广东省惠州市2018届高三第三次调研考试文科数学

广东省惠州市2018届高三第三次调研考试文科数学全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合}{022≤--=x x x A ，}{1<=x x B ，则)(B C A R = （ ）(A) }{1x x > (B) }{12x x <≤ (C) }{1x x ≥ (D) }{12x x ≤≤ 2．设1iz i =-（i 为虚数单位），则1z=（ ）(A)(B) (C) 12 (D) 23．等比数列{}n a 中，122a a +=，454a a +=，则1011a a +=（ ）(A) 8 (B) 16(C) 32 (D) 644. 已知向量a b ⊥r r ，2,a b ==r r 则2a b -=r r（ ）(A) (B) 2 (C) (D)5．下列说法中正确的是（ ）(A) “(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件(B) 若2000:,10p x R x x ∃∈-->，则2:,10p x R x x ⌝∀∈--<(C) 若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题 (D) “若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠”6．已知输入实数12x =，执行如图所示的流程图，则输出的x 是 （ ）(A) 25 (B) 102 (C) 103 (D) 51 7．将函数()()1cos 24f x x θ=+（2πθ<）的图象向右平移512π个单位后得到函数()g x的图象，若()g x 的图象关于直线9x π=对称，则θ=（ ）(A)718π (B) 18π (C) 18π- (D) 718π- 8．已知x ,y 满足条件04010x y x y x -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则yx 的最大值是 ( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 49．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )(A)3 (B) 3(C)(D) 10．已知函数()y f x =的定义域为{}|0x x ≠，满足()()0f x f x +-=，当0x >时，()ln 1f x x x =-+，则函数()y f x =的大致图象是（ ）(A) (B) (C) (D)11．已知P 为抛物线24y x =上一个动点，Q 为圆()2241x y +-=上一个动点，则点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和最小值是（ ） (A)1 (B) 2- (C)2 (D)12. 设定义在R 上的函数()y f x =满足任意t R ∈都有()()12f t f t +=，且(]0,4x ∈时， ()()f x f x x'>，则()()()20164201722018f f f 、、的大小关系是（ ）(A) ()()()22018201642017f f f << (B) ()()()22018201642017f f f >> (C) ()()()42017220182016f f f << (D) ()()()42017220182016f f f >>二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知数据12,,,n x x x 的平均数为2，则数据122,2,,2n x x x +++ 的平均数为 .14．设0,0a b >>3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值为 . 15．当双曲线C 不是等轴双曲线时，我们把以双曲线C 的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C 的“伴生椭圆” 离心率为 ．16．已知平面区域()22{,|4}M x y x y =+≤， (){,|2}N x y y x =≥-+，在区域M 上随机取一点A ，点A 落在区域N 内的概率为 ．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos cos 2cos sin C A B A B +=. （1）求tan A ；（2）若b = AB 边上的中线CD =ABC ∆的面积.ABCD图2E18．（本小题满分12分）在某大学联盟的自主招生考试中，报考文史专业的考生参加了人文基础学科考试科目“语文”和“数学”的考试. 某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，本次 考试中成绩在]100,90[内的记为A ，其中“语文”科目成绩在)90,80[内的考生有10人.（1）求该考场考生数学科目成绩为A 的人数；（2）已知参加本场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A .在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A 的概率.19．