高考理科数学 刷题增分练 16 解三角形及应用

考点16正、余弦定理及解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.一、正弦定理 1．正弦定理在ABC △中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c ==A B C.正弦定理对任意三角形都成立． 2．常见变形 （1）sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B ba Bb A a Cc A b C c B B b A a C c====== （2）;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b cA B C A B A C B C A B C+++++======+++++ （3）::sin :sin :sin ;a b c A B C = （4）正弦定理的推广：===2sin sin sin a b c R A B C，其中R 为ABC △的外接圆的半径. 3．解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．4．在ABC △中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况二、余弦定理 1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-，2．余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论：222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===. 3．解决的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角． 4．利用余弦定理解三角形的步骤三、解三角形的实际应用1．三角形的面积公式设ABC△的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.（1）12S ah= (h为BC边上的高)；（2）111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===；（3）1()2S r a b c=++(r为三角形的内切圆半径)．2．三角形的高的公式h A=b sin C=c sin B，h B=c sin A=a sin C，h C=a sin B=b sin A．3．测量中的术语（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．（3）方向角相对于某一正方向的水平角.①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；③南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．4．解三角形实际应用题的步骤考向一利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．常见结论：（1）三角形的内角和定理：在ABC △中，π A B C ++=，其变式有：πA B C +=-，π222A B C+=-等． （2）三角形中的三角函数关系：i in(s n s )A B C =+；()s os co c A B C =-+；sincos 22A B C +=；cos sin 22A B C+=.典例1在ABC △中，内角所对的边分别为，若，，则ca的值为A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】D【解析】由，结合正弦定理，可得， 即， 由于，所以，因为0＜A ＜π，所以． 又，由余弦定理可得， 即，所以. 故选D ．典例2已知ABC △的内角的对边分别为,且. （1）求；（2）若,线段的垂直平分线交于点,求的长. 【解析】（1）因为,所以. 由余弦定理得， 又，所以. （2）由（1）知,根据余弦定理可得， 所以.sin 2B =，解得.从而cos B =. 设的中垂线交于点, 因为在Rt BDE △中，，所以cos BE BD B ===， 因为为线段的中垂线，所以.1．已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()2cos cos cos C a B b A c +=，1,3a b ==，则c = A ．3 B．CD2．在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，sin 2sin C B =. （1）求BDCD； （2）若1AD AC ==，求BC 的长．考向二三角形形状的判断利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.（2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.典例3在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，满足3cos cos sin sin cos 2A C A CB ++=，且,,a b c 成等比数列.（1）求角B 的大小； （2）若2,2tan tan tan a c ba A C B+==,试判断三角形的形状.【解析】（1∵()cos cos B A C =-+，32sin sin 2A C ∴=,又22sin sin sin b ac B A C =⇒=,232sin 2B ∴=而,,a b c 成等比数列，所以b 不是最大， 故B 为锐角，所以60B =︒.（2）由2tan tan tan a c b A C B +=,利用正弦定理可得cos cos 2cos 1A C B +==,所以ABC △是等边三角形.3．在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知sin tan 1cos BC B=-．（1）求证：△ABC 为等腰三角形；（2）若△ABC 是钝角三角形，且面积为24a ，求2b ac的值．考向三与面积、范围有关的问题（1）求三角形面积的方法①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．（2）三角形中，已知面积求边、角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．△中，角的对边分别为，且．典例4 在ABC（1）求角；△面积的最大值．（2）若，求ABC【解析】（1）由已知和正弦定理得，，，解得．（2）由余弦定理得：，即，整理得：．∵（当且仅当取等号），∴，即，，△面积的最大值为．故ABC【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.△中，，是边上的一点.典例5在ABC（1）若，求的长；（2）若，求ABC △周长的取值范围. 【解析】（1）在ADC △中，AD ＝1，， 所以＝cos ∠DAC ＝1×2×cos∠DAC ＝3, 所以cos ∠DAC ＝.由余弦定理得2222cos CD AC AD AC AD DAC =+∠-⋅⋅＝12＋1－2×2×1×＝7， 所以CD ＝.（2）在ABC △中，由正弦定理得4sin sin sin sin 3AB BC AC C A B ====，，ππ0,sin 33A A ⎤⎛⎫<<∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦.，故ABC △周长的取值范围为 .4．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22()13a b cab--=-．（1）求角C ； （2）若c b ==，求B 及ABC △的面积．5．已知,,a b c 分别是ABC △三个内角,,A B C 所对的边，且1cos 2a C cb +=. （1）求A ；（2）若1a =，求ABC △的周长L 的取值范围.考向四三角形中的几何计算几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.典例6 如图，在ABC △中，D 为AB 边上一点，且DA DC =，已知π4B =，1BC =.（1）若ABC △是锐角三角形，DC =，求角A 的大小； （2）若BCD △的面积为16，求AB 的长. 【解析】（1）在BCD △中，π4B =，1BC =，DC =由正弦定理得sin sin BC CDBDC B=∠，解得1sin 3BDC ⨯∠==所以π3BDC ∠=或2π3. 因为ABC △是锐角三角形，所以2π3BDC ∠=. 又DA DC =，所以π3A =. （2）由题意可得1π1sin 246BCD S BC BD =⋅⋅⋅=△，解得3BD =， 由余弦定理得222π2cos4CD BC BD BC BD =+-⋅⋅=251219329+-⨯⨯=，解得CD =，则AB AD BD CD BD =+=+=. 所以AB6．如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos B +b =2c .（1）求角A 的大小；（2）若AC 边上的中线BD AB ⊥BD ，求BC 的长．考向五解三角形的实际应用解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档题.解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.典例7 如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A 处测得山顶P 在北偏东()1515BAC ︒∠=︒方向上，匀速向北航行20分钟到达B 处，测得山顶P 位于北偏东60︒方向上，此时测得山顶P 的仰角为60︒，若山高为千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行10分钟到达D 处，问此时山顶位于D 处的南偏东什么方向？【解析】（1）在BCP △中，tan 2PCPBC BC ∠=⇒=， 在ABC △中，由正弦定理得所以)21AB =，故船的航行速度是每小时)61千米.（2）在BCD △中，由余弦定理得CD =在BCD △中，由正弦定理得所以山顶位于D 处南偏东45︒方向.7．如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：90ACD ∠=︒，60ADC ∠=︒，15ACB ∠=︒，105BCE ∠=︒，45CEB ∠=︒，1DC CE ==百米．（1）求△CDE 的面积；（2）求A ，B 之间的距离的平方．考向六三角形中的综合问题1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“22,,a b ab a b ++”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.2．注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.3．正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.典例8在ABC △，向量(sin ,1)A =m ，(1,cos )B =n ，且⊥m n . （1）求A 的值；（2）若点D 在边BC 上，且3BD BC =ABC △的面积． 【解析】（1）由题意知sin cos 0A B +=⋅=m n ，πA B C ++=，所以5πsin cos()06A A +-=，πsin()06A -=.ππ2π(,)663A -∈-， 所以06A -=，即π6A =.（2）设||BD x =，由3BD BC =，得||3BC x =，由（1）知π6A C ==，所以||3BA x =在ABD △中，由余弦定理，得2222π(3)213)(33cos x x x x =+-⨯⨯，解得1x =， 所以3AB BC ==， 所以··sin 33sin 112π932234ABC S BA BC B ==⨯=⨯⨯△. 典例9ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .（1）若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； （2）若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 【解析】（1）因为a ，b ，c 成等差数列，所以a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . 因为sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， 所以sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．（2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立． 所以cos B 的最小值为12.8．已知()()3sin ,cos ,cos ,cos ,x x x x x ==∈R m n ，设()f x =⋅m n ．（1）求()f x 的解析式并求出它的最小正周期T ；（2）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1,2,()1a b c f A =+==，求△ABC 的面积．