[推荐学习]高中数学学业分层测评3三角函数的定义含解析新人教B版必修4

§1.2 任意角的三角函数1．2.1 三角函数的定义一、基础过关 1． sin 150°等于( )A.12B ．－12C.32D ．－32 2． 当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．1B ．0C ．2D ．－23． 角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3D ．54． 点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动23π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎫－32，12 5． 设角α的终边经过点(－6t ，－8t ) (t ≠0)，则sin α－cos α的值是( )A.15B ．－15C ．±15D ．不确定6．已知sin θ·tan θ<0，则角θ位于第________象限．7．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为________． 8．角α的终边上一点P 的坐标为(4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值． 二、能力提升9． 已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为 ( ) A.5π6B.2π3C.5π6D.11π610．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________.11．已知角α的终边经过点P (x ，－2) (x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α＋1tan α的值． 12．判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan ⎝⎛⎭⎫－23π4； (3)sin (cos θ)cos (sin θ)(θ为第二象限角)．三、探究与拓展13．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos 2θ答案1．A 2.C 3.A 4.A 5.C 6.二或三 7.－2<a ≤3 8． 当a >0时，2sin α＋cos α＝－25，当a <0时，2sin α＋cos α＝259． D 10.211．解 ∵P (x ，－2) (x ≠0)，∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36x ，∴cos α＝xx 2＋2＝36x . ∵x ≠0，∴x ＝±10.∴r ＝2 3.当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)， 由三角函数的定义， 有sin α＝－223＝－66，1tan α＝10－2＝－5， ∴sin α＋1tan α＝－66－ 5＝－65＋66；当x ＝－10时，同理可求得sin α＋1tan α＝65－66.12．解 (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin 340°<0，cos 265°<0， ∴sin 340°cos 265°>0.(2)∵π<4<3π2，∴4是第三象限角，∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角．∴sin 4<0，tan ⎝⎛⎭⎫－23π4>0， ∴sin 4tan ⎝⎛⎭⎫－23π4<0. (3)∵θ为第二象限角，∴0<sin θ<1<π2，－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0，cos(sin θ)>0， ∴sin (cos θ)cos (sin θ)<0.13．C。

1．2.1三角函数的定义(1)任意角的三角函数的定义是什么？(2)三角函数值的大小与其终边上的点P的位置是否有关？(3)如何求三角函数的定义域？(4)如何判断三角函数值在各象限内的符号？[新知初探]1．三角函数的定义(1)前提准备：①以角α的顶点O 为坐标原点，以角α的始边的方向作为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示．②设角α的终边上任一点P (x ，y )，OP ＝r (r ≠0)． (2)定义：①余弦函数：x r 叫做角α的余弦，记作cos α，即cos α＝xr . ②正弦函数：y r 叫做角α的正弦，记作sin α，即sin α＝yr . ③正切函数：y x 叫做角α的正切，记作tan α，即tan α＝yx .④正割函数：角α的正割sec α＝1cos α＝r x .⑤余割函数：角α的余割csc α＝1sin α＝r y .⑥余切函数：角α的余切cot α＝1tan α＝x y .[点睛] 三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定．2．正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域3．三角函数值的符号 如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角函数也是函数，它们都是以角为自变量的，以比值为函数值的函数．( ) (2)若sin α＝sin β，则α＝β.( )(3)已知α是三角形的内角，则必有sin α>0.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√2．若sin α<0，tan α>0，则α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：C3．若角α的终边经过点P (2,3)，则有( ) A ．sin α＝21313 B ．cos α＝132C ．sin α＝31313D ．tan α＝23答案：C4．sin π3＝________，cos 3π4＝________.答案：32 －22[典例] 已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值． [解] r ＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a |.若a ＞0，则r ＝5a ，故sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34.若a ＜0，则r ＝－5a .同理可得sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： 法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．法二：在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)．则sin α＝yr ，cos α＝xr .已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[活学活用]1．设θ是第三象限角，P (－4，y )为其终边上的一点，且sin θ＝16y ，则tan θ等于( )A ．－52B ．－255C.255D.52 解析：选D 因为sin θ＝y(－4)2＋y 2＝16y ， 所以16＋y 2＝6，解得y ＝±25，又θ是第三象限角，所以y ＝－25， 所以tan θ＝－25－4＝52，故选D.2．已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α，sec α，csc α，cot α的值．解：直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，则直线通过第二和第四象限． ①在第二象限内取直线上的点(－1，3)，则r ＝(－1)2＋(3)2＝2，所以sin α＝32，则csc α＝23＝233； cos α＝－12，则sec α＝－2；tan α＝－3，则cot α＝－33. ②在第四象限内取直线上的点(1，－3)，则r ＝12＋(－3)2＝2，所以sin α＝－32，则csc α＝－233； cos α＝12，则sec α＝2；tan α＝－3，则cot α＝－33.[典例] (1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)设α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．(2)∵α是第三象限角， ∴2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z.∴k π＋π2<α2<k π＋3π4, k ∈Z ，∴α2在第二、四象限． 又∵⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2<0.∴α2在第二象限． [答案] (1)D (2)B对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．[活学活用]1．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，则下列各组数中有意义且均为正值的是( ) A ．tan A 与cos B B ．cos B 与sin C C ．sin C 与tan AD ．tan A2与sin C解析：选D ∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴tan A2＞0；又∵0＜C ＜π，∴sin C ＞0.2．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．1B ．0C ．2D ．－2解析：选C ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴|sin α|sin α－cosα|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2.求三角函数的定义域[典例] 求函数f (x )＝sin x ＋lg cos xtan x的定义域．[解] 要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ＞0，tan x ≠0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，所以⎩⎨⎧2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z ，2k π－π2＜x ＜2k π＋π2，k ∈Z ，x ≠k π＋π2，x ≠k π，k ∈Z.解得：2k π＜x ＜2k π＋π2，k ∈Z.所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＜x ＜2k π＋π2，k ∈Z .求三角函数定义域的方法(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得．对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以用取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．[活学活用]求下列函数的定义域： (1)y ＝sin x ＋cos xtan x；(2)y ＝cos x ＋－tan x .解：(1)要使函数式有意义，需tan x ≠0，解得x ≠k π(k ∈Z)． 要使tan x 有意义，需x ≠k π＋π2(k ∈Z)，解得x ≠k π2(k ∈Z)．所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z . (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≥0，－tan x ≥0.x ≠π2＋k π，k ∈Z ，由cos x ≥0得x 的终边在y 轴上，或第一象限，或第四象限，或在x 轴非负半轴上． 由－tan x ≥0，得tan x ≤0，则角x 的终边在第二象限，或第四象限，或在x 轴上． 综上，角x 的终边在第四象限或x 轴非负半轴上．所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π2＋2k π＜x ≤2k π，k ∈Z .层级一 学业水平达标1．若α＝2π3，则α的终边与圆x 2＋y 2＝1的交点P 的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫12，32 B.⎝⎛⎭⎫－12，32 C.⎝⎛⎭⎫－32，12 D.⎝⎛⎭⎫12，－32解析：选B 设P (x ，y )，∵角α＝2π3在第二象限， ∴x ＝cos2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32，∴P ⎝⎛⎭⎫－12，32.2．如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( ) A.12B ．－12C ．－32D ．－33解析：选C 由题意得P (1，－3)，它与原点的距离r ＝12＋(－3)2＝2，所以sin α＝－32. 3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能解析：选B ∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)， ∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角． 4．代数式sin 120°cos 210°的值为( ) A ．－34B.34C ．－32D.14解析：选A 利用三角函数定义易得sin 120°＝32， cos 210°＝－32，∴sin 120°cos 210°＝32×⎝⎛⎭⎫－32＝－34，故选A.5．若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于( ) A ．±15B ．±55C ．±255D ．±12解析：选C 在α的终边上任取一点(－1,2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝25＝255.或者取P (1，－2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝－25＝－255.6．计算：tan π6＝________，csc π6＝________.解析：∵α＝π6，在α的终边上取一点P (3a ，a )，∴r ＝2a .∴tan π6＝33，csc π6＝2.答案：332 7．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，则sin α＋cos α＝________. 解析：∵tan α＝a 5＝－125，∴a ＝－12.∴r ＝25＋a 2＝13. ∴sin α＝－1213，cos α＝513. ∴sin α＋cos α＝－713.答案：－7138．已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与射线y ＝3x (x ≥0)重合，则cos θ＝________.解析：根据题意，在射线上取一点P (1,3)，则x ＝1，y ＝3，r ＝12＋32＝10，所以cosθ＝x r ＝1010.答案：10109．已知角θ终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝24m (m ≠0)，试求cos θ与tan θ的值．解：点P (－3，m )到坐标原点O 的距离r ＝3＋m 2，由三角函数的定义，得sin θ＝yr＝m3＋m 2＝24m ，解得m ＝±5.∴r ＝2 2. 当m ＝5时，cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝yx ＝5－3＝－153.当m ＝－5时，cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝－5－3＝153.10．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)． 由题意，可知sin α＝－22，即y 1＝－22. ∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝⎛⎭⎫－222＝1，解得x 1＝22或x 2＝－22.∴cos α＝22或cos α＝－22， ∴tan α＝－1或tan α＝1.层级二 应试能力达标1．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3.2．设a <0，角α的终边与圆x 2＋y 2＝1的交点为P (－3a,4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( )A.25B ．－25 C.15 D ．－15解析：选A ∵点P 在圆x 2＋y 2＝1上，则|OP |＝1. 即(－3a )2＋(4a )2＝1，解得a ＝±15. ∵a <0，∴a ＝－15. ∴P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，－45. ∴sin α＝－45，cos α＝35. ∴sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25. 3．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限，又sin x －cos x <0，∴角x 的终边在第四象限．4．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝( ) A ．8B ．－8C ．4D ．－4 解析：选B 由题意r ＝|OP |＝m 2＋(－6)2＝m 2＋36，故cos α＝m m 2＋36＝－45，解得m ＝－8.5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. 解析：|OP |＝42＋y 2.根据任意角三角函数的定义得，y 42＋y 2＝－ 255，解得y ＝±8.又∵sin θ＝－255＜0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y ＝－8. 答案：－86．设0≤θ＜2π，若sin θ＜0且cos 2θ＜0，则θ的取值范围是________．解析：因为0≤θ＜2π且sin θ＜0，所以π＜θ＜2π.又cos 2θ＜0，所以2k π＋π2＜2θ＜2k π＋3π2，k ∈Z ，所以k π＋π4＜θ＜k π＋3π4，k ∈Z.因为π＜θ＜2π，所以k ＝1，即θ的取值范围是5π4＜θ＜7π4. 答案：⎝⎛⎭⎫5π4，7π47．求下列函数的定义域：(1)f (x )＝ 2＋log 12x ＋tan x ；(2)f (x )＝cos x .解：(1)由题意得⎩⎨⎧ 2＋log 12x ≥0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x ≤4，x ≠k π＋π2(k ∈Z ). 解得0<x <π2或π2<x ≤4，所以原函数的定义域为⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，4. (2)若使函数有意义，则需满足cos x ≥0，即2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z. ∴函数的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z.8．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限．(2)若角α的终边上一点是M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，所以sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，得m ＝±45. 又α为第四象限角，故m <0，从而m ＝－45， sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.。

