9.3 椭圆及其性质【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.椭圆的定义和标准方程①掌握椭圆的定义,并会用椭圆的定义进行解题②掌握椭圆的几何图形和标准方程,并会用待定系数法求椭圆的方程2017北京文,19椭圆的方程直线方程★★★2.椭圆的几何性质①掌握椭圆的几何性质(范围、对称性等),并会熟练运用②理解椭圆离心率的定义,并会求椭圆的离心率2019北京,4椭圆的离心率★★★2018北京,14椭圆的离心率双曲线的几何性质★★★3.直线与椭圆的位置关系①掌握直线和椭圆位置关系的判断方法②理解“整体代换”思想的含义,并能通过直线与椭圆的位置关系解答相应问题2014北京文,19两点间的距离公式椭圆的几何性质★★★分析解读从高考试题来看,椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考命题的重点和热点,离心率问题是每年高考考查的重点,多在选择题和填空题中出现,主要考查学生结合定义、几何性质等分析问题、解决问题的能力以及运算能力.在解答题中主要以直线与椭圆的位置关系为考查对象,考查面较广,往往会和平面向量、函数、导数、不等式等知识相结合,在考查对椭圆基本概念和性质的理解及应用的同时,又考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查数形结合思想和转化与化归思想的应用.破考点练考向【考点集训】考点一 椭圆的定义和标准方程1.(2019北师大附中高二期中,4)若方程x 2+y 2m -2=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是( )A.(-∞,3)B.(2,3)C.(2,+∞)D.(3,+∞)答案 D2.(2019 5·3原创冲刺卷八,11)已知A,B,C 是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)上的三个点,直线AB 经过原点O,直线AC 经过椭圆的右焦点F,若BF ★AC,且|BF|=3|CF|,则椭圆的离心率是( ) A.12B.√74C.√22D.√115答案 C考点二 椭圆的几何性质3.(2017浙江,2,4分)椭圆x 29+y 24=1的离心率是( ) A.√133B.√53C.23D.59答案 B4.(2018课标Ⅱ文,11,5分)已知F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点.若PF 1★PF 2,且★PF 2F 1=60°,则C 的离心率为( ) A.1-√32 B.2-√3C.√3-12D.√3-1答案 D5.(2019北京东城二模,11)椭圆C 1:x 24+y 2b 2=1与曲线C 2关于直线y=-x 对称,C 1与C 2分别在第一、二、三、四象限交于点P 1,P 2,P 3,P 4.若四边形P 1P 2P 3P 4的面积为4,则点P 1的坐标为 ,C 1的离心率为 . 答案 (1,1);√63考点三 直线与椭圆的位置关系6.(2019 5·3原创冲刺卷二,7)已知椭圆C:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上,且PF 2★F 1F 2,过P 作F 1P 的垂线交x 轴于点A,若|AF 2|=12c,记椭圆的离心率为e,则e 2=( ) A.3-√52B.3-√5C.√2-1D.12答案 A7.(2019北师大附中高二期中,15)已知以F 1(-2,0),F 2(2,0)为焦点的椭圆过点P(2,3). (1)求椭圆的方程;(2)设椭圆的左顶点为A,线段AF 1的垂直平分线l 交椭圆于M,N 两点,求★MNP 的面积. 解析 本题考查椭圆方程的求法、直线与椭圆的位置关系,考查学生运用数形结合的思想方法解决问题的能力,体现数学运算的核心素养.(1)由题意得点P(2,3)到两焦点F 1(-2,0),F 2(2,0)的距离之和为2a,即2a=|F 1P|+|F 2P|=√(22+32 ∴b 2=a 2-c 2=16-4=12,∴椭圆的方程是x 216+y 212=1.(2)由(1)得椭圆的左顶点为A(-4,0),线段AF 1的垂直平分线l:x=-3,将x=-3代入方程x 216+y 212=1,解得y 2=214,即y=±√212,令M (-3,√212),N (-3,-√212),∴|MN|=√212-(-√212)=√21,∵点P 到直线l 的距离为2+3=5,∴S ★MNP =12×√21×5=5√212.思路分析 (1)由两点间的距离公式与椭圆的定义求得a,由焦点坐标得到c,再由b 2=a 2-c 2即可求得椭圆的方程;(2)先写出线段AF 1的垂直平分线l 的方程,然后求出点M 、N 的坐标,求出|MN|与点P 到直线l 的距离即可求得三角形的面积.炼技法 提能力 【方法集训】方法1 求椭圆标准方程的方法1.(2019北京清华附中高二期中,1)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于( )A.13 B.√33 C.12 D.√32 答案 D2.若椭圆C1:x 2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和椭圆C2:x2a22+y2b22=1(a2>b2>0)的焦点相同且a1>a2.给出如下四个结论:①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点;②a1a2>b1b2;③a12-a22=b12-b22;④a1-a2<b1-b2.其中,所有正确结论的序号是( )A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③答案B方法2 椭圆的离心率(或取值范围)的求法3.(20195·3原创冲刺卷四,4)若P(-√3,√22)在椭圆C:x24+y2b2=1(b>0)上,则椭圆C的离心率为( )A.√22B.12C.13D.√32答案A4.(2019北京丰台期末文,7)已知抛物线y2=8x的焦点与椭圆x 2a +y2b2=1(a>b>0)的一个焦点重合,且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6,那么该椭圆的离心率为( ) A.2 B.23C.√22D.12答案D5.(2019首师大附中一模,10)椭圆M:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P为椭圆M上任一点,且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围是[2c2,3c2],其中c=√a2-b2,则椭圆M的离心率e的取值范围是.