开放式光腔与高斯光束.ppt

损耗的评价：
光子在腔内的平均寿命 R
1、初始光强 I0，往返m 次后的光强：
Im I0 (e2 )m I0e2 m
2、取0 时刻的光强 I0，则到 t 时刻光子往返的次数：
t
m
2L '/ c
3、 t 时刻的光强：I (t)
t
I0e L' / c

t
I0e R
4、光子的平均寿命： R L' / c
1级
0级
-1级
给出不同模式的精细描述, 适用衍射效应明显的场合
几何光学+干涉仪理论:模式按传输方向和谐振频率来区分
(r3,z3)
腔 镜
(r1,z1)
(r2,z2) (r0,z0)
粗略但简单明了
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.1 谐振腔与模式
四、模式表示方法及模式特征参数 TEMmnq－Transverse Electromagnetic wave － 横电磁波
n，
y
kz
q
z
电磁场的解
激光模式
谐振腔
光学谐振腔理论即激光模式理论
处于谐振腔内的电磁场(激光场) (模式基本特征及其与腔结构关系)
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.1 谐振腔与模式
三、光腔分析的两种理论方法
衍射理论: 模式按场分布,损耗,谐振频率来区分,
1级 0级
腔
-1级
镜

q
c 2L

c 2L
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.1 谐振腔与模式
六、横模－具有相同的横向场分布的模式(不同的光斑花样)
(1) x, y 轴对称 TEMmnq (2) 旋转对称 TEMmnq 轴对称和旋转对称分布取决于腔的几何形状 基(横)模 TEM00

平均单程指数损耗因子：初始光强为I 0 ,在无源腔内往返一次后， 光强衰减为I1，则I1 I 0e
2
1 I0 ln ； 2 I1
1 I 0 I1 有时，定义单程损耗因子 (光强衰减百分数）。 2 I0 1 I 0 I1 1 I 0 I 0e 2 可以证明，在小损耗情况下， 2 I0 2 I0
稳定腔：任何旁轴光线可以在腔内往返无限多次不会 逸出腔外 几何偏折损耗小(低损耗腔)。 非稳腔：旁轴光线有限次反射后便逸出腔外 几何偏折损耗大(高损耗腔)。
两种不同的腔的理论处理方法、设计方法不同。
本节讨论用几何光学中光线矩阵方法来分析腔中的 几何偏折损耗。
一、腔内光线往返传播的矩阵表示
1、描述光线的参数
1、光子在腔内的平均寿命 R
根据平均单程指数损耗因子 的定义，我们可求得，初始光强 为I 0的光束经过m次往返后，光强会变为 Im I0 e
2

m
I 0e2 m
设t 0时刻光强为I 0，则到t时刻光在腔内往返的次数m应为 m t 0 tc 2 L 2L c
根据Maxwell方程和边界条件，我们可以求出电磁场的具体 解的形式。我们会发现，这些解是分立的。每一个分立的 解就是场的一个本征态，即电磁场的模式。
不管是闭腔或是开腔，只要给定了腔的具体结构，则其中振荡 模的特征也就随之确定下来，此即腔与模的一般联系。
模的基本特征包括： 电磁场分布(横向与纵向)；谐振频率；往返损耗；发散角。
r1,1 r4 ,4 r5 ,5
r2 ,2 r3,3
r1 开 始时 ： 1
r5 r1 T r1T LT r2T L T 1 5

