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选择题（2011山东滨州，5，3分）若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是（）A．1 B．5 C．7 D．9【答案】B【思路分析】第三边的长的取值范围是4－3＜第三边＜4＋3，即1＜第三边＜7，故选B．【方法规律】已知两边分别为a，b，且a＞b，则第三边x的取值范围是a－b＜x＜a＋b，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【易错点分析】【关键词】三角形三边不等关系【推荐指数】★☆☆☆☆【题型】常规题（2011山东泰安，16 ，3分）袋中装有编号为1，2，3的三个质地均匀、大小相同的球，从中随机取出一球记下编号后，放入袋中搅匀，再从袋中随机取出一球，两次所取球的编号相同的概率为A．19B．16C．13D．12【答案】C【思路分析】由题意，有所可能结果总数画树状图得：共有9种情况，其中两次所取球的编号相同的有3种，两次所取球的编号相同的概率为13．【方法规律】利用画树状图或列表求出所有可能结果种数，再数出符合条件的有种，计算出概率．【易错点分析】误用枚举法，逐个列举，导致遗漏而出错.【关键词】等可能性事件的概率【推荐指数】★☆☆【题型】常规题．（2011福建福州，8，4分）从1，2，－3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是A. 0B. 13C. 23D. 1【答案】B【思路分析】可以通过画树形图或列表的方式，将所有结果列举出来：开始第一个数 1 2 －3第二个数 2 － 1 －3 1两数之积 2 －3 2 －6 －3 －6以上共有6种结果，并且每种结果出现的可能性相等，其中“积是正数”的结果共有2个，所以P（积是正数）3162==. 【方法规律】本题考查了简单随机事件的概率.一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A 包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的概率NMA P =)(.【易错点分析】本题与摸球试验类似，属于摸出一个球不放回、再摸出一个球，学生容易在这里出问题.【关键词】概率 有理数乘法 【难度】★★★☆☆ 【题型】常规题 易错题（2011浙江义乌，9，3分）某校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋活动，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为（ ）A ．13B ．19C ．12D ．23【答案】A由表中可知，小王与小菲乘车的情况共有九种可能性，其中同车的情况有三种，所以(P 同车）＝13，故选A ．【方法规律】列表或树状图分析是解此类题常用的方法．【易错点分析】根据题意列出表格或画出树状图是学生解决此类题必备的技能． 【关键词】概率 【推荐指数】★ 【题型】常规题（2011内蒙古包头，7，3分）一个袋子中装有3个红球和2个黄球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋子里同时摸出2个球，其中摸出2个球的颜色相同的概率是（ ）A ．43B ．53C ．58D ．52【答案】D【思路分析】画出树状图（或列表）可知在20种情况里面有8种是颜色相同的，故概率为52208=．【方法规律】初中阶段求概率最好的办法是画树状图或列表，然后统计符合要求的个数，再计算概率． 【易错点分析】不会画树状图，用列举法易导致漏掉一些可能性 【关键词】概率【推荐指数】★★☆☆☆ 【题型】常规题6． （2011江苏宿迁，6，3分）如图，将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形区域，若指针固定不变，转动这个转盘一次（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止），则指针指在甲区域内的概率是（▲） A ．1 B ．21 C ．31 D ．41【答案】D【思路分析】甲、乙、丙、丁四个扇形区域面积相等，且转动停止后被指针指在的机会是均等的，该事件是等可能事件，故P （指针指在甲区域内）＝41． 【方法规律】首先判断该事件是否等可能性，然后寻找所有等可能的结果，再看我们所关注的事件试验一次所发生的结果数，最后利用古典概率计算公式进行计算即可．【易错点分析】【关键词】简单的古典概率求法 【难度】★☆☆☆☆ 【题型】常规题5． （2011安徽，5，4分）从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，对于事件M ：“这个四边形是等腰梯形”．下列判断正确的是（ ） A ．事件M 是不可能事件 B ．事件M 是必然事件C ．事件M 发生的概率为15D ．事件M 发生的概率为 25 【答案】B【思路分析】根据正五边形性质可以证明任取正五边形四个顶点连成四边形，这个四边形一定是等腰梯形.所以这是必然事件.【方法规律】本题将概率问题与几何问题结合，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力. 【易错点分析】由于对正五边形的性质把握不清而错选. 【关键词】概率 【难度】★★☆☆☆【题型】常规题，易错题8．