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EM算法种参数估计的方法一种参数估计的方法提纲⏹高斯混合模型⏹EM 算法的思想⏹EM 算法的应用⏹总结⏹参考文献高斯混合模型⏹混合模型(Mixed Model)：其中，满足即混合模型由K 个成分组成，每个成分即合模个成分成每个成分的权重为⏹若混合模型中每个成分为高斯分布，则为高斯混合模型(Gaussian Mixture Model)()GMM 的例子⏹例1：一个班级每个学生的身高为假设男生和女生的身高分别服从高斯分布则其中为男生的比例，⏹问题：给定独立同分布(independent and identically (p ydistributed----IID)的数据，求参数),,,,,(222111σμασμα⏹混合模型的参数估计是EM(Expectation Maximization)算法最典型的应用GMM的例子例2：分布的随机数的直方图n = 10000;z = zeros(1,n);pw1 = 0.6;)1,3,4.0,2,2,6.0(),,,,,(222111-=σμασμαu1 = -2;std1 = 2;pw2=04;pw2 = 0.4;u2 = 3;std2 = 1;y1 = randn(1,floor(n*pw1))*std1 + u1;y2 = randn(1,floor(n*pw2))*std2 + u2;z(1,1:floor(n*pw1)) =y1;z(1,(floor(n*pw1)+1):n) = y2;提纲⏹高斯混合模型⏹EM 算法的思想⏹EM 算法的应用⏹总结⏹参考文献极大似然估计与EM 算法的关系⏹计算极大似然估计(maximum likelihood MLE)需要求似然函数的极值estimate ,MLE)，需要求似然函数的极值o解析法:如求正态分布均值和方差的MLEo值计算：如高斯混合模型EM 算法()极大似然估计(MLE)⏹独立同分布(IID)的数据),,,(21n X X X Λ=X 其概率密度函数为)|(θx f n似然函数定义为log 似然函数定义为∏==X =X i iX f f L 1)|()|()|(θθθ)|(log )|(X =X θθL l ^⏹的极大似然估计为θθθθ)|(max arg X =L θθ)|(max arg X =l完整数据⏹观测数据：观测到的随机变量的IID 样X 本),,,(21n X X X Λ=X ⏹缺失数据：未观测到的随机变量的值Y ),,,(21n Y Y Y Λ=Y 在GMM 中，若来自第k 个成分，则i X k Y i =⏹完整数据：包含观测到的随机变量和未观测到的随机变量的数据，X Y ),(Y X =Z ))),(,),,((11n n Y X Y X K =Z完整似然函数若隐含变量的值已知，得),,,(21n Y Y Y Λ=Y 到完整数据的log 似然函数为：log θθL l Y X =Y X )|,(log),|(g ),|(θniiY X f ∏=)|,(log 1θiink Y X f ∑==))|(),|(log(1θθiiini Y f Y X f ∑==1i =iEM—Expectation ⏹观测数据X 已知，参数的当前值已知，在完整似然函数中缺失数据)tθ在完整似然函数中，缺失数据(隐含变量) Y 未知，完整log 似然函数对Y 求期望。
EM算法对不完全数据下指数分布的参数预估一、引言EM算法（Expectation-Maximization Algorithm）是一种常用的参数预估方法，它常用于具有隐变量或不完全数据的统计问题。
指数分布是概率密度函数形式简易而广泛应用的一种分布，它具有指数递减的特点，在各种领域都有重要的应用，如生物学、经济学、物理学等。
本文将介绍EM算法在不完全数据下预估指数分布的参数的过程及其应用。
二、EM算法概述EM算法是一个迭代的优化算法，它通过两个步骤交替进行，分别是E步和M步。