答案[√33,√2 2]方法3 解决直线与椭圆位置关系问题的方法6.(2019北京清华附中高二期中,5)已知椭圆x 24+y23=1的两个焦点为F1、F2,M是椭圆上一点,且|MF1|-|MF2|=1,则★MF1F2是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形答案B7.(2019北京清华大学中学生标准学术能力测试文,6)已知椭圆x 2a2+y 24=1(a>2)的左、右焦点分别为F 1、F 2,过F 1的直线交椭圆于A,B 两点.若|AF 2|+|BF 2|的最大值为283,则该椭圆的离心率为( ) A.√22B.√53C.12D.59 答案 B8.(2019北京清华附中高二期中,17)已知椭圆C:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的短轴长为2√3,离心率为12,圆O:x 2+y 2=b 2.(1)求椭圆C 和圆O 的方程;(2)过椭圆左焦点的直线l 与椭圆C 交于A,B 两点,|AB|=165,若直线l 与圆O 交于M,N 两点,求直线l 的方程及★OAB 与★OMN 的面积之比.解析 本题考查椭圆方程、圆的方程以及弦长公式和点到直线的距离公式,考查学生分析问题与解决问题的能力,体现逻辑推理与数学运算的核心素养. (1)因为短轴长2b=2√3,所以b=√3, 由e 2=c 2a=1-b 2a=1-3a=14,得a 2=4,因而椭圆C 的方程为x 24+y 23=1,圆O 的方程为x 2+y 2=3.(2)由(1)得椭圆C 的左焦点为(-1,0),显然直线l 斜率不为零,设l:x=my-1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由{x =my -1,x 24+y 23=1,消去x 得(3m 2+4)y 2-6my-9=0,从而有y 1+y 2=6m 3m +4,y 1y 2=-93m +4,∴|AB|=√(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2 =√(1+m 2)[(y 1+y 2)2-4y 1y 2]=√(1+m 2)[(6m3m 2+4)2+363m 2+4]=12(1+m 2)3m 2+4=165,解得m 2=13,即m=±√33,∴直线l 的方程为x=±√33y-1,化为x±√33y+1=0. ∴原点O 到直线l 的距离d=√1+13=√32,∴S ★OAB =12|AB|·d=12×165×√32=4√35.∵|MN|=2√r 2-d 2=2√3-(√32)2=3,∴S ★OMN =12|MN|·d=12×3×√32=3√34,∴S ★OABS★OMN=4√353√34=1615.【五年高考】A 组 自主命题·北京卷题组1.(2019北京,4,5分)已知椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为12,则( )A.a 2=2b 2B.3a 2=4b 2C.a=2bD.3a=4b 答案 B2.(2018北京,14,5分)已知椭圆M:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),双曲线N:x 2m 2-y 2n 2=1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M 的离心率为 ;双曲线N 的离心率为 . 答案 √3-1;23.(2017北京文,19,14分)已知椭圆C 的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x 轴上,离心率为√32.(1)求椭圆C 的方程;(2)点D 为x 轴上一点,过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M,N,过D 作AM 的垂线交BN 于点E.求证:★BDE 与★BDN 的面积之比为4∶5.解析 本题考查椭圆的方程和性质,直线的方程等知识,考查运算求解能力. (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0). 由题意得{a =2,ca=√32,解得c=√3.所以b 2=a 2-c 2=1.所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)证明:设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n). 由题设知m ≠±2,且n ≠0.直线AM 的斜率k AM =nm+2,故直线DE 的斜率k DE =-m+2n.所以直线DE 的方程为y=-m+2n(x-m).直线BN 的方程为y=n2-m (x-2). 联立{y =-m+2n(x -m),y =n 2-m(x -2),解得点E 的纵坐标y E =-n(4-m 2)4-m 2+n 2. 由点M 在椭圆C 上,得4-m 2=4n 2. 所以y E =-45n.又S ★BDE =12|BD|·|y E |=25|BD|·|n|,S ★BDN =12|BD|·|n|,所以★BDE 与★BDN 的面积之比为4∶5.易错警示 在设直线方程时,若设方程为y=kx+m,则要考虑斜率不存在的情况;若设方程为x=ty+n,则要考虑斜率为0的情况.4.(2014北京文,19,14分)已知椭圆C:x 2+2y 2=4.(1)求椭圆C 的离心率;(2)设O 为原点.若点A 在直线y=2上,点B 在椭圆C 上,且OA ★OB,求线段AB 长度的最小值. 解析 (1)由题意,知椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1.所以a 2=4,b 2=2,从而c 2=a 2-b 2=2. 因此a=2,c=√2.故椭圆C 的离心率e=c a =√22.(2)设点A,B 的坐标分别为(t,2),(x 0,y 0),其中x 0≠0. 因为OA ★OB,所以OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即tx 0+2y 0=0,解得t=-2y 0x 0.又x 02+2y 02=4,所以|AB|2=(x 0-t)2+(y 0-2)2=(x 0+2y 0x 0)2+(y 0-2)2=x 02+y 02+4y 02x 02+4=x 02+4-x 022+2(4-x 02)x 02+4=x 022+8x 02+4(0<x 02≤4).因为x 022+8x 02≥4(0<x 02≤4),且当x 02=4时等号成立,所以|AB|2≥8.故线段AB 长度的最小值为2√2.