材料力学(赵振伟)应力状态分析

第七章 应力状态分析 强度理论§ 7.1 应力状态概述、工程实例1. 压缩破坏2. 弯曲拉伸破坏3. 弯曲剪切破坏4. 铸铁扭转破坏5. 低碳钢扭转破坏、应力状态的概念1. 点的应力状态过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一点所有方位面上的应力集合。

2. 一点应力状态的描述 以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体 （单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上 的应力可描述一点应力状态。

3. 求一点应力状态（1）单元体三对面的应力已知，单元体平衡 （2）单元体任意部分平衡（3）截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力， 即点在任意方位的应力。

三、应力状态的分类1. 单元体：微小正六面体2. 主平面和主应力： 主平面：无切应力的平面 主应力：作用在主平面上的正应力3. 三种应力状态单项应力状态：三个主应力只有一个不等于零，如 A 、E 点 二向应力状态：三个主应力中有两个不等于零，如 B 、D 点 三向应力状态：三个主应力都不等于零斜向主 拉应力垂直裂缝 斜裂缝四、应力状态分析的方法1. 解析法2. 图解法7.2 应力状态分析的解析法、解析法q图示单元体，已知应力分量x y 、xy 和yx 。

y y（一）任意截面上的正应力和切应力：利用截面法，考虑楔体 bef 部分的平衡。

设 ef 面的面积为 dA ， F n 0 dA ( xy dA cos )sin ( x dA cos )cos ( yx dA sin )cos ( y dAsin )sin 0 F t 0dA ( xy dA cos )cos ( x dAcos )sin ( y dA sin )cos ( yx dAsin )sin 0根据切应力互等定理： xy yx三角函数关系：2 1 cos2 2 1 cos2cos ， sin， sin2 2sin cos22解得：x y x ycos2 xy sin2 (7-1) 2 2xyxysin 2 xy cos2(7-2)二）主应力即主平面位置并令其等于零可确定正应力的极值和所在平面的位置。

第七章应力状态与应变状态分析7–１应力状态的概念一、一点的应力状态：过受力构件内一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态二、为什么要研究应力状态？三、怎样研究应力状态单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。

单元体的性质——a 、每个平面上，应力均布； b 、平行面上，应力相等。

四、普遍状态下的应力表示（图略6）五、剪应力互等定理过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。

yx xy ττ=六、原始单元体（已知单元体）：七、主单元体、主平面、主应力1、主单元体：各侧面上剪应力均为零的单元体。

2、主平面：剪应力为零的截面。

3、主应力：主平面上的正应力。

4、主应力排列规定：按代数值大小，321σσσ≥≥5、三向应力状态：三个主应力都不为零的应力状态。

6、二向应力状态：一个主应力为零的应力状态。

7、单向应力状态：一个主应力不为零的应力状态。

7–2平面应力状态分析——解析法一、任意斜截面上的应力规定：1、σα截面外法线同向为正；2、t a 绕研究对象顺时针转为正；3、a 逆时针为正。

ατασσσσσα2sin 2cos 22xy y x y x --++= ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=二、极值应力yx xyσστα--=22tg 0 和两个极值：）、（20101παα+⎪⎩⎪⎨⎧+-±+=22minmax )2(2xy y x y x τσσσσσσ⎪⎩⎪⎨⎧+-±=22minmax )2(xy y x τσσττ7–3平面应力状态分析——图解法一、应力圆⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--++=ατασστατασσσσσαα2cos 2sin 22sin 2cos 22xy y x xy y x y x 对上述方程消去参数（2α），得：222222xy y x y x τσστσσσαα+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-，此方程曲线为圆—应力圆 二、应力圆的画法1、建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）2、在坐标系内画出点A (σx ，τxy )和B (σy ，τyx )3、AB 与σa 轴的交点C 便是圆心4、以C 为圆心，以AC 为半径画圆——应力圆三、单元体与应力圆的对应关系1、α面上的应力(σα，τα)→应力圆上一点(σα，τα)2、α面的法线→应力圆的半径3、两面夹角α→两半径夹角2α；且转向一致。