在E步，通过已知的观测数据和参数的初始值，计算隐变量的后验分布期望值。
在M步，通过最大化E 步计算得到的隐变量的期望值来更新参数的预估值。
如此迭代进行，直到收敛得到最优的参数预估值。
三、不完全数据下的指数分布不完全数据指的是在观测数据中存在着缺失值或隐变量。
在指数分布中，缺失值可能是由于试验数据采集的限制，或是由于缺失变量难以观测到所导致的。
在不完全数据下，我们无法直接使用观测数据进行参数预估，需要利用EM算法进行预估。
四、EM算法在指数分布中的应用假设我们的观测数据是来自指数分布的随机变量，但其中有一部分数据是缺失的。
我们想通过观测到的数据来预估指数分布的参数λ。
其中，λ是指数分布的一个参数，它代表了指数分布的一个特征，即指数递减的速度。
起首，我们初始化λ的初始值，在E步中，我们通过已知的观测数据计算出隐变量的后验分布期望值。
依据指数分布的概率密度函数，我们可以得到隐变量对应的完全数据的似然函数。
对于缺失的数据，我们使用观测到的数据的似然函数的积分来近似计算。
这样，我们可以得到E步的值。
接下来，在M步中，我们通过最大化E步计算得到的隐变量的期望值来更新参数λ的预估值。
详尽地，我们求解似然函数对λ的偏导数，并令其等于0，从而得到λ的最优预估值。
然后，我们使用这个最优预估值作为新的λ值，继续进行下一轮的迭代。
我们不息地重复进行E步和M步，直到迭代收敛，表示已得到λ的最优预估值。
最大期望值EM算法最大期望值(Expectation-Maximization, EM)算法是一种统计学习方法，用于解决带有隐变量的概率模型参数估计问题。
EM算法的主要思想是通过迭代求解局部最优解，并且能够保证每次迭代过程中目标函数值不减。
EM算法广泛应用于数据挖掘、图像处理、自然语言处理等领域，在金融、医学和社会科学等领域也有许多实际应用。
本文将对EM算法的基本原理、迭代过程、理论基础和应用进行详细介绍。
一、基本原理EM算法是一种迭代算法，包含两个步骤：E步和M步。
其中，E步是求期望(expectation)的过程，用于更新隐变量对观测数据的条件概率分布；M步是求最大化(maximization)的过程，用于更新模型的参数。
通过不断交替进行E步和M步，直到收敛为止，即可得到最优的参数估计。
二、迭代过程1.初始化参数：随机给定模型参数的初始值。
2.E步：根据当前参数估计，计算隐变量对观测数据的条件概率分布。
3.M步：根据当前隐变量的条件概率分布，最大化观测数据的对数似然函数，更新模型的参数估计。
4.计算目标函数值：根据当前参数估计，计算目标函数的值。
5.判断是否满足停止条件：如果满足停止条件，则算法结束；否则，返回第2步。
三、理论基础EM算法基于两个基本定理：数据的似然函数下界和KL散度的非负性。
1.数据的似然函数下界：对于给定的观测数据，EM算法通过求解数据的似然函数的下界来进行参数估计。
这个下界是通过引入隐变量来扩展数据模型得到的，因此可以利用EM算法求解。
2.KL散度的非负性：KL散度是衡量两个概率分布之间的差异程度的指标。
在EM算法中，通过最大化观测数据的对数似然函数来更新模型的参数，相当于最小化KL散度。
四、应用领域EM算法在许多领域都有广泛的应用。
以下是一些典型的应用实例：1.聚类分析：EM算法可以用于高斯混合模型的参数估计，从而实现聚类分析。
2.隐马尔可夫模型(HMM)：EM算法可以用于HMM模型参数的估计，应用于自然语言处理、语音识别等领域。
概率图模型⽹络参数学习—含隐变量的参数估计（EM算法）概率图模型学习问题图模型的学习可以分为两部分：⼀是⽹络结构学习，即寻找最优的⽹络结构。
⽹络结构学习⼀般⽐较困难，⼀般是由领域专家来构建。
⼆是⽹络参数估计，即已知⽹络结构，估计每个条件概率分布的参数。
不含隐变量的参数估计如果图模型中不包含隐变量，即所有变量都是可观测的，那么⽹络参数⼀般可以直接通过最⼤似然来进⾏估计。
含隐变量的参数估计如果图模型中包含隐变量，即有部分变量是不可观测的，就需要⽤ EM算法进⾏参数估计。
带隐变量的贝叶斯⽹络。