1．设△ABC 的内角所对边的长分别是，且，，，则的值为 A ．B ．4C ．D ．2．在ABC △中，，，则角的取值范围是 A ．π0,6⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭3．已知ABC △的面积为，三个内角的对边分别为，若，，则ABC △是 A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定4．ABC △中，2AB =，BC =1cos 4A =，则AB 边上的高等于A B ．34C D ．35．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60︒，行驶4h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15︒，这时船与灯塔的距离为A ．B ．kmC ．D ．6．已知ABC △的面积为，，则的最小值为 A ． B ． C ．D ．7．设ABC △的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么ABC △外接圆的半径为 A ．2 B ．4 C ．D ．18．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =4c =，且cos 3cos a B b A =，则△ABC 的面积为 A ．2B ．3C ．4D ．9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若向量(,)a c a b =+-p ，(,)b a c =-q ，且∥p q ，则角C =A ．π6 B ．π4 C ．π3D ．π210．若ABC △的三个内角所对的边分别是，，且，则A ．10B ．8C ．7D ．411．在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC △的面积为S ，且()22a b c =+-，则πsin 4C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．1B ．2C ．4D ．412．平面四边形中，，，，，，则四边形的面积为A ．BC ．D ．13．已知△ABC A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若60A =︒，2b =，则c 的值为____________．14．在ABC △中，D 为BC 边上一点，若ABD △是等边三角形，且AC =ADC △的面积的最大值为.15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =___________m.16．已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若π,6,143C a b ==≤≤，则sin A 的取值范围为__________.17．在ABC △中，角，，的对边分别为，，，已知，，．（1）求； （2）求的值．18．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知π2A ≠，sin 26cos sin b A A B =. （1）求a 的值； （2）若π3A =，求△ABC 周长的取值范围.19．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，(cos ,sin )B A =n ，且∥m n ．（1）求角B 的大小；（2）若2b =，ABC △的面积为a c +的值．20．如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60︒方向的B 处，且与岛屿A 相距18海里，渔船乙以15海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h 追上，此时到达C 处．（1）求渔船甲的速度； （2）求sin α的值．21．在ABC △中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列． （1）求B 的值；（2）求()22sin cos A A C +-的范围．22．已知函数（1）当时，求的值域；（2）在ABC △中，若求ABC △的面积.23．如图所示，在平面内，四边形ABCD 的对角线交点位于四边形的内部，1,AB BC AC CD ===，AC CD ⊥，记ABC θ∠=．（1）若45θ=︒，求对角线BD 的长度（2）当θ变化时，求对角线BD 长度的最大值．1．（2019年高考全国Ⅰ卷文数）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =14-，则bc= A ．6 B ．5 C ．4D ．32．（2018新课标全国Ⅲ文科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．2π B ．3πC ．4πD ．6π3．（2018年高考全国Ⅱ文数）在ABC △中，cos2C =，1BC =，5AC =，则AB =A ．BC D ．4．（2017新课标全国Ⅰ文科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c C =A ．π12 B ．π6 C ．π4D ．π35．（2019年高考全国Ⅱ卷文数）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________.6．（2017新课标全国Ⅲ文科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b ，c =3，则A =_________.7．（2018新课标全国Ⅰ文科）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC △的面积为________．8．（2019年高考浙江卷）在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．9．（2018年高考浙江卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．10．（2018江苏）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ．11．（2018年高考北京卷文数）若ABC △)222a c b +-，且∠C 为钝角，则∠B =_________；ca的取值范围是_________. 12．（2017浙江）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．13．（2019年高考全国Ⅲ卷文数）ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC △为锐角三角形，且c =1，求ABC △面积的取值范围．14．（2019年高考北京卷文数）在ABC △中，a =3，–2b c =，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B +C ）的值．15．（2019年高考天津卷文数）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值；（2）求sin 26πB ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.16．（2019年高考江苏卷）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．17．（2017山东文科）在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,3ABC S =△,求A 和a .1．【答案】C【解析】由题知()2cos cos cos C a B b A c +=， 由正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C +=，所以()2cos sin sin C A B C +=，即2cos sin sin C C C =， 所以在△ABC 中，1cos 2C =， 又因为2221cos ,1,322a b c C a b ab +-====，所以c =故选C.2．【解析】（1）由正弦定理可得在△ABD 中，sin sin AD BDB BAD=∠， 在△ACD 中，sin sin AD CDC CAD=∠， 又因为BAD CAD ∠=∠， 则sin 2sin BD CCD B==. （2）sin 2sin C B =，由正弦定理得22AB AC ==， 设DC x =，则2BD x =，由余弦定理得222254cos cos 24AB AD BD x BAD CAD AB AD +--∠==∠⋅，2222222AC AD CD x AC AD +--==⋅. 因为BAD CAD ∠=∠，所以2254242x x --=，解得x =.则3BC x ==3．【解析】（1）由sin tan 1cos B C B =-得：sin sin cos 1cos C BC B=-，则()sin sin cos cos sin sin C B C B C B C =+=+，πA B C ++=，()()sin sin πsin B C A A ∴+=-=，sin sin C A ∴=，由正弦定理可知：c a =， 则△ABC 为等腰三角形.（2）由题意得：2211sin sin 224a S ac B a B ===，解得：1sin 2B =，∵△ABC 为钝角三角形，且a c =，B ∴为钝角，cos B ∴=由余弦定理得：(2222222cos 22b a c ac B a a =+-==+，2222b b ac a∴==+4．【解析】（1）由已知条件化简可得22()3a b c ab --=-，即222a b c ab +-=-，由余弦定理的推论，可得2221cos 22a b c C ab +-==-，2π(0,π),3C C ∈∴=．（2）2π3,3c b C ===，∴又π,,4b c B C B <∴<∴=，在ABC △中，1sin sin()sin cos cos sin ()22224A B C B C B C =+=+=-+=．113sin 2244ABC S bc A ∴===△． 5．【解析】（1）1cos 2a C cb +=，∴由正弦定理得1sin cos sin sin 2A C CB +=，又sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，1sin cos sin 2C A C ∴=， sin 0C ≠，1cos 2A ∴=， 又0πA <<，π3A ∴=. （2）由正弦定理得sinsin a B b c A ===，]1sin)1sin sin()L a b c B C B A B∴=++=+=+++1π12cos12sin26B B B⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，π2πππ5π,0,,,33666A B B⎛⎫⎛⎫=∴∈∴+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π1sin,162B⎛⎫⎛⎤∴+∈⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则(2,3]L∈.故ABC△的周长L的取值范围是(2,3].6．【解析】（1）由2cos2a Bb c+=，及正弦定理可得：2sin cos sin2sinA B B C+=，则2sin cos sin2sin2sin()2sin cos2cos sinA B B C A B A B A B+==+=+，整理得sin2cos sinB A B=，因为(0,π)B∈，所以sin0B>，所以1cos2A=，又(0,π)A∈，所以π3A=．（2）在Rt△ABD中，2πsin sin3BDADA===，则1AB==，因为D为AC的中点，所以24ACAD==，在△ABC中，由余弦定理可得222π41241cos133BC=+-⨯⨯⨯=，所以BC=．7．【解析】（1）在△CDE中，3609015105150DCE∠=︒-︒-︒-︒=︒，∴1111sin150112224△CDES CD CE=⋅⋅︒=⨯⨯⨯=（平方百米）.（2）如图，连接AB，根据题意知，在Rt△ACD中，tan1tan60AC DC ADC=⋅∠=⨯︒=（百米），在△BCE 中，180CBE BCE CEB ∠=︒-∠-∠1801054530=︒-︒-︒=︒，由正弦定理sin sin BC CE CEB CBE =∠∠，得1sin 21sin 2CE CEBBC CBE⋅∠===∠（百米），()cos15cos 6045cos60cos45sin60sin45︒=︒-︒=︒︒+︒︒=， 在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，则2322AB =+-=-8．