谐振腔内允许或可能存在的电磁波的本 征态或腔内可能区分的光子的状态。
2、模与腔的关系 腔的参数确定后，则模的特征就由麦氏方
程组及腔的边界条件唯一地确定。
3、模的基本特征:
本征函数: 场的振幅和相位分布 本征值：决定自再现模的传输特性，包括模的
衰减、相移、谐振频率等。
4、处理腔模的方法
说明：不同的腔型，求解模的方法有所不同！
b、衍射损耗：由于腔镜尺寸有限导致 的！大小与腔的菲涅耳数 N = a2 / Lλ 、 几何参数g、横模种类有关。
c、腔镜反射不完全引起的损耗：如吸 收、散射、透射等。
②有源腔的损耗 a、b、c与无源腔的一致。
d、内损：材料中的非激活吸收、散射、腔内插 入元件引起的损耗等。 说明：a、b由于与模式有关，故又称为 选择性损耗，c、d则为非选择性损耗。
Δν q
= ν q+1
−ν q
=
c 2ηL
=
c 2L′
——纵模间隔
②腔横截面内的场是均匀分布。
③频率梳——纵模等距排列 *(在频率空间)
频率梳
Δν c ：单模线宽
4、激光器中出现的纵模数
Δν F Δν q
5.选纵模
1.确定可起振纵模数目 q的因素
(1)荧光线宽 *( 自发发
射线宽): Δν F
∵*(只有)满足
ab双凹稳定腔c凹凸稳定腔cd平凹稳定腔e半共焦腔r1dr12leyantaiuniversitysmwang2a对称共焦腔b平行平面腔c实共心腔d对称共心腔e虚共心腔?对称共焦腔confocalr1r2l?平行平面腔planeparallelr1r2?共心腔r1r2l?实共心腔r1r2均为正值当r1r2l2时称为对称共心腔symmetricconcentric?虚共心腔r1r2异号1谐振腔的模式的概念二模式概念及腔和模之间的一般关系谐振腔内允许或可能存在的电磁波的本征态或腔内可能区分的光子的状态

q 4 4
1 2c 4 L L 2
阶数越低，对应的波长越长，频率越低
激光纵模分布示意图
•
腔的纵模在频率尺度上是等距离排列的
腔长越小，纵 模间隔越大
频率梳
激光器谐振腔内可能存在的纵模示意图 由于波长很小，腔长相对很大，整数q值很大，即腔内本征模式数很多， 达数万到数十万个。
L 30cm
q 1.5 109 Hz 一种频率（单纵模）
q 0.5 109 Hz 三种频率（多纵模）
F
q 1
q 2 q 1
q
q
q 1 q 2
q 1
结论：只有落在荧光谱宽 内且满足阈值条件的那些 激光才能产生；
② 纵模的决定因素
第一极小值： 孔阑传输线，第一衍射极小值： （2）衍射损耗 1.22 0.61 第一极小值： 2a a
1.22 0.61 1.22 2a 0.61a 2a a L
L


2a
L
红色是暗环
W1 S1 2 L 0.61 1 1 d L 2L FP腔 a2 W1 W0 S1 S0 a a2 N W1 S1 2 L 0.61 1 L 1 d 2 2L 2 2 a逸出部分面积 W1 W0 S1 S0 a a a N d N 衍射损耗率： 菲涅耳数 腔镜面积 L +逸出部分面积 2
谐振腔内q阶纵模的频率为基纵模频率的整数倍(q倍)
q q 1 q 纵模的频率间隔：
c 2L
激光谐振腔内低阶纵模分布示意图
q 1 1
c 2 L
1 2 L
q 2 2

T T4T3T2T1
1 L
T1 T3 0 1
R1
①
② R2
1 0
T2


2 R2
1
1 0
T4


1、往返一周
T


2 L
2g2 1 (g1 g2 2g1g2 )
2Lg2
4g1
g
2

2
g
2

1
R1、R2:两反射镜面曲率半径 L:谐振腔长度
证
①
②
R1
R2
④
③
L
r22 T1r11 r33 T2 r22 T2T1r11 r44 T3r33 T3T2T1r11 r55 T4 r44 T4T3T2T1r11
2、实例
(1)单程传播L距离
证
1 r1
2 r2
L
r2=r1+L1 2= 1
T


1 0
L 1

T


1 0
L 1

(2)球面反射镜
1 0
T



2 R
1
R:球面镜曲率半径(凹为+,凸为-)
证
=i+2 2-=-1
2
ii
2o 1
全反射镜
部分反射镜
光学谐振腔的发展与分类
最早提出的是平行平面腔 随后广泛采用了共轴球面腔
理论上分析这类腔的时候， 认为其侧面对光无约束，因 此也称为开放式光学谐振腔， 简称开腔。
开腔——侧面对光没有约束
稳定腔 非稳定腔 临界腔

r: 光线离轴线的距离； ζ :光线与轴线的夹角，规定
光线出射方向, 在腔轴线的上 方时，θ为正，反之θ为负。
傍轴光线、 自由空间的光线矩阵 2.2 共 轴 球 面 腔 的 稳 定 性 条 件 光线传输路径：
M 1 r1 ,1 M 2 r2 , 2
由几何关系： r2 r1 L sin 1 r1 L1 2 1
1 1 t dN t N0 0 N0

