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偏导数(习题课)

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经济学专业数学复合函数和隐函数的偏导数配套课件

经济学专业数学复合函数和隐函数的偏导数配套课件


则
两边对 x 求导
在
的某邻域内
Fy 0
Fx dy dx Fy
2017年4月14日星期五
18
y 例 5 设方程 ln x y arctan 确定 y 是 x dy x 的函数,求 . dx
2 2
解
1 2y 1 1 yx Fy 2 2 2 2 x y 1 ( y )2 x x y 2 x 所以,
1 2x 1 y x y Fx 2 ( 2 ) 2 2 2 x y 1 ( y )2 x x y2 x
y 令 F ( x, y ) ln x y arctan ,则 x
2 2
Fx dy x y x y . dx Fy yx x y
19
2017年4月14日星期五
定理4
② ③ 则方程
若函数
F ( x, y, z ) 满足:
的某邻域内具有连续偏导数 ,
① 在点
F ( x0 , y0 , z0 ) 0 Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
在点 某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 并有连续偏导数
全微分的形式不变性
设函数
则复合函数 的全微分为 都可微,
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量,
其全微分表达
形式都一样,
2017年4月14日星期五
这性质叫做全微分形式不变性.
12
利用全微分的形式不变性，可以比较容易地得到全 微分的四则运算公式：
u vdu u d(u v) du dv, d(uv) udv vdu, d v2 v u vdu udv udv vdu , d (v 0). 2 v v
高教五版高数(经济类)偏导数全微分随堂讲解

高教五版高数(经济类)偏导数全微分随堂讲解


17
全微分存在的条件
由微分定义 :
lim z lim ( Ax By ) o ( ) 0
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f (x, y)
x0 y0
即 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
z f (x x, y y) f (函x数, y在)该点连续
z 1
x
y1(xy)2x1x2y2,
z x
x2 y 1
1 5
,
z y
x2 y 1
2. 5
所以 dz1dx2dy1(dx2dy).
55 5
2021/1/26
24
多元函数的全微分在近似计算中有一定的应用. 实 际 上 ， 对 于 可 微 的 二 元 函 数 z f (x, y) ， 因 为
z dz o() 是一个比 高阶的无穷小量，所以有
x x0
y0 ) dx y
dx
f (x0 , y0 ) x x0
2021/1/26
3
同样可定义对 y 的偏导数
f y(x0 , y0 )
lim
y0
f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 ) y
d dy
f (x0 , y)
y y0
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x
若这两个偏导数仍存在偏导数，
则称它们是z = f ( x , y )
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
x
(
z x
)
2z x2
f xx
(x,
y);
y
(z) x
复合函数导数88913

复合函数导数88913


f2 2x
2z 4xy xy
f1
2xy2( f112x2 y
f12 2 y)
2x( f212x2 y f22 2 y)
6.
z f [x ( y)]
求
2z xy
,
2z y 2
.
解：z x
f1[ x ( y)]
?
z f [ x ( y)]1
x
z f [ x ( y)] ( y)
),求
2z t 2
,
2z xt
.
5. z 1 ( x, y) yf (2x y,sin y),其中二次可微，
x f具有二阶连续偏导，求 2z .
xy
6.
z
f (x2y2 x2
y
2
),求
2 x
z
2
.
7.
z
xf
(2x,
y2 ),
f具有连续的二阶偏导数，求
2z
.
x
xy
8. x 2 y z 2 xyz 0,求 z , z . x y
x
eax a2
sin 1
x
2.
设
z
y f (x2
y2 ) ,其中f (u)为可导函数，验证
1 z x x
1 z y y
z y2
证： z y
f (x2
y2 ) yf ( x2 y2 )(2 y) f 2(x2 y2)
f ( x2 y2 ) 2 y2 f ( x2 y2 ) f 2(x2 y2)
x, y的函数，其中f , F都具有一阶连续偏导数，证明
dy dx
f F f F x t t x
f F F
t y t
第4章 二元函数的偏导数及其应用 总结

