5-1依概率收敛 5-2大数定律 5-3中心极限定理

§5.1依概率收敛 5.2 大数定律
一、大数定律的客观背景
大量的随机现象中平均结果的稳定性
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
……
概率论应用于实际的一个重要原则是所谓“实
际推断原理”，即认为：概率接近于0的事件 （小概率事件）在个别（一次）试验中“实际 上是不可能发生的”；反之认为概率接近于1的 事件（大概率事件），在一次试验中当作是 “实际上必然的”。
2.棣莫佛－拉普拉斯定理
Zn
X k E ( X k ) X k k k 1 k 1 k 1 k 1 D( X k )
k 1 n
n
n
n
n

Bn
近似服从标准正态分布N(0,1)。
225 225
t2
2
225
20 X 270 20 1 P{ } e 2 4 / 3 15 15 225 2 (4 / 3) 1 2 0.908－1 0.816

4/ 3
dt
例2 一家电器同时收到20个噪声电器Vk(k=1,2,…,20), 设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0,10)上 服从均匀分布。记 V Vk
N ( np , np (1 )) .
4.例题 例1 掷一颗骰子1620次，求“六点”出现的次数 X 在250～290之间的概率？ 解 X ~ b(1620, 1 ) 6 D( X ) np (1 p ) 225 E ( X ) np 270
P{250 X 290} P{ 250 270 X 270 290 270}
注意
证明切比雪夫大数定律主要的数学工 具是切比雪夫不等式.
设 随 机 变 量 X 有 期 望 E( X ) , 方 差
D( X ) 2 ,则对于任意的 0 ,
2 P{| X E ( X ) | } 1 2 2 或 P{| X E ( X ) | } 2
第五章 大数定律及中心 极限定理
概述
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性 的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进 行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，要从 随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机 现象.研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由 此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广 泛，其中最重要的有两种: 大数定律与中心极限定理
E ( X k ) , D( X k ) 2 ,( k 1,2,) ,则序列
1 n P Yn X k n k 1
Th2：(伯努利大数定律)
设 nA 是 n次独立重复试验中事件 A 发生的次数, p 是事件 A在每次试验中发生的概率,则对于任意 0 , 有 或
切比雪夫不等式
例1 掷一颗骰子1620次，估计“六点”出现的次数 X在250～290之间的概率？ 解 X ~ b(1620, 1 ) 6
1 E ( X ) np 1620 270 6 1 5 D( X ) np(1 p ) 1620 225
6 6 由切比雪夫(Chebyshev)不等式估计
nA lim P{| p | } 1 n n nA lim P{| p | } 0 n n
说明
定理表明事件发生的频率依概率收敛于
事件的概率。由实际推断原理,在实际应 用中, 当试验次数很大时,可以用事件发生的频率 来代替事件的概率。
Th3: (辛钦大数定律) 设随机变量 X 1 , X 2 ,…, X n 相
k 1 20
求P{V>105}的近似值
解
E(Vk)=5, D(Vk)=100/12 (k=1,2,…,20).
V 20 5 Z 100/ 12 20 100/ 12 20
k 1 k
V
20
20 5
近似服从正态分布N(0,1),
V 20 5 105 20 5 } P{V 105} P{ 100/ 12 20 100/ 12 20
三 小结
1、切比雪夫(Chebyshev)大数定律
用算术平均值作为所研究指标值的近似值。 2. 伯努利大数定律 事件发生的频率依概率收敛于事件的概率 3. 辛钦大数定律 n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算术 平均值的数学期望。
§5.3 中心极限定理
一、中心极限定理的客观背景 二、中心极限定理 三、小结
n
切比雪夫
D( X k ) 2 , ( k 1,2,) , 做前 n 个随机变量的算
1 n lim P{| X k | } 1 n n k 1
说明
（1）此定理也称为切比雪夫大数定律
（2） 在所给的条件下，当n充分大时， n个随机变量的算术平均值与它们的数学期望有 较小的偏差的可能性比较大。可以考虑用算术平 均值作为所研究指标值的近似值。
P {250 X 290} P{| X 270 | 20}
225 1 2 0.4375 20
定义 设Y ,Y ,…,Y ,…是一个随机变量序列， a 是一 1 2 n
个常数。若对于任意正数 ，有 lim P{| Yn a | } 1
n
P a 则称Y1 ,Y2 ,…,Yn ,…依概率收敛于 a ，记为Yn
二、几个常见的大数定律
Th1: 切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情况
设随机变量 X 1 , X 2 ,…, X n 相互独立,且 具有相同的数学期望和方差， E ( X k ) ,
1 n 术平均Yn X k ,则对于任意正数 ，有 n k 1 lim P{| Yn | }
V 100 P{ 0.387} (10 12) 20
V 100 1 P{ 0.387} (10 12) 20
1

0.387
1 2

e

t2
2
dt
1 (0.387) 0.348
所以 P{V 105} 0.348
三 小结
1、独立同分布的中心极限定理
2.棣莫佛－拉普拉斯定理
设随机变量 n 服从参数 n, p (0 p 1) 的 二项分布，则对任意 x ，有
lim P {
n
n np
np(1 p )
x}
x

1 e 2
t2 2
dt ( x )
当 n 很大， 0 p 1是一个定值时
说明
（或者说，np (1 p ) 也不太小时） ， 二项变量 Yn 的分布近似正态分布
当n无限增大时，这个和 的分布是什么？
自从高斯指出测量误差服从正态分布 之后，人们发现，正态分布在自然界中 极为常见.
观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随 机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中 所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从 正态分布.
由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故不 研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的 n n 随机变量 X k E ( X k ) k 1 Z n k 1 n Var ( X k )
k 1
的分布函数的极限. 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于 正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.
二、中心极限定理
1、独立同分布的中心极限定理
设随机变量 X 1 , X 2 ,…, X n 相互独立 , 服从同一分 布 , 且 具 有 相 同 的 数 学 期 望 和 方 差 ， E( X k ) ,
互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望
E ( X k ) ( k 1,2,) ,则对于任意 0 ,有
1 n lim P{| X k | } 1 n n k 1
说明
切比雪夫大数定理是辛钦大数定律的特 殊情况。n个随机变量的算术平均值依概率收敛 于算术平均值的数学期望。
D( X k ) 2 0,( k 1,2,) ,则随机变量
Yk X k E ( X k ) X k n k 1 k 1 k 1 D( X k )
k 1 n n n n

n
的分布函数 Fn ( x )对于任意 x 满足
lim Fn ( x ) lim P{
n n
X k n k 1 n
n
x}
x

1 t22 e dt ( x ) 2
说明
1. 在所给的条件下，当n无穷大时， n
个具有期望和方差的独立同分布的随机
变量之和Yn的分布函数近似服从标准正
态分布为极限分布。 2. 独立同分布随机变量序列的中心极限定理， 也称列维—林德伯格（Levy－Lindberg）定理.
一、中心极限定理的客观背景
在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素 所产生总影响.
例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多 随机因素的影响.
如瞄准时的误差， 空气阻力所产生的误差，
炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 重要的是这些随机因素的总影响. 本节内容 研究独立随机变量之和所特有的规律性问题
.
P P a , Yn b , 又设函数 g ( x , y ) 在 若 Xn P g(a , b) 点( a , b ) 连续，则 g ( X n ,Yn )
由此得到定理1的另一种叙述：
Th1′
设随机变量 X 1 , X 2 ,…, X n 相互独立 , 且具
有 相 同 的 数 学 期 望 和 方 差 ，