评析本题考查椭圆的标准方程、几何性质、点与椭圆的位置关系以及弦长问题的求解.考查方程思想、函数思想以及整体代换思想的应用,同时考查考生的运算求解能力.正确选择参数是解决本题的关键,在利用基本不等式求最值时应注意参数的取值范围.5.(2015北京文,20,14分)已知椭圆C:x 2+3y 2=3.过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C 交于A,B 两点,直线AE 与直线x=3交于点M. (1)求椭圆C 的离心率;(2)若AB 垂直于x 轴,求直线BM 的斜率;(3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系,并说明理由. 解析 (1)椭圆C 的标准方程为x 23+y 2=1.所以a=√3,b=1,c=√2. 所以椭圆C 的离心率e=c a =√63.(2)因为AB 过点D(1,0)且垂直于x 轴,所以可设A(1,y 1),B(1,-y 1). 直线AE 的方程为y-1=(1-y 1)(x-2). 令x=3,得M(3,2-y 1). 所以直线BM 的斜率k BM =2-y 1+y 13-1=1.(3)直线BM 与直线DE 平行.理由如下:当直线AB 的斜率不存在时,由(2)可知k BM =1. 又因为直线DE 的斜率k DE =1-02-1=1,所以BM ★DE.当直线AB 的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1)(k ≠1). 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则直线AE 的方程为y-1=y 1-1x 1-2(x-2).令x=3,得点M (3,y 1+x 1-3x 1-2).由{x 2+3y 2=3,y =k(x -1)得(1+3k 2)x 2-6k 2x+3k 2-3=0. 所以x 1+x 2=6k 21+3k 2,x 1x 2=3k 2-31+3k 2. 直线BM 的斜率k BM =y 1+x 1-3x 1-2-y 23-x 2.因为k BM -1=k(x 1-1)+x 1-3-k(x 2-1)(x 1-2)-(3-x 2)(x 1-2)(3-x 2)(x 1-2)=(k -1)[-x 1x 2+2(x 1+x 2)-3](3-x 2)(x 1-2)=(k -1)(-3k 2+31+3k 2+12k 21+3k 2-3)(3-x 2)(x 1-2)=0,所以k BM =1=k DE . 所以BM ★DE.综上可知,直线BM 与直线DE 平行.B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 椭圆的定义和标准方程1.(2015广东文,8,5分)已知椭圆x 225+y 2m 2=1(m>0)的左焦点为F 1(-4,0),则m=( )A.2B.3C.4D.9 答案 B2.(2019课标全国Ⅲ,15,5分)设F 1,F 2为椭圆C:x 236+y 220=1的两个焦点,M 为C 上一点且在第一象限.若★MF 1F 2为等腰三角形,则M 的坐标为 . 答案 (3,√15)3.(2015天津文,19,14分)已知椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为√55.(1)求直线BF 的斜率;(2)设直线BF 与椭圆交于点P(P 异于点B),过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q(Q 异于点B),直线PQ 与y 轴交于点M,|PM|=λ|MQ|. (i)求λ的值; (ii)若|PM|sin ★BQP=7√59,求椭圆的方程.解析 (1)设F(-c,0).由已知离心率c a =√55及a 2=b 2+c 2,可得a=√5c,b=2c. 又因为B(0,b),F(-c,0), 故直线BF 的斜率k=b -00-(-c)=2c c=2.(2)设点P(x P ,y P ),Q(x Q ,y Q ),M(x M ,y M ).(i)由(1)可得椭圆的方程为x 25c 2+y 24c 2=1,直线BF 的方程为y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联立,消去y,整理得3x 2+5cx=0,解得x P =-5c3.因为BQ ★BP,所以直线BQ 的方程为y=-12x+2c,与椭圆方程联立,消去y,整理得21x 2-40cx=0,解得x Q =40c21.又因为λ=|PM||MQ|,及x M=0,可得λ=|x M-x P||x Q-x M|=|x P||x Q|=78.(ii)由(i)有|PM||MQ|=78,所以|PM||PM|+|MQ|=77+8=715,即|PQ|=157|PM|.又因为|PM|sin★BQP=7√59,所以|BP|=|PQ|sin★BQP=157|PM|sin★BQP=5√53.又因为y P=2x P+2c=-43c,所以|BP|=√(0+5c3)2+(2c+4c3)2=5√53c,因此5√53c=5√53,得c=1.所以,椭圆方程为x 25+y24=1.评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想和化归思想解决问题的能力.考点二椭圆的几何性质1.(2018课标Ⅰ文,4,5分)已知椭圆C:x 2a2+y24=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为( )A.13B.12C.√22D.2√23答案C2.(2018课标Ⅱ,12,5分)已知F1,F2是椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为√36的直线上,★PF1F2为等腰三角形,★F1F2P=120°,则C的离心率为( )A.23B.12C.13D.14答案D3.(2017课标Ⅲ,10,5分)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( )A.√63B.√33C.√23D.13答案 A4.(2016课标Ⅲ,11,5分)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的左焦点,A,B 分别为C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且PF ★x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M,与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为 ( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 A考点三 直线与椭圆的位置关系1.