（2010山东日照，8，3分）两个正四面体骰子的各面上分别标明数字1,2,3,4，如同时投掷这两个正四面体骰子，则着地的面所得的点数之和等于5的概率为（ ） （A ）41 （B ）163 （C ）43 （D ）83 【答案】A【思路分析】可利用树状图分析：可看出，共有16种情况，着地的面所得的点数之和等于5的共有4种，则此种情况占的概率为41； 【方法规律】一定要能灵活地利用树状图与列表的方法进行逐一的列举； 【题型】常规题 【关键词】概率【推荐指数】★☆☆☆☆【易错点分析】这两个正四面体骰子是同时投掷的，它们出现的点数是可能重复的，有些同学会误认为是9． （2011浙江义乌，9，3分）某校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷 锋活动，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为（ ）A ．13 B ．19 C ．12 D ．23【答案】A由表中可知，小王与小菲乘车的情况共有九种可能性，其中同车的情况有三种，所以(P 同车）＝13，故选1 2 3 4 1 2 2 3 4 1 1 32 3 41 42 3 4A ．【方法规律】列表或树状图分析是解此类题常用的方法．【易错点分析】根据题意列出表格或画出树状图是学生解决此类题必备的技能． 【关键词】概率 【推荐指数】★ 【题型】常规题 不能重复的；（2011山东济宁，7，3分）在x 2□2xy□y 2的空格□中，分别填上“＋”或“－”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是（ ）A ．1B ．43C ．21D ．41【答案】C 【思路分析】一共有4种情况：222y xy x -+，222y xy x +-，222y xy x ++，222y xy x --，能构成完全平方式的有：222y xy x +-，222y xy x ++，因此能构成完全平方式的概率是2142=．【方法规律】用列举法求概率是最基础的要求，这类题通常方法是根据题意用树状图或列举法找出事件包含的所有可能情况的个数，再从中找出所求问题所包含的可能情况的个数，然后用所求问题所包含的可能情况个数除以事件的包含的所有可能情况的个数．【易错点分析】所有可能的情况找不全；或者漏掉完全平方式的一种情况． 【关键词】概率【推荐指数】★★★☆☆ 【题型】基础题 常规题（2011山东东营，9，3分）某中学为迎接建党九十周年，举行了“童心向党，从我做起”为主题的演讲比赛.经预赛，七、八年纪各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛，那么九年级同学获得前两名的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】D【思路分析】列表如下：2种，所以九年级同学获得前两名的概率是122=61. 【方法规律】求概率常用的方法是列表法与树形图法.本题可以枚举法求概率，所有等可能的结果有七、八，七、九1，七、九2，八、九1，八、九2，九1、九2共六种情况，所以九年级同学获得前两名的概率是61. 【易错点分析】 用列表法或树形图法求概率时如果按照放回实验求解时就容易出现了错误． 【关键词】概率 【难度】★★★☆☆ 【题型】常规题（2011贵州毕节，6，3分）为备战中考，同学们积极投入复习，李红书包里装有语文试卷3张、数学试卷2张、英语试卷1张、其它学科试卷3张，从中任意抽出一张试卷，恰好是数学试卷的概率是( ) A ．41 B ．21 C ．91 D ．92【答案】D【思路分析】总的等可能情况有9种，其中抽出数学试卷的情况有2种，所以P （数学试卷）=92。
列表法与树状图法能量储备在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性的大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率．注意：(1)用列举法求概率时，各种情况出现的可能性必须相同；(2)全面列举出所有可能的结果，各种情况不能重复，也不能遗漏；(3)所求概率是一个准确数，一般用分数表示．通关宝典★基础方法点方法点1：利用概率公式计算某个事件发生的概率时，可利用列表法或画树状图法找全所有可能出现的情况，并将可能出现的全部的结果数作为分母．例1袋中有大小相同、标号不同的白球2个，黑球2个．(1)从袋中连取2个球后不放回，取出的2个球中有1个白球，1个黑球的概率是多少？(2)从袋中有放回地取出2个球的顺序为黑、白的概率是多少？解：(1)根据题意列表如下：共有12种等可能情况，符合题意的有8种，故有1个白球，1个黑球的概率P ＝812＝23. (2)画树状图如图所示．共有16种等可能情况，符合条件的有4种，故取球顺序为黑、白的概率P ＝416＝14. ★ ★ 易混易误点易混易误点1:研究所有等可能结果时重复或遗漏例2 从装有两个红球、两个黄球(每个球除颜色外其他均相同)的袋中任意取出两个球，取出一个红球和一个黄球的概率是( )A.13B.23C.14D.12解析：我们不妨把四个球分别记为红1，红2，黄1，黄2，从中摸出两个球的所有可能结果为(红1，红2)，(红1，黄1)，(红1，黄2)，(红2，黄1)，(红2，黄2)，(黄1，黄2)，共6种，其中一红一黄共有4种，故其概率P ＝46＝23.故选B . 答案：B分析：本题易错误地认为任意取出两个球，共可能出现“两红”“两黄”“一红一黄”三种可能的结果，所以任意取出两个球，取得一个红球和一个黄球的概率为13. 易混易误点2:不能准确区分放回抽样与不放回抽样对事件发生概率的影响例2 有完全相同的4个小球，上面分别标有数字1，－1，2，－2，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，再从中随机摸球两次(第一次摸出球后不放回摇匀)．把第一次、第二次摸到的球上标有的数字分别记作m ，n ，以m ，n 分别作为一个点的横坐标与纵坐标，求点(m ，n)不在第二象限的概率．解：用列表法．可以看出，共有12种等可能的情况，其中点(m，n)不在第二象限的有8种情况，所以点(m，n)不在第二象限的概率P＝812＝23.,注意：对于某一关注的结果，放回抽样与不放回抽样是完全不同的，本题易忽视“不放回”这一条件而错误地列出如下表格求错概率．蓄势待发考前攻略考查用列表法或画树状图法求事件的概率是中考的必考内容，命题形式有填空题、选择题、解答题，难度适中．试题常用的背景有摸球、抽取卡片、转转盘、掷骰子等富有生活气息及与社会生活息息相关的内容，是中考的命题趋势，要引起重视.完胜关卡。