第4章 二元函数的偏导数及其应用 总结


Fx 2( y z) yz 0
解联立方程组
Fy
2(x
z)
xz
0
消去
，解得 x y z 3 1000
10
Fz
2(
y
x)
xy
0
xyz 1000 0
所以，根据问题的实际意义，当长方体的长、宽、高都等于10米时
（正方体），箱子所用的材料最省。
注：体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小。
2
2
即有
f (x, y) 2xy x2 y2
例3 求函数 z x2 3xy y 2 3x 5y 在点(1, 2 ) 处的偏导数。
解： 把 y 看作常数，对x 求导，得到
f x(x, y) 2x 3y 3
把 x 看作常数，对 y 求导，得到
f y(x, y) 3x 2 y 5
cos y ( y cos x) (x cos y) ( y sin x) ( y cos x)2
cos y(cos x x sin x)
y cos2 x
z y
(
x y
cos cos
y x
)y
(x
cos
y)y
(y
cos x) (x cos ( y cos x)2
y) ( y
cos
x)y
例6 求函数 f (x, y) x3 y3 3x2 3y 2 9x 的极值。
解：先解方程组 f x(x, y) 3x2 6x 9 0
f y(x,
y)
3y 2
6y
0
，
得驻点 (1, 0) (1, 2) (3, 0) (3, 2) 又f xx (x, y) 6x 6 f xy (x, y) 0 f yy (x, y) 6 y 6 在点 (1, 0)处， B2 AC 12 6 0 ，又 A 0 ，故点 (1, 0) 是极小 值点，极小值为 f (1,0) 5 在点(1, 2)，(3, 0) 处， B2 AC 12 6 0，故函数在这两点处没有极值。 在点(3, 2) 处， B2 AC (12) (6) 0 ，又 A 0 ，故函数
多元函数求导经典例题 (1)可修改文字

多元函数求导经典例题 (1)可修改文字

定义 一阶偏导数同时为零的点，均称为多元 函数的驻点.
注意 驻点
极值点
定理 2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
又 f x ( x0 , y0 ) 0,
f y ( x0 , y0 ) 0 ， 令
f xx ( x0 , y0 ) A， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy ( x0 , y0 ) C ，
12.复合函数求导法则
定理 如果函数u (t) 及v (t) 都在点t 可
导，函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导
数，则复合函数 z f [ (t ), (t )] 在对应点t 可
导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
y
z x
2z xy
fxy ( x, y),
z x y
2z yx
f yx ( x, y).
混合偏导
定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数.
９.偏导数在经济上的应用:交叉弹性
设函数z f x, y在x, y处偏导数
存在,函数对x的相对改变量
xz z
f x x, y f x, y f x, y
多元函数习题课
一 学习要求
(1) 理解多元函数的概念,理解二元函数的 几何意义;
(2) 理解二元函数的极限与连续性的概念, 以及有界闭域上连续函数的性质;
极多 限元 及函 连数 续的
概 念
(3) 理解偏导数和全微分的概念,会求全微
分,了解全微分存在的必要和充分条件,了 解全微分形式不变性;
-多元函数的偏导数

-多元函数的偏导数


偏导数存在 连续. 反之成立吗？
例如： z x2 y2 在（0,0）连x0
x
在（0,0）处对 x 不可导。
同理在(0,0)点对 y 的偏导数也不存在.
4、偏导数的几何意义 设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面z f ( x, y) 上一点, fx ( x0, y0 ), f y ( x0, y0 )在几何上表示
偏导函数在点 ( x0, y0 ) 处的函数值。
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f ( x, y, z)在 ( x, y, z)处
fx(x, y, z)
lim
x0
f ( x x,
y,z) x
f (x, y,z),
f
y
(
x,
y,
z
)
lim
y0
f ( x, y y, z) y
f (x, y,z),
f ( x, y, z) lim f ( x, y, z z) f ( x, y, z) .
z
z0
z
例 1 求 z x2 3xy y2在点(1,1) 处的偏导 数．
解 z 2x 3y ; z 3x 2 y .
x
y
z x
x1
y1
21 31 5 ,
z y
x1 y1
31 21 5 .
有关偏导数的几点说明： １、偏导数u 是一个整体记号，不能拆分;
x
* ２、求分界点处的偏导数要用定义求；
例
5
设
f
( x,
y)
xy x2 y2
0
求 f ( x, y)的偏导数.
( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0)
则多元函数微分学习题课公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件

