【解析】选B.在题图(2)中取BD的中点M，连接MC、A′M.∵A′B=A′D,∴A′M⊥BD.又∵平面A′BD⊥平面BCD,∴A′M⊥平面BCD.①选项A中，若A′C⊥BD,那么BD⊥平面A′MC⇒BD⊥MC.而BD⊥CD，显然BD⊥MC不可能，∴A不正确;②选项B中,∵BD⊥CD且平面A′BD⊥平面BCD，可得CD⊥平面A′BD,可知CD⊥A′D，在△A′CD中，A′D=CD=1⇒A′..又∵A′B=1，∴∴在△A′BC中,A′B2+A′C2=BC2，∴∠BA′C=90°，故B正确;③选项C中,由②分析知,∠CA′D即为CA′与平面A′BD所成的角，在Rt△A′DC中，,cos∠CA′D=A'D∴∠CA ′D 为45°，故C 不正确;④选项D 中,由①知A ′M ⊥平面BCD,得V A ′-BCD =13S △BCD ×A ′M=1111=3226⨯⨯，故D 不正确.故选B.11.【解析】S 1=4πR 211，23，故123R R R ===，由R 1+2R 2=3R 3，12. 【解析】由三视图可知，此几何体是一个底面为直角梯形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其体积为V ＝1132⨯×(1＋2)×2×2＝2. 答案：2【方法技巧】三视图的考查方式三视图是新课标的新增内容，主要考查学生的空间想象能力，新增内容总会重点考查，所以近年来三视图的有关问题一直是高考考查的重点和热点，其考查方式有以下特点：一是给出空间图形选择其三视图；二是给出三视图，判断其空间图形或还原直观图，有时也会和体积、面积、角度的计算或线面位置关系的判定相结合.13．【解题指南】根据正四棱柱的体对角线与球直径相同解题. 【解析】设正四棱柱的高为h,则得h=.故S表=4×(2××22=8+2).答案：(8+214.【解题指南】根据组合体的特征求得三棱柱的底面边长和高，然后求体积即可.【解析】易求得球的半径为2，球与正三棱柱各个面都相切，可知各切点为各个面的中心，棱柱的高等于球的直径，设棱柱底面三角形的边长为a，则有1a23⨯＝2⇒a＝V24⨯=答案：15.【解析】可证PQ与RS平行，从而共面，NQ与PM平行，故PQ与MN也共面，故（1）、（3）正确，MN与RS是异面直线，故（2）错.答案：(1)、（3）16.【解析】取BC的中点N，连接B1N，则AN⊥平面B1C，∴AN⊥BM，由几何知识知B1N⊥BM，∴BM⊥平面AB1N，∴BM⊥AB1，故所求角为90°.答案：90°17.【解析】设正三棱柱的底面边长为a，高为2h，则BD＝C1DBC1BC1D是面积为6 的直角三角形，得2222222(a h)a4h1(a h)62⎧⨯⎪⎨⎪⎩＋＝＋＋＝，解得2a8h2⎧⎨⎩＝＝，故此三棱柱的体积为V＝12×8×sin 60°×4＝.答案：18.【解析】（1）∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC，∵AD⊂平面ABD．∴平面ABD⊥平面BDC.（2）由（1）知，DA⊥DB,DB⊥DC,DC⊥DA,∵DB=DA=DC=1，∴,从而S△DAB=S△DBC=S△DCA=12×1×1=12，S△ABC=12×sin60°=2,故表面积：S=1219.【解析】（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱, ∴BB1⊥平面ABC，又∵CF⊂平面ABC，∴CF⊥BB1.(2)∵三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，∴BB1⊥平面ABC，又∵AC⊂平面ABC，∴AC⊥BB1,∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC,∵BB1∩BC=B.∴AC⊥平面ECBB1，∴1A ECBB V -=1ECBB 1S 3四边形·AC,∵E 是棱CC 1的中点，∴EC=12AA 1=2，∴1ECBB S 边四形=12(EC+BB 1)·BC=12×(2+4)×2＝6,∴1A ECBB V -=131ECBB S 边四形·AC=13×6×2=4.20.【解析】(1)连接AC 交BD 于O,连接CF 交DE 于P,连接PO∵AF ∥平面BDE,∴AF ∥PO,又O 为AC 中点, ∴P 为CF 中点.在正方形DD 1C 1C 中，延长DE 交D 1C 1的延长线 于点Q,则由平面几何知识得11C E 1=D D 3，所以CE=43. (2)如图，由平面BDE ⊥平面A 1BD 且EO ⊥BD, 所以EO ⊥平面A 1BD ，∵A 1B ⊥AB 1,A 1B ⊥B 1C 1,∴A 1B ⊥平面AB 1C 1， ∴A 1B ⊥AC 1, 同理A 1D ⊥AC 1, 又∵A 1B ∩A 1D=A 1,∴AC 1⊥平面A 1BD ，∴EO ∥AC 1,因此E 为CC 1的中点，连接BC 1，B 1C ⊥BC 1,B 1C ⊥AB, ∴B 1C ⊥平面ABC 1F ，即B 1C ⊥平面ABF ， ∴E 点到平面ABF 的距离为14B 1C ，即22，又S△ABF=12AB·BC1=12×2×22=22,所以V F-ABE=V E-ABF=13S△ABF·22=23.21.【解析】(1)连接A1C,与AC1交于O点，连接OD.因为O，D分别为AC1和BC的中点,所以OD∥A1B.又OD⊂平面AC1D，A1B 平面AC1D,所以A1B∥平面AC1D.（2）在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,又AD⊂平面ABC,所以BB1⊥AD.因为AB=AC,D为BC的中点,所以AD⊥BC.又BC∩BB1=B,所以AD⊥平面B1BCC1.又CE⊂平面B1BCC1,所以AD⊥CE.因为四边形B1BCC1为正方形，D，E分别为BC,BB1的中点, 所以Rt△CBE≌Rt△C1CD,∠CC1D=∠BCE.所以∠BCE+∠C1DC=90°.所以C1D⊥CE.又AD∩C1D=D,所以CE⊥平面AC1D.22．【解析】（1）因为∠DAB=60°，AB=2AD, 由余弦定理得BD=3AD,从而BD2+AD2= AB2，故BD⊥AD,又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD,又PD∩AD=D, 所以BD⊥平面PAD,故 PA⊥BD.（2）如图，作DE⊥PB，垂足为E.已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC.由（1）知BD⊥AD，又BC∥AD，所以BC⊥BD,因为BD∩PD=D,故BC⊥平面PBD，所以BC⊥DE.则DE⊥平面PBC.由题设知，PD=1，则BD=3，PB=2，，根据DE·PB=PD·BD，得DE=32即棱锥D-PBC的高为3.2。
人教版七年级下册物理第七章测试题(附答案)一、选择题1. 在大气压力附近的一根轻管内，有一滴水，此时轻管外的气压和水管里的水的压强相等，那么轻管内的水的压强为（）。
A. 大于大气压力B. 等于大气压力C. 小于大气压力2. 制作者可以通过增加风琴板的吹气孔的个数，减小风琴板中的罗里琴音。
这种现象可以说明（）。
A. 罗里琴音是由风琴板的吹气孔而引起的B. 罗里琴音是由风琴板本身而引起的C. 吹气孔的个数与罗里琴音无关3. 四条相同质量的金属板，分别是铁、铜、铝和锌，将它们一个个拿在手上，感到最冷的是（）。
A. 铁B. 铜C. 铝D. 锌4. 冷热水龙头的设计有利于节约能源。
其原因之一是（）。
A. 冷热水龙头开关设计合理B. 冷热水龙头安装位置合理C. 冷、热水管道分开设计5. 宇航员在太空，不受重力影响，但依然能吃到饭、住在舱里，这是因为（）。
A. 太空有氧气，能呼吸B. 太空没有空气，不受空气的阻力C. 太空没有重力，不存在磁力二、填空题1. 空气按压力大小可分为空气、微风、大风，而这个压力叫__气压__。
2. 壁画壁画大的部分比较低，声音大、高部分高，声音小。
这对于调整声音使之更加悦耳和舒适有一定的作用。
3. 甲是轻气体。
要研究甲的导热性，可将块体甲和块体乙同时放到火上。
这样可以比较两个物质的__导热性__。
4. 壁画是由铜琴问题，吹气孔数越多，发出的声音越__小__。
三、简答题1. 什么是气压？2. 什么是声音的音调？它由什么决定？3. 什么是导热性？如何测量物质的导热性？4. 为什么风琴板的罗里琴音可以通过增加吹气孔的个数来减小？四、解答题1. 描述三种不同的声音，并说明它们的特点。
2. 何为物质的导热性？请列举几种导热性较好和导热性较差的物质。
答案一、选择题1. B2. A3. A4. C5. B二、填空题1. 气压2. 音乐厅3. 导热性4. 小三、简答题1. 气压是空气由于受到地球重力的作用所产生的压力。
2022年初中物理《八下第七章力》重力（选择题）真题模拟练习题+答案及解析姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分得分评卷人得分1、如图。
为我国自主研发的长航程极地漫游机器人，装有四条三角形履带轮。
若机器人质量是500kg，在南极执行某次任务时，20min内自主行走了18km。
求：（1）该机器人所受到的重力是多少？（2）它本次自主行走的平均速度为多少？答案（1）该机器人所受到的重力是5000N；（2）它本次自主行走的平均速度为54km/h。
【解析】（1）机器人的重力：G＝mg＝500kg×10N/kg＝5000N；（2）由题知，路程s＝18km，时间t＝20min＝h，机器人的平均速度：v＝＝＝54km/h。
2、下列物体重力最接近1N的是（）A．一枚大头针B．一头奶牛 C．两个鸡蛋 D．一张书桌答案C【解析】A、一枚大头针的质量非常小，受到的重力也非常小，一般不超过0.01N，故A不符合题意；B、一头奶牛的质量在300kg左右，受到的重力大约为G＝mg＝300kg×10N/kg＝3000N左右，故B不符合题意；C、两个鸡蛋的质量在100g＝0.1kg左右，受到的重力为G＝mg＝0.1kg×10N/kg＝1N，故C符合题意；D、一张书桌的质量在15kg左右，受到的重力为G＝mg＝15kg×10N/kg＝150N，故D不符合题意。
选C。