个性化教学辅导教案所有可能出的结果：（S ，S ）（S ，J ）（S ，B ）（J ，S ）（J ，J ）（J ，B ）（B ，S ）（B ，J ）（B ，B ）从上面的树状图可以看出，一次游戏可能出现的结果共有9种，而且每种结果出现的可能性相同．所以，P （出同种手势）=93=31P （甲获胜）=93=31解法二：一次游戏，甲、乙两人随机出手势的所有可能的结果如下表：S J B S （S ，S ） （S ，J ） （S ，B ） J （J ，S ） （J ，J ） （J ，B ） B （B ，S ）（B ，J ）（B ，B ）以下同解法一评注：（1）利用列表法、树状图法求概率必须是等可能事件. （2）对各种可能出现的情况不能遗漏或重复某种可能.例3.有两个可以自由转动的均匀转盘A 、B ，都被分成了3等份，并在每份内均标乙出的手势甲出的手势通过33 4 5 （3，3）（3，4）（3，5）43 4 5（4，3）（4，4）（4，5）53 4 5（5，3）（5，4）（5，5）答案：解：（1）12；（2）所有可能得到的数字之和如下表：1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 45678910（3）由上表可知，两数之和的情况共有24种，所以，P （数字之和为奇数）121242==， P （数字之和为偶数）121242==．家庭作业1．（2012•恩施州）某市今年的理化生实验操作考试，采用学生抽签的方式决定自己的考试内容．规定：每位考生从三个物理实验题（题签分别用代码W 1，W 2，W 3表示）、三个化学物实验题（题签分别用代码H 1、H 2、H 3表示），二个生物实验题（题签分别用代码S 1，S 2表示）中分别抽取一个进行考试．小亮在看不到题签的情况下，从他们中随机地各抽取一个题签． （1）请你用画树状图的方法，写出他恰好抽到H 2的情况；（2）求小亮抽到的题签代码的下标（例如“W 2”的下标为“2”）之和为7的概率是多少？AB和. 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！精品。
第01讲_概率的进一步认识知识图谱概率的计算知识精讲一．用列表法和树状图法求事件的概率1.列表法：当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，为了不重不漏地列举出所有可能的结果，我们采用列表法来求出某事件的概率．2.树状图法：当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图法来求出某事件的概率．树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的树丫形式，最末端的树丫个数就是总的可能的结果．二．用频率估计概率实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个时间出现的频率，总在一个固定的数附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．三点剖析一．考点：概率的计算二．重难点：用列表法和树状图法求事件概率三．易错点：（1）两步以及两步以上的简单事件求概率的方法：利用树状或者列表表示各种等可能的情况与事件的可能性的比值；（2）复杂事件求概率的方法运用频率估算概率。
判断是否公平的方法运用概率是否相等，关注频率与概率的整合。
求简单事件的概率例题1、在盒子里放有三张分别写有整式a+1，a+2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（）A.1 3B.23C.16D.34【答案】B【解析】分母含有字母的式子是分式，整式a+1，a+2，2中，抽到a+1，a+2做分母时组成的都是分式，共有3×2=6种情况，其中a+1，a+2为分母的情况有4种，所以能组成分式的概率=46=23．北师大版本九年级上册第三章概率的进一步认识例题2、围棋盒子中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒子中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是2 3．如果在原有的棋子中再放进4颗黑色棋子，此时从盒子中随机取出一颗棋子为白色棋子的概率是12，则原来盒子中有白色棋子（）A.4颗B.6颗C.8颗D.12颗【答案】C【解析】由题意得14223xx yxx y⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪+⎩；解得48yx=⎧⎨=⎩，由此可得，原来盒子中有白色棋子8颗例题3、某厂为新型号电视机上市举办促销活动，顾客购买一台该型号电视机，可获得一次抽奖机会，该厂拟按10%设大奖，其余90%为小奖．厂家设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入10个黄球和90个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，摸到都是黄球的顾客获得大奖，摸到不全是黄球的顾客获得小奖．