则多元函数微分学习题课公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件


x2 y2
(sin cos )cos 2 ,
故 lim ( y x)x 0.
x y x0
2
2
y0
第12页
例2 已知 w f ( x y, y z,t z)
求
w w w w x y z t
解
w x
f1
w y
f1
f2
w
w
z f2 f3 t f3
w x
w y
w z
w t
即
x y z 3
第31页
切平面在三个坐标轴上截距分别为
3 3 , 3 3 , 3 3
故切平面与三个坐标面所围成四周体体积为
V 1 底面积 高 1[1 | 3 | | 3 | | 3 |]
3
32
9 | | 9 是一个常量
2
2
第32页
例13 设 y = f ( x ,t ) 而 t 是由 F (x ,y ,t) 拟定
0
例3 已知 z sin(ax by c) 求
mnz x m y n
第13页
解 z a cos(ax by c)
x a sin(ax by c )
2z
x2
a2
sin(ax
by
c
2
2 )
2
mz xm
am
sin(ax
by
c
m
2
)
m 1 z
xmy
a m b sin(ax
by
c
边所正确圆心角，则
x yz
三角形面积
A 1 R2(sin x sin y sin z) 2
第21页
问题就是求A在条件
x y z (0 x, y,z )
多元微积分第4次习题课(微分法(续)、方向导数与梯度、泰勒公式)答案(2015)

多元微积分第4次习题课(微分法(续)、方向导数与梯度、泰勒公式)答案(2015)


因为 z = f (1 + e
xy
从而
已知函数 f 具有 2 阶连续导数， z = f (1 + e ) cos y ，所以 ∂z = ye cos yf ′(1 + e ) ， ∂x
xy xy
) cos y
z ，求 ∂ ． ∂x
2 2
∂2 z = y 2 e xy cos y[ f ′(1 + e xy ) + e xy f ′′(1 + e xy )] ∂x 2
∂u ∂u u 其中函数 f 具有 2 阶导数 g 具有 1 阶导数，求 ∂ ， ， ． ∂y ∂x∂y ∂x 解：因为 u ( x, y ) = f ( x + y ) + f ( x − y ) + ∫ g (t )dt ，所以 ∂u = f ′( x + y ) + f ′( x − y ) + g ( x + y ) − g ( x − y ) ， ∂x ∂u = f ′( x + y ) − f ′( x − y ) + g ( x + y ) + g ( x − y ) ， ∂y 从而 ∂u = f ′′( x + y ) + f ′′( x − y ) + g ′( x + y ) − g ′( x − y ) ， ∂x ∂u = f ′′( x + y ) − f ′′( x − y ) + g ′( x + y ) + g ′( x − y ) ， ∂x∂y ∂u = f ′′( x + y ) + f ′′( x − y ) + g ′( x + y ) − g ′( x − y ) ． ∂y 9． （复合函数微分法）设函数 f (u ) 具有 2 阶连续导数， z = f (e cos y ) 满足 ∂ z ∂ z + = (4 z + e cos y )e ． ∂x ∂y 求证 f (u) 满足 f ′′(u) − 4 f (u) = u ． 解：因为 z = f (e cos y ) ，所以 ∂z = f ′(e cos y )e cos y ， ∂x
辽宁工业大学高数习题课8-1