3、关于重心，下列说法正确的是（）A．空心的足球没有重心B．物体的重心不一定在物体上C．将质地均匀的木球的中心挖去后，木球的重心就消失了D．物体受到的力全部都作用在重心上答案B【解析】A、任何物体都有重心，故A错误；B、重心不一定在物体上，也可以物体之外，比如均匀的圆环，重心在环外。
故B正确；C、物体重心的位置可以在物体上，也可以在物体外，如圆环、空心球它们的重心在中间的空心部位上，所以质地均匀的木球的中心挖去后，重心仍在其球心处，故C错误；D、重心是物体各部分所受重力的集中点，而物体受到的力并非都作用在重心上，故D错误。
人教版第七章力练习一、选择题1.下列物体重力最接近1N的是（）A. 一枚大头针B. 一张书桌C. 一头奶牛D. 两个鸡蛋2、下列四个选项中表示力能使物体的运动状态发生改变的是（）A.用力将拉力器拉长B.飞来的网球使网球拍的网变形C.运动员将弓拉弯D.运动员用头将飞来的足球顶飞3．下列关于力的说法中，正确的是（）A．两个物体相接触就一定有力的作用B．两个物体不接触就一定没有力的作用C．没有物体也可能有力的作用D．力是物体对物体的作用，离开物体就没有力4.如果没有重力，则下列所描述的现象会存在的是（）A. 河水仍然可以流动B. 杯中的水仍然可以倒出来C. 人起跳后仍然会落回地面D. 弹簧拉伸后仍然有弹力5．下列有关力的说法正确的是（ ）A．两个物体不接触就不会发生力的作用B．如图所示，用大小相同的力往同一方向推门时，发现推A点比推C点要容易，说明力的作用效果与力的作用点有关C．用手提水桶时，只有手对水桶施加了力，而水桶对手没有力的作用D．放在桌面上的水杯对桌面的压力不是弹力6．如图所示，一根弹簧一端固定在竖直墙上，在弹性限度内用手水平向右拉伸弹簧的另一端，下列有关“弹簧形变产生的力”的描述正确的是（）A．手对弹簧的拉力B．弹簧对手的拉力C．墙对弹簧的拉力D．以上说法都不正确7.在校园足球赛中，小科大力一脚，足球在空中划过一道优美的弧线，然后进入球门，如图所示。
若忽略空气阻力，则使足球在空中弧线飞行的施力物体是（）A.小科B. 足球C. 地球D. 守门员8、小明游览某处古塔时，利用一根细棉线和一个小铁球，对一根立柱是否竖直展开实验探究。
现象如图甲、乙所示，相对立柱底端而言，该立柱顶端（）A．略向东南方向倾斜B．略向西南方向倾斜C．略向西北方向倾斜D．略向东北方向倾斜9．如图所示，甲、乙两位同学分别用30N的力水平拉弹簧测力计的两端，弹簧测力计处于静止状态，则弹簧测力计示数是（ ）A．15N B．30N C．0N D．60N10．如图所示，小明发现，大风过后学校的欢迎靠牌经常被吹倒。
《土力学》第七章习题集及详细解答第7章土的抗剪强度一、填空题1. 土抵抗剪切破坏的极限能力称为土的___ _ ____。
2. 无粘性土的抗剪强度来源于____ _______。
3.粘性土处于应力极限平衡状态时，剪裂面与最大主应力作用面的夹角为。
4.粘性土抗剪强度库仑定律的总应力的表达式，有效应力的表达式。
5.粘性土抗剪强度指标包括、。
6. 一种土的含水量越大，其内摩擦角越。
7.已知土中某点，，该点最大剪应力值为，与主应力的夹角为。
8. 对于饱和粘性土，若其无侧限抗压强度为，则土的不固结不排水抗剪强度指标。
9. 已知土中某点，，该点最大剪应力作用面上的法向应力为，剪应力为。
10. 若反映土中某点应力状态的莫尔应力圆处于该土的抗剪强度线下方，则该点处于_____ _______状态。
【湖北工业大学2005年招收硕士学位研究生试题】11.三轴试验按排水条件可分为、、三种。
12.土样最危险截面与大主应力作用面的夹角为。
13.土中一点的摩尔应力圆与抗剪强度包线相切，表示它处于状态。
14. 砂土的内聚力（大于、小于、等于）零。
二、选择题1．若代表土中某点应力状态的莫尔应力圆与抗剪强度包线相切，则表明土中该点 ( )。
(A)任一平面上的剪应力都小于土的抗剪强度(B)某一平面上的剪应力超过了土的抗剪强度(C)在相切点所代表的平面上，剪应力正好等于抗剪强度(D)在最大剪应力作用面上，剪应力正好等于抗剪强度2. 土中一点发生剪切破坏时，破裂面与小主应力作用面的夹角为( )。
(A) (B)(C) (D)3. 土中一点发生剪切破坏时，破裂面与大主应力作用面的夹角为( )。
(A) (B)(C) (D)4. 无粘性土的特征之一是( )。
(A)塑性指数(B)孔隙比(C)灵敏度较高(D)粘聚力5. 在下列影响土的抗剪强度的因素中，最重要的因素是试验时的( )。
(A)排水条件（B）剪切速率 (C)应力状态 (D)应力历史6．下列说法中正确的是( )(A)土的抗剪强度与该面上的总正应力成正比(B)土的抗剪强度与该面上的有效正应力成正比(C)剪切破裂面发生在最大剪应力作用面上(D)破裂面与小主应力作用面的夹角为7. 饱和软粘土的不排水抗剪强度等于其无侧限抗压强度试验的（）。
习题7-11.判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并指出集合的边界.（1）{}(,)0,0x y x y ≠≠；（2）{}22(,)14x y x y <+≤；（3）{}2(,)x y y x >；（4）{}2222(,)(1)1(2)4x y x y x y +-≥+-≤且.解 （1）集合是开集，无界集；边界为{(,)0x y x =或0}y =. （2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；边界为2222{(,)1}{(,)4}x y x y x y x y +=+= .（3）集合是开集，区域，无界集；边界为2{(,)}x y y x =. （4）集合是闭集，有界集；边界为2222{(,)(1)1}{(,)(2)4}x y x y x y x y +-=+-=2.已知函数(,)v f u v u =，试求(,)f xy x y +. 解 ()()(,)x y f xy x y xy ++=.3.设(,)2f x y xy =，证明：2(,)(,)f tx ty t f x y =.解)222(,)222f tx ty t xy t t xy t xy ===2(,)t f x y =.4.设y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭(0)x >，求()f x . 解由于y f x ⎛⎫==⎪⎝⎭，则()f x =5.求下列各函数的定义域：（1）2222x y z x y+=-； （2）ln()arcsin y z y x x =-+；（3）ln()z xy =； （4）z =；（5）z =（6）u =.解 （1）定义域为{}(,)x y y x ≠±； （2）定义域为{}(,)x y x y x <≤-；（3）定义域为{}(,)0x y xy >，即第一、三象限（不含坐标轴）；（4）定义域为2222(,)1x y x y a b ⎧⎫+≤⎨⎬⎩⎭； （5）定义域为{}2(,)0,0,x y x y x y ≥≥≥；（6）定义域为{}22222(,,)0,0x y z x y z x y +-≥+≠.6.求下列各极限：（1）22(,)(2,0)lim x y x xy y x y →+++； （2）(,)(0,0)lim x y →； （3）22(,)(0,0)1lim ()sinx y x y xy →+； （4）(,)(2,0)sin()lim x y xy y→；（5）1(,)(0,1)lim (1)xx y xy →+； （6）22(,)(,)lim()x y x y x y e --→+∞+∞+.解：（1）22(,)(2,0)4lim (2,0)22x y x xy y f x y →++===+；（2）(,)(0,0)00112lim lim 2x y u u u u →→→===；（3）因为22(,)(0,0)lim ()0x y x y →+=，且1s i n1xy≤有界，故22(,)(0,0)1lim ()sin 0x y x y xy →+=； （4）(,)(2,0)(,)(2,0)sin()sin()limlim 212x y x y xy xy x y xy →→==⋅=；（5）111(,)(0,1)(,)(0,1)lim (1)lim (1)y xyxx y x y xy xy e e ⋅→→+=+==；（6）当0x N >>，0y N >>时，有222()()0x y x yx y x y e e ++++<<，而()22(,)(,)22limlim lim lim 0x yu u u x y u u u x y u u e e e e+→+∞+∞→+∞→+∞→+∞+==== 按夹逼定理得22(,)(,)lim()0.x y x y x y e --→+∞+∞+=7.证明下列极限不存在： （1）(,)(0,0)limx y x yx y →+-；（2）设2224222,0,(,)0,0,x yx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩(,)(0,0)lim (,)x y f x y →.证明 （1）当(,)x y 沿直线y kx =趋于(0,0)时极限(,)(0,0)01limlim 1x y x y kxx y x kx kx y x kx k →→=+++==--- 与k 有关，上述极限不存在.（2）当(,)x y 沿直线y x =和曲线2y x =趋于(0,0)有2242422(,)(0,0)00lim lim lim 01x y x x y x y xx y x x x x y x x x →→→=====+++， 2222442444(,)(0,0)001lim lim lim 22x y x x y xy xx y x x x x y x x x →→→=====++， 故函数(,)f x y 在点(0,0)处二重极限不存在.8.指出下列函数在何处间断：（1）22ln()z x y =+； （2）212z y x=-. 解（1）函数在(0,0)处无定义，故该点为函数22ln()z x y =+的间断点； （2）函数在抛物线22y x =上无定义，故22y x =上的点均为函数212z y x=-的间断点.9.用二重极限定义证明：(,)lim0x y →=.