（1）厂家请教了一位数学老师，他设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入2个黄球和3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到黄球的顾客获得大奖，摸到白球的顾客获得小奖．该抽奖方案符合厂家的设奖要求吗？请说明理由；（2）下图是一个可以自由转动的转盘，请你讲转盘分为2个扇形区域，分别涂上黄、白两种颜色，并设计抽奖方案，使其符合厂家的设奖要求．（友情提醒：转盘上用文字注明颜色和扇形的圆心角的度数，结合转盘简述获奖方式，不需要说明理由）．【答案】见解析【解析】（1）符合，一共出现20种可能性，并且每种可能性都相同，所有的结果中，满足摸到的2个球都是黄球（记为事件A）的结果有2种，即（黄1，黄2）或（黄2，黄1），所以P（两黄球）212010==，即顾客获得大奖的概率为10%，获得小奖的概率为90%；（2）本题答案不唯一，下列解法供参考．如图，将转盘中圆心角为36︒的扇形区域涂上黄色，其余的区域涂上白色，顾客每购买一台该型号电视机，可获得一次转动转盘的机会，任意转动这个转盘，当转盘停止时，指针指向黄色区域获得大奖，指向白色区域获得小奖．随练1、如图，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，则能让灯泡⊗发光的概率是（）A.B.C. D.【答案】C【解析】列表如下：共有6种情况，必须闭合开关S 3灯泡才亮，即能让灯泡发光的概率是=．故选C ．随练2、在围棋盒中有x 颗白色棋子和y 颗黑色棋子，它们除颜色外全部相同，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，如再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为，则原来盒里有白色棋子（）A.1颗B.2颗C.3颗D.4颗【答案】B【解析】解：由题意得：25134x x y x x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪++⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩故选：B ．随练3、有一盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，6个乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，李明同学从盒子中任意摸出一乒乓球．（1）你认为李明同学摸出的球，最有可能是______颜色；（2）请你计算摸到每种颜色球的概率；（3）李明和王涛同学一起做游戏，李明或王涛从上述盒子中任意摸一球，如果摸到白球，李明获胜，否则王涛获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？【答案】（1）白（2）16（3）公平【解析】（1）因为白色的乒乓球数量最多，所以最有可能是白色（2）摸出一球总共有6种可能，它们的可能性相等，摸到白球有3种、黄球有2种、红球有1种．所以P （摸到白球）=3162=，P （摸到黄球）=2163=，P （摸到红球）=16；（3）答：公平．因为P （摸到白球）=12，P （摸到其他球）=21162+=，所以公平．列表法和树状图法求概率例题1、如图所示是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时（若指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），两个指针所指区域的数字和为偶数的概率是__________．【答案】715【解析】列表得（1，8）（1，7）（1，6）（1，5）（1，4）；（2，8）（2，7）（2，6）（2，5）（2，4）；（3，8）（3，7）（3，6）（3，5）（3，4）；其中为偶数的有7种，故数字和为偶数的概率是715例题2、一个不透明的盒子里有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中每个小球上分别标有1，1-，2-，3-四个不同的数字，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下数字后再放回盒子，那么两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的概率为__________．【答案】38【解析】画树状图，得因为共有16种可能的结果，两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的有6种情况所以两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的概率63168==．例题3、有十张正面分别标有数字3-，2-，1-，0，1，2，3，4，5，6的不透明卡片，他们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，将该卡片上的数字加1记为b ．则数字a ，b 使得关于x 的方程210ax bx +-=有解的概率为___________．【答案】710【解析】列表得：一共有(3,2)--、(2,1)--、(1,0)-、(0,1)、(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)；数字a ，b 使得关于x 的方程210ax bx +-=有解的情况有：(0,1)、(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)七种，则710P =．