辽宁工业大学高数习题课8-1

第八章 多元函数微分法及其 应用习题课( 应用习题课(一)
多元函数微分法
一,多元函数的基本概念
1.极 限: ( x , y )lim , y ) f ( x , y ) = A 极 →( x
0 0
2.连 续: 连 3.偏导数: 偏导数: 偏导数
z x
( x , y )→ ( x0 , y0 )
lim
= f y ( x0 , y0 ) = lim
y → 0
f (x0 , y0 + x ) f ( x0 , y0 ) y
ρ 4.全微分: 若 z = Ax + By + ο ( ρ ) , = ( x ) 2 + ( y ) 2 , 全微分: 全微分
可微分, 则称函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 可微分, 函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 全微分为
y→0
f ( x , y )在点 (0, 0) 处连续 处连续.
x f (0 + x , 0) f (0, 0) f (0, 0) = lim = lim x → f (0, 0 + y ) f (0, 0) f (0, 0) = lim = lim y → 0 y → 0 y y
z 时,只要把 y 暂时看作常量 x z 求导数; 而对 x 求导数; 类似地, 类似地,可求函数 z = f ( x, y) 的偏导数 .
y
2.高阶偏导数 .
2 z z ( ) = f xx ( x , y ) = 2 x x x
2z z ( ) = f yx ( x , y ) = yx x y
2
= lim
x →0 y →0
习题课1偏导数

习题课1偏导数


0
(x, y) (0,0) (x, y) (0,0)
在 (0,0) 处
( A) 连续,偏导数 f x , f y存在 (B) 连续,偏导数 f x , f y不存在
(C) 不连续,偏导数
f
x
,
f
存在
y
(D) 不连续,偏导数
f
x
,
f
不存在
y
6.证明f (x, y) 在 (x, y) 处可微的方法是
a，b，使函数z( x , y )满足 2 z z z z 0 xy x y
(eaxby (a u b u abu u au u bu u) 0,
y x
x
y
a b 1))
3
f12 ]
6
f2
6 y[
x2 y2
f21 3 f22 ].
4. 设 z f ( t ), t g(xy, x2 y2 ),其中 f 有二阶导数,
g
有二阶连续偏导数，求
2z x2
.
(
2z x2
f
( yg1
2xg2 )2
f
[ y2 g11
4xyg12
2g2
4x2g22 ])
5. 设 z f (x, y)在(1, 1)可微，且f (1, 1) 1, fx (1, 1) 2,
习 题 课 十三
一.选择题：
1. 若 f (x, y) 在 (x0, y0 ) 处不连续，则
( A). lim f (x, y) 必不存在 (B). f (x0 , y0 ) 必不存在 ( x, y )( x0 , y0 )
(C). f (x, y) 在(x0 , y0 ) 必不可微
(D). f x (x0 , y0 ) , f y (x0 , y0 ) 必不存在
多元函数微分学习题课 (2)

多元函数微分学习题课 (2)


a
D，使
f
(最值定理)
(a) ;
(介值定理)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习
1. 讨论二重极限 lim
xy
时, 下列算法是否正确?
(x,y)(0,0) x y
解法1
原式
lim
x0
y0
1 y
1
1 x
0
解法2 令 y kx,
解法3 令 x r cos , y r sin ,
f3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例. 设 u f (x,t) , 而 t 是由 Fx, y, z 0确定，
其中f、F具有一阶连续偏导，
证明：
du dx
f F f F x t t x
f F F
t y t
三、多元函数微分法的应用
1. 极值与最值问题 • 极值的必要条件与充分条件 • 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法)
f2 (x1, x2 , x3, y1, y2 ) y2 cos y1 6 y1 2x1 x3
x求0 由 (3,f2(,7x),Ty,)y0
0
(0,1)T
确定的隐函数
y
g(
x)在x0处的导数
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多元函数微分法
显式结构 1. 分析复合结构 隐式结构
自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2. 正确使用求导法则 注意正确使用求导符号 3. 利用一阶微分形式不变性
x y ( x, y)(0,0) 2
2
而其中 lim (x2 y2 ) ln( x2 y2 ) 0 ( x, y)(0,0)
lim