(2018天津,19,14分)设椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为√53,|AB|=√13.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q 两点,l 与直线AB 交于点M,且点P,M 均在第四象限.若★BPM 的面积是★BPQ 面积的2倍,求k 的值.解析 (1)设椭圆的焦距为2c,由已知有c 2a 2=59,又由a 2=b 2+c 2,可得2a=3b.由|AB|=√a 2+b 2=√13,从而a=3,b=2. 所以,椭圆的方程为x 29+y 24=1.(2)设点P 的坐标为(x 1,y 1),点M 的坐标为(x 2,y 2),由题意,x 2>x 1>0,点Q 的坐标为(-x 1,-y 1).由★BPM 的面积是★BPQ 面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x 2-x 1=2[x 1-(-x 1)],即x 2=5x 1. 易知直线AB 的方程为2x+3y=6,由方程组{2x +3y =6,y =kx,消去y,可得x 2=63k+2.由方程组{x 29+y 24=1,y =kx,消去y,可得x 1=2.由x 2=5x 1,可得√9k 2+4=5(3k+2),两边平方,整理得18k 2+25k+8=0,解得k=-89或k=-12.当k=-89时,x 2=-9<0,不合题意,舍去;当k=-12时,x 2=12,x 1=125,符合题意. 所以,k 的值为-12.解题关键 第(2)问中把两个三角形的面积的关系转化为点P 、M 的横坐标间的关系,进而得到关于k 的方程是求解的难点和关键.2.(2015安徽,20,13分)设椭圆E 的方程为x 2a2+y 2b2=1(a>b>0),点O 为坐标原点,点A 的坐标为(a,0),点B 的坐标为(0,b),点M 在线段AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线OM 的斜率为√510. (1)求E 的离心率e;(2)设点C 的坐标为(0,-b),N 为线段AC 的中点.证明:MN ★AB. 解析 (1)由题设条件知,点M 的坐标为(23a,13b), 又k OM =√510,从而b 2a =√510.进而a=√5b,c=√a 2-b 2=2b.故e=c a =2√55.(2)证明:由N 是AC 的中点知,点N 的坐标为(a 2,-b2),可得NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a 6,5b 6). 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a,b),从而有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-16a 2+56b 2=16(5b 2-a 2). 由(1)的计算结果可知a 2=5b 2,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故MN ★AB. C 组 教师专用题组考点一 椭圆的定义和标准方程1.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:x 29+y 24=1,点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A,B,线段MN 的中点在C 上,则|AN|+|BN|= . 答案 122.(2014四川文,20,13分)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为√63. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)设O 为坐标原点,T 为直线x=-3上一点,过F 作TF 的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ 是平行四边形时,求四边形OPTQ 的面积. 解析 (1)由已知可得,c a =√63,c=2,所以a=√6.又由a 2=b 2+c 2,解得b=√2,所以椭圆C 的标准方程是x 26+y 22=1. (2)设T 点的坐标为(-3,m),则直线TF 的斜率k TF =m -0-3-(-2)=-m.当m ≠0时,直线PQ 的斜率k PQ =1m ,直线PQ 的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ 的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立,得{x =my -2,x 26+y 22=1.消去x,得(m 2+3)y 2-4my-2=0,其判别式Δ=16m 2+8(m 2+3)>0, 所以y 1+y 2=4m m 2+3,y 1y 2=-2m 2+3,x 1+x 2=m(y 1+y 2)-4=-12m 2+3.因为四边形OPTQ 是平行四边形,所以OP⃗⃗⃗⃗⃗ =QT ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即(x 1,y 1)=(-3-x 2,m-y 2). 所以{x 1+x 2=-12m 2+3=-3,y 1+y 2=4mm 2+3=m,解得m=±1. 此时,S 四边形OPTQ =2S ★OPQ =2×12·|OF|·|y 1-y 2|=2√(4m m 2+3)2-4·-2m 2+3=2√3.评析本题主要考查椭圆的标准方程、直线与方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力.考查数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想. 3.(2016天津,19,14分)设椭圆x 2a 2+y 23=1(a>√3)的右焦点为F,右顶点为A.已知1|OF|+1|OA|=3e|FA|,其中O 为原点,e 为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B(B 不在x 轴上),垂直于l 的直线与l 交于点M,与y 轴交于点H.若BF ★HF,且★MOA=★MAO,求直线l 的斜率.解析 (1)设F(c,0),由1|OF|+1|OA|=3e |FA|,即1c +1a =3ca(a -c),可得a 2-c 2=3c 2,又a 2-c 2=b 2=3,所以c 2=1,因此a 2=4. 