【解析】（1）由,cos ),(cos ,cos ),x x x x x ==∈R m n ， 则()f x =⋅m n211π1cos cos 2cos 2sin(2)2262x x x x x x +=++=++， 故函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==， 故π1()sin(2)62f x x =++，最小正周期为π． （2）因为()1f A =，所以π1sin(2)162A ++=，所以π1sin(2)62A +=，又ππ13π2(,)666A +∈， 所以π5π266A +=，所以π3A =，又1,2a b c =+=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：221b c bc =+-， 所以2()31b c bc +-=， 所以1bc =，则1sin 2△ABC S bc A ==.1．【答案】C【解析】在△ABC 中，∵A ＝2B ，sin sin a b A B=，b ＝3，c ＝1，∴32sin cos sin a B B B=，整理得a ＝6cos B ，由余弦定理可得21962a a a+-=⨯，∴a =故选C ． 2．【答案】A 【解析】因为sin sin AB BCC A=，所以，所以， 又，则必为锐角，故. 3．【答案】A 【解析】∵，，∴， 可得，则，可得， ∵，∴，∴，解得.即ABC △是直角三角形. 故选A ． 4．【答案】A【解析】设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB 边上的高为h ， 因为2c =，a =21104224b b =+-⨯⨯，化简得260b b --=，解得3b =.又sin 4A =，所以由11232242h ⨯⨯⨯=⨯，得4h =. 故选A. 5．【答案】B【解析】作出示意图如图所示，()15460km AC =⨯=，906030BAC ∠=︒-︒=︒，9015105ACB ∠=︒+︒=︒，则︒=∠45ABC .由正弦定理，可得sin sin AC BCABC BAC=∠∠，则)60sin 30km sin 45BC ︒==︒.所以这时船与灯塔的距离为. 故选B. 6．【答案】A【解析】由题意知ABC △的面积为，且，所以，即， 所以，当且仅当时取得等号， 所以的最小值为. 故选A ． 7．【答案】D【解析】因为，所以， 即，所以，所以，因为，所以由正弦定理可得ABC △的外接圆半径为1112sin 22a R A =⨯==. 故选D ．8．【答案】A【解析】由余弦定理得：222222322a c b b c a a b ac bc+-+-⋅=⋅，即()221623216a a +-=+-，解得：a =，222cos22b c a A bc +-∴===，sin 2A ∴==，11sin 42222△ABC S bc A ∴==⨯=.故选A. 9．【答案】C【解析】222()()()∥a c a c b a b c a b ab ⇒+-=-⇒=+-p q ， 由余弦定理可知：2222cos c a b ab C =+-⋅， 所以1πcos ,(0,π)23C C C =∈⇒=. 故选C ． 10．【答案】B【解析】由题意知,即，即， 由正弦定理和余弦定理得：，即， 即， 则. 故选B ． 11．【答案】D【解析】由()22a b c =+-，得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，∵2222cos a b c ab C +-=，∴sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=，即π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵0πC <<，∴ππ5π666C -<-<，∴ππ66C -=，即π3C =，则πππππππsin sin sin cos cos sin 4343434C ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122224+⨯=， 故选D ． 12．【答案】B【解析】如图，因为，所以设， 又，， 所以由， 得，所以， 所以， 又，所以， 由余弦定理可得，， 可得，解得，故11sin6022△△四边形ABD CBD ABCD S S S AB BD BC BD =+=⋅+⋅︒11222=⨯⨯=故选B.13．1【解析】由正弦定理可得：2sin sin sin a b cR A B C==== 2sin 60a∴=，解得：3a =，由余弦定理可得：22222cos 429a b c bc A c c =+-=+-=，解得：1c =1-，1c ∴=.14．【答案】【解析】如图.在ACD △中，2222248cos 222AD DC AC AD DC ADC AD DC AD DC +-+-∠===-⋅⋅1，整理得22482AD DC AD DC AD DC +=-⋅≥⋅， ∴16AD DC ⋅≤，当且仅当AD =DC 时取等号，∴ADC △的面积1sin 2S AD DC ADC AD DC =⋅∠=⋅≤，∴ADC △的面积的最大值为 15．【答案】6100【解析】依题意，30=∠BAC ，105=∠ABC ，在ABC △中，由 180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ， 得45=∠ACB ，因为600m AB =，所以由正弦定理可得30sin 45sin 600BC=，即2300=BC m.在Rt BCD △中，因为30=∠CBD ，BC =，所以230030tan CDBC CD ==， 所以6100=CD m.16．【答案】,131⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】∵π,6,143C a b ==≤≤， ∴由余弦定理可得：()22222366327=+-=+-=-+c a b ab b b b ， ∴()[]2232727,31=-+∈c b ，∴⎡∈⎣c ，由正弦定理sin sin a c A C =，可得6·sin 2sin ,131a C A cc c ⎡⎤===∈⎢⎥⎣⎦．故答案为⎤⎥⎣⎦．17．【解析】（1）在ABC △中，由余弦定理得，解得．（2）在ABC △中，由得， ∴，在ABC △sin 10B =， ∴， 又，故， ∴， ∴．18．【解析】（1）由sin 26cos sin b A A B =及二倍角公式得sin 3sin b A B =，又sin sin a bA B=即sin sin b A a B =，所以3a =. （2）由正弦定理得sin sin a B b B A ==，sin sin a Cc C A==，则△ABC的周长为：2π33sin()3a b c B C B B ++=++=++-3π3sin cos 36sin 226B B B ⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 又因为2π(0,)3B ∈，所以ππ5π(,)666B +∈，则π1sin (,1]62B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.从而π36sin (6,9]6B ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭.因此△ABC 周长的取值范围是(]6,9.19．【解析】（1）∵∥m n，∴sin cos b A B =，由正弦定理，得sin sin cos B A A B =， ∵sin 0A >，∴sin B B =，即tan B =∵0πB <<，∴ （2122ac =⨯，解得4ac =， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得221422a c ac =+-⨯2()3a c ac =+-2()12a c =+-， 故4a c +=．20．【解析】（1）依题意得，120BAC ∠=︒，18AB =，15230AC =⨯=，BCA α∠=．在ABC △中由余弦定理可得2222cos 1764BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠=， 所以42BC =，所以渔船甲的速度为212BC=海里/小时． （2）在ABC △中，18AB =，120BAC ∠=︒，BC =42，BCA α∠=，由正弦定理，得sin sin 120AB BCα=︒，所以18sin 1202sin 42AB BCα⋅︒===． 21．【解析】（1）由题意得，由正弦定理得， 即B C A 2sin )sin(=+，所以B B 2sin sin =． 又在ABC △中，则B B 2=或2πB B +=，因为0πB <<，所以π3B =. （2）因为π3B =，所以2π3AC +=.22π2sin cos()1cos 2cos(2)3A A C A A +-=-+-cos cos 2cos a C c A b B +=2sin cos 2cos sin 4sin cos R A C R A C R B B +=π1)3A=-.因为2π3A<<，ππ2π33A-<-<，所以πsin(2)123A-<-≤，所以()22sin cosA A C+-的范围是1,12⎛-+⎝．22．【解析】（1）当，即时，取得最大值3；当，即时，取得最小值，故的值域为.（2）设ABC△中所对的边分别为.即得又，即即易得23．【解析】（1）在ABC△中，∵1,45AB BC ABC==∠=︒，∴由余弦定理可得:2222cos1AC AB BC AB BC ABC=+-⋅⋅∠=，∴1AC=，则ABC△为等腰直角三角形，∴135BCD∠=°，在△BCD中，1,135BC CD AC BCD===∠=︒，131cos2cos2212cos222A A A A A=--=-由余弦定理可得:2222cos 5BD BC CD CD BC BCD =+-⋅⋅∠=，∴BD =（2）在ABC △中，∵1,AB BC ABC θ==∠=，∴由余弦定理可得:2222cos 3AC AB BC AB BC ABC θ=+-⋅⋅∠=-， 又由正弦定理可得sin sin AB ACACB ABC=∠∠，即1sin ACB =∠∴sin ACB ∠=∴π()cos cos sin 2BCD ACB ACB ∠=+∠=-∠=在△BCD中，BC CD AC ===由余弦定理可得2222cos 5sin cos )BD BC CD CD BC BCD θθ=+-⋅⋅∠=+-=(π54in )s 4θ+-，∴当3π4θ=时，()2max9BD=，则max 3BD =．1．【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=3462b c ∴=⨯=. 故选A ．【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a ，b ，c 的关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.2．【答案】C【解析】由题可知，所以，由余弦定理，得，因为，所以，故选C. 3．【答案】A【解析】因为cos25C =，所以cos C =22cos 2C −1=2×2(5−1=35-. 于是，在ABC △中，由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2−2AC × BC ×cos C =52+12−2×5×1×(35-)=32，所以AB =. 故选A.【名师点睛】本题主要考查二倍角公式、余弦定理，考查考生的运算求解力，考查的数学核心素养是数学运算.解三角形是近几年高考中的高频者点，将解三角形与其他知识巧妙地融合在一起，既体现了试题设计的亮点，又体现了对所学知识的交汇考查. 4．【答案】B【解析】由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，即πsin (sin cos )sin()04C A A C A +=+=，所以3π4A =．由正弦定理sin sin a c A C =得23πsin sin 4C =，即1sin 2C =， 因为c <a ，所以C<A ， 所以π6C =，故选B ． 【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 5．【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠∴sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角． 6．【答案】75°【解析】由正弦定理sin sin b cB C=，得sin 2sin 32b C Bc ===，结合b c <可得45B =，则18075A B C =--=.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 7．【答案】【解析】根据题意，结合正弦定理可得，即，结合余弦定理可得，所以A 为锐角，且，从而求得，所以ABC △的面积为，故答案是. 8．【答案】5，10【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以5BD =. ππcos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.9．【答案】7，3【解析】由正弦定理得sinsin a A b B =，所以πsin sin 37B == 由余弦定理得22222cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=（负值舍去）.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.解答本题时，根据正弦定理得sin B ，根据余弦定理解出c .10．