证22102ρ=≤=(,)P x y ，其中||OP ρ==，于是，0ε∀>，20δε∃=>；当0ρδ<<时，0ε-<成立，由二重极限定义知(,)lim0x y →=.10.设(,)sin f x y x =，证明(,)f x y 是2R 上的连续函数.证 设2000(,)P x y ∈R .0ε∀>，由于sin x 在0x 处连续，故0δ∃>，当0||x x δ-<时，有0|sin sin |x x ε-<.以上述δ作0P 的δ邻域0(,)U P δ，则当0(,)(,)P x y U P δ∈时，显然 00||(,)x x P P ρδ-<<，从而000|(,)(,)||sin sin |f x y f x y x x ε-=-<，即(,)sin f x y x =在点000(,)P x y 连续.由0P 的任意性知，sin x 作为x 、y 的二元函数在2R 上连续.习题7－21.设(,)z f x y =在00(,)x y 处的偏导数分别为00(,)x f x y A =，00(,)y f x y B =，问下列极限是什么？（1）00000(,)(,)limh f x h y f x y h →+-； （2）00000(,)(,)lim h f x y f x y h h→--；（3）00000(,2)(,)lim h f x y h f x y h →+-； （4）00000(,)(,)lim h f x h y f x h y h→+--.解 （1）0000000(,)(,)lim(,)x h f x h y f x y z x y A h→+-==； （2）000000000000(,)(,)(,)(,)limlim (,)y h h f x y f x y h f x y h f x y z x y B h h→→----===-； （3）0000000000(,2)(,)(,2)(,)limlim 222h h f x y h f x y f x y h f x y B h h→→+-+-=⋅=；（4）00000(,)(,)limh f x h y f x h y h→+--[][]0000000000000000000000000000(,)(,)(,)(,)lim(,)(,)(,)(,)lim (,)(,)(,)(,)lim lim 2.h h h h f x h y f x y f x y f x h y hf x h y f x y f x h y f x y h f x h y f x y f x h y f x y h h A A A →→→→+-+--=+----=+---=+-=+= 2.求下列函数的一阶偏导数： （1）x z xy y=+； （2）ln tan x z y =；（3）e xyz =； （4）22x y z xy+=；（5）222ln()z x x y =+； （6）z = （7）sec()z xy =； （8）(1)y z xy =+；（9）arctan()z u x y =- （10）zx u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭.解（1）1z y x y ∂=+∂，2z x x y y∂=-∂； （2）12211tan sec cot sec z x x x x x y y y y y y -⎛⎫⎛⎫∂=⋅⋅= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭， 12222tan sec cot sec z x x x x x x y y y y y y y-⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=⋅⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （3）xy xy z e y ye x ∂=⋅=∂，xy xy ze x xe y∂=⋅=∂； （4）()2222222222()2()1z x xy x y y x y x y y y x x y y x xy ∂⋅-+⋅-+⋅===-∂， ()2222222222()2()1z y xy x y x xy x y x x y x y x y xy ∂⋅-+⋅-+⋅===-∂；（5）232222222222ln()22ln()z x x x x y x x x y x x y x y ∂=++⋅=++∂++， 22222222z x x yy y x y x y∂=⋅=∂++； （6）1z y x xy ∂=⋅=∂1z x y xy ∂=⋅=∂ （7）tan()sec()tan()sec()zxy xy y y xy xy x∂=⋅=∂， tan()sec()tan()sec()zxy xy x x xy xy y∂=⋅=∂； （8）121(1)(1)y y zy xy y y xy x--∂=+⋅=+∂， ln(1)(1)ln(1)1y xy z xy e y xy xy y y xy +⎡⎤∂∂⎡⎤==+⋅++⎢⎥⎣⎦∂∂+⎣⎦； （9）11221()()1()1()z z z zu z x y z x y x x y x y --∂-=⋅-=∂+-+-， 11221()()(1)1()1()z z z zu z x y z x y y x y x y --∂-=⋅-⋅-=-∂+-+-， 221()ln()()ln()1()1()z zz zu x y x y x y x y z x y x y ∂--=⋅-⋅-=∂+-+-； （10）111z z ux z x z x y y y y --⎛⎫⎛⎫∂=⋅= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭，12z zux x z x z y y y y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ln z u x x y y y⎛⎫∂=⋅ ⎪∂⎝⎭. 3.设(,)ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求(1,0)x f ，(1,0)y f . 解法一 由于(,0)ln f x x =，所以1(,0)x f x x=，(1,0)1x f =； 由于(1,)ln 12y f y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以11(1,)212yf y y =⋅+，1(1,0)2y f =.解法二 21(,)122x y f x y y x x x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭+，11(,)22y f x y y x x x=⋅+， 10(1,0)110212x f ⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭+，111(1,0)02212y f =⋅=+. 4.设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x . 解法一由于(,1)(11)arcsinf x x x =+-，(,1)()1x f x x '==. 解法二1(,)1x f x y y =，(,1)1x f x =. 5.设2(,)xt yf x y e dt -=⎰，求(,)x f x y ，(,)y f x y .解 2(,)x x f x y e -=，2(,)y f x y e -=-. 6.设yxz xy xe =+，证明z zxy xy z x y∂∂+=+∂∂. 解 由于21y y yx x x z y y y e xe y e x x x ⎛⎫∂⎛⎫=+-⋅=+-⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭， 1y y x x z x xe x e y x∂=+⋅=+∂， 所以1()yy y yx x x xz z y x y x y e y x e xy e x y xy ye x y x ⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫+=+-++=+-++ ⎪⎢⎥ ⎪∂∂⎝⎭⎣⎦⎝⎭yxxy xe xy xy z =++=+.7.（1）22,44x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点(2,4,5)处的切线与x 轴正向所成的倾角是多少？ （2）1z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩在点(1,1处的切线与y 轴正向所成的倾角是多少？解 （1）按偏导数的几何意义，(2,4)x z 就是曲线在点(2,4,5)处的切线对于x 轴正向所成倾角的斜率，而21(2,4)12x x z x ===，即tan 1k α==，于是倾角4πα=. （2）按偏导数的几何意义，(1,1)y z就是曲线在点(1,1处的切线对于y 轴正向所成倾角的斜率，而11(1,1)3y z ===，即1tan 3k α==，于是倾角6πα=.8.求下列函数的二阶偏函数：（1）已知33sin sin z x y y x =+，求2z x y ∂∂∂； （2）已知ln xz y =，求2z x y∂∂∂；（3）已知ln(z x =+，求22z x ∂∂和2zx y∂∂∂；（4）arctan y z x =求22z x ∂∂、22z y ∂∂、2z x y ∂∂∂和2zy x∂∂∂.