任意角的三角函数
三角函数的定义
.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解任意角余切、正割、余割的定义.(难点)
.会根据三角函数的定义来求正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域，并知道三角函数在各象限内的符号.(重点)
[基础·初探]
教材整理任意角的三角函数
阅读教材～，完成下列问题.
在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点的坐标是(，)，它与原点的距离是(＝＞).
若角α的终边上有一点()，则α＋α＝.
【解析】由三角函数定义知，α＝，α＝，
∴α＋α＝.
【答案】
教材整理三角函数在各象限的符号
阅读教材“例”以下～“例”以上部分，完成下列问题.
图--
口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
已知θ·θ<，那么角θ是象限角.
【解析】∵θ·θ<，∴θ<.
故由象限角知识可知θ在第三或第四象限.
【答案】第三或第四
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：
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解惑：
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疑问：
解惑：
疑问：
解惑：。

人教版高中数学必修精品教学资料重点列表：重点详解：一、弧度制及任意角的三角函数 1．任意角 (1)角的概念角可以看成平面内一条____________绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角,按____________方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个____________． (2)象限角使角的顶点与____________重合,角的始边与x 轴的____________重合．角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角． ①α是第一象限角可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z ；②α是第二象限角可表示为 ； ③α是第三象限角可表示为 ； ④α是第四象限角可表示为 ． (3)非象限角如果角的终边在 上,就认为这个角不属于任何一个象限． ①终边在x 轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2k π,k ∈Z }；②终边在x 轴非正半轴上的角的集合可记作 _________________________________________； ③终边在y 轴非负半轴上的角的集合可记作 _________________________________________； ④终边在y 轴非正半轴上的角的集合可记作 _________________________________________； ⑤终边在x 轴上的角的集合可记作_________________________________________； ⑥终边在y 轴上的角的集合可记作_________________________________________； ⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作_________________________________________； (4)终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S ＝________________________. 2．弧度制(1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad 表示,读作弧度．||α＝ ,l 是半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长．(2)弧度与角度的换算：360°＝________rad,180°＝________rad,1°＝ rad≈0.01745rad ,反过来1rad ＝ ≈57.30°＝57°18′. (3)若圆心角α用弧度制表示,则弧长公式l ＝_______；扇形面积公式S扇＝＝ ． 3．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数的定义 设α是一个任意角,它的终边上任意一点P (x ,y )与原点的距离为r (r >0),则sin α＝ ,cos α＝ ,tan α＝ (x ≠0)． ※cot α＝x y (y ≠0),sec α＝r x (x ≠0),csc α＝r y(y ≠0)． (2)正弦、余弦、正切函数的定义域(3)三角函数值在各象限的符号sin α cos α tan α4．特殊角的三角函数值易求15°,75°的余弦值和余切值． 【答案】1．(1)射线 逆时针 顺时针 零角 (2)原点 非负半轴②⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z④⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋32π<α<2k π＋2π，k ∈Z 或{α|2k π－π2<α<2k π,k ∈Z }(3)坐标轴②{}α|α＝2k π＋π，k ∈Z③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π2，k ∈Z④⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋32π，k ∈Z ⑤{α|α＝k π,k ∈Z }⑥⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z ⑦⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2，k ∈Z(4){β|β＝α＋2k π,k ∈Z }或{β|β＝α＋k ·360°,k ∈Z } 2．(1)半径长 l r (2)2π π π180⎝ ⎛⎭⎪⎫180π° (3)||αr 12||αr 2 12lr3．(1)y rx r y x(2)①R ②R ③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α≠k π＋π2，k ∈Z4.二、同角三角函数的关系及诱导公式 1．同角三角函数的基本关系(1)由三角函数的定义,同角三角函数间有以下两个等式： ①____________________； ②____________________．(2)同角三角函数的关系式的基本用途：①根据一个角的某一三角函数值,求出该角的其他三角函数值；②化简同角的三角函数式；③证明同角的三角恒等式．2．三角函数的诱导公式 (1)诱导公式的内容：(2)诱导公式的规律：三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变,符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指π2的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍,则正、余弦互变,正、余切互变；若是偶数倍,则函数名称________．“符号看象限”是把α当成________时,原三角函数式中的角⎝ ⎛⎭⎪⎫如π2＋α 所在________原三角函数值的符号．注意把α当成锐角是指α不一定是锐角,如sin(360°＋120°)＝sin120°,sin(270°＋120°)＝－cos120°,此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数． (3)诱导公式的作用：诱导公式可以将任意角的三角函数转化为________三角函数,因此常用于化简和求值,其一般步骤是： 任意负角的三角函数―――――――→去负（化负角为正角）任意正角的三角函数――→脱周脱去k ·360°0°到360°的三角函数――――→化锐（把角化为锐角）锐角三角函数 3．sin α＋cos α,sin αcos α,sin α－cos α三者之间的关系 (sin α＋cos α)2＝________________； (sin α－cos α)2＝________________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝______________； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝______________.【参考答案】1．(1)①sin 2α＋cos 2α＝1 ②sin αcos α＝tan α2．(1)(2)不变 锐角 象限 (3)锐角3．1＋2sin αcos α 1－2sin αcos α 2 4sin αcos α 重点1：弧度制及任意角的三角函数 【要点解读】1．将角的概念推广后,要注意锐角与第一象限角的区别,锐角的集合为{α|0°<α<90°},第一象限角的集合为{α|k ·360°<α<k ·360°＋90°,k ∈Z },显然锐角的集合仅是第一象限角的集合的一个真子集,即锐角是第一象限角,但第一象限角不一定是锐角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行换算,在同一个式子中,采用的度量制必须一致,不可混用．如α＝2k π＋30°(k ∈Z ),β＝k ·360°＋π2(k ∈Z )的写法都是不正确的． 3．一般情况下,在弧度制下计算扇形的弧长和面积比在角度制下计算更方便、简捷． 4．已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的定义求三角函数值,但要注意对可能情况的讨论．5．牢记各象限三角函数值的符号,在计算或化简三角函数关系时,要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行讨论．6．2k π＋α表示与α终边相同的角,其大小为α与π的偶数倍(而不是整数倍)的和,是π的整数倍时,要分类讨论．如： (1)sin(2k π＋α)＝sin α；(2)sin(k π＋α)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin α（k 为偶数），－sin α（k 为奇数）＝(－1)ksin α.7．在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 【考向1】角的概念【例题】若α是第二象限角,试分别确定2α,α2,α3的终边所在位置．(3)∵30°＋k ·120°＜α3＜60°＋k ·120°(k ∈Z ),当k ＝3n (n ∈Z )时,30°＋n ·360°＜α3＜60°＋n ·360°,当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时,150°＋n ·360°＜α3＜180°＋n ·360°,当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时,270°＋n ·360°＜α3＜300°＋n ·360°.∴α3的终边在第一或第二或第四象限． 【评析】关于一个角的倍角、半角所在象限的讨论,有些书上列有现成的结论表格,记忆较难．解此类题一般步骤为先写出α的范围→求出2α,α2,α3的范围→分类讨论求出2α,α2,α3终边所在位置．【考向2】扇形的弧长与面积公式【例题】 如图所示,已知扇形AOB 的圆心角∠AOB ＝120°,半径R ＝6,求：(1)AB ︵的长； (2)弓形ACB 的面积．解：(1)∵∠AOB ＝120°＝2π3,R ＝6,∴l AB⌒＝2π3×6＝4π.【评析】①直接用公式l ＝|α|R 可求弧长,利用S 弓＝S 扇－S △可求弓形面积．②关于扇形的弧长公式和面积公式有角度制与弧度制这两种形式,其中弧度制不仅形式易记,而且好用,在使用时要注意把角度都换成弧度,使度量单位一致．③弧长、面积是实际应用中经常遇到的两个量,应切实掌握好其公式并能熟练运用． 【考向3】三角函数的定义【例题】已知角α的终边经过点P (a ,2a )(a ＞0),求sin α,cos α,tan α的值． 解：因为角α的终边经过点P (a ,2a )(a ＞0),所以r ＝5a ,x ＝a ,y ＝2a . sin α＝yr ＝2a5a＝255,cos α＝x r＝a5a＝55, tan α＝y x ＝2aa＝2. 【评析】若题目中涉及角α终边上一点P 的相关性质或条件,往往考虑利用三角函数的定义求解．重点2：同角三角函数的基本关系及诱导公式 【要点解读】1．