偏导数习题课(练习册)

[ ]【090301】【计算题】【较易 0.3】【全微分】【全微分的定义】 x + y【试题内容】求函数 z = arctan1 - xy的全微分。

【试题答案及评分标准】z = arctan x + y 1 - xy= arctan x + arctan y ± π∂z = ∂xd z = 1 1 + x 211 + x 2,d x + ∂z =∂y1 1 + y2 1 1 + y 2d y（8 分）（10 分）或d z =1⎛ x + y ⎫ 2 1 + x - y ⎪⋅(1 - xy )(d x + d y ) - ( x + y )(- y d x - x d y ) (1 - xy ) 2= 1 1 + x 2 ⎝ d x + ⎭1 d y 1 + y 2（8 分）（10 分）【090302】【计算题】【较易 0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数 z = ln( x 2 + y 2 + e xy ) 的全微分。

【试题答案及评分标准】∂z = ∂x 2x + ye xyx 2+ y 2 + e xy,∂z =∂y 2 y + xe xy x 2 + y 2 + e xy（8 分）d z = 1 (2x + ye xy ) d x + (2 y + xe xy) d yx 2 + y 2 + e xy（10 分）【090303】【计算题】【较易 0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数u = x y z的全微分。

【试题答案及评分标准】ln u = y z ln x∂u = u ⋅ y z ⋅ 1= y z x y z -1（2 分）∂x x∂u= z ⋅ y z -1 ⋅ x y z ⋅ ln x ∂y（5 分）- y y⎥ =⎥ =∂u = y z⋅ x y z⋅ ln x ⋅ ln y∂z（8分）d u = y z x y z -1d x + z ⋅ y z -1 ⋅ x y z⋅ ln x d y + y z ⋅ x y z⋅ ln x ⋅ ln y d z（10 分）【090304】【计算题】【较易 0.3】【全微分】【全微分的定义】【试题内容】设u = d u 。

【试题内容】求z x y =+，在点2222,⎛⎝ ⎫⎭⎪沿单位圆x y 221+=外法线方向的方向导数。

【试题答案及评分标准】cos cos αβ==22(4分)∂∂∂∂z xz y==11 所以∂∂z n =+=22222(10分)【090702】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求z x y =+32在点()11,沿单位圆x y 222+=外法线方向的方向导数。

【试题答案及评分标准】cos cos αβ==22(4分)∂∂∂∂z xzy==32 所以∂∂z n =⨯+⨯=322222522(10分)【090703】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数z x y =⋅+ln()1在点()11,沿曲线2122x y -=切线〔指向 x 增大方向〕向量的方向导数。

【试题答案及评分标准】tan (,)α==42211x ycos cos αβ==1525(4分)所以∂∂ααβz y xy =+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥ln()cos cos (,)1111=⋅+⋅=+ln (ln )21512251521(10分)【试题内容】求函数z e y x =+⎛⎝ ⎫⎭⎪ln 12在()01,点沿曲线y e x=切线正向〔指向 x 增大方向〕的方向导数。

【试题答案及评分标准】tan cos cos 'ααβ=======y e x xx 00122(4分) ∂∂∂∂z xz yy y (,)(,)(,)01012011211==-+=-所以∂∂z a =⨯+-⨯=1221220() (10分)【090705】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数z x y =+2ln arctan 在()11,点沿 a 方向的方向导数，其中 a为曲线 y x =2在()11,点的切向量，方向为 x 增大的方向。

偏导数复习题偏导数复习题在微积分学中，偏导数是研究多元函数的重要工具。

它用于描述函数在某一点上沿着不同方向的变化率。

在本文中，我们将通过一些复习题来巩固对偏导数的理解。

1. 设函数 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，求 f(x, y) 在点 (1, 2) 处关于 x 的偏导数。

解答：对于 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，我们可以将 y 视为常数，然后对 x 求导。

因此，f(x, y) 在点 (1, 2) 处关于 x 的偏导数为：∂f/∂x = 2x + 2y = 2(1) + 2(2) = 62. 设函数 g(x, y, z) = x^3 + 2xyz + yz^2，求 g(x, y, z) 在点 (1, 2, 3) 处关于 y 的偏导数。