【答案】9【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△，由角平分线的性质和三角形的面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得ac a c =+，即111a c+=，因此1144(4)()559c a a c a c a c a c +=++=++≥+=，当且仅当23c a ==时取等号， 则4a c +的最小值为9.11．【答案】60︒，()2,+∞【解析】()2221sin 42ABC S a c b ac B =+-=△， 2222a c b ac +-∴=，即cos B =， sin πcos 3B B B ∴=∠=，则2π1sin cos sin sin 1132sin sin sin 2tan 2A A A c C a A A A A ⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+， C ∠为钝角，ππ,036B A ∠=∴<∠<，)1tan ,tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭， 故()2,c a∈+∞. 故答案为60︒，()2,+∞.【名师点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角πA B C ++=的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含A ∠的表达式的最值问题是解题的第二个关键.12【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==∴1sin 2△BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos BDC ∠=或cos BDC ∠=（舍去）． 综上可得，△BCD的面积为2，cos 4BDC ∠=． 【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．13．【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A C AB A +=． 因为sin A ≠0，所以sin sin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B =． 因为cos 02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+． 由于ABC △为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，ABC △面积的取值范围是⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题.14．【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-． 因为2b c =+， 所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-．解得5c =．所以7b =．（2）由1cos 2B =-得sin 2B =．由正弦定理得sin sin 14a A Bb ==． 在ABC △中，B C A +=π-．所以sin()sin 14B C A +==． 【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b c B C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a c b B ac a a +-+-===-⋅⋅． （2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故717sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ⎛⎫+=+=--⨯=- ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．16．【解析】（1）因为23,3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2ac b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A B a b=，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B B b b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-， 故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.17．【解析】因为6AB AC ⋅=-，所以cos 6bc A =-，又3ABC S =△，所以sin 6bc A =，因此tan 1A =-，又0πA <<， 所以3π4A =，又3b =，所以c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得29823(2a =+-⨯⨯-，所以a =【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想.。

3．三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．[问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________． 2．同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限角 －α π－α π＋α 2π－α π2－α 正弦 －sin α sin α －sin α －sin α cos α 余弦cos α－cos α－cos αcos αsin α[问题2] cos 9π4＋tan ⎝⎛⎭⎫－7π6＋sin21π的值为_______________________________． 3．三角函数的图象与性质 (1)五点法作图；(2)对称轴：y ＝sin x ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝k π，k ∈Z ；对称中心：y ＝sin x ，(k π，0)，k ∈Z ；y ＝cos x ，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ；y ＝tan x ，⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z . (3)单调区间：y ＝sin x 的增区间：⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π (k ∈Z )， 减区间：⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π (k ∈Z )； y ＝cos x 的增区间：[]－π＋2k π，2k π (k ∈Z )，减区间：[2k π，π＋2k π] (k ∈Z )；y ＝tan x 的增区间：⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )． (4)周期性与奇偶性：y ＝sin x 的最小正周期为2π，为奇函数；y ＝cos x 的最小正周期为2π，为偶函数；y ＝tan x 的最小正周期为π，为奇函数．易错警示：求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误： (1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反； (2)忘掉写＋2k π，或＋k π等，忘掉写k ∈Z ；(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为⎣⎡⎦⎤0，π2. [问题3] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的递减区间是________________． 4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β――→令α＝βsin2α＝2sin αcos α.cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β――→令α＝βcos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2，tan2α＝2tan α1－tan 2α.在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，α＝⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4. [问题4] 已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 5．解三角形 (1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；(ⅲ)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中A >B ⇔sin A >sin B .(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理判定三角形的形状．[问题5] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________. 6．向量的平行与垂直设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且b ≠0，则a ∥b ⇔b ＝λa ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. a ⊥b (a ≠0)⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同．[问题6] 下列四个命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ＝0，则－a ＝0.其中正确命题是________． 7．向量的数量积 |a |2＝a 2＝a·a ，a·b ＝|a||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2， cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，a 在b 上的投影＝|a |cos 〈a ，b 〉＝a·b |b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22. 注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a·b >0且a 、b 不同向； 〈a ，b 〉为直角⇔a·b ＝0且a 、b ≠0； 〈a ，b 〉为钝角⇔a·b <0且a 、b 不反向．易错警示：投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零．[问题7] 已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在向量b 上的投影为________． 8．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，消去律不成立；(a ·b )c 与a (b ·c )不一定相等，(a ·b )c 与c 平行，而a (b ·c )与a 平行．[问题8] 下列各命题：①若a ·b ＝0，则a 、b 中至少有一个为0；②若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；③对任意向量a 、b 、c ，有(a ·b )c ≠a (b ·c )；④对任一向量a ，有a 2＝|a |2.其中正确命题是________．9．几个向量常用结论(1)P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心； (2)P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →⇔P 为△ABC 的垂心； (3)向量λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|) (λ≠0)所在直线过△ABC 的内心；(4)|P A →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的外心．易错点1 忽视角的范围例1 已知sin α＝55，sin β＝1010，且α，β为锐角，则α＋β＝________. 错因分析 只考虑α，β为锐角． 没有注意到sin α＝55，sin β＝1010本身对角的范围的限制，造成错解． 解析 因为α，β为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22. 又因为0＜α＋β＜π，所以α＋β＝π4.答案 π4易错点2 图象平移把握不准例2 已知函数f (x )＝sin(2x ＋π4)，为了得到函数g (x )＝cos2x 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度错因分析 ①没有将f (x )，g (x )化为同名函数；②平移时看2x 变成了什么，而没有认识到平移过程只是对“x ”而言．