例题4、在平面直角坐标系中给定以下五个点A （2-，0）、B （1，0）、C （4，0）、D （2-，92）、E （0，6-），在五个形状、颜色、质量完全相同的乒乓球上标上A 、B 、C 、D 、E 代表以上五个点．玩桌球游戏，每次摸三个球，摸一次，三球代表的点恰好能确定一条抛物线（对称轴平行于y 轴）的概率是（）A.12B.35C.710D.45【答案】B【解析】所有的摸球情况有：ABC 、ABD 、ABE 、ACD 、ACD 、ACE 、ADE 、BCD 、BCE 、BCE 、BDE 、CDE 共有10种情况；其中，ABC 时，三点都在x 轴上，共线，不能确定一条抛物线；而ABD 、ACD 、ADE 时，A 、D 的横坐标都是2-，不复合函数的定义；所以能确定一条抛物线的情况有：10136--=，所以35P =．随练1、把一个转盘平均分成三等份，依次标上数字1、2、3．自由转动转盘两次，把第一次转动停止后指针指向的数字记作x ，把第二次转动停止后指针指向的数字的2倍记作y ，以长度分别为x 、y 、5的三条线段能构成三角形的概率为__________．【答案】49【解析】列表可得因此，点(),A x y 的个数共有9个；则x 、y 、5的三条线段能构成三角形的有4组，可得49P =．随练2、在不透明的口袋中，有五个形状、大小、质地完全相同的小球，五个小球分别标有数字2-、1-、0、2、3，现从口袋中任取一个小球，并将该小球上的数字作为点C 的横坐标，然后放回摇匀，再从口袋中人去一个小球，并将该小球上的数字作为点C 的纵坐标，则点C 恰好与点A （2-，2）、B （3，2）构成直角三角形的概率是_________．【答案】25【解析】画树状图如下：共有25种情况，当点C的坐标为（2-，2-）、（2-，1-）、（2-，0）、（2-，3）、（1-，0）、（2，0）、（3，2-）、（3，1-）、（3，0）、（3，3）共10种情况时，构成直角三角形，P（直角三角形）102 255 ==．用频率估计概率例题1、在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（）A.频率就是概率B.频率与试验次数无关C.概率是随机的，与频率无关D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率【答案】D【解析】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率．根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答．∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率，∴D选项说法正确．故选：D．例题2、某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率，结果如下表所示：40075015003500700090003696621335320363358073根据表中数据，估计这种幼树移植活率的概率为__________（精确到0.1）．【答案】0.9【解析】(0.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902)70.9x=++++++÷≈例题3、在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20只，某学习小组做摸球模拟.将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据摸球次数（n）100150200500摸到白球次数（m）5896116295摸到白球的频率（0.580.640.580.59（1）请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近_________（精确到0.1）．（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是_________，摸到黑球的概率是_________．（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．【答案】（1）0.6；（2）35；25；（3）黑球8个，白球12个．【解析】（1）根据题意可得当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.6．（2）由（1）可得，摸到白球的概率是35，摸到黑球的概率是25；（3）由（2）可得，口袋中白球的个数320125=⨯=个；黑球的个数22085=⨯=个．随练1、如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为（精确到0.1）．【答案】0.5【解析】由题意得，这名球员投篮的次数为1550次，投中的次数为796，故这名球员投篮一次，投中的概率约为：7961550≈0.5．随练2、某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：（1）计算并完成表格：的次数n 100150200500800”的次数m 68111136345564的频率m（2）请估计，当n 很大时，频率将会接近多少？（3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？（4）在该转盘中，表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是多少？