参数估计方法及其应用

它们的观察值 x1 , x 2 , L , x n 称为样本值 , 又称为 X 的 n 个独立的观察值 .
3.简单随机样本的分布
设( X 1 , X 2 ,L , X n )为来自总体 X的样本 . (1)若总体 X的分布函数为 F ( x ), 则样本( X 1 , X 2 ,L , X n ) 的分布函数为 ∏ F ( x i ).
常用统计量的分布(三)
F分布
设 U ~ χ 2 ( n1 ), V ~ χ 2 ( n2 ), 且U , V 独立, U / n1 则称随机变量 F = 服从自由度为 ( n1 , n2 ) V / n2 的 F 分布, 记为 F ~ F ( n1 , n2 ).
常用统计量的分布的分位点1
χ 2 分布的分位点
总体
研究某批灯泡的质量
总体
…
考察国产 轿车的质量
然而在统计研究中, 然而在统计研究中,人们往往关心每个个体 或几项)数量指标和该数量指标在总 的一项 (或几项 数量指标和该数量指标在总 或几项 体中的分布情况. 这时, 体中的分布情况 这时,每个个体具有的数 量指标的全体就是总体 总体. 量指标的全体就是总体
1 n k 其观察值 a k = ∑ x i , k = 1, 2, L . n i =1
1 n Bk = ∑ ( X i X )k , k = 2, 3, L ; n i =1 1 n bk = ∑ ( x i x ) k , k = 2, 3, L . 其观察值 n i =1
样本矩具有下列性质:
定理二 设 X 1 , X 2 , L, X n 是总体 N ( , σ 2 ) 的样本 ,
X,S (1)
*2 n
分别是样本均值和修正 样本方差 , 则有
(n 1) S
σ
*2 n
2
~ χ (n 1); (2) X 与 S
2
*2 n
独立.
关于正态总体的样本和方差的定理
定理三 设 X 1 , X 2 , L , X n 是总体 N ( , σ ) 的
研究某批灯泡的寿命时, 如:研究某批灯泡的寿命时,我们关心的数量指 研究某批灯泡的寿命时 标就是寿命,那么, 标就是寿命,那么,此总体就可以用随机变量 X表示,或用其分布函数 表示, 表示. 表示 或用其分布函数F(x)表示 表示
二,随机样本的定义
1. 样本的定义 为推断总体的分布及各种特征,按一定的 规则从总体中抽取若干个体进行观察试验,以 获得有关总体的信息.这一抽取过程称为"抽 所 样本.通常记为 样本 样". 抽取的部分个体称为样本 (X1, X2, …, Xn) 样本容量. 样本中所包含的个体数目n称为样本容量 样本容量
参数估计方法及其应用
数理统计的基本概念
χ2
常 总体 个体 用 统 计 量 的 分 布 F t
一,总体与个体
一个统计问题总有它明确的研究对象. 一个统计问题总有它明确的研究对象 研究对象的全体称为总体(母体 , 研究对象的全体称为总体 母体), 母体 总体中每个成员称为个体 总体中每个成员称为个体. 个体
i =1 n
例1
设总体 X 服从参数为 λ (λ > 0) 的指数分
布, ( X 1 , X 2 ,L, X n ) 是来自总体的样本 , 求样本 ( X 1 , X 2 ,L, X n ) 的概率密度 .
λe λx , x > 0 解 总体 X 的概率密度为 p ( x) = x≤0 0,
因为 X 1 , X 2 ,L , X n 相互独立 , 且与 X 有相同的分布 ,
χ n2= X 12 + X 22 + L + X n2
服 从 自 由 度 为 n 的 χ 2 分 布 ,记 为
χ n 2 ~ χ 2 ( n ).
常用统计量的分布(二)
t 分布
设 X ~ N (0, 1), Y ~ χ 2 ( n), 且 X , Y 独立, X 则称随机变量 t = 服从自由度为 n 的 t Y /n 分布, 记为 t ~ t ( n).