图中的矩形表⽰其中的变量重复 N 次。
EM 算法EM 算法是含隐变量图模型的常⽤参数估计⽅法，通过迭代的⽅法来最⼤化边际似然。
EM算法具体分为两个步骤： E步和 M步。
这两步不断重复，直到收敛到某个局部最优解。
EM算法的应⽤例⼦：⾼斯混合模型。
⾼斯混合模型（Gaussian Mixture Model， GMM）是由多个⾼斯分布组成的模型，其密度函数为多个⾼斯密度函数的加权组合。
在⼀个包含隐变量的图模型中，令 X定义可观测变量集合，令 Z定义隐变量集合，⼀个样本 x的边际似然函数（marginal likelihood）为边际似然也称为证据（evidence）。
给定 N 个训练样本D = {x(i)}, 1 ≤ i ≤ N，其训练集的对数边际似然为通过最⼤化整个训练集的对数边际似然L(D|θ)，可以估计出最优的参数θ∗。
然⽽计算边际似然函数时涉及 p(x)的推断问题，需要在对数函数的内部进⾏求和（或积分）。
这样，当计算参数θ的梯度时，这个求和操作依然存在。
除⾮p(x, z|θ)的形式⾮常简单，否则这个求和难以直接计算。
因此，含有隐变量时，直接进⾏最⼤似然估计⾏不通（如何计算log p(x|θ)成为关键）。
为了计算log p(x|θ)，我们引⼊⼀个额外的变分函数 q(z)， q(z)为定义在隐变量 Z上的分布。
样本 x的对数边际似然函数改写为Jensen不等式：即对于凸函数 g，有g (E[X]) ≤ E [g(X)]。
统计学习中的EM算法EM算法是一种常用的统计学习方法，它可以用于估计未知参数，特别是那些需要通过观察到的数据加以估计的复杂模型。
本文将介绍EM算法的基本原理、应用场景以及优缺点。
一、基本原理EM算法（Expectation Maximization）相当于是用一种迭代的方式，在“期望”（Expectation）和“最大化”（Maximization）之间进行交替，来求解模型参数的一种方法。
EM算法的基本思想是：在训练数据样本中，往往存在隐含变量，而且无法直接观测到。
我们需要发掘这些隐含变量的概率分布，从而求解最优的模型参数。
具体来说，EM算法的步骤如下：首先，选择一个初始化的参数值；然后，使用这些参数值来计算隐含变量的概率分布；接下来，根据这些概率分布来重新估计参数的值；不断重复以上三个步骤，直到收敛，得到最优的模型参数值。
EM算法通过迭代来求解未知的参数值，对于一些需要最大化其似然函数的模型，EM算法可以找到使得似然函数最大的参数值。
最常见的应用场景是在高斯混合模型（GMM）以及隐马尔可夫模型（HMM）中。
二、应用场景1、高斯混合模型高斯混合模型是一种将多个高斯分布加权叠加的模型，它常被用于描述复杂数据的分布情况。
举个例子，在股票市场上，可以将不同的股票价格看成不同的高斯分布，然后用高斯混合模型来描述整个市场的波动情况。
在这种情况下，EM算法可以用来估计每个高斯分布的权重、均值和方差。
2、隐马尔可夫模型隐马尔可夫模型是一种包含隐含状态的动态变化模型。
它常被用于语音识别、自然语言处理、图像处理等领域。
在隐马尔可夫模型中，我们需要估计各个状态转移概率以及各个隐含状态下的观测值概率分布。
EM算法可以用来求解这些参数值。
三、优缺点1、优点EM算法可以用来处理包含隐含变量的模型，在实际应用中非常普遍。
EM算法可以求解似然函数的最大值或者后验概率的最大值。
这样，在目标函数为凸函数的情况下，EM算法可以获得全局最优解。
最大期望算法（Expectation-Maximization algorithm, EM），或Dempster-Laird-Rubin算法，是一类通过迭代进行极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）的优化算法，通常作为牛顿迭代法（Newton-Raphson method）的替代用于对包含隐变量（latent variable）或缺失数据（incomplete-data）的概率模型进行参数估计。