解答：对于 g(x, y, z) = x^3 + 2xyz + yz^2，我们将 x 和 z 视为常数，然后对 y求导。

因此，g(x, y, z) 在点 (1, 2, 3) 处关于 y 的偏导数为：∂g/∂y = 2xz + z^2 = 2(1)(3) + (3)^2 = 12 + 9 = 213. 设函数 h(x, y, z) = e^x + ln(y) + sin(z)，求 h(x, y, z) 在点(0, 1, π/4) 处关于 z的偏导数。

解答：对于 h(x, y, z) = e^x + ln(y) + sin(z)，我们将 x 和 y 视为常数，然后对 z求导。

因此，h(x, y, z) 在点(0, 1, π/4) 处关于 z 的偏导数为：∂h/∂z = cos(z) = cos(π/4) = √2/24. 设函数 f(x, y) = x^2 + y^2，求 f(x, y) 在点 (2, 3) 处的梯度。

解答：梯度是一个向量，由函数的偏导数组成。

对于 f(x, y) = x^2 + y^2，梯度为：∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (2x, 2y)在点 (2, 3) 处，梯度为：∇f(2, 3) = (2(2), 2(3)) = (4, 6)5. 设函数 g(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2，求 g(x, y, z) 在点 (1, 1, 1) 处的梯度。

的规律,总有唯一确实的数值和 它们对应，则变量 z叫做变量x, y
的二元函数，记作 z f (x, y) 其中x, y为自变量， z为因变量，(x, y)变化的范围 D称为函
数的定义域。设点 (x0, y0 ) D,则，z f (x, y)称为对应于 (x0, y0 )
的函数值，函数值的总体称为函数的值域。 类似地，可定义三元函数及其他多元函数。
Hale Waihona Puke 2 z ex cos(2x y) 2ex sin(2x y) yx
JPZX９
学生练习：
1.求下列函数的偏导数:
(1) z xe y
(2) z arctan x y
2.求下列函数的二阶偏导数:
(1) z exy
(2) z sin2 (x y)
JPZX10
x x2 y2
f y(x, y) 1 2
2y 1
x2 y2
y x2 y2
所以
f (3,4) 1 3 2 55
f y(0,5) 11 0
JPZX5
高阶偏导数
高阶偏导数可定义为相应低一阶偏导数的偏导数.例如设
函数z f (x, y)在区域D内具有偏导数：
§18～6 偏导数（习题课）
• 复习回忆:
1.二元函数的定义 2.偏导数的概念 3.二元函数的偏导数 4.高阶偏导数
• 例题分析: • 学生练习:
例一: 例二: 例三:
JPZX1
二元函数的定义 定义1 设有三个变量 x, y和z,如果当变量 x, y在某一给定
的二元有序实数对 D内任取一对值 (x, y)时，变量z按照一定
x
z ex cos(2x y) y

例1． 设222(,),(,){(0,0)}xyf x y x y D x y=∈=-+ ，讨论极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →。

解：令y mx =，2222(,)(0,0)0lim (,)lim 1x y x y mxx mx mf x y x m x m →→=⋅==++——随m 的不同而不同。

所以，(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在。

例2．设22222(,)()x y f x y x y x y =+-，讨论(,)(0,0)lim (,)x y f x y →， 解：取y x =，则2222(,)(0,0)0lim (,)lim 10x y x y x x y f x y x y →→===+， 取0y =，则2(,)(0,0)00lim (,)limlim000x y x x y xf x y x →→→====+，故(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在。

注：若取2y x =，则22222224(,)(0,0)0()1lim(,)lim ()2x y x y x x x x x f x y x x x x →→=--==-+，也能证明。

例3（1）设y z x =，求z x ∂∂，zy∂∂ （2）设22sin y zx u e y=+，求u x ∂∂，u y ∂∂，u z ∂∂例4．设2(,)arctan y f x y x-=，求(1,2)y f解：（二种解法）下面的例子指出，00(,)x f x y 和00(,)y f x y 不蕴含f 在0P 处连续，这是与一元导数的不同之处。

例5．22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，证明(,)x f x y 和(,)y f x y 在2 上都存在，但(,)f x y 在原点不连续。