（本小题满分12分）如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=︒,//CD AB ,122AD CD AB ===, 点E 为AC 中点,将ADC ∆沿AC 折起, 使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何 体D ABC -,如图2所示.（1）在CD 上是否存在一点F ,使//AD 平面EFB ？若存在，证明你的结论， 若不存在，请说明理由；（2）求点C 到平面ABD 的距离.BACD图1E20．（本小题满分12分）已知1F ，2F 分别为椭圆C ：22182x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆C 上. （1）求12PF PF ⋅的最小值；（2）设直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ， B 两点，若点P 在第一象限， 且121PF PF ⋅=-，求ABP ∆面积的最大值.21．（本小题满分12分）已知函数()3f x ax bx c =++，其导函数()233f x x =-'+，且()01f =-，()()ln 1g x x x m mx=+≥． （1）求()f x 的极值；（2）求证：对任意()12,0,x x ∈+∞，都有()()12f x g x ≤．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为22x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(α为参数)，以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设射线1:3l πθ=，2:6l πθ=，若12,l l 分别与曲线C 相交于异于原点的两点,A B ，求ABO ∆的面积．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()221f x x x =--+. （1）解不等式()0f x ≤；（2）x R ∀∈，()224f x m m -≤恒成立，求实数m 的取值范围.惠州市2018届第三次调研考试 文科数学参考答案与评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.【解析】}{12A x x =-≤≤,}{1≥=x x B C R ,}{21≤≤=x x B C A R ,故选D ．2.【解析】()()()1111111222i i i i z i i i i +-+====-+--+，所以2z = ，则1z =择B. 3.【解析3345124a a a q a q +=+=，解得32q =，99910111212()a a a q a q a a q +=+=+32216=⨯=.故选B4. 【解析】 2a b -=r r =C ．5.【解析】 试题分析：2()f x x x =+时，(0)0f =，但()f x 是不是奇函数，A 错；命题2000:,10p x R x x ∃∈-->的否定是2:,10p x R x x ⌝∀∈--≤，B 错；,p q 中只要有一个为假命题，则p q ∧为假命题，C 错；“若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠”是正确的，故选D ． 6.【解析】输入12x =，经过第一次循环得到212125,2x n =⨯+==， 经过第二循环得到225151,x n =⨯+==，经过第三次循环得到2511103,4x n =⨯+==，此时输出x ， 故选C ． 考点：程序框图的识别及应用 7.【解析】因为()()1cos 24f x x θ=+，所以()1515cos 2cos 241246g x x x ππθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以2596k ππθπ-+= ()k Z ∈，解得1118k πθπ=+ ()k Z ∈，又2πθ<，所以718πθ=-，故选D.8.【解析】． 因为0y z x -=- ，如图所示经过原点()0,0的直线斜率最大的为直线40x y +-=与直线1x =的交点()1,3，故max 331z ==，选C.9.【解析】由三视图可知该三棱锥底面是边长为4的正三角形，面积为4，则1343V =⨯=，故选B ． 10.【解析】由()()0f x f x +-=，知()f x 是奇函数，故排除C,D ；当12x =时， 12111111()ln 1ln ln 2ln ln 20222222f e =-+=+=-=-<，从而A 正确. 11.【解析】根据抛物线的定义，点P 到准线的距离等于到焦点的距离，则距离之和等于PQ PF +，画图可得, PQ PF +的最小值为圆心C 与焦点F 连线与抛物线相交于点P ，则最小值等于CF r -， 圆心(0,4)C ，得CF ==1-，故选A.12.【解析】由题意可得： ()()21f t f t +=，则： ()()241f t f t ++=，据此有： ()()4f t f t =+，即函数()f x 是周期为4的周期函数， 构造新函数()()(],0,4f x F x x x=∈，则()()()2''0f x x f x F x x -=>，则函数()F x 是定义域(]0,4内的增函数， 有：()()()124124f f f <<，即： ()()()41224f f f <<，利用函数的周期性可得： ()()()()()()20164,20171,20182f f f f f f ===， 据此可得： ()()()42017220182016f f f <<.