解（1）233sin cos z x y y x x ∂=+∂，2223cos 3cos z x y y x x y∂=+∂∂； （2）ln ln 1ln ln x x z y y y y x x x∂=⋅=∂， 2ln ln 1ln 1111ln ln (1ln ln )xx x z y y x y y x y x y x y x--⎛⎫∂=+⋅⋅=+ ⎪∂∂⎝⎭； （3）1z x ⎛⎫∂==∂==，()232222zxx xy∂-==∂+，()23222z yx y xy∂-==∂∂+；（4）222211z y y xx x y y x ∂⎛⎫=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222111z x y x x y y x ∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()222222z xy x x y ∂=∂+，()222222z xyy x y ∂-=∂+，()()2222222222222z x y y y x x y x y x y ∂+--=-=∂∂++，()()2222222222222z x y x y x y x x y x y ∂+--==∂∂++. 9.设222(,,)f x y z xy yz zx =++，求(0,0,1xx f ，(1,0,2)xz f ，(0,1,0)yz f -及(2,0,1)zzx f .解 因为22x f y xz =+，2xx f z =，2xz f x =， 22y f xy z =+，2yz f z =，22z f yz x =+，2zz f y =，0zzx f =，所以(0,0,1)2xx f =，(1,0,2)2xz f =，(0,1,0)0yz f -=，(2,0,1)0zzx f =.10.验证： （1）2esin kn ty nx -=满足22y yk t x∂∂=∂∂；（2）r =2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂.证 （1）因为22e sin kn t y kn nx t -∂=-∂，2e cos kn t y n nx x -∂=∂，2222e sin kn ty n nx x-∂=-∂ 所以()2222e sin kn ty y k n nx k t x-∂∂=-=∂∂； （2）因为r x x r ∂==∂，2222231r x x x r x x x r r r r r ∂∂-⎛⎫==-⋅= ⎪∂∂⎝⎭， 由函数关于自变量的对称性，得22223r r y y r ∂-=∂，22223r r z z r ∂-=∂， 所以 2222222222223332r r r r x r y r z x y z r r r r∂∂∂---++=++=∂∂∂. 习题7－31.求下列函数的全微分：（1）2222s tu s t+=-； （2）2222()e x y xyz x y +=+；（3）arcsin(0)xz y y=>； （4）ey x x y z ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=；（5）222ln()u x y z =++； （6）yzu x =.解 （1）()()222222222222()2()4u s s t s s t st s s t s t ∂--+==-∂--， ()()222222222222()2()4u t s t t s t s tt s t s t ∂-++==∂--， ()()()22222222222444d d d (d d )st s tstu s t t s s t ststst=-+=-----；（2）22222222244222222()2()2x y x y x y xyxyxyzx y x y yx y xe x y eex xx y x y +++⎛⎫∂-+-=++=+ ⎪∂⎝⎭，由函数关于自变量的对称性可得224422x y xyzy x e y yxy +⎛⎫∂-=+ ⎪∂⎝⎭， 22444422d 2d 2d x y xyx y y x z ex x y y x y xy +⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦； （3）21d d arcsind d x x x z x y y yy y ⎛⎫⎫===- ⎪⎪⎝⎭⎭)d d y x x y =-；（4）d d d y x y x x y x y y x z e e x y ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥==-⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2211d d y x x y y x ex y y x x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（5）()2222222221d d ln()d u x y z x y zx y z ⎡⎤=++=++⎣⎦++2222222d 2d 2d 2(d d d )x x y y z z x x y y z z x y z x y z++==++++++； （6）()1d d d ln d ln d yz yz yz yzu x yzx x x z x y x y x z -==++()1d ln d ln d yz x yz x xz x y xy x z -=++.2.求下列函数的全微分：（1）22ln(1)z x y =++在1x =，2y =处的全微分； （2）2arctan 1xz y=+在1x =，1y =处的全微分. 解 （1）因为2222222211d d ln(1)d(1)(2d 2d )11z x y x y x x y y x y x y ⎡⎤=++=++=+⎣⎦++++ 所以12112d (2d 4d )d d 633x y z x y x y ===+=+； （2）因为22221d d arctand 1111x x z y y x y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪++⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪+⎝⎭()22222222211212d d d d 11111y xy xy x y x y y x y y x y y ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥=-=- ⎪⎢⎥++++++⎝⎭+⎣⎦ 所以()1222111121d d d d d 113x y x y xy z x y x y y x y ====⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭. 3. 求函数23z x y =当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时的全微分.解 因为()23322322d d 2d 3d 23z x y xy x x y y xy x x y y ==+=∆+∆所以当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时全微分为d 4120.080.120.2z x y =-∆+∆=--=-.4.求函数22xyz x y=-当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时的全微分和全增量，并求两者之差.解 因为()()222222222d()d()d d x y xy xy x y xy z x y x y ---⎛⎫== ⎪-⎝⎭- ()()()()()222332222222(d d )(2d 2d )d d x y y x+x y xy x x y y x y y x+x +xy y xyx y -----==-- 所以当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时全微分的值为()()()2332222(,)(2,1)0.01,0.030.25d 0.0277779x y x y x y y x+x +xy yz x y =∆=∆=--∆∆==≈-， 而当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时的全增量为()()()()2222(,)(2,1)0.010.030.028252x y x y x x y y xy z x y x x y y =∆=∆=⎡⎤+∆+∆∆=-≈⎢⎥-+∆-+∆⎢⎥⎣⎦， 全增量与全微分之差为d 0.0282520.0277770.000475z z ∆-≈-=.习题7－41.设2e x yu -=，sin x t =，3y t =，求d d u t. 解3222sin 22d d d cos 23(cos 6)d d d x y x y t t u u x u ye t e t e t t t x t y t---∂∂=+=-⋅=-∂∂. 2.设arccos()z u v =-，而34u x =，3v x =，求d d z x. 解2d d d 123d d d z z u z v x x u x v x ∂∂=+=+∂∂2314x -=3.设22z u v uv =-，cos u x y =，sin v x y =，求z x ∂∂，z y∂∂. 解()()222cos 2sin z z u z v uv v y u uv y x u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-⋅∂∂∂∂∂ 23sin cos (cos sin )x y y y y =-，()()()222sin 2cos z z u z v uv v x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅-+-⋅∂∂∂∂∂ 33232(sin 2sin cos cos 2cos sin )x y y y y y y =-+-.4.设2ln z u v =，而32u x y =+，y v x =，求z x ∂∂，z y∂∂. 解 222ln 3z z u z v u y u v x u x v x v x ∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭216(32)ln(32)y x y x y x x=+-+， 22112ln 24(32)ln (32)z z u z v u y u v x y x y y u y v y v x x y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅=+++∂∂∂∂∂. 