证：当(,)(0,0)x y ≠时，22222()(,)()x y y x f x y x y -=+；22222()(,)()y x x y f x y x y -=+；当(,)(0,0)x y =时，00(,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x→→--===，(0,0)0y f =；例6．求22z x y xy =-的全微分dz 及点(1,1)处的全微分；解：因222,2z zxy y x xy x y∂∂=-=-∂∂在2 上连续，故22(2)(2)dz xy y dx x xy dy =-+-， 所以(1,1)dz dx dy =-。

1．设有三个正数z y x ,,，它们的和为12，当它们取何值时，函数z y x w 23=达到最大？ 解：用拉格朗日乘子法，得到拉格朗日函数：32(,,)(12)F x y z x y z x y z λ=+++-， ……2分 对该函数求偏导数，得到方程组：2233230,20,0,120.x y z x yz x y x y z λλλ⎧+=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪++-=⎩ ……4分 解上面的方程组，得到6,4, 2.x y z === ………6分 根据问题的实际意义，可知这组解就是唯一的解，即(6,4,2)是极大值点，极大值为6912。

……8分2. 设),(2222x y y x f z --=，f 具有连续偏导数，证明： 0=∂∂+∂∂yzx x z y 。

证明：由于''122(2),zf x f x x ∂=⋅+⋅-∂ ……2分 ''12(2)2,zf y f y x∂=⋅-+⋅∂ ……4分所以： ''''121222220.z zxy xyf xyf xyf xyf y x∂∂+=-++-=∂∂ ……6分 3、设22ln arctan y x xy z +-= ，求y x z ∂∂∂2.解：222222)(1y x y x y x x xy x yx z ++-=+-+-=∂∂ ……3分 22222222222)(2)(2)()(y x y xy x y x x y x y x y x z +-+=+⋅+-+-=∂∂∂ ……6分 4. 设yxe u y x u f z ==),,,(，其中f 具有连续的偏导数，求yzx z ∂∂∂∂,. 解：'''123.10z uf f f x x∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂＝''12y e f f +； ……4分'''12301;z u f f f y y∂∂=+⋅+⋅∂∂ ＝''13y xe f f +。

0
(x, y) (0,0) (x, y) (0,0)
在 (0,0) 处
( A) 连续,偏导数 f x , f y存在 (B) 连续,偏导数 f x , f y不存在
(C) 不连续,偏导数
f
x
,
f
存在
y
(D) 不连续,偏导数
f
x
,
f
不存在
y
6.证明f (x, y) 在 (x, y) 处可微的方法是
a，b，使函数z( x , y )满足 2 z z z z 0 xy x y
(eaxby (a u b u abu u au u bu u) 0,
y x
x
y
a b 1))
3
f12 ]
6
f2
6 y[
x2 y2
f21 3 f22 ].
4. 设 z f ( t ), t g(xy, x2 y2 ),其中 f 有二阶导数,
g
有二阶连续偏导数，求
2z x2
.
(
2z x2
f
( yg1
2xg2 )2
f
[ y2 g11
4xyg12
2g2
4x2g22 ])
5. 设 z f (x, y)在(1, 1)可微，且f (1, 1) 1, fx (1, 1) 2,
习 题 课 十三
一.选择题：
1. 若 f (x, y) 在 (x0, y0 ) 处不连续，则
( A). lim f (x, y) 必不存在 (B). f (x0 , y0 ) 必不存在 ( x, y )( x0 , y0 )
(C). f (x, y) 在(x0 , y0 ) 必不可微
(D). f x (x0 , y0 ) , f y (x0 , y0 ) 必不存在

【090701】【计算题】【较易0.3】【方导游数与梯度】【方导游数梯度】【试题内容】求z x y，在点2,2沿单位圆x2y21外法线方向的方导游数。

2 2【试题答案及评分标准】coscos2(4分)2z1z x 1y因此z222(10分) n22【090702】【计算题】【较易0.3】【方导游数与梯度】【方导游数梯度】【试题内容】求z3x2y在点11,沿单位圆x2y22外法线方向的方导游数。

【试题答案及评分标准】cos cos2(4分) 2z3z2x y因此z322252n22(10分)2【090703】【计算题】【较易0.3】【方导游数与梯度】【方导游数梯度】【试题内容】求函数z x ln(1y)在点11,沿曲线2x2y21切线（指向x增大方向）向量的方导游数。