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 4 14. 4 15. 216. 24ππ-13.【解析】平均数为()()()()12122222224n n x x x x x x n nn++++++++++==+=14.【解析】试题分析：因3)3(332==⋅b a ,即33=+b a ,故1=+b a ,所以=+b a 1142)11)((≥++=++abb a b a b a ,应填4.15.【解析】试题分析：设双曲线C 的方程为22221x y a b -=，所以222e b a ==∴= ， ∴双曲线C 的“伴生椭圆”方程为：22221y x b a+=，∴“伴生椭圆”的离心率为==16.【解析】【答案】24ππ- 【解析】由题意可得，集合M 表示坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，集合N 表示图中的阴影区域，其中211222242S ππ=⨯-⨯⨯=-阴影 ，由几何概型公式可得：点A 落在区域N 内的概率为22224p ππππ--==⨯ .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17. （本小题满分12分）【答案】（1）tan 2A =; （2）当2c =时， 1sin 42ABC S bc A == ；当6c =时， 12ABC S ∆=. 【解析】试题分析：（1）将()C A B π=-+代入化简求值即可；（Ⅱ）在ACD 中，由余弦定理解得2c =或6，利用面积公式求解即可.试题解析：（1）由已知得()cos cos cos cos πcos cos C A B A B A B ⎡⎤+=-++⎣⎦()cos cos cos sin sin A B A B A B =-++=， ……2分所以sin sin 2cos sin A B A B =， ………4分 因为在ABC ∆中， sin 0B ≠， 所以sin 2cos A A =，则tan 2A =． ……………6分（2）由（1）得， cos A =， sin A = ……………8分 在ACD ∆中，2222cos 22c c CD b b A ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，代入条件得28120c c -+=，解得2c =或6， ………10分 当2c =时， 1sin 42ABC S bc A ∆==；当6c =时， 12ABC S ∆=． ………12分18. （本小题满分12分）19. 解：(1)该考场的考生人数为10÷0.25=40人. ………2分 数学科目成绩为A 的人数为40×(1-0.0025×10-0.015×10-0.0375×10×2)=40×0.075=3人. ………5分 (2) 语文和数学成绩为A 的各有3人，其中有两人的两科成绩均为A ，所以还有两名同学只有一科成绩为A . ……………7分设这四人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙的两科成绩均为A ，则在至少一科成绩为M 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件为{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}， {丙，丁}共6个， …………… 10分设“随机抽取两人，这两人的两科成绩均为A ”为事件M ，则事件M 包含的事件有1个， 则61)(=M P . ……………12分19. 试题解析：(1)存在CD 的中点F 成立, 连结EF ,BF在A C D ∆中,,E F ,分别为AC ,DC 的中点 ……2分 EF ∴为A C D ∆的中位线AD ∴//EF ………4分 EF ⊆平面EFB AD ⊄平面EFBAD ∴//平面EFB ……………6分 (2) 设点C 到平面ABD 的距离为h平面ABD ⊥平面C AB ,平面ABD 平面C=AB AB ,BC 且⊥B A BC ∴⊥平面C AD BC ∴⊥AD ，AD ⊥DC ……………7分AD ∴⊥平面BCD 即AD ⊥BDS ADB ∆∴= ………9分三棱锥B ACD -的高BC =S 2ACD ∆∴= ………10分B ACDC ADB V --= V 即11233h ⨯⨯=⨯h ∴=………12分20. （本小题满分12分）【答案】（1）12PF PF ⋅的最小值为4-; （2）12.【解析】试题分析：（1）设()00,P x y ，由向量数量积的坐标运算求得2012344x PF PF ⋅=-+ ，注意椭圆中有0x -≤≤（2）由直线与圆锥曲线相交的弦长公式求得弦长AB ，求出P 点坐标，再求得P 到直线AB 的距离即三角形的高，从而得PAB ∆面积PAB S ∆=由基本不等式可得最大值．试题解析：（1）有题意可知()1F， )2F ，设点00(,)P xy则()1,PF x y =-， )200,PF x y =- ， ………2分∴2212006PF PF x y ⋅=+- ，∵点()00,P x y 在椭圆C 上，∴2200182x y +=，即220024x y =-， ………3分 ∴22200120326444x x PF PF x ⋅=+--=-+（0x -≤≤， ………4分 ∴当00x =时， 12PF PF ⋅的最小值为4-． ………6分 （注：此问也可用椭圆的参数方程表达点P 求解） （2）设l 的方程12y x b =+，点()11,A x y ， ()22,B x y ， 由221,2 182y x b x y =++=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩得222240x bx b ++-=， ………7分 令2248160b b ∆=-+>，解得22m -<<．