1 2 2 2 T6 = 2 ( X 1 + X 2 + X 3 ). σ
不是
是
2. 几个常用统计量(样本矩)的定义
设 X 1 , X 2 ,L , X n 是来自总体的一个样本 , x1 , x 2 ,L , x n 是这一样本的观察值 . 它反映了总体均值 1 n 的信息 (1)样本平均值 样本平均值 X = ∑ Xi; n i =1 1 n 其观察值 x = ∑ x i . 它反映了总体方差 n i =1
其观察值
1 n 1 n 2 *2 2 2 sn = ∑ ( xi x ) = n 1 ∑ xi nx . n 1 i =1 i =1
1 n k Ak = ∑ X i , k = 1, 2, L ; n i =1
(5) 样本 k 阶(原点 矩 原点)矩 原点
(6)样本 k 阶中心矩 样本
设总体X的期望E ( X ) = , 方差D( X ) = σ 2 , ( X 1 , X 2 ,L , X n )为来自总体X的样本, 则有 : (1) E ( X ) = ; (2) D( X ) = σ ;
1 n 2 2 (3) E ( S n ) = *2 n n 1 n
σ 2;
2
(4) E ( S ) = σ .
i =1 n
( 2)若总体 X的分布密度为 p( x ), 则样本( X 1 , X 2 ,L , X n ) 的分布密度为 ∏ p( x i ).
i =1 n
( 3)若总体 X的分布率为 P{ X = x i* } = p( x i* )( i = 1,2,L), 则样本( X 1 , X 2 ,L , X n )的分布率为 ∏ p( x i ).
其中 x1 , x2 , L, xn 在集合 {0,1} 中取值 .
三,统计量
使用样本推断总体特征,需要对样本值进行 使用样本推断总体特征 需要对样本值进行 "加 提炼" 这就需要构造一些样本的函数,它把样 工","提炼".这就需要构造一些样本的函数 它把样 提炼 这就需要构造一些样本的函数 本中所含的信息集中起来. 本中所含的信息集中起来 1. 统计量的定义
0, x < x(1) , k Fn( x) = , x(k) ≤ x < x(k+1) , n 1, x ≥ x(n) .
四,常见分布
常用统计量的分布(一 常用统计量的分布 一) χ 2分布
设 X 1 , X 2 ,L , X n 相 互 独 立 , 同 服 从 N (0, 1) 分 布 ,则 称 统 计 量
( X 1 , X 2 , L , X n )是来自总体的样本 , 求样本 ( X 1 , X 2 , L , X n ) 的分布律 .
解 总体 X 的分布律为
P { X = i } = p i (1 p )1 i
( i = 0, 1)
因为 X 1 , X 2 ,L , X n相互独立 ,
且与 X 有相同的分布 ,
2
样本 , 其中 为已知 , σ 2 为未知 , 判断下列各式哪 些是统计量 , 哪些不是 ? T1 = X 1 , T2 = X 1 + X 2e X 3 , 1 T3 = ( X 1 + X 2 + X 3 ), T5 = X 1 + X 2 2 , 3 T4 = max( X 1 , X 2 , X 3 ),
满足上述两条性质的样本称为简单随机样本. 简单随机样本. 简单随机样本
定义1 定义1设 X 是 以 F ( x ) 分 布 函 数 的 随 机 变 量 , 若 X 1 , X 2 , L , X n 是 具 有 同 一 分 布 函 数 F ( x ),
相 互 独 立 的 随 机 变 量 ,则 称 X 1 , X 2 , L , X n 为 从 总 体 X (或 总 体 F ( x ) ) 中 抽 取 的 容 量 为 n 的 简 单 随 机 样 本 ,简 称 样 本 .