所以,椭圆的方程为x 24+y 23=1.(2)设直线l 的斜率为k(k ≠0), 则直线l 的方程为y=k(x-2).设B(x B ,y B ),由方程组{x 24+y 23=1,y =k(x -2)消去y, 整理得(4k 2+3)x 2-16k 2x+16k 2-12=0.解得x=2,或x=8k 2-64k 2+3,由题意得x B =8k 2-64k 2+3,从而y B =-12k4k 2+3.由(1)知,F(1,0),设H(0,y H ),有FH ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,y H ),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(9-4k 24k 2+3,12k4k 2+3). 由BF ★HF,得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FH ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以4k 2-94k 2+3+12ky H 4k 2+3=0,解得y H =9-4k 212k .因此直线MH 的方程为y=-1k x+9-4k 212k .设M(x M ,y M ),由方程组{y =k(x -2),y =-1kx +9-4k 212k消去y,解得x M =20k 2+912(k 2+1).在★MAO 中,★MOA=★MAO ★|MA|=|MO|,即(x M -2)2+y M 2=x M 2+y M 2,化简得x M =1,即20k 2+912(k 2+1)=1,解得k=-√64,或k=√64.所以,直线l 的斜率为-√64或√64.4.(2013课标Ⅰ,21,12分)已知圆M:(x+1)2+y 2=1,圆N:(x-1)2+y 2=9,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C. (1)求C 的方程;(2)l 是与圆P,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.解析 由已知得圆M 的圆心为M(-1,0),半径r 1=1;圆N 的圆心为N(1,0),半径r 2=3. 设圆P 的圆心为P(x,y),半径为R.(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,所以 |PM|+|PN|=(R+r 1)+(r 2-R)=r 1+r 2=4.由椭圆的定义可知,曲线C 是以M 、N 为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为√3的椭圆(左顶点除外),其方程为x 24+y 23=1(x ≠-2).(2)对于曲线C 上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R ≤2,当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P 的半径最长时,其方程为(x-2)2+y 2=4. 若l 的倾斜角为90°,则l 与y 轴重合,可得|AB|=2√3.若l 的倾斜角不为90°,由r 1≠R 知l 不平行于x 轴,设l 与x 轴的交点为Q,则|QP||QM|=Rr 1,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4). 由l 与圆M 相切得√2=1,解得k=±√24. 当k=√24时,将y=√24x+√2代入x 24+y 23=1,并整理得7x 2+8x-8=0, 解得x 1,2=-4±6√27.所以|AB|=√1+k 2|x 2-x 1|=187.当k=-√24时,由图形的对称性可知|AB|=187. 综上,|AB|=2√3或|AB|=187.评析本题考查了椭圆的定义和标准方程,考查了直线与圆、椭圆的位置关系及弦长计算等基础知识,考查了运算求解能力和推理论证能力,考查了数形结合思想和分类讨论思想. 5.(2013陕西,20,13分)已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.(1)求动点M 的轨迹C 的方程;(2)过点P(0,3)的直线m 与轨迹C 交于A,B 两点,若A 是PB 的中点,求直线m 的斜率. 解析 (1)设M 到直线l 的距离为d,根据题意,d=2|MN|. 由此得|4-x|=2√(x -1)2+y 2, 化简得x 24+y 23=1,所以动点M 的轨迹方程为x 24+y 23=1.(2)解法一:由题意,设直线m 的方程为y=kx+3,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). 将y=kx+3代入x 24+y 23=1中,有(3+4k 2)x 2+24kx+24=0,其中,Δ=(24k)2-4×24(3+4k 2)=96(2k 2-3)>0, 由根与系数的关系得x 1+x 2=-24k3+4k 2,① x 1x 2=243+4k 2.②又因A 是PB 的中点,故x 2=2x 1,③ 将③代入①,②得 x 1=-8k3+4k2,x 12=123+4k 2,可得(-8k 3+4k 2)2=123+4k 2,且k 2>32, 解得k=-32或k=32,所以直线m 的斜率为-32或32.解法二:由题意,设直线m 的方程为y=kx+3,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). ∵A 是PB 的中点, ∴x 1=x22, ① y 1=3+y 22. ②又x 124+y 123=1, ③x 224+y 223=1, ④联立①,②,③,④解得{x 2=2,y 2=0或{x 2=-2,y 2=0,即点B 的坐标为(2,0)或(-2,0), 所以直线m 的斜率为-32或32.评析本题考查轨迹方程的求法,直线与椭圆的位置关系等基础知识,对运算能力要求较高,考查函数与方程思想、数形结合思想.考点二 椭圆的几何性质1.(2015课标Ⅰ,5,5分)已知椭圆E 的中心在坐标原点,离心率为12,E 的右焦点与抛物线C:y 2=8x 的焦点重合,A,B 是C 的准线与E 的两个交点,则|AB|=( )A.3B.6C.9D.12 答案 B2.(2017课标Ⅰ,12,5分)设A,B 是椭圆C:x 23+y 2m =1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足★AMB=120°,则m 的取值范围是( )A.(0,1]★[9,+∞)B.(0,√3]★[9,+∞)C.