解析 g (x )＝sin(2x ＋π2)＝sin[2(x ＋π8)＋π4]，∴y ＝f (x )的图象向左平移π8个单位长度即可得到y ＝g (x )的图象．答案 A易错点3 三角函数单调性判断错误例3 求函数y ＝12sin(π4－2x3)的单调区间．错因分析 由于受思维定势的影响，本题容易出现仍然按照函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的单调区间的判断方法进行，如认为当x 满足2k π－π2≤π4－23x ≤2k π＋π2(k ∈Z )时函数单调递增，就会求错函数的单调区间．解 原函数变形为y ＝－12sin(2x 3－π4)，令u ＝2x 3－π4，则只需求y ＝sin u 的单调区间即可，所以y ＝sin u 在2k π－π2≤2x 3－π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即3k π－3π8≤x ≤3k π＋9π8(k ∈Z )上单调递增；y ＝sin u在2k π＋π2≤u ＝2x 3－π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即3k π＋9π8≤x ≤3k π＋218π(k ∈Z )上单调递减．故y ＝12sin(π4－2x 3)＝－sin u 的单调递减区间为[3k π－3π8，3k π＋9π8](k ∈Z )，单调递增区间为[3k π＋9π8，3k π＋21π8](k ∈Z )． 易错点4 解三角形忽视检验例4 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，c ＝ 3. (1)若角C ＝π3，则角A ＝________；(2)若角A ＝π6，则b ＝________.错因分析 在用正弦定理解三角形时，易出现漏解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c 边比a 边大，在求得sin A ＝a sin C c ＝12后，得出角A ＝π6或5π6；在第(2)问中没有考虑角C 有两解，由sin C ＝c sin A a ＝32，只得出角C ＝π3，所以角B ＝π2，解得b ＝2，这样就出现漏解的错误．解析 (1)由正弦定理a sin A ＝csin C ，得sin A ＝a sin C c ＝12，又a ＜c ，所以A ＜C .所以A ＝π6.(2)由a sin A ＝c sin C， 得sin C ＝c sin A a ＝32，得C ＝π3或2π3，当C ＝π3时，B ＝π2，可得b ＝2；当C ＝2π3时，B ＝π6，此时得b ＝1.答案 (1)π6(2)2或1易错点5 忽视向量共线致误例5 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是________________________________________________________________________． 错因分析 误认为θ为锐角⇔cos θ>0，没有排除θ＝0即两向量同向的情况． 解析 由θ为锐角，有0<cos θ<1. 又∵cos θ＝a·b|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1，∴0<2λ＋15·λ2＋1<1， ∴⎩⎨⎧2λ＋1>0，2λ＋1<5·λ2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2.∴λ的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠2.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠21．(2014·大纲全国)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( ) A.45B.35C ．－35D ．－452．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b3．(2015·东北三校联考)已知sin αcos α＝13，则cos 2(α＋π4)的值为( )A.12B.13C.16D.234．函数y ＝2sin(π6－2x )(x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A ．[－π，－5π6]B ．[－π3，0]C ．[－2π3，－π6]D ．[－π3，－π6]5.函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ，φ∈R )的部分图象如图所示，那么f (0)等于( ) A ．－12B ．－1C ．－32D ．－ 36．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( ) A.32B.22C.12D ．－127．(2015·陕西省五校第一次联考)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM →·DB →等于( )A ．－32B.32C ．－1D ．18．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．9．如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)图象的一部分，A ，B 是图象上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值为________．10．(2014·天津)已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．学生用书答案精析3．三角函数、解三角形、平面向量要点回扣 [问题1] －15[问题2]22－33[问题3] ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z ) [问题4] －5665[问题5] 45° [问题6] ④ [问题7]125[问题8] ④ 查缺补漏1．D [因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5， 所以cos α＝x r ＝－45.]2．C [∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°， c ＝tan35°＝sin35°cos35°，又0<cos35°<1， ∴c >b >a .]3．C [∵sin αcos α＝13，∴sin2α＝2sin αcos α＝23，∴cos 2(α＋π4)＝1＋cos (2α＋π2)2＝1－sin2α2＝1－232＝16.]4．C [因为y ＝2sin(π6－2x )＝－2sin(2x －π6)，所以函数y ＝2sin(π6－2x )的单调递增区间就是函数y ＝sin(2x －π6)的单调递减区间．由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )， 解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π(k ∈Z )，即函数y ＝2sin(π6－2x )的单调递增区间为[π3＋k π，5π6＋k π](k ∈Z ) 又x ∈[－π，0]，所以k ＝－1，故函数y ＝2sin(π6－2x )(x ∈[－π，0])的单调递增区间为[－2π3，－π6]．]5．B [由题图可知，函数的最大值为2，因此A ＝2. 又因为函数经过点⎝⎛⎭⎫π3，2， 则2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝2， 即2×π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝－π6＋2k π，k ∈Z .f (0)＝2sin φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋2k π＝－1.] 6．C [∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab ，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2. ∴cos C ≥12.∴cos C 的最小值为12.]7．D [DM →＝DA →＋AM →＝DA →＋13AB →，又DB →＝DA →＋AB →，所以DM →·DB →＝(DA →＋13AB →)·(DA →＋AB →)＝DA →2＋13AB →2＋43DA →·AB →＝1＋43－43AD →·AB → ＝73－43|AD →|·|AB →|cos60°＝73－43×1×2×12＝1.] 8．27解析 由正弦定理知AB sin C ＝3sin60°＝BC sin A ，∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A . 又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC＝2sin C ＋4sin(120°－C )＝2(sin C ＋2sin120°cos C －2cos120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)， 其中tan α＝32，α是第一象限角， 由于0°＜C ＜120°， 且α是第一象限角， 因此AB ＋2BC 有最大值27. 9.19π2－1 解析 由题意可知A (π6，1)，B (2π3，－1)，OA →·OB →＝π6×2π3＋1×(－1)＝19π2－1.10．解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin2x －34(1＋cos2x )＋34 ＝14sin2x －34cos2x ＝12sin(2x －π3)． 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝14， 所以，函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.。

决胜3．在中，角，，所对的边分别为，，，且，.ABC A B C a b c 23a c b +=3A C π-=(1)求；cos B (2)若，求的面积.5b =ABC 4．设()()()()πsin 2πcos 2cos sin πf ααααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭=---(1)将化为最简形式；()f α(2)已知，求的值．()3f θ=-()sin 1sin2sin cos θθθθ++5．已知函数．()π1sin 232f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭(1)求函数的单调递增区间，并解不等式；()f x ()0f x ≥(2)关于的方程在上有两个不相等的实数解，求实数的取x 11022m f x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x m 值范围及的值．()12f x x +6．已知角为第四象限角，且角的终边与单位圆交于点.αα1,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求的值；sin α(2)求的值.()πtan sin 2sin cos παααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭+7．在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点xOy αOx ．(),P x y (1)若，求及的值；255y =tan α7sin 2cos sin 4cos αααα+-(2)若，求点P 的坐标．sin 11cos 2αα=-(1)若，求；3BC =ADCD (2)若，求线段的长11cos 14A =AD(1)求函数在区间上的最大值和最小值；()f x ππ[,]64-(2)若函数在区间上恰有2个零点，求的值．5()()4g x f x =-π(0,)212,x x 12cos()x x -11．在中，，点D 在AB 边上，且为锐角，，的面积为ABC 25BC =BCD ∠2CD =BCD △4.(1)求的值；cos BCD ∠(2)若，求边AC 的长.30A =︒12．记三个内角的对边分别为，已知为锐角，ABC ,,A B C ,,a b c B ．sin sin sin 2sin sin a A b B c C a A B +-=(1)求；()sin A C -(2)求的最小值．sin sin A B 13．已知函数且的最小正周期为．()πsin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x π(1)求函数的单调递减区间；()f x (2)若，求x 的取值范围．()22f x ≤14．已知函数在上单调递增．()sin (0)f x x ωω=>ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(1)求的取值范围：ω(2)当取最大值时，将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来ω()f x π9的3倍，得到的图象，求在内的值域．