（精确到1）【答案】（1）见解析；（2）0.7；（3）0.7；（4）252 【解析】（1）的次数n 100150200500800”的次数68111136345564的频（2）当n 很大时，频率将会接近681111363455647010.71001502005008001000+++++=+++++（3）获得铅笔的概率约是0.7（4）扇形的圆心角约是0.7360252⨯=拓展1、一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（）A.4 9B.13C.16D.19【答案】D【解析】列表得：黑白白黑（黑，黑）（黑，白）（黑，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）∵共9种等可能的结果，两次都是黑色的情况有1种，∴两次摸出的球都是黑球的概率为1 9．2、在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示的正整数后，背面向上，洗匀放好．（1）我们知道，满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，嘉嘉从中随机抽取一张，求抽到的卡片上的数是勾股数的概率P1；（2）琪琪从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张（卡片用A，B，C，D表示）．请用列表或画树形图的方法求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率P2，并指出她与嘉嘉抽到勾股数的可能性一样吗？【答案】（1）嘉嘉抽取一张卡片上的数是勾股数的概率P1=3 4（2）淇淇与嘉嘉抽到勾股数的可能性不一样【解析】（1）嘉嘉随机抽取一张卡片共出现4种等可能结果，其中抽到的卡片上的数是勾股数的结果有3种，所以嘉嘉抽取一张卡片上的数是勾股数的概率P1=3 4；（2）列表法：由列表可知，两次抽取卡片的所有可能出现的结果有12种，其中抽到的两张卡片上的数都是勾股数的有6种，∴P2=612=12，∵P1=34，P2=12，P1≠P2∴淇淇与嘉嘉抽到勾股数的可能性不一样．3、从﹣4、3、5这三个数中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的方程x2+4x+a=0有解，且使关于x的一次函数y=2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4的概率____．【答案】13【解析】由关于x 的一次函数y=2x+a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形面积恰好为4，可求得a 的值，由关于x 的方程x 2+4x+a=0有解，可求得a 的取值范围，继而求得答案．∵一次函数y=2x+a 与x 轴、y 轴的交点分别为：（﹣2a，0），（0，a ），∴|﹣2a|×|a|×12=4，解得：a=±4，∵当△=16﹣4a ≥0，即a ≤4时，关于x 的方程x 2+4x+a=0有解，∴使关于x 的方程x 2+4x+a=0有解，且使关于x 的一次函数y=2x+a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形面积恰好为4的概率为：13．故答案为：134、王红和刘芳两人在玩转盘游戏，如图，把转盘甲、乙分别分成3等份，并在每一份内标上数字，游戏规则是：转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为7时，王红胜；数字之和为8时，刘芳胜．那么这二人中获胜可能性较大的是__________．【答案】王红【解析】共9种情况，和为7的情况数有3种，王红获胜的概率为39；和为8的情况数有2种，刘芳获胜的概率为29； 王红获胜的可能性较大．5、在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20只，某学习小组做摸球模拟.将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据摸球次数（n ）100150200500摸到白球次数（m ）5896116295摸到白球的频率（0.580.640.580.59（1）请你估计，当n 很大时，摸到白球的频率将会接近_________（精确到0.1）．（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是_________，摸到黑球的概率是_________．（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．【答案】（1）0.6；（2）35；25；（3）黑球8个，白球12个．【解析】（1）根据题意可得当\(n\)很大时，摸到白球的概率将会接近\(0.6\)．（2）由（1）可得，摸到白球的概率是\(\frac{3}{5}\)，摸到黑球的概率是\(\frac{2}{5}\)；（3）由（2）可得，口袋中白球的个数\(=20\times \frac{3}{5}=12\)个；黑球的个数\(=20\times \frac{2}{5}=8\)个．6、在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2，；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；（2）求点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率；（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．【解析】（1）画树状图：共有9种等可能的结果数，它们是：（0，﹣1），（0，﹣2），（0，0），（1，﹣1），（1，﹣2），（1，0），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，0）；（2）在直线y=﹣x+1的图象上的点有：（1，0），（2，﹣1），所以点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率=；（3）在⊙O上的点有（0，﹣2），（2，0），在⊙O外的点有（1，﹣2），（2，﹣1），（2，﹣2），所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的点有5个，所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率=．。