诱导公式用角度制和弧度制表示都可,运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取．2．已知一个角的某一个三角函数值,求这个角的其他三角函数值,这类问题用同角三角函数的基本关系式求解,一般分为三种情况：(1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的,此类情况只有一组解．(2)一个角的某一个三角函数值是已知的,但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出,解答这类问题,首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置,然后分不同的情况求解．(3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的,此类情况须对字母进行讨论,并注意适当选取分类标准,一般有两组解． 3．计算、化简三角函数式常用技巧(1)减少不同名的三角函数,或化切为弦,或化弦为切,如涉及sin α,cos α的齐次分式问题,常采用分子分母同除以cos n α(n ∈N *),这样可以将被求式化为关于tan α的式子．※(2)巧用“1”进行变形,如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan αcot α＝tan45°＝sec 2α－tan 2α等．(3)平方关系式需开方时,应慎重考虑符号的选取．(4)理解sin α±cos α,sin αcos α的内在联系,必要时可用方程思想或整体代换方法解决． 【考向1】利用同角三角函数的基本关系式进行化简和求值 【例题】(1)已知sin α＝13,且α为第二象限角,求tan α；(2)已知sin α＝13,求tan α；(3)已知sin α＝m (m ≠0,m ≠±1),求tan α.(3)∵sin α＝m (m ≠0,m ≠±1),∴cos α＝±1－sin 2α＝±1－m 2(当α为第一、四象限角时取正号,当α为第二、三象限角时取负号)．∴当α为第一、四象限角时,tan α＝m1－m2； 当α为第二、三象限角时,tan α＝－m1－m2.【评析】解题时要注意角的取值范围,分类讨论,正确判断函数值的符号． 【考向2】诱导公式的应用 【例题】(1)化简sin （2π－α）cos （π＋α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αcos （π－α）sin （3π－α）sin （－π－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α；(2)已知α是第三象限角,且f (α)＝sin （π－α）cos （2π－α）tan ()α＋πtan （－α－π）sin （－α－π）.①若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15,求f (α)的值； ②若α＝－1860°,求f (α)的值．【评析】①三角式的化简通常先用诱导公式,将角度统一后再用同角三角函数关系式,这可以避免交错使用公式时导致的混乱．②在运用公式时正确判断符号至关重要．③三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题,也是高考常考的问题,要予以重视．难点列表：难点详解：三角函数线如图,角α的终边与单位圆交于点P .过点P 作x 轴的垂线,垂足为M ,过点A (1,0)作单位圆的切线,设它与α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T .根据三角函数的定义,有OM ＝x ＝________,MP ＝y ＝________,AT ＝ ＝________.像OM ,MP ,AT 这种被看作带有方向的线段,叫做有向线段,这三条与单位圆有关的有向线段MP ,OM ,AT ,分别叫做角α的 、 、 ,统称为三角函数线．【答案】cos α sin α y xtan α 正弦线 余弦线 正切线 难点1：三角函数线的应用 【要点解读】(1)已知角α终边上一点P 的坐标求三角函数值,先求出点P 到原点的距离r ,然后利用三角函数定义求解．(2)已知角α的终边与单位圆的交点坐标求三角函数值,可直接根据三角线求解．(3)已知角α的终边所在的直线方程求三角函数值,先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后利用三角函数定义求解相关问题,同时注意分类讨论．(4)判断三角函数值的符号问题,先判断角所在的象限,再根据各象限的符号规律判断． 【考向1】三角函数线的概念【例题】用单位圆证明角α的正弦绝对值与余弦绝对值之和不小于1,即已知0≤α＜2π, 求证：|sin α|＋|cos α|≥1.证明：作平面直角坐标系xOy 和单位圆．(1)当角α的终边落在坐标轴上时,不妨设为Ox 轴,设它交单位圆于A 点,如图1,显然sin α＝0,cos α＝OA ＝1,所以|sin α|＋|cos α|＝1.图1图2【评析】三角函数线是任意角的三角函数的几何表示,利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三角函数值的符号及大小,并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规律．在求三角函数的定义域、解三角不等式、证明三角不等式等方面,三角函数线具有独特的简便性．【考向2】利用三角函数线进行证明【例题】求证：当α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时,sin α<α<tan α.证明：如图所示,设角α的终边与单位圆相交于点P ,单位圆与x 轴正半轴的交点为A ,过点A 作圆的切线交OP 的延长线于T ,过P 作PM ⊥OA 于M ,连接AP ,则在Rt △POM 中,sin α＝MP ,在Rt △AOT 中,tan α＝AT ,又根据弧度制的定义,有AP ︵＝α·OP ＝α,易知S △P O A <S 扇形P O A<S △A O T ,即12OA ·MP <12AP ︵·OA <12OA ·AT ,即sin α<α<tan α. 难点2：关于sin α,cos α的齐次式问题【要点解读】(1)已知sin α(或cos α)的值,求cos α(或sin α)、tan α的值时,先利用平方关系sin2α＋cos 2α＝1,再利用商数关系tan α＝sin αcos α,其中利用平方关系进行开方时要注意根据角所在的象限选择恰当的符号．(2)已知tan α的值,求sin α和cos α的值时,通常利用两个基本关系式建立方程组求解． 【考向1】一次变换【例题】已知tan αtan α－1＝－1,求下列各式的值．(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.【评析】(1)形如a sin α＋b cos α和a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子分别称为关于sin α,cos α的一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cos α或cos 2α)求解．如果分母为1,可考虑将1写成sin 2α＋cos 2α.(2)已知tan α＝m 的条件下,求解关于sin α,cos α的齐次式问题,必须注意以下几点：①一定是关于sin α,cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．②因为cos α≠0,所以可以用cos n α(n ∈N *)除之,这样可以将被求式化为关于tan α的表示式,可整体代入tan α＝m 的值,从而完成被求式的求值运算．③注意1＝sin 2α＋cos 2α的运用． 【考向2】高次变换【例题】已知tan α＝3,求sin 2α－3sin αcos α＋1的值． 解法一：sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1＝tan 2α－3tan α1＋tan 2α＋1 ＝32－3×31＋32＋1＝1.解法二：∵tan α＝3＞0,∴α是第一、三象限角．由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sin α＝3cos α， 有⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝31010，cos α＝1010(α为第一象限角),或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－31010，cos α＝－1010(α为第三象限角)．∴sin αcos α＝310.∴sin 2α－3sin αcos α＋1＝910－3×310＋1＝1.【趁热打铁】1．sin585°的值为( ) A ．－22B.22 C ．－32 D ．322．若sin α＝35,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π,则tan α的值为( )A ．34B ．－34C ．43D ．－433．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°<cos10°<sin168° B ．sin168°<sin11°<cos10° C ．sin11°<sin168°<cos10° D ．sin168°<cos10°<sin11°4．已知f (cos x )＝cos2x ,则f (sin15°)的值等于( ) A ．12B ．－12C ．32D ．－325．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2（2π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin （π＋α）＝( )A ．35B ．53C ．45D ．546．已知sin α－cos α＝2,α∈()0，π,则tan α＝( ) A ．－1B ．－22 C.22D ．1 7．已知sin αcos α＝18,且π4＜α＜π2,则cos α－sin α的值是________．8．若一扇形的周长为60cm,那么当它的半径和圆心角各为________cm 和________rad 时,扇形的面积最大．9．若α是第三象限角,则2α,α2分别是第几象限角？10．已知角α的终边经过点P (x ,－2)(x ≠0)且cos α＝36x ,求sin α＋tan α的值．第一章1解：sin585°＝sin ()90°×6＋45°＝－sin45°＝－22.故选A . 2解：∵sin α＝35,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π,∴cos α＝－45. ∴tan α＝sin αcos α＝－34.故选B .3解：∵cos10°＝sin80°,sin168°＝sin()180°－12°＝sin12°,∴sin11°<sin168°<cos10°.故选C .4解：f (sin15°)＝f (cos75°)＝cos150°＝－32.故选D . 5解：由5x 2－7x －6＝0得x ＝－35或x ＝2.∴sin α＝－35.∴原式＝cos α（－cos α）·tan 2αsin α·（－sin α）·（－sin α）＝1－sin α＝53.故选B .6解：将sin α－cos α＝2两端平方,整理得2sin αcos α＝－1,∴2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝－1,即(tan α＋1)2＝0,解得tan α＝－1.故选A . 7解：∵π4＜α＜π2,∴sin α＞cos α.∵1－2sin αcos α＝(cos α－sin α)2＝34,∴cos α－sin α＝－32.故填－32.9解：∵α是第三象限角, ∴2k π＋π<α<2k π＋32π,k ∈Z .∴4k π＋2π<2α<4k π＋3π,k ∈Z .∴2α是第一、二象限角,或角的终边在y 轴非负半轴上． 又k π＋π2<α2<k π＋34π,k ∈Z ,∴当k ＝2m (m ∈Z )时,2m π＋π2<α2<2m π＋34π(m ∈Z ),则α2是第二象限角；当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时,2m π＋32π<α2<2m π＋74π(m ∈Z ),则α2是第四象限角．故α2是第二、四象限角．10解：∵P (x ,－2)(x ≠0), ∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝x x 2＋2＝36x ,∴x ＝±10,r ＝2 3. 当x ＝10时,点P (10,－2), 由三角函数定义知sin α＝－66,tan α＝－210＝－55.∴sin α＋tan α＝－66－55＝－56＋6530. 当x ＝－10时,同理可求得sin α＋tan α＝65－5630.。

