第二章 开放式光腔与高斯光束1. 证明如图2.1所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为121 00 ηη⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
证明：设入射光线坐标参数为11, r θ，出射光线坐标参数为22, r θ，根据几何关系可知211122, sin sin r r ηθηθ== 傍轴光线sin θθ则1122ηθηθ=，写成矩阵形式2121121 00 r r θθηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦得证 2. 证明光线通过图2.2所示厚度为d 的平行平面介质的光线变换矩阵为1210 1d ηη⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
证明：设入射光线坐标参数为11, r θ，出射光线坐标参数为22, r θ，入射光线首先经界面1折射，然后在介质2中自由传播横向距离d ，最后经界面2折射后出射。
根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得212121121 0 1 01 0 0 0 1r r d θθηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 化简后2121121 0 1d r r θθηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦得证。
3．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：其往返矩阵为：由于是共焦腔，则有12R R L ==将上式代入计算得往返矩阵()()()121010110101n nnn n n r L r L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B C D T T T T T 可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。
解：共轴球面腔稳定性条件1201g g <<其中121211,1L Lg g R R =--=- 对平凹共轴球面镜腔有12,0R R =∞>。