(0,1]★[4,+∞)D.(0,√3]★[4,+∞) 答案 A3.(2015浙江,15,4分)椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=bcx 的对称点Q 在椭圆上,则椭圆的离心率是 . 答案√224.(2014江西,14,5分)设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左,右焦点为F 1,F 2,过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A,B 两点,F 1B 与y 轴相交于点D,若AD ★F 1B,则椭圆C 的离心率等于 . 答案√335.(2013福建文,15,4分)椭圆Γ:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2c.若直线y=√3(x+c)与椭圆Γ的一个交点M 满足★MF 1F 2=2★MF 2F 1,则该椭圆的离心率等于 . 答案 √3-16.(2017天津,20,14分)已知椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E 的坐标为(0,c),★EFA 的面积为b 22. (1)求椭圆的离心率;(2)设点Q 在线段AE 上,|FQ|=32c,延长线段FQ 与椭圆交于点P,点M,N 在x 轴上,PM ★QN,且直线PM 与直线QN 间的距离为c,四边形PQNM 的面积为3c. (i)求直线FP 的斜率; (ii)求椭圆的方程.解析 (1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得12(c+a)c=b 22. 又由b 2=a 2-c 2,可得2c 2+ac-a 2=0,即2e 2+e-1=0. 又因为0<e<1,解得e=12.所以,椭圆的离心率为12.(2)(i)依题意,设直线FP 的方程为x=my-c(m>0),则直线FP 的斜率为1m.由(1)知a=2c,可得直线AE 的方程为x 2c +yc =1,即x+2y-2c=0,与直线FP 的方程联立,可解得x=(2m -2)c m+2,y=3c m+2,即点Q 的坐标为((2m -2)c m+2,3c m+2).由已知|FQ|=32c,有[(2m -2)c m+2+c]2+(3cm+2)2=(3c 2)2,整理得3m 2-4m=0,所以m=43,即直线FP 的斜率为34.(ii)由a=2c,可得b=√3c,故椭圆方程可以表示为x 24c 2+y 23c 2=1.由(i)得直线FP 的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得{3x -4y +3c =0,x 24c 2+y 23c 2=1,消去y, 整理得7x 2+6cx-13c 2=0, 解得x=-13c 7(舍去),或x=c.因此可得点P (c,3c2),进而可得|FP|=√(c +c)2+(3c 2)2=5c2,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=5c 2-3c2=c.由已知,线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离,故直线PM 和QN 都垂直于直线FP.因为QN ★FP,所以|QN|=|FQ|·tan ★QFN=3c2×34=9c8,所以★FQN 的面积为12|FQ||QN|=27c 232,同理★FPM的面积等于75c 232,由四边形PQNM 的面积为3c,得75c 232-27c 232=3c,整理得c 2=2c,又由c>0,得c=2.所以,椭圆的方程为x 216+y 212=1.方法点拨 1.求离心率常用的方法:(1)直接求a,c,利用定义求解;(2)构造a,c 的齐次式,利用方程思想求出离心率e 的值.2.求直线斜率的常用方法:(1)公式法:k=y 1-y 2x 1-x 2(x 1≠x 2),其中两点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2);(2)利用导数的几何意义求解;(3)直线的方向向量a =(m,n),则k=nm(m ≠0);(4)点差法.3.解决四边形或三角形的面积问题时,注意弦长公式与整体代换思想的应用.7.(2016四川,20,13分)已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P (√3,12)在椭圆E 上. (1)求椭圆E 的方程;(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A,B,线段AB 的中点为M,直线OM 与椭圆E 交于C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|. 解析 (1)由已知得,a=2b.又椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点P (√3,12), 故34b 2+14b 2=1, 解得b 2=1.所以椭圆E 的方程是x 24+y 2=1.(2)证明:设直线l 的方程为y=12x+m(m ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由方程组{x 24+y 2=1,y =12x +m,得x 2+2mx+2m 2-2=0,① 方程①的判别式为Δ=4(2-m 2),由Δ>0,即2-m 2>0,解得-√2<m<√2.由①得x 1+x 2=-2m,x 1x 2=2m 2-2.所以M 点坐标为(-m,m2),直线OM 的方程为y=-12x, 由方程组{x 24+y 2=1,y =-12x,得C (-√2,√22),D (√2,-√22). 所以|MC|·|MD|=√52(-m+√2)·√52(√2+m)=54(2-m 2).又|MA|·|MB|=14|AB|2=14[(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2]=516[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=516[4m 2-4(2m 2-2)]=54(2-m 2), 所以|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.8.