5. 设2(,,)ln(sin )z f u x y u y x ==+，ex yu +=，求z x ∂∂，zy∂∂. 解22112cos sin sin x y z z u f u e y x x u x x u y x u y x+∂∂∂∂=⋅+=⋅⋅+⋅∂∂∂∂++ ()()222cos sin x y x y e y xe y x+++=+， 22112sin sin sin x y z z u f u e x y u y y u y x u y x+∂∂∂∂=⋅+=⋅⋅+⋅∂∂∂∂++ ()()222sin sin x y x y e xe y x+++=+. 6.设222sin()u x y z =++，x r s t =++，y rs st tr =++，z rst =，求u r ∂∂，us∂∂，ut∂∂. 解[]22222()2cos()u u x u y u z x y s t zst x y z r x r y r z r∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr s t rs t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦，[]22222()2cos()u u x u y u zx y r t zrt x y z s x s y s z s∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr r t r st r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦，[]22222()2cos()u u x u y u z x y s r zrs x y z t x t y t z t∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr r s r s t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦.7.设arctanxz y=，x u v =+，y u v =-，求z u ∂∂，z v ∂∂，并验证：22z z u vu v u v∂∂-+=∂∂+.解222221111111z z x z y x y xu x u y uy y x y x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂-=⋅+⋅=⋅⋅+⋅-⋅= ⎪∂∂∂∂∂+⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()222221111111z z x z yx y xv x v y vy y x y x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂+=⋅+⋅=⋅⋅+⋅-⋅-= ⎪∂∂∂∂∂+⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则222222222()()()z z y x y x u v u vu v x y x y u v u v u v ∂∂-+--+=+==∂∂++++-+. 8.设22(,,)z f x y t x y t ==-+，sin x t =，cos y t =，求d d z t. 解d d d 2cos 2(sin )12sin 21d d d z z x z y f x t y t t t x t y t t∂∂∂=⋅+⋅+=--+=+∂∂∂. 9.求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）： （1）22()z f x y =-； （2）,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭； （3）(,,)u f x xy xyz =； （4）22(,,ln )xy u f x y e x =-. 解（1）222()z xf x y x ∂'=-∂，222()zyf x y y∂'=--∂； （2）111f u f x y y '∂'=⋅=∂，12122211u x x f f f f y y z y z ⎛⎫∂''''=⋅-+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭， 2222u y y f f z z z ∂⎛⎫''=⋅-=- ⎪∂⎝⎭； （3）123u f yf yzf x ∂'''=++∂，23uxf xzf y ∂''=+∂，3u xyf z ∂'=∂； （4）12312xy u xf ye f f x x ∂'''=++∂，122xy u yf xe f y∂''=-+∂. 10.设()z xy xF u =+，而yu x=，()F u 为可导函数，证明： z zxy z xy x y∂∂+=+∂∂.证 ()()()z z u u xy x y F u xF u y x xF u x y x y ⎡⎤∂∂∂∂⎡⎤''+=++++⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦ []()()()yx y F u F u y x F u x ⎡⎤''=+-++⎢⎥⎣⎦()xy xF u xy z xy =++=+. 11.设[cos()]z y x y ϕ=-，试证：z z zx y y∂∂+=∂∂. 证sin()[cos()]sin()z z y x y x y y x y x yϕϕϕ∂∂''+=--+-+-∂∂ [cos()]z x y yϕ=-=. 12.设,kz y u x F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，且函数,z y F x x ⎛⎫⎪⎝⎭具有一阶连续偏导数，试证： u u uxy z ku x y z∂∂∂++=∂∂∂. 证11222k k u z y kx F x F F x x x -∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫''=+-+- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1221k k ux F x F y x -∂''=⋅=∂， 1111k k u x F x F z x-∂''=⋅=∂， 11111111k k k k k u u u xy z kx F x zF x yF x yF x zF ku x y z----∂∂∂''''++=--++=∂∂∂. 13.设sin (sin sin )z y f x y =+-，试证：sec sec 1z zxy x y∂∂+=∂∂. 证cos z f x x ∂'=∂，cos (cos )zy y f y∂'=+-∂， sec sec sec cos sec cos sec (cos )1z zxy x xf y y y y f x y∂∂''+=++-=∂∂. 14.求下列函数的二阶偏导数22z x ∂∂，2z x y ∂∂∂，22zy ∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）：（1）(,)z f xy y =； （2）22()z f x y =+；（3）22(,)z f x y xy =； （4）(sin ,cos ,)x y z f x y e +=. 解 （1）令s xy =，t y =，则(,)z f xy y =，s 和t 是中间变量.11z s f yf x x ∂∂''=⋅=∂∂，1212d d z s tf f xf f y y y∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂. 因为(,)f s t 是s 和t 的函数，所以1f '和2f '也是s 和t 的函数，从而1f '和2f '是以s 和t 为中间变量的x 和y 的函数.故()22111112z z s yf yf y f x x x x x∂∂∂∂∂⎛⎫'''''===⋅= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， ()211111211112d d z z s t yf f y f f f xyf yf x y y x y y y ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫'''''''''''===+⋅+⋅=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，()212111221222d d d d z z s t s t xf f x f f f f y y y y yy y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂''''''''''==+=+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 21112222x f xf f ''''''=++. （2）令22s x y =+，则22()z f x y =+是以s 为中间变量的x 和y 的函数.2z s f xf x x ∂∂''=⋅=∂∂，2z sf yf y y∂∂''=⋅=∂∂. 因为()f s 是s 的函数，所以f '也是s 的函数，从而f '是以s 中间变量的x 和y 的函数.