()g x ()g x ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．在中，角所对的边分别为，已知．ABC ,,A B C ,,a b c sin cos cos cos cos sin sin A B C B C A B +=--(1)求；C (2)若外接圆的半径为，求的面积最大值．ABC 233ABC 16．已知函数.()()πe e sin ,32x xf x xg x --==(1)若，求；321π3f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭32πf α⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且()()ln h x x f x =+()h x ()0,∞+0x .()()034g f x >-17．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终xOy αO x 边与单位圆交于第三象限点.525,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(1)求的值；sin cos αα-(2)若角的终边绕原点按逆时针方向旋转，与单位圆交于点，求点的坐标.αO π2Q Q 18．设函数，且．2()2cos 23sin cos (0)f x x x x m ωωωω=++>(0)1f =(1)求的值；m (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求()f x 的值及的零点．ω()f x 条件①：是奇函数；()f x 条件②：图象的两条相邻对称轴之间的距离是；()f x π条件③：在区间上单调递增，在区间上单调递减．()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，0按第一个解答计分．答案：1．(1)1-(2)12-【分析】（1）根据点坐标求得.P tan α（2）根据点坐标求得，利用诱导公式求得正确答案.P sin ,cos αα【详解】（1）即，3π,cos π3sin 44P ⎛⎫ ⎪⎝⎭22,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以.22tan 122α-==-（2）由（1）得，所以，22,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭22222sin 22222α-==-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22222cos 22222α==⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1617πsin πsin πsin sin 808π22αααα⎛⎫⎛⎫-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin sin sin cos 2αααα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.221222⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭2．(1)，1tan 7α=1tan 3β=(2)π4【分析】（1）先根据同角三角函数平方关系求出，再根据商数关系和两角和正切公式cos α化简得结果；（2）根据二倍角公式得，，再根据两角和余弦公式得，最后根据sin 2,cos 2ββ()cos 2αβ+范围求结果.【详解】（1）因为为锐角，，所以，,αβ2sin 10α=272cos 1sin 10αα=-=所以，2sin 110tan cos 77210ααα===又因为，所以，tan tan 1tan()1tan tan 2αβαβαβ++==-1tan 3β=（2）因为为锐角，，所以，解得，,αβ1tan 3β=22sin 1cos 3sin cos 1ββββ⎧=⎪⎨⎪+=⎩10sin 10310cos 10ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，sin 22sin cos 103103101052βββ==⨯=⨯，24cos 212sin 5ββ=-=所以，()724232cos 2cos cos 2sin sin 21051052αβαβαβ+=-=⨯-⨯=又因为为锐角，所以，,αβ3π022αβ<+<所以.π24αβ+=3．(1)78(2)111512【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理化为，结合23a c b +=sin sin 23sin A C B +=已知条件，有，，代入解三角形即可.3A C π-=32B C π=-232B A π=-sin sin 23sin A C B +=（2）根据（1）终结论，利用余弦定理，结合，，解得，利用面5b =23a c b +=443ac =积公式即可求得面积为.11115sin 212ABC S ac B ==△【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，23a c b +=sin sin 23sin A C B +=因为，且，所以，，3A C π-=A B C π++=32B C π=-232B A π=-所以2sin sin 23sin 3232B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，22sin cos cos sin sin cos cos sin 23sin 32323232B B B B B ππππ-+-=所以，所以，3cos 23sin 2B B =cos 4sin cos 222B B B =因为，所以，所以；022B π<<1sin 24B =27cos 12sin 28B B =-=（2）由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-即，得，得，()27524a c ac ac =+--()2155234b ac =-443ac =因为，所以，所以7cos 8B =15sin 8B =11115sin 212ABC S ac B ==△4．(1)tan α-(2)65【分析】（1）根据三角函数的诱导公式，结合同角三角函数的商式关系，可得答案；（2）利用正弦函数的二倍角公式以及同角三角函数的平方式，整理齐次式，可得答案.【详解】（1）.()()()()πsin 2πcos sin sin 2tan cos sin πcos sin f αααααααααα⎛⎫++ ⎪-⎝⎭===----（2）由，则，()tan 3f θθ=-=-tan 3θ=，()()()()()22222sin 1sin2sin (sin cos )tan (tan 1)sin cos sin cos sin cos tan 1tan 1θθθθθθθθθθθθθθθ+++==+++++.()()2223(31)34641053131⨯+⨯===⨯+⨯+5．(1)答案见解析(2)(()1212,3,2f x x ⎤--+=-⎦【分析】（1）由题意分别令，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈，解不等式即可得解.ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤-≤+∈（2）由题意得在上有两个不相等的实数解，结合三角()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 函数单调性、最值即可求出的取值范围，结合对称性代入求值即可得的值.m ()12f x x +【详解】（1）由题意令，解得，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈π5πππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈即函数的单调递增区间为，()f x ()π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦令，所以，()π1sin 2032f x x ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭π1sin 232x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭所以，解得，ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤-≤+∈π7πZ 412ππ,k x k k +≤≤+∈所以不等式的解集为.()0f x ≥()π7ππ,π,Z 412k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由题意即，11022m f x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 032m x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭即在上有两个不相等的实数解，()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 当时，，而在上单调递减，在上单[]0,πx ∈ππ2π,333t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦2sin y t =-ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦调递增，所以当即时，，ππ32t x =-=5π6x =()min 2g x =-当即时，，ππ33t x =-=-0x =()max 3g x =又即时，，π2π33t x =-=πx =()3g x =-所以若在上有两个不相等的实数解，()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 则实数的取值范围为，m (2,3⎤--⎦因为，所以是的对称轴，()min 5π26g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭5π6x =()g x所以.()125π5ππ112sin 263322f x x f ⎛⎫⎛⎫+=⨯=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．(1)223-(2)3-【分析】（1）将点代入单位圆后结合任意角三角函数定义求解即可.（2）利用诱导公式化简求值即可.【详解】（1）在单位圆中，解得，22113y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭223y =±因为第四象限角，所以α223y =-22sin 3α∴=-（2）第四象限角22sin ,3αα=-1cos 3α∴=.()πtan sin 123sin cos πcos ααααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴=-=-+7．(1)，；2-2(2).34(,)55-【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标及，再利用齐次式法计算即得.P tan α（2）利用同角公式，结合三角函数定义求解即得.【详解】（1）角以Ox 为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，α(),P x y 当时，，则，255y =22551()55x =--=-tan 2y x α==-所以．7tan 27(2)227ta 4sin 2cos sin 42c 4os n αααααα+⨯-++==---=-（2）依题意，，sin 0,cos 0αα><由，得，代入，sin 11cos 2αα=-cos 12sin αα=-22sin cos 1αα+=于是，解得，22sin (12sin )1αα+-=2sin ,cos 1sin 5543ααα==--=-即，所以点P 的坐标为．34,55x y =-=34(,)55-8．(1)；π3A =(2)．2AD =【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由三角恒等变换求解；（2）设，利用由余弦定理求得，从而由正弦定理求得AD x =πADB ADC ∠+∠=cos ADB ∠（用表示），再代入余弦定理的结论中求得值．