学业分层测评(三)(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题.下列三角函数判断错误的是( )°> °>°> °<【解析】∵°<°<°，∴°>；又°<°<°，∴°>；又°<°<°，∴°<；又°<°<°，∴°<，故选.【答案】.已知角α终边上异于原点的一点且＝，则点坐标为( )( α，α) ( α，α)( α，α) ( α，α)【解析】设(，)，则α＝，∴＝α，又α＝，＝α，∴( α，α)，故选.【答案】.角α的终边上有一点(－)(<)，则α的值为( ).－.－【解析】因为<，所以α＝＝＝－.【答案】.若θ是第二象限角，则( )> <> .以上均不对【解析】∵θ是第二象限角，∴π＋<θ<π＋π，∴π＋<<π＋，∴是第一或第三象限角，∴>.【答案】.使得( αα)有意义的角α是( ).第一或第二象限角.第二或第三象限角.第三或第四象限角.第一或第四象限角【解析】要使原式有意义，必须αα>，即需α，α同号，所以α是第一或第二象限角.【答案】二、填空题.设α为第二象限角，则点( α，α)在第象限.【解析】∵α为第二象限角，∴α<，α>.【答案】二.(·镇江高一检测)已知角α的终边经过点(－，＋)，且α≤，α＞，则实数的取值范围是.【解析】由(\\( α≤，α＞，))得(\\(－≤，＋＞，))解得－＜≤.【答案】－＜≤.若角α终边经过点(－，)，且α＝(≠)，则α＝.【导学号：】【解析】∵过点(－，)，∴α＝＝.又≠，∴＝，∴＝＝＝＝，∴α＝＝＝－.【答案】－三、解答题.已知角α的终边经过点(，)，()求α＋α的值；()写出角α的集合.【解】()由点的坐标知，＝＝，＝，＝，∴α＝，α＝，∴α＋α＝.()由()知，在～π内满足条件的角α＝，∴角α的集合＝..在平面直角坐标系中，角α的终边在直线＋＝上，求α－α＋α的值.【解】①当α的终边在第二象限时，取终边上的点(－，)，＝，。