由韦达定理得122x x b +=-， 21224x x b =-， 由弦长公式得AB == ………8分且121PF PF ⋅=- ，得()2,1P ．又点P 到直线l的距离d ==………9分∴1122PABS AB d ∆=== 22422b b +-≤=， ………11分当且仅当b = ∴ PAB ∆面积最大值为2. ……12分21.（本小题满分12分）解析：（1）依题意得()331f x x x =-+-， ()()()233311f x x x x =-+=-+-' (2)分知()f x 在(),1-∞-和()1,+∞上是减函数，在()1,1-上是增函数 (4)分∴()()13f x f =-=-极小值， ()()11f x f ==极大值 (5)分（2）法1：易得0x >时， ()1f x =最大值， 依题意知，只要()()1(0)1ln 1(0)mg x x x x m x x≤>⇔≤+≥> 由1a ≥知，只要22ln 1(0)ln 10(0)x x x x x x x x ≤+>⇔+-≥> ………7分 令()2ln 1(0)h x x x x x =+->，则()2ln 1h x x x x =+-'………8分注意到()10h '=，当1x >时， ()0h x '>；当01x <<时， ()0h x '<，………9分即()h x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞是增函数， ()()10h x h ==最小值………10分 即()0h x ≥，综上知对任意()12,0,x x ∈+∞，都有()()12f x g x ≤………12分法2：易得0x >时， ()1f x =最大值， ………7分 由1a ≥知, ()1ln (0)g x x x x x ≥+>,令()1ln (0)h x x x x x=+>………8分 则()22211ln 1ln x h x x x x x-=+-=+'………9分注意到()10h '=，当1x >时， ()0h x '>；当01x <<时， ()0h x '<，………10分 即()h x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞是增函数， ()()11h x h ==最小值，所以()1h x =最小值,即()1g x =最小值.综上知对任意()12,0,x x ∈+∞，都有()()12f x g x ≤.………12分法3: 易得0x >时， ()1f x =最大值， ………7分由1a ≥知, ()1ln (0)g x x x x x≥+>, ………8分 令()1ln (0)h x x x x x =+>,则()21ln 1(0)h x x x x =+->'………9分令()21ln 1(0)x x x x ϕ=+->,则()3110x x x ϕ=+>',………10分知()x ϕ在()0,+∞递增,注意到()10ϕ=,所以, ()h x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞是增函数,有()1h x =最小值,即()1g x =最小值综上知对任意()12,0,x x ∈+∞，都有()()12f x g x ≤. ……12分22. （本小题满分10分）解：(1)∵曲线C的参数方程为2(2x y ααα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数）∴曲线的普通方程为22(2)(2)8x y -+-= 即22440x y x y +--= ……2分 将cos ,sin x y ρθρθ==代入并化简得：4cos 4sin ρθθ=+ 即曲线C 的极坐标方程为4cos 4sin ρθθ=+. …………5分（2）由34cos 4sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得到12OA ρ==+…………7分同理22OB ρ==+. ………… 9分 又∵366AOB πππ∠=-=∴1sin 42AOB S OA OB AOB ∆=∠=+即AOB ∆的面积为4+分23. （本小题满分10分）23．解：（1）不等式()0f x ≤，即221x x -≤+，即2244441x x x x -+≤++，……2分23830x x +-≥，解得13x ≥或3x ≤-.……3分 所以不等式()0f x ≤的解集为1{3x x ≥或3}x ≤-.……4分（2）()=221f x x x --+=13,2131,223,2x x x x x x ⎧+<-⎪⎪⎪-+-≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩……6分故()f x 的最大值为1522f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，……8分因为对于x R ∀∈，使()224f x m m -≤恒成立. 所以25242m m +≥，即24850m m +-≥， 解得12m ≥或52m ≤-，∴51,,22m ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U .……10分。