AC x x 【详解】（1）由正弦定理及已知得2cos cos cos 2c a A B b A =-，sin 2sin cos cos sin cos 2sin 2cos sin cos 2sin(2)C A A B B A A B B A A B =-=-=-或，C 2A B =-2πC A B +-=又，所以，A B ≤22πC A B C B B C B +-≤+-=+<所以，从而，所以；C 2A B =-2πB C A A +==-π3A =（2）由余弦定理得，，2222cos AB BD AD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC CD AD AD CD ADC =+-⋅∠又是角平分线，所以，又，则，记，因为AD 2AC CD AB BD ==3a =2,1CD BD ==AD x =，πADB ADC ∠+∠=所以，所以，2244cos 412cos x x ADC x x ADC +-∠=++∠cos 4x ADC ∠=-，则，0πADC <∠<2sin 116x ADC ∠=-由正弦定理得，sin sin AC CD ADC CAD =∠∠所以，222116π16sin 6x AC x =⋅-=-所以，解得，即．221644()4x x x x -=+-⋅-2x =2AD =9．(1)263(2)677【分析】（1）利用正弦定理及其余弦定理求解；（2）利用三角形的面积公式求解.【详解】（1）因为平分，，故，AD BAC ∠3AB BC ==2C BAC θ∠=∠=在中，由正弦定理知：，ADC △sin sin 22cos sin sin AD ACD CD DAC θθθ∠===∠由余弦定理有，2222223231cos 2cos 22323CA CB BA C CA CB θ+-+-====⋅⨯⨯又因为，所以,21cos 22cos 13θθ==-6cos 3θ=即；262cos 3AD CDθ==（2）由，得，则，11cos 14A =11cos 214θ=cos 2157cos 214θθ+==又由，()11sin 2sin 22ABC ABD ACD S AB AC S S AB AC AD θθ=⋅=+=+△△△得.()sin 21267cos sin 57AB AC AD AB AC θθθ⋅===+10．(1)最大值和最小值分别为；2,1-(2).58【分析】（1）求出函数的解析式，再利用余弦函数的性质求解即得.()f x （2）利用余弦函数图象的对称性，结合诱导公式计算.12cos()x x -【详解】（1）由函数的最小正周期为，得，解得，()f x π2ππω=π2,()2cos(2)3x f x ω==-当时，，则当，即时，，ππ[,]64x ∈-π2ππ2[,]336x -∈-π2π233x -=-π6x =-min ()1f x =-当，即时，，π203x -=π6x =max ()2f x =所以函数在区间上的最大值和最小值分别为.()f x ππ[,]64-2,1-（2）()2222252cos 25222525BD BC CD BC CD BCD =+-⨯∠=+-⨯⨯⨯，故，204816=+-=4BD =有，故，22216420BD CD BC +=+==CD AB ⊥则，即.21sin sin 302CD A AC AC ==︒==4AC =12．(1)；()sin 1A C -=(2)无最小值；【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理可得，结合为锐角可得，所sin cos A C =B π2A C =+以；()sin 1A C -=（2）利用诱导公式可得，再由导数判断出在3sin sin 2sin sin A B A A =-()32f t t t =-上单调递增，可得无最小值；2,12t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭sin sin A B 【详解】（1）因为，sin sin sin 2sin sin a A b B c C a A B +-=由正弦定理得，2222sin a b c ab A +-=由余弦定理可得，2222cos a b c ab C +-=所以可得，解得或；sin cos A C =π2A C =-π2A C =+又为锐角，所以（舍），即，B π2A C =-π2A C =+因此；()πsin sin12A C -==（2）结合（1）中，又可得：π2A C =+πA B C ++=；33πsin sin sin sin 2sin cos 22sin sin 2A B A A A A A A ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭令，则，sin t A =()3sin sin 2A B f t t t ==-又为锐角，，所以，B 3ππ20,22A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭π3π24A <<可得，212t <<所以，当时，恒成立，()261f t t '=-212t <<()2610f t t '=->即可得为单调递增，()32f t t t =-所以时，，所以无最值；2,12t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭()()0,1f t ∈()f t 因此无最小值；sin sin A B 13．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据最小正周期为求得，求出单调递减区间；π=1ω±（2）根据写出x 的取值范围．()22f x ≤【详解】（1）因为的周期为，()πsin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π故，所以.2ππ2ω==1ω±当时，，=1ω()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由，得到，ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+π7πππ1212k x k +≤≤+故的递减区间为.()f x π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦当时，，1ω=-()ππsin 2sin 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，得到πππ2π22π232k x k -+≤-≤+π5πππ1212k x k -+≤≤+故的递减区间为.()f x π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）当时，，=1ω()π2sin 232f x x ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭所以，5πππ2π22π434k x k -+≤+≤+解得.19ππππ,Z 2424k x k k -+≤≤-+∈当时，，1ω=-()ππ2sin 2sin 2332f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，π2sin 232x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以，ππ5π2π22π434k x k -+≤-≤+解得.π19πππ2424k x k +≤≤+综上：当时，；=1ω19ππππ2424k x k -+≤≤-+当时，.1ω=-π19πππ,Z 2424k x k k +≤≤+∈14．(1)302ω<≤(2)260,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由题设条件，列出不等式，求解即可.,32πππ4π2ωω-≥-≤（2）根据函数图像平移变换，写出函数，再结合区间和三角函数性质求1π()sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭出值域.【详解】（1）由，得 ，ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ,34x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦又函数在上单调递增，()sin (0)f x x ωω=>ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以，解得,32πππ4π2ωω-≥-≤32ω≤因为，所以．0ω>302ω<≤（2）由（1）知的最大值为，此时，ω323()sin 2f x x =根据题意，，31π1π()sin sin 23926g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦当时，．ππ,32x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1πππ02664x ≤+≤+所以，故值域为．ππ260()sin 644g x +⎛⎫≤≤+= ⎪⎝⎭260,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦15．(1)π3C =(2)3【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换计算即可．（2）利用正余弦定理、三角形面积公式及基本不等式计算即可.【详解】（1）由已知可得：，222sin sin sin cos cos A A B B C -=-∴，()222sin sin sin 1sin 1sin A A B B C -=---∴，222sin sin sin sin sin A B C A B +-=根据正弦定理可知：，222a b c ab +-=∴．2221cos 22a b c C ab +-==又．π(0,π),3C C ∈∴=（2）∵外接圆的半径为，ABC 233r =∴，解得．432sin 3c r C==2c =又由（1）得，222a b c ab +-=故，∴，当且仅当时等号成立22424a b ab ab +-=≥-4ab ≤2a b ==∴，13sin 324ABC S ab C ab ==≤△∴的面积最大值为．ABC 316．(1)23(2)证明见解析【分析】（1）化简已知条件求得，利用诱导公式求得.πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭32πf α⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）先求得的表达式，然后对进行分类讨论，结合零点存在性定理证得在()h x x ()h x 上有且仅有一个零点，求得的表达式，然后利用函数的单调性证得不等()0,∞+0x()()0g f x 式成立.()()034g f x >-【详解】（1）由，则，321π3f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π2sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以32π2sin π3f αα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.ππ2sin πsin 333αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）证明：由题意得.()πln sin 3h x x x =+①当时，，所以单调递增.30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ππ0,32x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()h x 又，由于，而，1πsin ln226h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π1sin 62=1ln2ln e 2>=所以.又，102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭()3102h =>所以由零点存在定理得在内有唯一零点，使得.()h x 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦0x ()00h x =当时，，所以，则在上无零点；3,32x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦πln 0,sin 03x x >≥()0h x >()h x 3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦当时，，所以，则在上无零点.()3,x ∈+∞πln 1,1sin 13x x >-≤≤()0h x >()h x ()3,+∞综上，在上有且仅有一个零点.()h x ()0,∞+0x ②由①得，且，0112x <<()00ln 0x f x +=则.()()()()00000011ln ,ln 2f x x g f x g x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭由函数的单调性得函数在上单调递增，()000112x x x ϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭则，()01324x ϕϕ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭故.()()034g f x >-求解已知三角函数值求三角函数值的问题，可以考虑利用诱导公式等三角恒等变换的公式来进行求解.判断函数零点的个数，除了零点存在性定理外，还需要结合函数的单调性来进行判断.17．(1)55-(2)255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）直接根据三角函数的定义求解；（2）利用诱导公式求出旋转后的角的三角函数值即可.