邯郸市2011年高三第一次模拟考试

邯郸市2011年高三第一次模拟考试理科数学 2011.3第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1．复数11i+在复平面内的对应点到原点的距离为（ ）A ．12B．2C ．1D ．2．某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人．现用分层抽样的方法抽出一个容量为10的样本，则样本中男生人数比女生人数多（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．函数()21log f x x =+与()12x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）4．已知()()()22010x x f x x x⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，()1fx -是()f x 的反函数，则()127f-的值为（ ）A ．5B ．5±C ．5-D ．1275．记()13nx +的展开式中各项系数和为n a ，各项的二项式系数和为n b ，则l i mn →∞23n n n nb a b a -+等于 （ ）A ．1B ．0C ．1-D ．不存在6．函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量a 平移后所得的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称．则向量a可以为（ ） A ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭ B ． ,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 7．过正方体1111A B C D A B C D -的顶点1A 在空间作直线l ，使l 与平面11B B D D 和直线1B C所成的角都等于4π，则这样的直线l 共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条8．国庆期间，某市准备将人民广场用不同的花卉装扮一个有五个区域的大型花坛（如图所示），要求相邻区域不得使用同种花卉（C 与E 、B 与D 不相邻）．现有4种花卉可供选用，则不同的装扮方案共有（ ）A ．36种B ．72种C ．80种D ．96种9．正四棱柱A B C D A B C D ''''-的各顶点都在球O 的球面上，若1,A B A A '==，则A 、C 两点间的球面距离为（ ）A ．4πB 4C 2D ．2π10．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，20O A A B A C ++= ，且O A A B =，则向量B A在向量B C 方向上的投影为（ ）A ．12B 2C ．12-D ．2-11．已知双曲线1C ：221169xy-=的左准线为l ，左、右焦点为1F 、2F ，抛物线2C 的准线为l ，焦点是2F ，若1C 与2C 的一个交点为P ，则2P F 的值等于（ ）A ．4B ．8C ．30D ．32 12．已知函数()221a f x x a x b xx=++++（x R ∈且0x ≠）．若实数a b 、使得()0fx =有实根，则22a b +的最小值为（ ） A.45B.34C. 1D. 2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．等比数列{}n a 的各项均为正数，前四项之积等于64，那么14a a +的最小值等于 ．14．已知()4,2a =是直线l 的方向向量，直线l 的倾斜角为α，则2c o s 2s i n 21αα=++ ． 15．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，过点P 作圆()2231x y -+=的一条切线，切点为M ，则P M 的取值范围是 ．16．下列命题中：①函数()()2lg f x x m x m =++的值域为R ，则()0,4m ∈； ②若函数()f x 满足()()()111f x f x fx ++=-，则()f x 为周期函数；③函数()2y f x =-与()2y f x =+的图象关于直线2x =对称；④若函数()(2lo g f x x x =++，则“0m n +≥”是“()()0fm fn +≥”的充要条件．其中正确命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为,,a b c ，且222ta n A b c a=+-．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =b c +的取值范围．18．（本小题满分12分）某校4名同学利用假期到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每人只能选择一个社区且选择互不影响．（Ⅰ）求每个社区都有同学选择的概率；（Ⅱ）设随机变量ξ为4名同学中选择甲社区的人数，求ξ的分布列和数学期望.19．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱111-A B C A B C 中，点D 是棱A B 的中点, 1B C =，1A C 与平面A B C 所成的角为3π.（Ⅰ）求证：1//B C 平面1A D C ； （Ⅱ）求二面角1D A C A --的大小.20．（本小题满分12分）已知函数()x f x e m x =-（e 为自然对数的底数），其图象在点()()0,0f 处的切线垂直于y 轴.（Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）设不等式()1f x a x ≥+的解集为P ，且{}02x x P ≤≤⊆，求实数a 的取值范围.21．（本小题满分12分）已知双曲线()22221,0x y a b ab-=>的离心率为2（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线l ：20x m y --=与双曲线相交于,A B 两点，点B 在右准线上的射影为点C ，当m 变化时，试研究直线A C 是否过定点，并写出判断依据．22．（本小题满分12分）已知正项数列{}n b 的前n 项和n S 满足：()2*632n n n S b b n N =++∈，且12b <. Ⅰ）求{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 满足：(1112,12,n n n a a a n b -⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭且)*n N ∈，试比较na与的大小，并证明你的结论.2011邯郸市一模考试理科数学参考答案及评分标准 2011.3.19一、选择题：DBCAC ABBDA DA12题 解析：（方法一） 方程0)(=x f 即0122=++++b xa xax x ，注意到2)1(1222-+=+xx xx，进行换元，令,1t xx =+则原方程可化为022=-++b at t，其中22-≤≥t t 或。