高等数学偏导数PPT课件.ppt

故函数 f (x, y) 在点(0, 0) 处不连续.
f
(x, y)
xy x2 y2
( x2 y2 0 ),
f (0, 0) 0
但是
lim f (x , 0) f (0, 0) lim 0 0 ,
x0
x
x0
lim f (0, y) f (0, 0) lim 0 0 ,
y0
y
y0
( f y(0,0))x .
例 验证函数 u( x, y) ln x2 y2 满足拉普
拉斯方程
2u x 2
2u y2
0.
解 ln
x2
y2
1 ln( x2 2
y2 ),
u x
x x2
y2 ,
2u (x2 y2) x 2x y2 x2 x2 ( x2 y2 )2 ( x2 y2 )2 ,
求偏导数时,只要将 n 个自变量
中的某一个看成变量,其余的 n－1个
自变量均视为常数, 然后按一元函数 的求导方法进行计算即可 .
例 求 z x2 3xy y2在(1,2)处对 x 的偏导数．
解法一 (用定义)
z x
x 1 y2
lim z(1 x,2) z(1,2)
x0
x
8
.
解法二 (用定义)
f (x x, y, z) f (x, y, z)
fx
(
x,
y,
z)
lim
x0
x
,
f y ( x,
y, z)
lim
y0
f
(x,
y
y, z) y
f
(x,
y, z) ,
fz ( x,
y, z)

微积分B(2)第3次习题课参考答案(微分学几何应用、极值与条件极值)_34701046


+
Fy′(1,1,1)(
y
−
1)
+
Fz′(1,1,1)(z
−
1)
=
0,
即
x x
− +
2y + z y + 2z
= −
0, 4=
0.
因
为
平
面
x
−
2
y
+
z
=
0
的
法
向
量
为
n 1
=
(1,
−2,1)
，
平
面
x
+
y
+
2z
−
4
=
0
的
法
向
量
为
． n 2
=
(1,1, 2)
于是
n 1
×
n 2
=
(−5,
−1,
3)
就是
L
微积分 B(2)
第 3 次习题课（By ） Huzm
2 / 17
解：曲面 S 上点 P(1,1,1)处指向外侧的法向量为
， (4x,6y, 2z)
=
(1,1,1)
(4, 6, 2)
单位法向量为 n = 1 ． (2,3,1) 14
函数u = 6x2 + 8y2 在点 P 处的三个偏导数为 z
， ， ． ∂u(P) ∂x
ez − x − y = −1 (1,1,0)
所以 S 在点(1,1,0) 处的切平面方程为
，即 ． (x −1) + ( y −1) + z = 0 x + y + z = 2

清华大学微积分习题课参考答案(微分法、方向导数与梯度、泰勒公式)


(x
+
y)
+
f
(x
−
y)
+
∫ x+y x− y
g (t )dt
其中函数
f
具有二阶导数
g
具有一阶导
数，求 ， ． ∂2u , ∂2u ∂x2 ∂y2
∂2u ∂x∂y
解：因为 ， ∂u ∂x
=
f
′(x +
y) +
f
′(x
−
y) +
g(x
+
y) −
g(x −
y)
， ∂u
∂y
=
f ′(x +
y) −
f ′(x −
． x(z
+
y)x
−1
(
∂z ∂y
+ 1)
=
x
所以 ． ∂z ∂y
(1,2)
=
0
（ ）设函数 由方程 确定，求 ． 2
z = z(x, y)
x + y − z = ez
∂z
∂x（1,0）
解：将 y 看作常数， z 看作是 x 的函数，在 x + y − z = ez 两端关于 x 求导，得
． 1 −
r2 cos2 θ
−
∂f ∂x
r
cosθ
−
∂f ∂y
r sinθ
， ∂2u = ∂2 f
∂z2 ∂z2
微积分 B(2)
第 2 次习题课（By ） Huzm
6 / 12
所以
∂2u ∂r 2
+
1 r2
∂2u ∂θ 2
+
1 r

尼科尔森《微观经济理论—基本原理与扩展》(第9版)课后习题详解

尼科尔森《微观经济理论—基本原理与扩展》（第9版）课后习题详解第1篇引言第1章经济模型本章没有课后习题。

本章是全书的一个导言，主要要求读者对微观经济模型有一个整体了解，然后在以后各章的学习中逐渐深化认识。

第2章最优化的数学表达1．假设。

（1）计算偏导数，。

（2）求出上述偏导数在，处的值。

（3）写出的全微分。

（4）计算时的值——这意味着当保持不变时，与的替代关系是什么？（5）验证：当，时，。

（6）当保持时，且偏离，时，和的变化率是多少？（7）更一般的，当时，该函数的等高线是什么形状的？该等高线的斜率是多少？解：（1）对于函数，其关于和的偏导数分别为：，（2）当，时，（1）中的偏微分值分别为：，（3）的全微分为：（4）当时，由（3）可知：，从而可以解得：。