1.2 任意角的三角函数 1.2.1 三角函数的定义特例．(重点、易混点)1．三角函数的定义和定义域在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点O 的距离是r (r归纳总结由定义可知，这六个比值的大小与在终边上所取的点P 的位置无关，只与角α的大小有关，即它们都是以角α为自变量，以比值为函数值的函数．定义中的α是任意角，但对于一个确定的角，只要各个三角函数有意义，其值就是唯一的．【自主测试1－1】若角θ的终边过点P (a,8)，且cos θ＝－35，则a 的值是( )A ．6B ．－6C ．10D ．－10 解析：由任意角的三角函数的定义可知aa 2＋82＝－35，解得a ＝±6.显然a ＝6时不成立，所以a ＝－6.答案：B【自主测试1－2】若角α终边上有一点P (－2,0)，则下列函数值不存在的是( ) A ．sin α B ．cos α C ．tan α D ．cot α 答案：D2．三角函数在各象限的符号(1)用图形表示，如图所示．归纳总结三角函数值在各象限的符号可简记为：“一全正，二正弦，三两切，四余弦，正、余割同余、正弦”，即，第一象限正弦、余弦、正切、余切都为正；第二象限正弦为正；第三象限正切、余切为正；第四象限余弦为正；正割、余割的符号与余弦、正弦的符号相同．三角函数在各象限的符号是由什么确定的？答：由三角函数定义可知，三角函数在各象限的符号由角α终边上任意一点的坐标来确定．【自主测试2－1】若sin θcos θ＞0，则θ角的终边在( ) A ．第一或第二象限 B ．第一或第三象限 C ．第一或第四象限 D ．第二或第四象限解析：由sin θcos θ＞0，可知若sin θ＞0，则cos θ＞0，则角θ的终边位于第一象限；若sin θ＜0，则cos θ＜0，则角θ的终边位于第三象限．综上，可知θ角的终边位于第一或第三象限．答案：B【自主测试2－2】已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α在第__________象限．解析：因为点P (tan α，cos α)在第三象限， 所以tan α＜0，cos α＜0，故角α在第二象限． 答案：二锐角三角函数推广为任意角的三角函数的过程 剖析：角的概念推广后，我们利用直角坐标系把锐角三角函数推广到任意角的三角函数． 如图所示，射线OP 在第一象限，P (x ，y )是该射线上的任意一点，MP ⊥Ox 于点M ，记∠MOP ＝α，则OM ＝x ，MP ＝y ，r ＝OP ＝x 2＋y 2＞0，由锐角三角函数的定义知，sin α＝yr，cos α＝x r ，tan α＝yx.下面我们来研究任意角的三角函数．如右上图所示，已知任意角α，以角α的顶点O 为坐标原点，以角α的始边的方向作为x 轴的正方向，建立直角坐标系xOy ，并且使∠xOy ＝90°.在角α的终边上取点A ，使OA ＝1，设A 的坐标为(l ，m )，再任取一点P (x ，y )，设OP＝r (r ≠0)，由相似三角形对应边成比例，得|x |r ＝|l |，|y |r ＝|m |，|y ||x |＝|m ||l |.因为点A ，P 在同一象限内，所以它们的横纵坐标符号相同．因此得xr ＝l ，y r ＝m ，y x ＝m l，不论点P 在终边上的位置如何，它们都是定值，它们只依赖于α的大小，与点P 在α终边上的位置无关．我们定义cos α＝x r ，sin α＝y r，tan α＝y x.由图可以看出，当α为锐角时，上述所定义的三角函数与在直角三角形中定义的三角函数是一致的，这样就把锐角三角函数推广为任意角的三角函数．名师点拨(1)正弦、余弦、正切分别可看成一个角的集合到一个比值的集合的映射．它们都是以角为自变量，比值为函数值的函数，称为三角函数．(2)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和P (x ，y )在终边上的位置无关，而由角α的终边的位置决定．对于确定的角α，其终边的位置也唯一确定，因此，三角函数是角的大小的函数．题型一 三角函数的定义【例题1】已知角α终边上一点的坐标为P (－3，y )(y ≠0)，sin α＝24y ，求cos α和tan α.分析：求解本题的关键是根据三角函数的定义及sin α＝24y 求出y 的值． 解：∵x ＝－3，∴r ＝x 2＋y 2＝3＋y 2，∴sin α＝y r ＝y 3＋y 2，∴y 3＋y 2＝24y ， 解得y ＝－5或y ＝5或y ＝0(舍去)．∴当y ＝－5时，cos α＝x r ＝－35＋3＝－64，tan α＝y x ＝－5－3＝153；当y ＝5时，同理得cos α＝－64，tan α＝－153. 反思当所给角的终边上的点含有字母时，一定要注意分类讨论，并结合函数值的正负进行取舍．〖互动探究〗若将本例中的条件“P (－3，y )(y ≠0)”改为“P (－3，y )”结论又如何？解：当y ＝0时，cos α＝－1，tan α＝0；当y ＝5时，cos α＝－64，tan α＝－153；当y ＝－5时，cos α＝－64，tan α＝153. 题型二 判断三角函数值的符号【例题2】(1)判断sin 3cos 4tan 5cot 6的符号；(2)已知θ是第二象限的角，试确定cos θsin θ的符号．分析：确定一个角的某一三角函数值的符号，关键要看角在哪一个象限；确定一个式子的符号，则需要观察构成该式的结构特点及每部分的符号．解：(1)∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，3π2＜5＜6＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，cot 6＜0.∴sin 3cos 4tan 5cot 6＜0，即sin 3cos 4tan 5cot 6的符号为负．(2)∵θ是第二象限的角，∴sin θ＞0，cos θ＜0. 故cos θsin θ＜0，即cos θsin θ的符号为负． 反思这里的sin 3就是“sin 3(rad)”，将弧度省略了．在第(2)小题中解题的关键是分别判断出sin θ，cos θ的符号．题型三 三角函数的定义域【例题3】求下列函数的定义域． (1)y ＝sin x tan x ；(2)y ＝lg sin x ＋9－x 2. 分析：根据三角函数的定义并结合求函数定义域的要领列不等式或不等式组进行求解即可．解：(1)由题意得sin x tan x ≥0，即sin x 与tan x 同号或sin x tan x ＝0，故x 是第一、四象限的角或终边在x 轴上的角．所以函数的定义域为 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π2<x <2k π＋π2或x ＝2k ＋1π，k ∈Z .(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，9－x 2≥0.由sin x ＞0得2k π＜x ＜2k π＋π(k ∈Z )．① 由9－x 2≥0得－3≤x ≤3.② 由①②得0＜x ≤3.故函数的定义域为{x |0＜x ≤3}．反思求解含有三角函数式的函数的定义域问题，和我们以前学过的求定义域的问题的解决方法是一致的，即首先列出不等式或不等式组，然后解不等式或不等式组，最后写出函数的定义域．凡涉及三角函数的定义域问题，在求解时，必须考虑到三角函数本身一定要有意义．在求一个固定的集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以通过取特殊值或画数轴的方法来解决．题型四 易错辨析【例题4】已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α，tan α，cot α的值．错解：∵x ＝－4a ，y ＝3a ，∴r ＝x 2＋y 2＝5a .∴sin α＝3a 5a ＝35，cos α＝－4a 5a ＝－45，tan α＝3a －4a ＝－34，cot α＝－4a 3a ＝－43.错因分析：没有对a 分正负两种情况讨论，误认为a ＞0.正解：若a ＞0，则r ＝5a ，且角α的终边在第二象限，∴sin α＝3a 5a ＝35，cos α＝－4a 5a ＝－45，tan α＝3a －4a ＝－34，cot α＝－4a 3a ＝－43.若a ＜0，则r ＝－5a ，且角α的终边在第四象限，∴sin α＝3a －5a ＝－35，cos α＝－4a －5a ＝45，tan α＝3a －4a ＝－34，cot α＝－4a 3a ＝－43.反思(1)给出角的终边上一点的坐标，求解某个三角函数值时常用定义求解．(2)本题由于所给字母a 的符号不确定，故要对a 的正负进行分类讨论．1．已知P (x,4)是角θ终边上一点，且tan θ＝－25，则x 的值为( )A ．10B ．45C ．－10D ．－15解析：由任意角的三角函数的定义可知，tan θ＝y x ＝4x ＝－25，故x ＝－10.答案：C2．已知角α的终边经过点P (－3，－4)，则cos α的值为( )A ．－45B ．35C ．45D ．－35答案：D3．若α是第三象限的角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝( )A ．0B ．1C ．2D ．－2解析：∵α是第三象限的角，∴sin α＜0，cos α＜0， ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝－1－(－1)＝0. 答案：A4．下列函数中，与函数y ＝tan α有相同定义域的个数为( )①y ＝1cot α；②y ＝sec α；③y ＝csc α；④y ＝1－sin αcos α.A ．1B ．2C ．3D ．4解析：要使y ＝tan α＝y x有意义，只需角α的终边上异于原点的点P (x ，y )的横坐标x ≠0，显然函数②④的定义域与之相同．答案：B5．若角α的终边过点P (3cos θ，－4cos θ)(θ为第二象限的角)，则sin α＝__________.解析：∵x ＝3cos θ，y ＝－4cos θ，∴r ＝3cos θ2＋4cos θ2＝5|cos θ|＝－5cos θ(θ为第二象限的角)．∴sin α＝y r ＝－4cos θ－5cos θ＝45.答案：456．x 2sin(－1 350°)＋y 2tan 405°－(x －y )2cot 765°－2xy cos(－1 080°)＝__________.解析：原式＝x 2sin(90°－4×360°)＋y 2tan(45°＋360°)－(x －y )2cot(45°＋2×360°)－2xy cos(0°－3×360°)＝x 2sin 90°＋y 2tan 45°－(x －y )2cot 45°－2xy cos0°＝x 2＋y 2－(x －y )2－2xy ＝0.答案：07．求下列函数的定义域：(1)y ＝tan x ＋cot x ；(2)y ＝sin x ＋tan x .解：(1)∵要使函数有意义，必须使tan x ，cot x 同时有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2k ∈Z ，x ≠k πk ∈Z .∴函数y ＝tan x ＋cot x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z. (2)∵当sin x ≥0且tan x 有意义时，函数才有意义， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k ＋1πk ∈Z ，x ≠k π＋π2k ∈Z .∴函数y ＝sin x ＋tan x 的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋π2，2k ＋1π(k ∈Z )．。