故()()222222224z z xf f xf x f x f x x x x∂∂∂∂⎛⎫'''''''===+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭， ()()22224z z xf xf y xyf x y y x y∂∂∂∂⎛⎫'''''===⋅= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， ()()222222224z z yf f yf y f y f y y y y⎛⎫∂∂∂∂'''''''===+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭. （3）令2s xy =2t x y =，则212122z s t f f y f xyf x x x ∂∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂∂，212122z s tf f xyf x f y y y∂∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂∂. ()221222z z y f xyf x x x x∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭211122212222s t s t y f f yf xy f f x x x x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫'''''''''=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭()()2221112221222222y y f xyf yf xy y f xyf '''''''''=++++ 43222111222244yf y f xy f x y f '''''''=+++， ()22122z z y f xyf x y y x y∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭ 21111222122222s t s t yf y f f xf xy f f y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂''''''''''=+⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()222111122212222222yf y xyf x f xf xy xyf x f ''''''''''=+++++ 32231211122222252yf xf xy f x y f x yf ''''''''=++++， ()221222z z xyf x f y y y y⎛⎫∂∂∂∂''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 211112212222s t s t xf xy f f x f f y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂'''''''''=+⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()2221111221222222xf xy xyf x f x xyf x f '''''''''=++++ 22341111222244xf x y f x yf x f '''''''=+++. （4）令sin u x =，cos v y =，x yw e +=，则1313d cos d x y z u w f f xf e f x x x +∂∂''''=+=+∂∂，2323d sin d x y z v w f f yf e f y y y+∂∂''''=+=-+∂∂. ()2132cos x y z z xf e f x x x x+∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 1111333133d d sin cos d d x y x y u w u w xf x f f e f e f f x x xx ++∂∂⎛⎫⎛⎫''''''''''=-+++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()1111333133sin cos cos cos x yx y x y x y xf x xf e f e f e xf e f ++++''''''''''=-+++++ ()2231111333sin cos 2cos x y x yx y ef xf xf e xf e f +++''''''''=-+++， ()213cos x y z z xf e f x y y x y+∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭121333233d d cos d d x y x y v w v w x f f e f e f f y y yy ++⎛⎫⎛⎫∂∂'''''''''=++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()121333233cos sin sin x yx y x y x y x yf e f e f e yf e f ++++'''''''''=-+++-+ ()2312133233cos sin cos sin x y x yx y x y ef x yf e xf e yf e f ++++'''''''''=-+-+， ()2232sin x y z z yf e f y y y y+⎛⎫∂∂∂∂''==-+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 2222333233d d cos sin d d x y x y v w v w yf y f f e f e f f y y yy ++⎛⎫⎛⎫∂∂''''''''''=--++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()2222333233cos sin sin sin x yx y x y x y yf y yf e f e f e yf e f ++++''''''''''=---+++-+ ()2232222333cos sin 2sin x y x yx y e f yf yf e yf e f +++''''''''=-+-+.习题7－51.设2cos e 0x y x y +-=，求d d yx. 解 设2(,)cos e x F x y y x y =+-，则22d e 2e 2d sin sin x x x y F y xy xyx F y x y x --=-=-=--+. 2.设ln ln 1xy y x ++=，求1d d x yx =. 解 设(,)ln ln 1F x y xy y x =++-，则221d 1d x y y F y xy y x x F x y x x y++=-=-=-++. 当1x =时，由ln ln 1xy y x ++=知1y =，所以1d 1d x yx ==-. 3.设arctany x =，求d d y x. 解设(,)ln arctan y F x y x=，则2222222222211d11d1xyyx x yyFy x yx y x yxy xx F x yx x y x yyx⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭=-=-=-=--⋅-++⎛⎫+ ⎪⎝⎭.4.设222cos cos cos1x y z++=，求zx∂∂，zy∂∂.解设222(,,)cos cos cos1F x y z x y z=++-，则2cos sin sin22cos sin sin2xzFz x x xx F z z z∂-=-=-=-∂-，2cos sin sin22cos sin sin2yzFz y y yy F z z z∂-=-=-=-∂-.5.设方程(,)0F x y z xy yz zx++++=确定了函数(,)z z x y=，其中F存在偏导函数，求zx∂∂，zy∂∂.解1212()()xzF F y z Fzx F F y x F''++∂=-=-∂''++，1212()()yzF F x z Fzy F F y x F''++∂=-=-∂''++.6.设由方程(,,)0F x y z=分别可确定具有连续偏导数的函数(,)x x y z=，(,)y y x z=，(,)z z x y=，证明：1x y zy z x∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂.证因为yxFxy F∂=-∂，zyFyz F∂=-∂，xzFzx F∂=-∂，所以1y xzx y zF FFx y zy z x F F F⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⋅⋅=-⋅-⋅-=-⎪⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7.设(,)u vϕ具有连续偏导数，证明由方程(,)0cx az cy bzϕ--=所确定的函数(,)z f x y=满足z za b cx y∂∂+=∂∂.证令u cx az=-，v cy bz=-，则x u u u c x ϕϕϕ∂=⋅=∂，y v v vc yϕϕϕ∂=⋅=∂，z u v u v u v a b z z ϕϕϕϕϕ∂∂=⋅+⋅=--∂∂. x u z u v c z x a b ϕϕϕϕϕ∂=-=∂+，y v z u vc zy a b ϕϕϕϕϕ∂=-=∂+. 于是 u v u v u vc c z zab a bc x y a b a b ϕϕϕϕϕϕ∂∂+=⋅+⋅=∂∂++. 8.设0ze xyz -=，求22zx∂∂.解 设(,,)zF x y z e xyz =-，则x F yz =-，z z F e xy =-. 于是x zz F z yzx F e xy ∂=-=∂-， ()222()z z zz z ye xy yz e y z z x x x x x e xy ∂∂⎛⎫--- ⎪∂∂∂∂∂⎛⎫⎝⎭== ⎪∂∂∂⎝⎭-()22z z zyzy z yz e y e xy e xy ⎛⎫-⋅- ⎪-⎝⎭=-()2322322z zzy ze xy z y z e exy --=-.9.