(3)样本标准差 样本标准差
1 n 2 2 Sn = Sn = ∑ (X i X ) ; n i =1
其观察值 (4)修正样本方差 修正样本方差 修正
n
Baidu Nhomakorabea
1 n 2 sn = ∑ ( xi x ) . n i =1
1 n 2 2 1 *2 2 = Sn = ∑ ( X i X ) n 1 ∑ X i nX . n 1 i =1 i =1
所以 ( X 1 , X 2 ,L , X n ) 的分布律为
P { X 1 = x1 , X 2 = x2 , L, X n = xn } = P { X 1 = x1 } P{ X 2 = x2 } L P { X n = xn }
= p i =1 (1 p )
∑ xi
n
n
i =1
∑ xi
n
灯泡的寿命 国产轿车每公里 的耗油量
该批灯泡寿命的 全体就是总体
所有国产轿车每公里耗 油量的全体就是总体
总体就是一个概率分布. 由于每个个体的出现带有随机性, 由于每个个体的出现带有随机性,即相 应的数量指标值的出现带有随机性. 应的数量指标值的出现带有随机性.从而可 把此种数量指标看作随机变量, 把此种数量指标看作随机变量,我们用一个 随机变量或其分布来描述总体. 随机变量或其分布来描述总体.为此常用随 机变量的符号或分布的符号来表示总体. 机变量的符号或分布的符号来表示总体.
对于给定的正数 α , 0 < α < 1, 称满足条件 P { χ > χ α ( n)} = ∫
2 2 ∞
2
χα ( n )
f ( y )dy = α
2 的点 χ α ( n) 为 χ 2 ( n) 分布的上 α 分位点.
常用统计量的分布的分位点2
t 分布的分位点
对于给定的 α , 0 < α < 1, 称满足条件 P {t > tα ( n)} = ∫
的信息
(2)样本方差 样本方差 1 n 1 n 2 2 2 2 S n = ∑ ( X i X ) = ∑ X i nX . n i =1 n i =1
其观察值
1 n 1 n 2 2 2 2 sn = ∑ ( xi x ) = ∑ xi nx . n i =1 n i =1
∞ tα ( n )
h( t )dt = α
的点 tα ( n) 为 t ( n) 分布的上 α 分位点.
关于正态总体的样本和方差的定理
定理一 设 X 1 , X 2 , L, X n 是来自正态总体 N ( ,σ 2 )
的样本 , X 是样本均值 , 则有 X ~ N ( , σ 2 / n).
所以 ( X 1 , X 2 ,L , X n )的概率密度为 n λ ∑ xi n n pn ( x1 , x2 , L , xn ) = ∏ p ( xi ) = λ e i =1 , x i > 0 i =1 0, 其它
例2
设总体 X 服从两点分布 B (1, p ), 其中0 < p < 1,
2. 简单随机样本
抽取样本的目的是为了利用样本对总体进行统计 推断, 这就要求样本能很好的反映总体的特性, 且 推断 这就要求样本能很好的反映总体的特性 便于处理. 为此, 需对抽样提出一些要求, 便于处理 为此 需对抽样提出一些要求 通常有 两条: 两条
1. 代表性: X1,X2,…, Xn中每一个与所考察的总体 代表性: X有相同的分布 有相同的分布. 有相同的分布 2. 独立性: X1,X2,…, Xn是相互独立的随机变量 独立性: 是相互独立的随机变量.
3. 经验分布函数
设 X 1 , X 2 , L , X n 是总体 X 的一个样本 , ( X (1) , X ( 2 ) , L , X ( n ) ) 为总体 X 的样本 ( X 1 , X 2 , L , X n )
的次序统计量 .
( x (1) , x ( 2 ) , L x ( n ) )为其观测值 , 设 x 是任一实数 , 称函数
统计量的定义
设 X1 , X 2 ,L , X n 是来自总体 X 的一个样本, f ( X1 , X 2 ,L , X n ) 是 X1 , X 2 ,L , X n 的函数, 若 f 中 不含未知参数 , 则称 f ( X1 , X 2 ,L , X n ) 是一个统 计量.
例1
设 X 1 , X 2 , X 3是来自总体 N ( , σ )的一个