EM算法的标准计算框架由E步（Expectation-step）和M步（Maximization step）交替组成，算法的收敛性可以确保迭代至少逼近局部极大值。
EM算法是MM算法（Minorize-Maximization algorithm）的特例之一，有多个改进版本，包括使用了贝叶斯推断的EM算法、EM梯度算法、广义EM算法等。
由于迭代规则容易实现并可以灵活考虑隐变量，EM算法被广泛应用于处理数据的缺测值，以及很多机器学习（machine learning）算法，包括高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM）和隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model, HMM）的参数估计。
EM算法是一种迭代优化策略，由于它的计算方法中每一次迭代都分两步，其中一个为期望步（E步），另一个为极大步（M步），所以算法被称为EM算法（Expectation-Maximization Algorithm）。
EM算法受到缺失思想影响，最初是为了解决数据缺失情况下的参数估计问题，其算法基础和收敛有效性等问题在Dempster、Laird和Rubin三人于1977年所做的文章《Maximum likelihood from incomplete data via the EM algorithm》中给出了详细的阐述。
其基本思想是：首先根据己经给出的观测数据，估计出模型参数的值；然后再依据上一步估计出的参数值估计缺失数据的值，再根据估计出的缺失数据加上之前己经观测到的数据重新再对参数值进行估计，然后反复迭代，直至最后收敛，迭代结束。
EM 算法解析EM 算法为一种无监督的参数估计的方法，此方法能够从未知样本的类别号的情况下估计出模型的参数类别。
一般我们估计样本集的模型参数需要首先知道样本集中样本的标签类别，即知道哪个样本属于哪种模型，首先从有监督的参数估计入手，其中由于最大似然估计简单有效，因此我们从最大似然函数入手，还有一个原因就是EM 算法最后也会用到最大似然估计。
先假设有样本集X ，其中X 中的样本只由一种随机变量的统计模型产生，设样本集X 种的样本都独立，且其设概率密度函数为p(x)，则最大似然估计就是求下面的最大值1()()Nj j L p x θ==∏对上式转换到对数函数中，则有1ln(())ln(())Nj j L p x θ==∑求解最大就是令导数为0，即1ln(())ln(())0N jj p x L θθθ=∂∂==∂∂∑即这里知道j x 都是为一种符合同分布的随机变量。
对于X 集中每一个样本来至两种分布的随机变量问题，如果每一个样本x 都知道了标签类型，那么可以将相同类别的样本从X 集中选择出来，然后各个类进行单独参数估计。
但实际情况是：很多时候我们不知道样本的类别号，这样的话该怎么办呢？当然，我们可以随机选择数据了，即将X 集合随机分成两部分12X X X =⋃，其中用X1来估算模型1的参数，用X2来估计模型2的参数。
这样做是不是不可思议，是的，这造成估计出来的参数十分的不可靠。
那么下面来看一下EM 算法是怎么做的：假设样本集X 和模型数量J ，问题为样本集中的样本是由J 个随机变量分布模型产生的，但是哪个样本由哪种分布模型产生是未知的。
即每一个样本由如下混合的模型产生 1()(|;)()Jk k k p x p x w P w θ==∑ 其中(|;)k p x w θ为x 在模型类别k w 下的概率密度函数，()k P w 为类别k w 的先验概率。
在这个问题中我们只能假设(|;)k p x w θ模型类型（即高斯模型或均匀分布模型等），这个可以已知，但是我们要解决的还有参数θ及()k P w 。
混合正态分布参数极大似然估计的em算法混合正态分布的参数极大似然估计可以使用EM算法进行求解。
EM算法是一种迭代算法，用于在参数不确定的概率模型中进行最大似然估计。
在混合正态分布中，假设有k个分组，每个分组都是一个正态分布。