N0 t e R

t
R
dt R
这就证明了腔内光子的平均寿命为τR，腔的损耗 愈小，τR就愈大，腔内光子的平均寿命就愈长。
2.无源谐振腔的Q值
谐振腔Q值的普遍定义为：
δ ——储存在腔内的总能量；P——单位时间内损耗的能量， v—— 腔内电感场的振荡频率；W=2л v——场的角频率。
E0 ET
E3

E1=E0e-j
当||1的情况下（往返 传播次数无限多），当 = q2时，ET幅度可 以达到
E4 E3=E2e-j
E2=E1e-j
——腔内纵模需要满足的谐振条件
相长干涉条件：腔中某一点出发的波，经往返一 周回到原来位置时，应与初始出发的波同相位。
开放式光腔

稳定腔——共焦腔模式理论
（损耗小，模体积小）
非稳腔（高损，大功率激光器）

方形镜共焦腔 圆形镜共焦腔 一般稳定球面腔 与共焦腔的等价性 产生激光光束的传输问题 ——高斯光束
2.1光腔理论的一般问题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一.光学谐振腔的构成和分类
平行平面腔：最早的光腔法布里－珀罗干涉仪，F-P腔。
共轴球面腔：两块具有公共轴线球面镜构成的谐振腔。

数为：
P
nVd
8 2
c3
Vd
由此关系知，只能压缩V，但是不现实。从而提出开式腔
（无侧壁的封闭腔）。从发散角来看，封闭时为2 ，而
开式时为
a
2
L
压缩倍数为
2
/
a L
2
• 但是，我们知道开式腔是无侧壁的封闭 腔，那么内部会不会有稳定的电磁波存 在？如何求出该电磁波？
§ 2.1光腔理论的一般问题
(t
z
)
A2
A0
cos 2
(t
z
)
总波为二者叠加：
A
A1
A2
2 A0
cos
2
z
cost
稳定波存在必须满足驻波条件：
一维： L q
2
与谐振条件等价
从波动理论知：驻波是稳定存在的波。满足驻波条件的 那些光波称之为光腔的纵模，q为波节数，一般很大。一般 把由整数q所表征的腔内的纵向场分布称为腔的纵模。其特 点是：在腔的横截面内场分布是均匀的，而沿腔的轴线方向 形成驻波，驻波的波节数由q来决定。
共轴
球面 R1
共轴 R2
2. 开放式: 除二镜外其余部分开放 共轴: 二镜共轴 球面腔: 二镜都是球面反射镜(球面镜)
三.光腔按几何损耗(几何反射逸出)的分类:
稳定腔 (光腔中存在着伴轴模,它可在腔内多次传播而不逸出腔外) 光腔 临界腔 (几何光学损耗介乎上二者之间)
非稳腔 (伴轴模在腔内经有限数往返必定由侧面逸出腔外,有很高的
a
在这种条件下，可认为均匀平面波是F-P谐振腔内的最低损 耗模，从而为F-P谐振腔的模式提供一种粗略的，也是有用 的形象。
所以考虑均匀平面波在F-P谐振腔内沿轴线方向往返传播的 情形