原方程再化为022=-++tb ta 此时把方程看作关于),(b a 的二元一次方程，即点),(b a 的直线方程。

根据直线上的任一点到原点的距离的最小值为原点到直线的距离可得：122222+-≥+tt b a ，两边平方得1)2(22222+-≥+ttba而619)1(19)1(6)1(1]3)1[(1)2(222222222222-+++=+++-+=+-+=+-tttt ttttt其中512≥+t ， 由函数69)(-+=rr r f 的单调性可知54619)1(22≥-+++tt ，故5422≥+b a 选A（方法二）方程0)(=x f 即0122=++++b xa xax x ，注意到2)1(1222-+=+xx xx，进行换元，令,1t xx =+则原方程可化为022=-++b at t ，其中22-≤≥t t 或。

原问题等价于关于t方程022=-++b at t 在),2()2,(+∞⋃--∞上有解，由函数2)(2-++=b at t t f 的图象和性质知有5种情况：（1） 方程的两根均大于等于2，此时可得⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≥≥++4)2(40222a b a b a ，对照选项只要注意到第三个条件4-≤a ，就知本题答案不在这种情况里.（2） 方程两根均小于等于-2，此时可得⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≥++-4)2(40222a b a b a ，同上对照选项只要注意到第三个条件4≥a ，就知本题答案也不在这种情况里.（3） 方程的两根一个大于等于2，另一个小于等于-2，此时可得⎩⎨⎧≤++≤++-022022b a b a ，由线性规划知识可得点),(b a 所在的区域如图阴影部分所示，对照选项知这种情况里也没有所选答案.（4） 方程有两个根一个大于等于2，另一个大于-2小于2，此时有⎩⎨⎧>++-≤++022022b a b a ，同上点),(b a 所表示的区域为下图，易求原点到直线022=++b a 距离为52，所以22b a +的最小值为54，（5）方程有两个根一个小于等于-2，另一个大于等于-2小于2，此时有⎩⎨⎧≤++->++022022b a b a ，此种情况同上一种.二、填空题: 13.2414.6515.[)+∞,2 16.②④三、解答题：17．解：（Ⅰ）由余弦定理知，Abc a cb cos 2222=-+,∴A A cos 23tan =, ……………………………2分∴23sin =A ， ∵)2,0(π∈A ，∴3π=A. ……………………………4分（Ⅱ）由正弦定理得2sin sin sin ===Cc Bb Aa ,∴Cc B b sin 2,sin 2==∴)32sin(2sin 2sin 2sin 2B B C B c b-+=+=+π)6sin(32cos 3sin 3)sin 21cos 23(2sin 2π+=+=++=B B B B B B…………………………7分232ππ<-=B C ,2π<B,∴26ππ<<B , …………………………8分∴3263πππ<+<B ，∴32)6sin(323≤+<πB ，∴323≤+<c b .∴b +c 的取值范围为(3, …………………………10分18．解：（Ⅰ）设“每个社区都有同学选择”为事件A .每名同学都有3种选择，4名同学的选择共有43种等可能的情况.事件A 所包含的等可能事件的个数为363324=A C ,所以， 94336)(4==A P ,即每个社区都有同学选择的概率为94. …………4分（Ⅱ）设“一名同学选择甲社区”为事件B ,则31)(=B P .4人中选择甲社区的人数ξ可看作4次独立重复试验中事件B 发生的次数，因此，随机变量ξ服从二项分布.ξ可取的值为0，1，2，3，4. ………6分 ()4412()()33i i i P i C ξ-==， 0,1,2,3,4i =.…………8分ξ的分布列为:ξ的期望为()14433E ξ=⨯=． …………12分19．解：（Ⅰ）连结AC 1交A 1C 于点G ，连结DG ，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， 四边形ACC 1A 1是平行四边形， ∴AG =GC 1， ∵AD =DB ，∴DG //BC 1 , ………………2分 ∵DG ⊂平面A 1DC ，BC 1⊄平面A 1DC ，∴BC 1//平面A 1DC . ………………4分 （II ）解法一：易知，ACA31π=∠在1ACA∆中可求31=AA ，……6分过D 作DE ⊥AC 交AC 于E ，过点D 作DF ⊥A 1C 交A 1C 于F ，连结EF .∵平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，DE ⊂平面ABC ， 平面ABC ∩平面ACC 1A 1=AC ， ∴DE ⊥平面ACC 1A 1，∴EF 是DF 在平面ACC 1A1内的射影。