则混合正态分布的密度函数可以表示为：$f(x) = \sum_{i=1}^k w_i \cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_i^2}}\exp(-\frac{(x-\mu_i)^2}{2\sigma_i^2})$其中$w_i$表示第$i$个分组的权重，$\mu_i$表示第$i$个分组的均值，$\sigma_i$表示第$i$个分组的标准差。
EM算法的步骤如下：（1）初始化参数$w_i$，$\mu_i$和$\sigma_i$；（2）E步：计算样本属于每个分组的后验概率，即$\gamma_{ij} = \frac{w_i \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_i^2}}\exp(-\frac{(x_j-\mu_i)^2}{2\sigma_i^2})}{\sum_{l=1}^k w_l \cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_l^2}}\exp(-\frac{(x_j-\mu_l)^2}{2\sigma_l^2})}$，其中$x_j$表示第$j$个样本；（3）M步：根据$\gamma_{ij}$重新估计参数$w_i$，$\mu_i$和$\sigma_i$，即：$w_i = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n \gamma_{ij}$$\mu_i = \frac{\sum_{j=1}^n \gamma_{ij}x_j}{\sum_{j=1}^n \gamma_{ij}}$$\sigma_i^2 = \frac{\sum_{j=1}^n \gamma_{ij}(x_j-\mu_i)^2}{\sum_{j=1}^n \gamma_{ij}}$（4）计算似然函数的值$L(\theta)$，如果收敛则停止，否则返回步骤（2）继续迭代。
em算法是指期望最大化算法（期望最大化算法，也翻译为期望最大化算法），是一种迭代算法，用于包含潜在变量概率估计的概率参数模型的最大似然估计或最大后验。
在统计计算中，最大期望(EM)算法是在概率(probabilistic)模型中寻找参数最大似然估计或者最大后验估计的算法，其中概率模型依赖于无法观测的隐藏变量(Latent Variable)。
最大期望经常用在机器学习和计算机视觉的数据聚类(Data Clustering)领域。
最大期望算法经过两个步骤交替进行计算:第一步是计算期望(E)，利用概率模型参数的现有估计值，计算隐藏变量的期望;第二步是最大化(M)，利用E 步上求得的隐藏变量的期望，对参数模型进行最大似然估计。
M 步上找到的参数估计值被用于下一个E 步计算中，这个过程不断交替进行。
总体来说，EM的算法流程如下:1.初始化分布参数2.重复直到收敛:E步骤:估计未知参数的期望值，给出当前的参数估计。
M步骤:重新估计分布参数，以使得数据的似然性最大，给出未知变量的期望估计。
迭代使用EM步骤，直至收敛。
可以有一些比较形象的比喻说法把这个算法讲清楚。
比如说食堂的大师傅炒了一份菜，要等分成两份给两个人吃，显然没有必要拿来天平一点一点的精确的去称分量，最简单的办法是先随意的把菜分到两个碗中，然后观察是否一样多，把比较多的那一份取出一点放到另一个碗中，这个过程一直迭代地执行下去，直到大家看不出两个碗所容纳的菜有什么分量上的不同为止。
EM算法就是这样，假设我们估计知道A和B两个参数，在开始状态下二者都是未知的，并且知道了A的信息就可以得到B的信息，反过来知道了B也就得到了A。
可以考虑首先赋予A某种初值，以此得到B的估计值，然后从B的当前值出发，重新估计A的取值，这个过程一直持续到收敛为止。
EM 算法是Dempster，Laind，Rubin 于1977 年提出的求参数极大似然估计的一种方法，它可以从非完整数据集中对参数进行MLE 估计，是一种非常简单实用的学习算法。