自我小测1．若角α的终边经过点P (－b,4)，且cos α＝－35，则b 的值为( ) A ．3 B ．－3C ．±3D ．52．若角α的终边在直线y ＝2x 上，则sin α等于( )A ．±15 B ．±5C ．±5D ．±12 3．下列各式为正号的是( )A ．cos2－sin 2B ．cos 2·sin 2C ．tan 2·cos 2D ．sin 2·tan 24．已知cos α＝m,0<|m |<1，且tan α＝m，则角α的终边在( ) A ．第一或第二象限 B ．第三或第四象限C ．第一或第四象限D ．第二或第三象限5．若α是第二象限的角，则sin 2α，sin 2a ，tan 2α，tan 2a 中必取正数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则a 的取值范围是__________．7．已知点P (3，y )在角α的终边上，且满足y <0，cos α＝35，则tan α的值为__________． 8．函数y ＝tan 1sin x x+的定义域是__________．9．已知角θ的终边上有一点P (m )，且sin θ＝4m ，求cos θ与tan θ的值． 10．根据任意角的三角函数的定义证明：1sec tan 1sec tan a a a a +++-＝1sin cos a a+．参考答案1．解析：因为r＝－35． 所以b ＝3．答案：A2．解析：由角α的终边在直线y ＝2x 上得tan α＝2，故sin α＝C ． 答案：C3．解析：因为cos 2<0，sin 2>0，tan 2<0，所以tan 2·cos 2>0．答案：C4．解析：因为cos α＝m,0<|m |<1，所以角α，所以cos α与tan α同号，所以角α的终边在第一或第二象限．答案：A5．答案：B6．解析：因为x r ≤0， y r>0，所以x ≤0，y >0， 即{390,20,a a -≤+>所以－2<a ≤3．答案：(－2,3]7．解析：＝35，y <0， 所以y ＝－4．所以tan α＝－43． 答案：－438．解析：函数定义域为,,1sin 0,2x k k Z x ππ⎧≠+∈+≠⎨⎩ 即3,,2,,22x k k Z x k k Z ππππ⎧≠+∈≠+∈⎨⎩ 解得x ≠k π＋2π，k ∈Z ． 答案： ,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭9．解：由已知，得4m，解得m＝0，或m＝(1)当m＝0时，cos θ＝－1，tan θ＝0；(2)当mcos θtan θ(3)当mcos θ＝－4tan θ＝3．10．解：由三角函数定义，有左边＝11r yx xr yx x+++-＝x r yx r y+++-＝()() ()() x r y x r y x r y x r y ++++ +-++＝222 () ()x y r x r y+++-＝22222222r xr yr xyx xr++++＝()()()x y x rx x y+++＝x yx+；右边＝1yrxr+＝x yx+．左边＝右边．所以原式成立．。