（5）将，代入的表达式，可得：。

（6）由（4）可得，在，处，当保持不变，即时，有：（7）当时，该函数变为：，因而该等高线是一个中心在原点的椭圆。

由（4）可知，该等高线在（，）处的斜率为：。

2．假定公司的总收益取决于产量（），即总收益函数为：；总成本也取决于产量（）：。

（1）为了使利润（）最大化，公司的产量水平应该是多少？利润是多少？（2）验证：在（1）中的产量水平下，利润最大化的二阶条件是满足的。

（3）此处求得的解满足“边际收益等于边际成本”的准则吗？请加以解释。

解：（1）由已知可得该公司的利润函数为：利润最大化的一阶条件为：从而可以解得利润最大化的产量为：；相应的最大化的利润为：。

（2）在处，利润最大化的二阶条件为：，因而满足利润最大化的二阶条件。

（3）在处，边际收益为：；边际成本为：；因而有，即“边际收益等于边际成本”准则满足。

3．假设。

如果与的和是1，求此约束下的最大值。

利用代入消元法和拉格朗日乘数法两种方法来求解此问题。

解：（1）代入消元法由可得：，将其代入可得：。

从而有：，可以解得：。

从而，。

（2）拉格朗日乘数法的最大值问题为：构造拉格朗日函数为：一阶条件为：从而可以解得：，因而有：。

高数A(2)习题课(5)多元函数微分学1


∂u + ∂u + ∂u . 2 2 2 设 三、 u = x + y + z , 求 、 ∂x ∂y ∂z
? f (x, y) ¶y
可见函数在（0,0）点极限不存在，更不连续但可偏导.
例5（1）设 f ( x, y ) = x , 求 f x ( x, y ), f y ( x, y ). ∂z ∂z 2 2 （2）设 z = sin( x − y ), 求 , . ∂x ∂y 解 （1） f ( x ，y ) = yx y −1 , x
解法2 利用一阶全微分形式的不变性
x y du = f1′d ( ) + f 2′( ) y z 1 x 1 y = f1′( dx − 2 dy ) + f 2′( dy − 2 dz ) y y z z −x 1 1 y = f1′dx + ( 2 ) f1′ + f 2′ dy − 2 f 2′dz y z z y
C.有界闭区域上连续函数的性质 3.偏导数的定义、计算以及几何意义
4.全微分的定义，形式不变性；可微和偏导数存 在、偏导数连续，连续之间的关系 5.复合函数偏导数的链式法则
∂u ∂u ∂x ∂u ∂y = ⋅ + ⋅ ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y = ⋅ + ⋅ ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t
是否趋于0。
ρ
同理， f y′ ( 0,0 ) = 0
∆f = f ( x, y ) − f (0,0), ∆x = x, ∆y = y, ρ = x 2 + y 2 , 则
lim f ( x, y ) − f (0,0) − f x′(0,0) x − f y′ (0,0) y x2 + y2