需要课件请或弯曲变形粱的挠度与转角（一）挠曲线在外力作用下，梁的轴线由直线变为光洁的弹性曲线，梁弯曲后的轴线称为挠曲线。

在平面弯曲下，挠曲线为梁形心主惯性平面内的一条平面曲线v=f(x)(见图5-8-1)。

（二）挠度与转角梁弯曲变形后，梁的每一个横截面都要产生位移，它包括三部分：1. 挠度梁横截面形心在垂直于轴线方向的线位移，称为挠度，记作v。

沿梁轴各横截面挠度的变化规律，即为梁的挠曲线方程。

v=f(x)2．转角横截面相对本来位置绕中性轴所转过的角度，称为转角，记作θ。

小变形情况下，3．此外，横截面形心沿梁轴线方向的位移，小变形条件下可忽略不计。

(三)挠曲线近似微分方程在线弹性范围、小变形条件下，挠曲线近似微分方程为上式是在图5—8—l所示坐标系下建立的。

挠度w向下为正，转角θ顺时针转为正。

积分法计算梁的位移按照挠曲线近似微分方程(5—8—1)，积分两次，即得梁的转角方程和挠度方程，即由第1 页/共6 页式中积分常数C、D，可由梁的边界条件来决定。

当梁的弯矩方程需分段列出时，挠曲线微分方程也需分段建立，分段积分。

于是全梁的积分常数数目将为分段数目的两倍。

为了决定所有积分常数，除利用边界条件外，还需利用分段处挠曲线的延续条件(在分界点处左、右两段梁的转角和挠度均应相等)。

用叠加法求梁的位移（一）叠加原理几个荷载同时作用下梁的任一截面的挠度或转角等于各个荷载单独作用下同一截面挠度或转角的总和。

（二）叠加原理的适用条件叠加原理仅适用于线性函数。

要求挠度、转角为梁上荷载的线性函数，必须满意： 1．材料为线弹性材料；2．梁的变形为小变形；3．结构几何线性。

（三）叠加法的特征1．各荷载同时作用下挠度、转角等于单独作用下挠度、转角的总和，应该是几何和，同一方向的几何和即为代数和。

2．梁在容易荷载作用下的挠度、转角应为已知或可查手册。

3．叠加法相宜于求梁某一指定截面的挠度和转角。

[例 5—8—1] 用积分法求图5—8—3所示各梁的挠曲线方程时，试问应分为几段?将浮上几个积分常数? 并写出各梁的边界条件和延续条件。

应⼒状态分析第⼆章应⼒状态分析⼀. 内容介绍弹性⼒学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体⼊⼿，本章的任务就是从静⼒学观点出发，讨论⼀点的应⼒状态，建⽴平衡微分⽅程和⾯⼒边界条件。

应⼒状态是本章讨论的⾸要问题。

由于应⼒⽮量与内⼒和作⽤截⾯⽅位均有关。

因此，⼀点各个截⾯的应⼒是不同的。

确定⼀点不同截⾯的应⼒变化规律称为应⼒状态分析。

⾸先是确定应⼒状态的描述⽅法，这包括应⼒⽮量定义，及其分解为主应⼒、切应⼒和应⼒分量；其次是任意截⾯的应⼒分量的确定—转轴公式；最后是⼀点的特殊应⼒确定，主应⼒和主平⾯、最⼤切应⼒和应⼒圆等。

应⼒状态分析表明应⼒分量为⼆阶对称张量。

本课程分析中使⽤张量符号描述物理量和基本⽅程，如果你没有学习过张量概念，请进⼊附录⼀，或者查阅参考资料。

本章的另⼀个任务是讨论弹性体内⼀点－微分单元体的平衡。

弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分⽅程和切应⼒互等定理；边界单元体的平衡条件为⾯⼒边界条件。

⼆. 重点1.应⼒状态的定义：应⼒⽮量；正应⼒与切应⼒；应⼒分量；2.平衡微分⽅程与切应⼒互等定理；3.⾯⼒边界条件；4.应⼒分量的转轴公式；5.应⼒状态特征⽅程和应⼒不变量；§2.5 ⾯⼒边界条件学习思路:在弹性体内部，应⼒分量必须与体⼒满⾜平衡微分⽅程；在弹性体的表⾯，应⼒分量必须与表⾯⼒满⾜⾯⼒边界条件，以维持弹性体表⾯的平衡。

⾯⼒边界条件的推导时，参考了应⼒⽮量与应⼒分量关系表达式。

只要注意到物体边界任意⼀点的微分四⾯体单元表⾯作⽤应⼒分量和⾯⼒之间的关系就可以得到。

⾯⼒边界条件描述弹性体表⾯的平衡，⽽平衡微分⽅程描述物体内部的平衡。

当然，对于弹性体，这仅是静⼒学可能的平衡，还不是弹性体实际存在的平衡。

⾯⼒边界条件确定的是弹性体表⾯外⼒与弹性体内部趋近于边界的应⼒分量的关系。

学习要点：1. ⾯⼒边界条件。

物体在外⼒作⽤下处于平衡状态，不仅整体，⽽且任意部分都是平衡的。

在弹性体内部，应⼒分量必须与体⼒满⾜平衡微分⽅程；在弹性体的表⾯，应⼒分量须与表⾯⼒满⾜⾯⼒边界条件，以满⾜弹性体表⾯的平衡。