【详解】（1）由三角函数的定义可得，5sin c 5o 255s αα-=-=，所以；5s 5in 5c 2os 555αα⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭-=-（2）角的终边绕原点O 按逆时针方向旋转，得到角，απ2π2α+则，，π5sin cos 25αα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭π25cos sin 25αα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭所以点Q 的坐标为.255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18．(1)1m =-(2)选择①，不存在；选择②，，；选择③，，12ω=ππ,Z 6k k -+∈1ω=ππ,Z 122k k -+∈【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数，根据，即可求解；(0)1f =（2）根据奇函数性质、三角函数图象的性质以及三角函数的单调性，即可逐个条件进行判断和求解.【详解】（1）2()2cos 23sin cos f x x x x m ωωω=++，πcos 23sin212sin 216x x m x m ωωω⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭又，所以.1(0)2112f m =⨯++=1m =-（2）由（1）知，，()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭选择①：因为是奇函数，()f x 所以与已知矛盾，所以不存在.()00f =()f x 选择②：因为图象的两条相邻对称轴之间的距离是，()f x π所以，，，π2T =2πT =2π21T ω==12ω=则，()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令，()π2sin 06f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得.ππ,Z 6k x k -+∈=即零点为.()f x ππ,Z 6k k -+∈选择③：对于，，()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>令，，πππ2π22π,Z 262k x k k ω-+≤+≤+∈ππ3π2π22π,Z 262k x k k ω+≤+≤+∈解得，，ππππ,Z 36k k x k ωωωω-+≤≤+∈ππ2ππ,Z 63k k x k ωωωω+≤≤+∈即增区间为，()f x ππππ,,Z 36k k k ωωωω⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦减区间为，()f x ππ2ππ,,Z 63k k k ωωωω⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以时符合，0k =即在上单调递增，在上单调递减，()f x ππ,36ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π2π,63ωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以且，π03ππ66ωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩2ππ33ππ66ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解得，则，1ω=()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以令，()π2sin 206f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得，ππ,Z 122k x k =-+∈即零点为.()f x ππ,Z 122k k -+∈。

(一)三角函数与解三角形1．(2018·浙江省教育绿色评价联盟月考)已知函数f (x )＝sin x ·(cos x ＋3sin x )．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若关于x 的方程f (x )＝t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两个不相等的实数解，求实数t 的取值范围． 解 (1)f (x )＝sin x cos x ＋3sin 2x＝12sin 2x ＋32(1－cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3. 令u ＝2x －π3，因为y ＝sin u 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3上是减函数， 令u ＝2x －π3＝π2，则x ＝5π12，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，π2上是减函数． 由题意知，关于x 的方程f (x )＝t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两个不相等的实数解，等价于y ＝f (x )与y ＝t 的图象(图略)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两个不同的交点， 又因为f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝1＋32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝3， 所以3≤t <1＋32，即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3，1＋32. 2. (2018·湖州、衢州、丽水三地市模拟)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－2sin x cos x . (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝3⎝⎛⎭⎪⎫sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6－sin 2x＝32cos 2x ＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 因此函数f (x )的最小正周期T ＝π.(2)因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6， 所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， 因此当x ＝π12时，f (x )的最大值为1， 当x ＝－π4时，f (x )的最小值为－12. 3．(2018·浙江省台州中学模拟)在△ABC 中，cos B ＝－513，cos C ＝45. (1)求sin A 的值；(2)设△ABC 的面积S △ABC ＝332，求BC 的长． 解 (1)由cos B ＝－513，得sin B ＝1213， 由cos C ＝45，得sin C ＝35， sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝3365. (2)由S △ABC ＝332，得12AB ·AC ·sin A ＝332， ∴AB ·AC ＝65.又AC ＝AB ·sin B sin C ＝2013AB ， ∴AB ＝132，BC ＝AB ·sin A sin C ＝112. 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足23a sin C sin B ＝a sin A ＋b sin B －c sin C .(1)求角C 的大小；(2)若a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝b cos(2k π＋A )(k ∈Z )且a ＝2，求△ABC 的面积． 解 (1)由23a sin C sin B ＝a sin A ＋b sin B －c sin C 及正弦定理得，23ab sin C ＝a 2＋b 2－c 2，∴3sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab，∴3sin C ＝cos C ， ∴tan C ＝33，又0<C <π，∴C ＝π6. (2)由a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝b cos(2k π＋A )(k ∈Z )，得a sin B ＝b cos A .由正弦定理得sin A sin B ＝sin B cos A ，又sin B ≠0，∴sin A ＝cos A ，∴A ＝π4， 根据正弦定理可得2sin π4＝c sin π6，解得c ＝2， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×2sin(π－A －C ) ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝3＋12. 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋sin B ＝3sin C .(1)若cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，求sin A ＋sin B 的值；(2)若c ＝2，求△ABC 面积的最大值．解 (1)∵cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，∴1－sin 2A ＝sin 2B ＋1－sin 2C ＋sin A sin B ，∴sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ，∴由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ， ∴由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， 又0<C <π，∴C ＝2π3， ∴sin A ＋sin B ＝3sin C ＝3sin 2π3＝32. (2)当c ＝2，a ＋b ＝3c ＝23，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －c 22ab ＝4ab－1， ∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab －12 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab 2＋8ab， ∴S ＝12ab sin C ＝12ab －⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab 2＋8ab＝12－16＋8ab . ∵a ＋b ＝23≥2ab ，即0<ab ≤3，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立，∴S ＝12－16＋8ab ≤12－16＋8×3＝2，∴△ABC 面积的最大值为 2.6．已知m ＝(3sin ωx ，cos ωx )，n ＝(cos ωx ，－cos ωx )(ω>0，x ∈R )，f (x )＝m·n －12且f (x )的图象上相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且b ＝7，f (B )＝0，sin A ＝3sin C ，求a ，c 的值及△ABC 的面积．解 (1)f (x )＝m·n －12＝3sin ωx cos ωx －cos 2ωx －12＝32sin 2ωx －12cos 2ωx －1 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－1. ∵相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1， 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 则k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z . (2)由(1)知，f (B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6－1＝0， ∵0<B <π，∴－π6<2B －π6<11π6， ∴2B －π6＝π2，∴B ＝π3， 由sin A ＝3sin C 及正弦定理，得a ＝3c ，在△ABC 中，由余弦定理，可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝9c 2＋c 2－76c 2＝10c 2－76c 2＝12， ∴c ＝1，a ＝3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×1×32＝334.。