概率知识点1 树状图（或列表法）的使用对于简单的概率类题型我们可以通过列举法，计算事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率，但是对于可能情况较多的事件，我们可以通过用树状图或列表法来解决树状图法：①分层.分清事件发生的层次，哪些情况是第一层（第一次）发生的，哪些是第二层（第二次）发生的；②根据分层用树状图把每一层（每一次）表示出来，然后计算事件发生的概率；列表法：将前后两次发生的事件在表格中全部表达出来，在其中计算事件发生的次数，进而计算频率.例1.一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为例2.在某电视台的一档选秀节目中，有三位评委，每位评委在选手完成才艺表演后，出示“通过”(用√表示)或“淘汰”(用×表示)的评定结果.节目组规定：每位选手至少获得两位评委的“通过”才能晋级.(1)请用树形图列举出选手A 获得三位评委评定的各种可能的结果；(2)求选手A 晋级的概率.21=63【解析】（1）树状图如图所示，选手一共有8种等可能的结果，分别为(√,√,√)、(√,√,×)、(√,×,√)、(√,×,×)、(×,√,√)、(×,√,×)、(×,×,√)、(×,×,×). 开始（2）由（1）得选手A 的结果共有8种等可能情况，其中晋级的情况有4种，故其概率为41=82例 3.在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3，，．（卡片除了实数不同外，其余均相同）（1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是无理数的概率；（2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；卡片不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或树状图的方法列出所有等可能的结果，并求出两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率．【解析】（1）∵在一个不透明的盒子中放有三张卡片,每张卡片上写有一个实数,分别为3，，∴从盒子中随机抽取一张卡片,卡片上的实数是无理数的概率是：23（2）画树状图得：∵共有6种等可能的结果，两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的有2种情况， ∴两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率为： 例4.将五张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、等腰梯形、正六边形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张卡片，图形一定是中心对称图形的概率是（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45例5.如图，管中放置着三根同样的绳子AA 1,BB 1,CC 1;(1)小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA 1的概率是多少？(2)小明先从左端A 、B 、C 三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A 1、B 1、C 1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连结成一根长绳的概率．例6.如图，转盘中8个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向大于6的数的概率为 ．例7.在一个不透明的口袋里装有四个分别标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小等完全相同.小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为x ；小红在剩下有三个小球中随机取出一个小球，记下数字y.（1）计算由x 、y 确定的点（x ，y ）在函数6y x =-+图象上的概率；（2）小明、小红约定做一个游戏，其规则是：若x 、y 满足xy>6，则小明胜；若x 、y 满足xy<6,则小红胜.这个游戏规则公平吗?说明理由;若不公平,怎样修改游戏规则才对双方公平?例8.如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（若指针指在分界线时重转）．（1）请你用树状图或列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果；（2）求每次游戏结束得到的一组数恰好是方程x 2-3x+2=0的解的概率．。