(2013重庆,21,12分)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x 轴上,离心率e=√22,过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A,A'两点,|AA'|=4. (1)求该椭圆的标准方程;(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P',过P,P'作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.求★PP'Q 的面积S 的最大值,并写出对应的圆Q 的标准方程.解析 (1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则(-c)2a 2+22b 2=1.从而e 2+4b 2=1.由e=√22得b 2=41-e 2=8,从而a 2=b 21-e 2=16.故该椭圆的标准方程为x 216+y 28=1.(2)由椭圆的对称性,可设Q(x 0,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x 0)2+y 2=x2-2x 0x+x 02+8(1-x 216)=12(x-2x 0)2-x 02+8(x ★[-4,4]).设P(x 1,y 1),由题意,知P 是椭圆上到Q 的距离最小的点,因此,上式当x=x 1时取最小值,又因x 1★(-4,4),所以上式当x=2x 0时取最小值,从而x 1=2x 0,且|QP|2=8-x 02. 由对称性知P'(x 1,-y 1),故|PP'|=|2y 1|,所以S=12|2y 1||x 1-x 0|=12×2√8(1-x 1216)|x 0|=√2√(4-x 02)x 02=√2√-(x 02-2)2+4.当x 0=±√2时,★PP'Q 的面积S 取到最大值2√2.此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q(±√2,0),半径|QP|=√8-x 02=√6,因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+√2)2+y 2=6,(x-√2)2+y 2=6.评析本题考查了椭圆的标准方程及几何性质.在解与椭圆有关的最值问题时,建立目标函数,用方程消参转化为二次函数的最值问题,并注意x,y 的范围是解题关键.考查了数形结合及运算求解能力.9.(2013天津,18,13分)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为√33,过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4√33.(1)求椭圆的方程;(2)设A 、B 分别为椭圆的左、右顶点,过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C,D 两点.若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =8,求k 的值. 解析 (1)设F(-c,0),由c a =√33,知a=√3c.过点F 且与x 轴垂直的直线为x=-c,代入椭圆方程有(-c)2a 2+y 2b 2=1,解得y=±√6b3,于是2√6b 3=4√33,解得b=√2,又a 2-c 2=b 2,从而a=√3,c=1,所以椭圆的方程为x 23+y 22=1.(2)设点C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),由F(-1,0)得直线CD 的方程为y=k(x+1), 由方程组{y =k(x +1),x 23+y 22=1消去y,整理得(2+3k 2)x 2+6k 2x+3k 2-6=0.根据根与系数的关系知x 1+x 2=-6k 22+3k 2, x 1x 2=3k 2-62+3k 2.因为A(-√3,0),B(√3,0),所以AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+√3,y 1)·(√3-x 2,-y 2)+(x 2+√3,y 2)·(√3-x 1,-y 1) =6-2x 1x 2-2y 1y 2=6-2x 1x 2-2k 2(x 1+1)(x 2+1)=6-(2+2k 2)x 1x 2-2k 2(x 1+x 2)-2k 2=6+2k 2+122+3k 2.由已知得6+2k 2+122+3k 2=8,解得k=±√2.评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.考点三 直线与椭圆的位置关系1.(2014安徽文,14,5分)设F 1,F 2分别是椭圆E:x 2+y 2b 2=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F 1的直线交椭圆E 于A,B 两点.若|AF 1|=3|F 1B|,AF 2★x 轴,则椭圆E 的方程为 . 答案 x 2+32y 2=12.(2014江西,15,5分)过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)相交于A,B 两点,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率等于 . 答案√223.(2014辽宁,20,12分)圆x 2+y 2=4的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图). (1)求点P 的坐标;(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P,且与直线l:y=x+√3交于A,B 两点.若★PAB 的面积为2,求C 的标准方程.解析 (1)设切点坐标为(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0),则切线斜率为-x0y 0,切线方程为y-y 0=-x0y 0(x-x 0),即x 0x+y 0y=4.此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=12·4x 0·4y 0=8x0y 0,由x 02+y 02=4≥2x 0y 0知当且仅当x 0=y 0=√2时x 0y 0有最大值,即S 有最小值,因此点P 的坐标为(√2,√2).(2)设C 的标准方程为x 2a2+y 2b2=1(a>b>0),点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).由点P 在C 上知2a2+2b2=1,并由{x 2a 2+y 2b 2=1,y =x +√3得b 2x 2+4√3x+6-2b 2=0,又x 1,x 2是方程的根,因此{x 1+x 2=-4√3b 2,x 1x 2=6-2b 2b2,由y 1=x 1+√3,y 2=x 2+√3,得|AB|=√2|x 1-x 2|=√2·√48-24b 2+8b 4b 2.