设(,)z z x y =是由方程2e 0zxz y --=所确定的隐函数，求2(0,1)zx y∂∂∂.解 设2(,,)e z F x y z xz y =--，则x F z =-，e z z F x =-，2y F y =-. 于是x z z F z z x F e x ∂=-=∂-，2y zz F z yy F e x∂=-=∂-， ()()22z z zz z e x z e z z y yx y y x ex ∂∂--⋅⋅∂∂∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂⎝⎭-()()222z zz zz y y e x ze e x e x e x ----=-()()322z zzy e x yze ex --=-.由20ze xz y --=，知(0,1)0z =，得2(0,1)2zx y∂=∂∂.10.求由方程xyz +=(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分d z .解设(,,)F x y z xyz =x z F zx F xy ∂=-==∂+，y z F zy F xy ∂=-==∂+，d d d z zz x y x y x y ∂∂=+=∂∂，(1,0,1)d d z x y -=.11.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：（1）设22222,2320,z x y x y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩求d d y x ，d d z x； （2）设0,1,xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，vy ∂∂； （3）设sin ,cos ,uux e u v y e u v ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，vy∂∂. 解 （1）分别在两个方程两端对x 求导，得d d 22,d d d d 2460.d d zy x y x xy z x y z x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩称项，得d d 22,d d d d 23.d d y z y x x xy z y z x xx ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩ 在 2162023y D yz y y z-==+≠的条件下，解方程组得213d 6(61)d 622(31)x x z yxz x x z x D yz y y z ------+===++. 222d 2d 6231y xy x z xy xx D yz y z --===++. （2）此方程组确定两个二元隐函数(,)u u x y =，(,)v v x y =，将所给方程的两边对x 求导并移项，得,.uv x y u x xu v y x v xx ∂∂⎧-=-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪+=-⎪∂∂⎩ 在220x yJ x y y x-==+≠的条件下，22u y v x u xu yvx y x x y y x ---∂+==--∂+， 22x uy v v yu xvx y x x yy x--∂-==-∂+. 将所给方程的两边对y 求导，用同样方法在220J x y =+≠的条件下可得22u xv yu y x y∂-=∂+，22v xu yv y x y ∂+=-∂+. （3）此方程组确定两个二元隐函数(,)u u x y =，(,)v v x y =是已知函数的反函数，令(,,,)sin u F x y u v x e u v =--，(,,,)cos u G x y u v y e u v =-+.则 1x F =，0y F =，sin u u F e v =--，cos v F u v =-， 0x G =，1y G =，cos u u G e v =-+，sin v G u v =-.在sin cos (,)(sin cos )0(,)cos sin u u u e v u v F G J ue v v u u v e v u v---∂===-+≠∂-+-的条件下，解方程组得1cos 1(,)1sin 0sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v x J x v J e v v -∂∂=-=-=-∂∂-+， 0cos 1(,)1cos 1sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v y J y v J e v v -∂∂-=-=-=-∂∂-+， sin 11(,)1cos (,)[(sin cos )1]cos 0u uu ue v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂-=-=-=∂∂-+-+， sin 01(,)1sin (,)[(sin cos )1]cos 1u uu u e v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂+=-=-=∂∂-+-+.习题7－61.求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程： （1）2x t =，1y t =-，3z t =在(1,0,1)处； （2）1t x t =+，1t y t+=，2z t =在1t =的对应点处；（3）sin x t t =-，1cos y t =-，4sin2t z =在点2π⎛- ⎝处； （4）2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩在点(1,1,3)处. 解 （1）因为2t x t '=，1t y '=-，23t z t '=，而点(1,0,1)所对应的参数1t =，所以(2,1,3)=-T .于是，切线方程为11213x y z --==-. 法平面方程为2(1)3(1)0x y z --+-=，即 2350x y z -+-=.（2）因为2211(1)(1)t t t x t t +-'==++，22(1)1t t t y t t -+'==-，2t z t '=，1t =对应着点1,2,12⎛⎫⎪⎝⎭，所以 1,1,24⎛⎫=- ⎪⎝⎭T .于是，切线方程为 1212148x y z ---==-. 法平面方程为 281610x y z -+-=.（3）因为1cos t x t '=-，sin t y t '=，2cos 2t t z '=，点1,12π⎛- ⎝对应在的参数为2t π=，所以(=T .于是，切线方程为112x y π-+=-=. 法平面方程为402x y π++--=. （4）将2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩的两边对x 求导并移项，得 d 22,d d d 220,d d yy x xy z y z xx ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 由此得 2002d 420d 422x z y xz x y x yz y y z --===-，2220d 420d 422y x y z xy xy x yz z y z-===.(1,1,3)d 1d y x =-，(1,1,3)d 1d 3z x =.从而 1,1,3=- ⎪⎝⎭T . 故所求切线方程为113331x y z ---==-. 法平面方程为 3330x y z -+-=.2.在曲线x t =，2y t =，3z t =上求一点，使此点的切线平行于平面24x y z ++=.解 因为1t x '=，2t y t '=，23t z t '=，设所求点对应的参数为0t ，于是曲线在该点处的切向量可取为200(1,2,3)t t =T .已知平面的法向量为(1,2,1)=n ，由切线与平面平行，得0⋅=T n ，即2001430t t ++=，解得01t =-和13-.于是所求点为(1,1,1)--或111,,3927⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 3.求下列曲面在指定点处的切平面和法线方程： （1）222327x y z +-=在点(3,1,1)处； （2）22ln(12)z x y =++在点(1,1,ln 4)处； （3）arctany z x =在点1,1,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭处. 解（1）222(,,)327F x y z x y z =+--，(,,)(6,2,2)x y z F F F x y z ==-n ，(3,1,1)(18,2,2)=-n .所以在点(3,1,1)处的切平面方程为9(3)(1)(1)0x y z -+---=，即 9270x y z +--=. 法线方程为311911x y z ---==-. （2）22(,,)ln(12)F x y z x y z =++-，222224(,,),,11212x y z x yF F F x y x y ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭n ，(1,1,ln 4),1,12=- ⎪⎝⎭n .所以在点(1,1,ln 4)处的切平面方程为2234ln 20x y z +--+=.法线方程为 12ln 2122y z x ---==-. （3）(,,)arctanyF x y z z x=-， 2222(,,),,1x y z y xF F F x y x y ⎛⎫-==- ⎪++⎝⎭n ， 1,1,411,,122π⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫=-- ⎪⎝⎭n . 