高中数学必修四三角函数知识点高中数学必修四三角函数知识点详解角是我们在几何学中经常接触到的重要概念，而三角函数则是与角密切相关的一类函数。

在高中数学必修四中，三角函数是一个重要的知识点，对于数学学习的深入和数学建模的实践具有重要的意义。

本文将结合具体例子，详细介绍高中数学必修四三角函数的相关知识。

一、正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本、最常用的两个三角函数。

我们首先从几何解释的角度来理解它们。

对于一个角A，我们可以根据角A所在的单位圆上的点(x,y)的坐标值，得到角A的正弦值sinA和余弦值cosA。

而正弦函数sinx和余弦函数cosx则是将角x所对应的正弦值和余弦值关系式表示的函数。

举个例子来说明，假设有一角x=30°，那么根据单位圆上的坐标特点，点(x,y)的坐标值为(√3/2,1/2)。

因此，角x的正弦值sinx=1/2，余弦值cosx=√3/2。

我们可以用这样的方法，通过观察和计算，来确定正弦函数和余弦函数的函数图像和性质。

二、正切函数和余切函数正切函数和余切函数是另外两个重要的三角函数。

正切函数tanx和余切函数cotx则是将角x所对应的正切值和余切值关系式表示的函数。

我们以正切函数为例，来解释一下它的定义和性质。

对于一个角A，我们可以根据角A所在的单位圆上的点(x,y)的坐标值，得到角A的正切值tanA。

正切函数tanx就是将角x所对应的正切值关系式表示的函数。

正切函数tanx的一个重要特点是周期性。

考虑tanx的函数图像，我们可以观察到在每个周期内，tanx呈现出规律的周期性变化。

而周期为π的函数图像在整个定义域上都是无穷区间波动的。

三、其他三角函数除了上述介绍的正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数之外，还有其他一些与三角函数密切相关的函数，如割函数secx和余割函数cscx等。