苏州大学理工类高等数学(课次练习)下习题及解答


´1
0
ex2
0=y
dx
=
−
´y
0
f
(s)ds
+
´ xy
0
f
(xy),
∂F ∂y
=
− f (y) +
f
f (s)ds+ (xy)x +
0 = x f (xy) − f (y).
√
3. f (x, y) = x + (y − 1) arcsin
x y
.
√
解
因为 f (x, y) = x+(y−1) arcsin
=
y
−
x2−y2
(x2+y2)2
,
∂ ∂
f y
=
∂ ∂y
(xy
+
x x2+y2
)
=
x−
x×2y (x2+y2)2
=
x−
2xy
(x2+y2
)2
,
故
fx′(0, 1)
=
∂ ∂
f x
|(0,1)
=
(y −
x2−y2
(x2+y2)2
)
x=0,y=1
=
2,
fy′(0, 1)
=
∂ ∂
f y
|(0,1)
=
(x −
x + 1)d x + xxyzxz(ln
x)d y +
xxyzxy(ln x)dz.
3 多元复合函数的求导法则
8
√
3.
z= 解
ln
1 + x2
+ y2, √
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  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
的规律,总有唯一确实的数值和 它们对应，则变量 z叫做变量x, y
的二元函数，记作 z f (x, y) 其中x, y为自变量， z为因变量，(x, y)变化的范围 D称为函
数的定义域。设点 (x0, y0 ) D,则，z f (x, y)称为对应于 (x0, y0 )
的函数值，函数值的总体称为函数的值域。 类似地，可定义三元函数及其他多元函数。
Hale Waihona Puke 2 z ex cos(2x y) 2ex sin(2x y) yx
JPZX９
学生练习：
1.求下列函数的偏导数:
(1) z xe y
(2) z arctan x y
2.求下列函数的二阶偏导数:
(1) z exy
(2) z sin2 (x y)
JPZX10
x x2 y2
f y(x, y) 1 2
2y 1
x2 y2
y x2 y2
所以
f (3,4) 1 3 2 55
f y(0,5) 11 0
JPZX5
高阶偏导数
高阶偏导数可定义为相应低一阶偏导数的偏导数.例如设
函数z f (x, y)在区域D内具有偏导数：
§18～6 偏导数（习题课）
• 复习回忆:
1.二元函数的定义 2.偏导数的概念 3.二元函数的偏导数 4.高阶偏导数
• 例题分析: • 学生练习:
例一: 例二: 例三:
JPZX1
二元函数的定义 定义1 设有三个变量 x, y和z,如果当变量 x, y在某一给定
的二元有序实数对 D内任取一对值 (x, y)时，变量z按照一定
x
z ex cos(2x y) y
2z x 2

ex
sin(2x

y)

2e x
cos(2x

y)

2e x
cos(2x

y)
4ex
sin(2x

y)
2z y 2

e x
s in(2 x

y)
2 z ex cos(2x y) 2ex sin(2x y) xy
ZPZX2
偏导数的概念:
如果函数z f (x, y)在平面区域 D内每一点(x, y)处对于x
（或y)的偏导数都存在，则称 函数f (x, y)在D内有对x(或y)
偏导函数,简称偏导数,记作
z x
,
f x
,
zx ,
f x (x,
y). f x(x,
y)
或
z y
,
f y
,
zy
,
z x

f（x x, y).
z y

f y (x, y).
一般来说,这两个偏导数还是 x, y的函数，如果它们又存 在对
x或对y的偏导数，我们就定义 为函数z f (x, y)的二阶偏导数。
可定义二元函数的二阶偏导数如下
z 2 z
( ) x x
x 2

fxx(x, y)
JPZX6
f y ( x, y). f y( x, y)
ZPZX3
根据偏导数的定义可知,求多元函数关于某个自变量的偏导数, 并不需要新的方法,只需将其他自变量看作常数,仅对一个自变量求 导,因此,一元函数的求导法则和求导公式,对求多元函数的偏导数仍 然适用.
例1 求z x2 sin 2 y的偏导数。
解 为求 z ,视y看作常数，对x求导，得
yx
JPZX7
• 提问：混合偏导数一定相等吗？满足什么条件？ 结论：在二阶偏导数连续的情况下，混合偏导数的
最终值和求导次序无关即二阶混合偏导数相 等。
JPZX８
例3 求z ex sin(2x y)的所有二阶导数
解 z ex sin(2x y) 2ex cos(2x y)
x
z 2x sin 2y x
ZPZX4
为求 z ,视x看作常数，对 y求导，得 z 2x2 cos 2 y
y
y
例2 设f (x, y) x y x2 y2 ,求fx(3,4), f y(0,5)
解
因为fx(x, y) 1 2
2x 1
x2 y2
( z ) y x
2z xy

fxy (x, y)
x
( z ) y

2z yx

f yx(x,
y)
y
( z ) y
2z y 2

f yy(x, y)
这里，fxy表示函数z f (x, y)先对自变量x求偏导数.
f
xy和f
通常称为二阶混合偏导数。