【试题答案及评分标准】4xtan(1,1) 2 2ycos 1cos2(4分) 55因此zln(1y)cosxcos1y(1,1)ln21121(ln21)(10分)5255【090704】【计算题】【较易 】【方导游数与梯度】【方导游数梯度】【试题内容】求函数zlne x 在0,1 点沿曲线y e x切线正向（指向x 增大方向）1y 2的方导游数。

【试题答案及评分标准】tany 'x0e xx01coscos2 (4分)2z1 z2y1x (0,1)y (0,1)1y 2(0,1)因此z12 (1)2(10分)a22【090705】【计算题】【较易 】【方导游数与梯度】【方导游数梯度】【试题内容】求函数z x 2lnarctany 在11, 点沿a 方向的方导游数，此中a 为曲线yx 2在11, 点的切向量，方向为x 增大的方向。

【试题答案及评分标准】tany 'x12cos1cos2 (4分)55z2x(1,1)2 z11 2x (1,1)y (1,1)arctany 1 y 2(1,1)z21 222(2)(10分)因此555a【090706】【计算题】【较易 】【方导游数与梯度】【方导游数梯度】【试题内容】求函数 z y e x 在 1,e 点沿曲线y e x 切线正向（x 增大方向）的方导游数。

【090201】【计算题】【较易】【偏导数】【偏导数的定义】【试题内容】求曲线z x y y =+=⎧⎨⎩226上的点(,,)1637处的切线的斜率。

【试题答案及评分标准】k z xxx y x ======1612210分【090202】【计算题】【较易】【偏导数】【偏导数的定义】 【试题内容】设f x y xy x y x y x y x y (,)(,)(,)(,)(,)=-++≠=⎧⎨⎪⎩⎪332200000，根据偏导数定义求f f x y (,),(,)0000。

【试题答案及评分标准】 解：lim(,)(,)lim ∆∆∆∆∆∆x x f x f x xx →→+-=-=-0000001 f x (,)001=-5分lim(,)(,)lim ∆∆∆∆∆∆y y f y f yy y →→+-=-=-0000001f y (,)001=-10分【090203】【计算题】【较易】【偏导数】【偏导数的定义】【试题内容】设⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(0)0,0(),(2),(22y x y x yx y x y x f ，根据偏导数定义求)0,0(),0,0(y x f f 。

【试题答案及评分标准】lim(,)(,)lim ∆∆∆∆∆∆x x f x f x xx→→+-==0000001 f x (,)001=（5分）lim(,)(,)lim ∆∆∆∆∆∆y y f y f y yy→→+-==00000022f y (,)002=10分【090204】【计算题】【较易】【偏导数】【偏导数的定义】【试题内容】设f x y x x y x y x y (,)ln()=++≠+=⎧⎨⎩222222200，根据偏导数定义求f f x y (,),(,)0000。

【试题答案及评分标准】解：f x x xx x (,)limln 000022==→ （5分）f yy y (,)lim000000=-=→10分【090205】【计算题】【较易】【偏导数】【偏导数的定义】【试题内容】设u x y x y x y (,)arcsin =-+2222，求∂∂uxx y ==31。

偏导数的应用习题1. 求二元函数y y y x y x f ln )2(),(22++=的极值。

2. 求二元函数)4(),(2y x y x y x f z --==在由直线6=+y x ，x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的极值、最大值、最小值。

3. 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是11218Q p -=，2212Q p -=，其中21,p p 分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/吨），21,Q Q 分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数为：52+=Q C ，其中Q 表示该产品在两个市场的销售总量，即21Q Q Q +=，（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使企业获得最大利润；（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及统一价格，使企业的总利润最大，并比较这两种价格策略下的总利润大小。

4. 求平面曲线323232a y x =+（a >0）上任一点处切线方程，并证明这些切线被坐标轴所 的线段等长。

5. 求曲线t x =，2t y =，3t z =上点，使曲线在此点的切线平行于平面42=++z y x 。

1.求二元函数y y y x y x f ln )2(),(22++=的极值。

)2(22y x f x +='，1ln 22++='y y x f y ， 得到驻点：)1,0(e （唯一的）)12(2)1,0(2e e f A xx +=''=，0)1,0(=''=e f B xy ，e ef C yy =''=)1,0(，02<-AC B ， 0>A ， 极小值e e f 1)1,0(-=。

2.求二元函数)4(),(2y x y x y x f z --==在由直线6=+y x ，x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的极值、最大值、最小值。