概率论概率5大数定律

解: 设Xk为第k次炮击炮弹命中的颗数(k=1,2,…,100),
在100次炮击中炮弹命中的总颗数
100
X = ∑ Xk k =1
相互独立地服从同一分布，
E(Xk)=2, D(Xk)=1.52 (k=1,2,…,100)
随机变量
∑ 1
100 × 1.5
100 k =1
(
X
k
−
2)
=
1 15
(
X
−
200)
2. 伯努利定理 事件发生的频率依概率收敛于事件的概率
3. 辛钦定理 （随机变量序列独立同分布且数学期望存在）
n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算术 平均值的数学期望。
给出了“频率稳定性”的严格数学解释. 提供了通过试验来确定事件概率的方法. 是数理统计中参数估计的重要理论依据之一.
§5.2 中心极限定理
望 E( Xk ) = µ (k = 1,2,"),则对于任意ε > 0,有
∑ lim
n→∞
P {|
1 n
n k =1
Xk
−
µ
|<
ε
}
=
1
说明
伯努利大数定理是辛钦定理的特殊情
况。n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算
术平均值的数学期望。
三 小结
1、切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情况 算术平均值依概率收敛于数学期望
= 1 − P { V − 100 ≤ 0.387 } (10 12 ) 20
∫ 0.387
≈ 1−
1
e − t 2 dt
−∞ 2π
= 1 −Φ (0.387) = 0.348
所以 P{V > 105} ≈ 0.348

加法法则
P ( − Eξ ε ) = ξ ≥
P(ξ ≥ Eξ + ε ) + P (ξ ≤ Eξ − ε )
k
=
≤
k : xk ≥ E +
∑ξ ε p
k
+
k : xk ≤ E −
∑ξ ε p
pk +
k :xk ≥ E +
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
ε
2
k :xk ≤ E −
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
， 方差 Dξ n ( n = 1, 2,L)，且 Dξi < l (i = 1, 2,L) 其中 l 与 i 无关的
1 Eξ = (1 + 2 + 3 + L + 6) 6
35 7 故 Eξ = Dξ = 12 2
4 2 = P (ξ = 5) + P(ξ = 6) + P (ξ = 1) + P (ξ = 2) = = 6 3 7 1 P( − 2 ) = P(ξ ≥ 5.5) + P(ξ ≤ 1.5) = P (ξ = 6) + P (ξ = 1) = ξ ≥
即
lim P ( − p < ε ) = 1 n →∞ n
ξ
此定理表明：当试验在不变的条件下重复进行很多次时， 随机事件的频率 频率在它的概率 概率附近摆动。 频率 概率 由贝努里大数定律可知，若事件A的概率很小很小时，则 它的频率也很小很小，即事件A很少发生或几乎不发生， 这种事件叫小概率事件。反之，若随机事件的概率很接近1， 则可认为在个别试验中这事件几乎一定发生。 同分布的两个或多个随机变量: 同分布的两个或多个随机变量 离散型: 它们的概率分布律相同. 离散型 它们的概率分布律相同 连续型: 它们的概率密度函数相同. 连续型 它们的概率密度函数相同 所以它们的期望与方差一定相同. 所以它们的期望与方差一定相同

Xn ⎯ ⎯→ X 2. 依概率收敛与依分布收敛的关系
依概率收敛 ⇒ 依分布收敛
L
3. 定义：中心极限定理 设随机变量 X ~ N(0,1)，{Xi }，i = 1, 2, … 相互独 立，且数学期望和方差都存在, 若标准化随机变量序列
∑
n
i =1
Xi −
∑ E(X
i =1
n
i
)
∑
n
i =1
D(X i)
所以结论成立。 由此有，若X ~ B( n, p )，对于足够大的n，有 ⎧ m1 − np X − np m2 − np ⎫ ⎪ ⎪ < ≤ P{m1 < X ≤ m2 }= P ⎨ ⎬ np(1 − p) np(1 − p) ⎪ ⎪ np(1 − p) ⎩ ⎭
⎧ Yn − np ⎫ ⎪ ⎪ ≤ x ⎬ = Φ( x ) lim P ⎨ n →∞ ⎪ np(1 − p ) ⎪ ⎩ ⎭
证明：对于任意正整数n，随机变量Yn 可表示为 证明：对于任意正整数n Yn = X1＋ X2＋…＋ Xn X1, X2,…, Xn 相互独立，Xi ~ B( 1, p )，且有 E( Xi ) = p , D( Xi ) = p(1-p) 所以随机变量序列{ Xi }, i =1,2,…满足独立同分布 中心极限定理条件。即有
切比雪夫不等式的应用 1）估计随机变量落在某个区间内的概率 (P125例5.5.2) 2）估计ε的值, 使 P(│X - E(X)│<ε) ≥ a (0<a<1) 3）证明大数定律。
二. 大数定律 定义： 依概率收敛 设{Xn}是一个随机变量序列，X 是一个随机变量 或常数，若对于任意的ε＞ 0，有 lim P{| X n − X |≥ ε } = 0

概率论与数理统计第五章大数定律及中心极限定理课前导读概率论是研究大量试验后呈现出的统计规律性的一门理论。

数学中研究大量的工具是极限。

因此这一章学习概率论中的极限定理。

第一节大数定律随着试验次数的增大，事件的频率逐步稳定到事件的概率。

意味着随着试验次数的增多，在其中一种收敛意义下，频率的极限是概率。

大数定律解释了这一结论。

首先介绍切比雪夫不等式。

一、切比雪夫(Chebyshev)不等式随机变量X的取值总是围绕着其期望变动，若X的分布已知时，可以计算事件\{，X-E(X)，\geq \epsilon \}的概率。

切比雪夫不等式：对切比雪夫不等式的直观理解：方差越小，X在其期望附近取值的密集程度越高，原理期望的区域的概率上加越小。

进一步说明了方差的概率意义，方差时随机变量取值与其中心位置的偏离程度的一种度量指标。

当随机变量X的分布未知时，可由X的观测数据估计得到X的期望和方差，然后使用切比雪夫不等式估计X关于E(X)的偏离程度。

二、依概率收敛随机变量序列即由随机变量构成的一个序列。

不能用类似定义数列极限的方式定义随机变量序列的极限，因为序列中的每一个元素X_n是随机变量，取值不确定，不可能和一个常数c的距离任意小。

只能说一些事件A发生的频率f_n(A)收敛到A的概率P(A)。

依概率收敛的定义：定理2：三、大数定律三个大数定律：切比雪夫大数定律、辛钦大数定律和伯努利大数定律。

注意这三个大数定律的条件有何异同。

定理3 切比雪夫大数定律：若随机变量序列相互不相关，方差存在且一致有上界，当n充分大时，随机序列的前n项的算术平均值和自身的期望充分接近几乎总是发生的。

定理4 相互独立同分布的大数定律（辛钦大数定律）：辛钦大数定律为算术平均值法则提供了理论依据。

伯努利大数定律：伯努利大数定律是相互独立同分布大数定律的特例，限定分布为两点分布。

伯努利大数定律体现了：随着试验次数的增大，事件的频率逐步稳定到时间的概率，这里的稳定即为依概率收敛。