割函数和余割函数定义如下：割函数secx是角x对应的余弦倒数的函数，余割函数cscx是角x对应的正弦倒数的函数。

学业分层测评(三) 三角函数的定义(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列三角函数判断错误的是( ) A.sin 165°>0 B.cos 280°>0 C.tan 170°>0D.tan 310°<0【解析】 ∵90°<165°<180°，∴sin 165°>0； 又270°<280°<360°，∴cos 280°>0； 又90°<170°<180°，∴tan 170°<0； 又270°<310°<360°，∴tan 310°<0，故选C. 【答案】 C2.已知角α终边上异于原点的一点P 且|PO |＝r ，则点P 坐标为( ) A.P (sin α，cos α) B.P (cos α，sin α) C.P (r sin α，r cos α)D.P (r cos α，r sin α)【解析】 设P (x ，y )，则sin α＝y r ，∴y ＝r sin α，又cos α＝x r，x ＝r cos α，∴P (r cos α，r sin α)，故选D.【答案】 D3.角α的终边上有一点(－a,2a )(a <0)，则sin α的值为( ) A.－55B.25 5 C.55D.－255【解析】 因为a <0，所以sin α＝2a －a2＋a2＝2a－5a＝－255.【答案】 D4.若θ是第二象限角，则( ) A.sin θ2>0B.cos θ2<0C.tan θ2>0D.以上均不对【解析】 ∵θ是第二象限角，∴2k π＋π2<θ<2k π＋π，∴k π＋π4<θ2<k π＋π2，∴θ2是第一或第三象限角，∴tan θ2>0.【答案】 C5.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是( ) A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角【解析】 要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角.【答案】 A 二、填空题6.设α为第二象限角，则点P (cos α，sin α)在第________象限. 【解析】 ∵α为第二象限角，∴cos α<0，sin α>0. 【答案】 二7.(2016·镇江高一检测)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________.【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧cos α≤0，sin α＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3. 【答案】 －2＜a ≤38.若角α终边经过点P (－3，y )，且sin α＝34y (y ≠0)，则cos α＝________. 【导学号：72010008】【解析】 ∵过点P (－3，y )，∴sin α＝y3＋y2＝34y . 又y ≠0，∴13＋y2＝34， ∴|OP |＝3＋y 2＝43＝433＝r ，∴cos α＝x r ＝－3433＝－34.【答案】 －34三、解答题9.已知角α的终边经过点P (1，3)， (1)求sin α＋cos α的值； (2)写出角α的集合S .【解】 (1)由点P 的坐标知，r ＝|OP |＝2，x ＝1，y ＝3， ∴sin α＝32，cos α＝12， ∴sin α＋cos α＝3＋12. (2)由(1)知，在0～2π内满足条件的角α＝π3，∴角α的集合S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π3，k ∈Z . 10.在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值.【解】 ①当α的终边在第二象限时，取终边上的点P (－4，3)，OP ＝5， sin α＝35，cos α＝－45＝－45，tan α＝3－4＝－34，所以sin α－3cos α＋tan α＝35＋125－34＝94.②当α的终边在第四象限时，取终边上的点P (4，－3)，OP ＝5， sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34＝－34，所以sin α－3cos α＋tan α＝－35－125－34＝－154.[能力提升]1.(2016·承德一中高一测试)若θ是第三象限角，且cos θ2<0，则θ2是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】 由θ为第三象限角，知2k π＋π<θ<2k π＋32π，∴k π＋π2<θ2<k π＋3π4(k ∈Z )，∴θ2为二、四象限的角.又cos θ2<0，∴θ2为第二象限角.【答案】 B2.如果α的终点过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π6，－2cos π6，则sin α的值等于( )A.12 B.－12C.－32D.－33【解析】 ∵2sin π6＝1，－2cos π6＝－3，∴r ＝12＋－32＝2，∴sin α＝－32. 【答案】 C3.函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x 的值域是________.【解析】 由题意知x 不是终边在坐标轴上角，则有：x 为第一象限角时：y ＝sin x sin x ＋cos x cos x ＋tan xtan x＝3； x 为第二象限角时：y ＝sin x sin x ＋cos x －cos x ＋－tan xtan x＝－1； x 为第三象限角时：y ＝－sin x sin x ＋cos x －cos x ＋tan xtan x ＝－1； x 为第四象限角时：y ＝－sin x sin x ＋cos x cos x ＋－tan xtan x＝－1； 综上知此函数值域为{－1,3}. 【答案】 {－1,3} 4.判断下列各式的符号： (1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－234π； (3)θθ(θ为第二象限角).【解】 (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角， ∴sin 340°<0，cos 265°<0， ∴sin 340°cos 265°>0.(2)∵π<4<3π2，∴4是第三象限角，∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角.∴sin 4<0，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4>0，∴sin 4tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4<0.(3)∵θ为第二象限角，∴0<sin θ<1<π2，－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0，cos(sin θ)>0， ∴θθ<0.。

三角函数的定义一、教学目标1.知识与技能目标（1）理解并掌握任意角三角函数的定义，了解终边相同的角的同一三角函数值相等；（2）掌握三角函数（正弦、余弦、正切）的定义域；（3）熟记三角函数在各象限的符号.2.过程与方法目标（1）培养学生应用图形分析数学问题的能力；（2）通过对任意角三角函数的定义的探究，培养学生自主探究、合作交流的能力；3.情感、态度与价值观目标通过三角函数定义的学习，体会同一角的三角函数值，不因在其终边上取点的变化而变化，从而启示我们在研究问题时，要在千变万化中，抓住事物的本质属性，不被表面现象所迷惑，从中体会三角函数，像一般实函数一样，体现了一般函数的抽象美。

二、教学重难点重点：任意角的三角函数的定义，三角函数的定义域，判定三角函数值的符号.难点：任意角的三角函数的定义.三、教学方法在教学中以问题为核心，采取“导引体验式”教学方法．在复习锐角三角函数定义的基础上，引导学生重新定义任意角的三角函数，由边的比变为坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比，使学生在理解掌握定义的基础上，加深特殊与一般关系的理解．然后引导学生根据三角函数定义和象限内的点坐标符号导出三角函数在各象限的符号．【教学过程】新课例题讲解、变式训练探究：三角函数在各象限的符号．三角函数在各象限的符号如下图所示：例题2. 确定下列各三角函数值的符号：（1）cos260°例题3.设sinα<0且tanα>0, 试确定α是第几象限角？变式训练2.10tan3π（1）（）的符号sin cos0,ααα⋅<（2）则是第几象限角？(3)cos22βββ、已知是第三象限角且<0，问是第几象限角？学生探究得到三角函数在各象限的符号，教师可以引导学生总结口诀，帮助学生记忆：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦．教师：PPT展示求解过程并点明，解决这一类问题主要就是判断角的终边落在哪一个象限，并且熟记三角函数在各个象限的符号.教师也可以借助超级画板动态演示，可以更直观形象的得到三角函数在各象限的符号，符合新课程理念提出的借助信息技术辅助教学，同时也是直观教学的一种体现..例题的讲解主要是让学生体会如何利用三角函数在各象限的符号解决问题，加深学生对这一部分知识的体会.小结本节课所学知识点：内容总结：(1)任意角三角函数的定义．(2三角函数的定义域．(3)任意角三角函数值的符号（记住口诀）．思想方法方面：（1）定义法求解三角函数值.让学生总结，教师适当的提醒给予补充完整．培养学生的语言组织总结能力和数学语言表达能力．O xy＋＋－－sin αO xy＋－＋－cos αO xy＋－－＋tan αsin-3π（2）（）。