所以在点1,1,4π⎛⎫⎪⎝⎭处的切平面方程为 202x y z π-+-=. 法线方程为 114112z x y π---==-. 4.求曲面2222321x y z ++=上平行于平面460x y z ++=的切平面方程.解 设222(,,)2321F x y z x y z =++-，则曲面在点(,,)x y z 处的一个法向量(,,)(2,4,6)x y z n F F F x y z ==.已知平面的法向量为(1,4,6)，由已知平面与所求切平面平行，得246146x y z ==，即12x z =，y z =. 代入曲面方程得 22223214z z z ++=. 解得 1z =±，则12x =±，1y =±. 所以切点为 1,1,12⎛⎫±±± ⎪⎝⎭. 所求切平面方程为 21462x y z ++=±5.证明：曲面(,)0F x az y bz --=上任意点处的切平面与直线x yz a b==平行（a ，b 为常数，函数(,)F u v 可微）.证 曲面(,)0F x az y bz --=的法向量为1212(,,)F F aF bF ''''=--n ，而直线的方向向量(,,1)a b =s ，由0⋅=n s 知⊥n s ，即曲面0F =上任意点的切平面与已知直线x yz a b==平行. 6.求旋转椭球面222316x y z ++=上点(1,2,3)--处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解 令222(,,)316F x y z x y z =++-，曲面的法向量为(,,)(6,2,2)x y z F F F x y z ==n ，曲面在点(1,2,3)--处的法向量为1(1,2,3)(6,4,6)--==--n n ，xOy 面的法向量2(0,0,1)=n ，记1n 与2n 的夹角为θ，则所求的余弦值为1212cos θ⋅===n n n n . 7.证明曲面3xyz a =（0a >，为常数）的任一切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为常数.证 设3(,,)F x y z xyz a =-，曲面上任一点(,,)x y z 的法向量为(,,)n yz xz xy =，该点的切平面方程为()()()0yz X x xz Y y xy Z z -+-+-=，即 33yzX xzY xyZ a ++=.这样，切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为33331333962a a a V a yz xz xy =⋅⋅⋅=.习题7－71.求函数22z x y =+在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2的方向的方向导数.。
第七章综合测试答案解析第Ⅰ卷一、 1．【答案】D【解析】哥白尼提出了日心说，迈出了人类认识宇宙历程中最艰难而重要的一步，故A 错误；开普勒通过总结第谷的观测数据提出行星绕太阳运行的轨道是椭圆，故B 错误；牛顿在前人研究的基础上发现和总结出万有引力定律，引力常量是后来卡文迪什通过实验测出的，故C 错误；海王星的发现验证了万有引力定律的正确性，显示了理论对实践的巨大指导作用，故D 正确。
2．【答案】D【解析】绝对时空观认为时间和空间是独立于物体及其运动而存在的，而相对论时空观认为时间和空间与物体及其运动有关系，故A 正确；相对论时空观认为物体的长度会因物体的速度不同而不同，故B 正确；牛顿力学只适用于宏观物体、低速运动问题，不适用于高速运动（相对于光速）的问题，故C 正确；当物体的运动速度远小于光速时，相对论和牛顿力学的结论相差不大，故D 错误。
3．【答案】B【解析】由2224πMm G m r T =，解得2T =21T T =224.49T ≈天，所以B 正确；也可根据开普勒第三定律求解，33222311T r T r =，代入解得224.49T ≈天。
4．【答案】A【解析】研究卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式：2224πGMm Rm R T =，得：月球质量2324πR M GT=，故A 正确；地球不是中心天体，不能求出地球质量，故B 错误；由于“嫦娥一号”卫星是环绕天体，不是中心天体，不能求出卫星质量，故C 错误；由于“嫦娥一号”卫星质量不知道，所以无法求出月球对“嫦娥一号”卫星的引力，故D 错误。
5．【答案】C【解析】在星球表面有212mv GMm r r =，2GMm mg r=星，联立1v，21v ，又因为16g g=星g，得2v =C 正确。
6．【答案】C【解析】双星靠相互间的万有引力提供向心力，所以向心力相等，故A 错误；双星系统角速度相等，根据v r ω=，且AO OB ＜，可以知道，A 的线速度小于B 的线速度，故B 错误；根据万有引力提供向心力，得：221211222m m Gm r m r Lωω==，因为12r r ＜，所以12m m ＞，即A 的质量一定大于B 的质量，故C 正确；根据万有引力提供向心力得：2121122222π2πm m G m r m r L T T ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，计算得出周期为(312πL T G m m =+以知道双星的总质量一定，双星之间的距离越大，转动周期越大，故D 错误。
第七章综合测试答案解析一、 1.【答案】B【解析】推课桌的下部和上部，是力的作用点不同，使课桌发生了不同的运动情况，说明力的作用效果与力的作用点有关。
2.【答案】B【解析】①撞击在篮板上的篮球被弹回，篮球的运动方向发生了变化，是物体受力后运动状态发生了改变；用力揉面团，面团形状发生变化，是物体受力后形状发生了改变；③用力握小球，球变瘪了，是物体受力后形状发生了改变；④一阵风把地面上的灰尘吹得漫天飞舞，尘土由静止到运动，是物体受力后运动状态发生了改变。
在这四种现象中①④物体是因为受力而改变运动状态，②③是力改变了物体的形状。
故选B 。
3.【答案】C【解析】甲、乙、丙三位同学用同一个拉力器比试臂力，结果每个人都能把手臂撑直。
当手臂长度不同时，拉力器的形变程度不同，手臂越长，拉力器形变量越大，受到的拉力越大。
4.【答案】B【解析】根据F kx =，弹簧的伸长量 5 N===0.05 m=5 cm 100 N/mF x k ，所以长度为10 cm+5 cm 15 cm =或10 cm 5 cm=5 cm －。
5.【答案】BC6.【答案】B【解析】由重力公式G mg =可知，物体的重力和质量成正比，所以正确的选项是B 。
7.【答案】B【解析】题图中a 球的印记小，b 球的印记大，说明b 球发生的弹性形变程度大，因此b 球受到的弹力也就大。
8.【答案】D【解析】本题考查了控制变量法比较物体弹性的大小。
要比较两个足球弹性的大小，必须采用控制变量法，选项A.B 、C 的操作，都很难控制作用在两个足球上的力相等；选项D 中，两个足球从同一高度自由下落，撞击到同一草坪上时速度相同，反弹后高度越高，弹性越好。
选项D 中进行了变量的控制，因此是最好的方案。
二、9.【答案】相互的 运动状态【解析】小亮起跳时他用力向后蹬地，就能向前运动，一方面利用了物体间力的作用是相互的，二是利用了力可以改变物体的运动状态。
10.【答案】大小 方向 作用点【解析】影响力的作用效果的因素有力的大小、方向和作用点，我们把它叫作力的三要素，人干体力活的时候，注意到了力的三要素对物体产生效果的影响，“巧用力”会省力，达到“事半功倍”的效果。
第七章自然语言处理习题参考解答7.1 练习题7.1 什么是自然语言？自然语言是由哪些构成的？7.2 什么是自然语言理解?自然语言理解过程有哪些层次，各层次的功能如何?7.3 自然语言理解和自然语言自动生成的关系是什么?研究这两者时有什么共同点7.4 自然语言理解的发展分几个阶段?各阶段的研究重点是什么?7.5 语言学家乔姆斯基的论文《语言描述的三个模型》的意义如何?7.6 句法分析的目的是什么? 基于规则的句法分析理论和方法主要有哪些?7.7 什么是乔姆斯基语法体系？它包含几个语法？各型语法之间有何不同？它们与短语结构语法的关系如何？7.8 自动句法分析的常用算法有哪些？自顶向下分析算法的思想是什么？7.9 下面是一个符合短语结构语法定义的受限英语子集的语法P: S T NP VP (a)NP T the NP1 (b)NP t NP1 (c)NP1t ADJS N (d)ADJS T① |ADJ ADJS (e)VP t V (f)VP t V NP (g)N t boy | Johnson |blackball (h)ADJ t little|dig (i)V t play|run (j)其中，大写的是非终结符，而小写的是终结符，①表示空字符串。
请依据该语法对句子the boy plays the blackball进行自顶向下的句法分析，并建立相应的句法分析树。
7.10 写出下列乔姆斯基2型语法（上下文无关语法）所对应的递归转移网络S t NP VPNP f Adjective NounNP f Determi ner Nou n PPNP f Determiner NounVP f Verb Adverb NPVP f VerbVP f Verb AdverbVP f Verb PPPP f Preposition NP7.11 设有下列语法：G=(Vt ，Vn，P，S)Vn={S, NP, VP, Det, N, V , Prep, PP}Vt={the, boy, dog, hits}S=SP: S f NP VP (a)NP f Det N (b)VP f V NP (c)VP f VP PP (d)PP f Prep NP (e)Det f the (f)N f boy | dog (g)V f hits (h) 利用自底向上的分析算法对句子“ the boy hits the dog ”进行分析，并写出它的分析推导过程。