腔的菲涅耳数为 N a L
2
所以:
1 1 d 2 a N L
' d
几何光学分析方法和衍射理论分析方法
几何光学分析方法：
用矩阵方法处理光腔中光线的传播、腔的 稳定性 、谐振腔的分类等。
衍射理论分析方法： 在菲涅耳－－基尔霍夫衍射积分以及模式 重现概念的基础上，讨论谐振腔模式的形式、 解的存在、模式花样、衍射损耗等。
共焦谐振腔示意图
长半径球面腔
长半径球面谐振腔的性能介于共焦腔与球面腔之间，它的特点 如下： 1） 中等的衍射损耗；2）较易安装调整； 3）模体积很大； 4）腔内没有很高的光辐射聚焦现象；
长半径球面谐振腔适于连续工作的激光器
长半径球面腔示意图
半球型谐振腔 半球型谐振腔的特点： 易于安装调整、衍射损耗低、成本低 半球型谐振腔主要应用于低功率氦氖激光器
（3）腔镜不完全反射引起的损耗 包括反射镜的吸收、散射以及镜的透射损耗。 镜的透射损耗与输出镜的透射率T有关。 （4）材料中非激活吸收、散射，腔内插入物引起的损耗。 激光通过腔内光学元件和反射镜发生非激活吸收、散 射引起的损耗 平均单程损耗因子
I I 0e
2
1 I0 ln 2 I
I1 I 0 r1r2 I 0e 2 r 1 r ln(r1r2 ) 2 r1 1, r2 1 时有
当
1 r [(1 r1 ) (1 r2 )] 2 （2）腔镜倾斜时的几何损耗
设倾角为 ，往返m次后才逸出腔 外，D为腔的横向尺寸。
L 2 L 6 L(2m 1)2 D
§2.1 光腔理论的一般问题
一、光学谐振腔的构成、分类和作用 光学谐振腔的构成 最简单的光学谐振腔是在激活介质两端恰当地 放置两个镀有高反射率的反射镜构成。

q1
表示入射高斯光束在透镜处的q参数，
1 q1

1 R1

i

2 1
q2 表示出射高斯光束在透镜处的q参数
1 q2

1 R2

i

2 2
1 11 由上面的四个式子可以得到：
q2 q1 F
比较两式： R2 (z) R1z z2 z1 R1z L
qz2 qz1 z2 z1 qz1 L
高斯光束通过薄透镜的变换
w/
当傍轴波面通过焦距为F的透镜时，其
波前曲率半径满足关系式
：
1
R2 z


1
R1z


1 F
出射光束在透镜处的光斑尺寸满足： 1 2
当傍轴波面通过焦距为F的透镜时，其
波前曲率半径满足关系式
：
1
R2 z


1
R1z


1 F
出射光束在透镜处的光斑尺寸满足： 1 2
与轴线相交于z点的高斯光束等
相位面的曲率半径radius of
curvature
高斯光束的共焦 参数
二、基模高斯光束在自由空间的传输规律
1.在横截面内的场振幅分布按高斯函数 规律从中心向外平滑降落。
exp[


r
2
2
(
z
)
]
所描述的
光斑半径随z的变化规律为：
z 0
1 0
2
Rz

z 1


2 0
z
2

0


z1

谐振腔模式理论的基础
模式自再现概念
菲涅耳－基尔霍夫衍射积分
基本步骤：
光的衍射理论
自再现模所满足的积分方程
求解积分方程
在决定开腔中激光振荡能量的空间分布方面，衍射起主要作用。 理想的开腔模型：两块反射镜片沉浸在均匀的、无限的、各向 同性的介质中。无侧壁的不连续性，决定衍射效应的孔径由镜 的边缘所构成。
可以得到：
xx yy i vmn x, y mn exp ikL vmn x, yexp ik dxdy L L a a
a a
方形镜对称共焦腔自再现模积分方程
按照博伊德和戈登的方法 进行无量纲变换:
a2 C C a 2k X x, Y y, C 2 2N a a L L
4、自再现模的形成过程将伴随着光的受激放大 。 结果光谱不断变窄，空间相干性不断增强，光强 不断增大，最终形成高强度的激光输出。
三、菲涅耳－基尔霍夫衍射积分
1、惠更斯－菲涅耳原理
惠更斯：球面子波
菲涅耳：子波相干叠加
2、衍射积分公式
基尔霍夫：用数学公式描述出惠更斯－菲涅耳原理 如果知道光波场在其所达到的任意空间曲面上的振 幅和相位分布，可求出该光波场在空间其他任意位 置处的振幅和相位分布。

自再现模在开腔中的单程总相移一般不等于由腔长L所 决定的几何相移kL。通常有这么一个关系：
kL
表示腔内单程渡越时相对于几何相移的单程附加相移
2 L q c
mn
qc c mn 2 L 2L
也就是说，本征值 决定了不同横模的谐振频率
根据分离变量： vmn ( x, y) Fm X Gn Y 令 mn m n 则积分方程转化为：