由点P 到直线l 的距离为√3√2及S ★PAB =12×√3√2|AB|=2得b 4-9b 2+18=0,解得b 2=6或3,因此b 2=6,a 2=3(舍)或b 2=3,a 2=6, 从而所求C 的方程为x 26+y 23=1.4.(2014课标Ⅱ,20,12分)设F 1,F 2分别是椭圆C:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直.直线MF 1与C 的另一个交点为N. (1)若直线MN 的斜率为34,求C 的离心率;(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且|MN|=5|F 1N|,求a,b. 解析 (1)根据c=√a 2-b 2及题设知M (c,b 2a ),2b 2=3ac.将b 2=a 2-c 2代入2b 2=3ac,解得c a =12或ca=-2(舍去).故C 的离心率为12.(2)由题意,知原点O 为F 1F 2的中点,MF 2★y 轴,所以直线MF 1与y 轴的交点D(0,2)是线段MF 1的中点,故b 2a =4,即b 2=4a,① 由|MN|=5|F 1N|得|DF 1|=2|F 1N|. 设N(x 1,y 1),由题意知y 1<0,则{2(-c -x 1)=c,-2y 1=2,即{x 1=-32c,y 1=-1. 代入C 的方程,得9c 24a 2+1b 2=1.② 将①及c=2-b 2代入②得9(a 2-4a)4a 2+14a=1.解得a=7,b 2=4a=28.故a=7,b=2√7.评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力. 5.(2015陕西,20,12分)已知椭圆E:x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O 到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E 的离心率;(2)如图,AB 是圆M:(x+2)2+(y-1)2=52的一条直径,若椭圆E 经过A,B 两点,求椭圆E 的方程.解析 (1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0, 则原点O 到该直线的距离d=√2=bca, 由d=12c,得a=2b=2√a 2-c 2,解得离心率c a=√32.(2)解法一:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.① 依题意得,圆心M(-2,1)是线段AB 的中点,且|AB|=√10. 易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k 2)x 2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b 2=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1+x 2=-8k(2k+1)1+4k 2,x 1x 2=4(2k+1)2-4b 21+4k 2.由x 1+x 2=-4,得-8k(2k+1)1+4k2=-4,解得k=12.从而x 1x 2=8-2b 2.于是|AB|=√1+(12)2|x 1-x 2|=√52√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√10(b 2-2).由|AB|=√10,得√10(b 2-2)=√10,解得b 2=3.故椭圆E 的方程为x 212+y 23=1.解法二:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.② 依题意得,点A,B 关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=√10.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 12+4y 12=4b 2,x 22+4y 22=4b 2, 两式相减并结合x 1+x 2=-4,y 1+y 2=2, 得-4(x 1-x 2)+8(y 1-y 2)=0,易知AB 与x 轴不垂直,则x 1≠x 2, 所以AB 的斜率k AB =y 1-y 2x 1-x 2=12.因此直线AB 的方程为y=12(x+2)+1,代入②得x 2+4x+8-2b 2=0.所以x 1+x 2=-4,x 1x 2=8-2b 2.于是|AB|=√1+(12)2|x 1-x 2|=√52√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√10(b 2-2).由|AB|=√10,得√10(b 2-2)=√10,解得b 2=3.故椭圆E 的方程为x 212+y 23=1.评析本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质,直线与椭圆的位置关系,圆的标准方程等基础知识,巧妙利用根与系数的关系或点差法构造关于参数的方程是求解的关键.考查学生的运算求解能力及方程思想的应用能力.6.(2014天津,18,13分)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=√32|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB 为直径的圆经过点F 1,经过点F 2的直线l 与该圆相切于点M,|MF 2|=2√2.求椭圆的方程. 解析 (1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0). 由|AB|=√32|F 1F 2|,可得a 2+b 2=3c 2, 又b 2=a 2-c 2,所以c 2a 2=12. 所以,椭圆的离心率e=√22.(2)由(1)知a 2=2c 2,b 2=c 2.故椭圆方程为x 22c 2+y 2c 2=1.设P(x 0,y 0).由F 1(-c,0),B(0,c),有F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0+c,y 0),F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c,c).由已知,有F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即(x 0+c)c+y 0c=0.又c ≠0,故有x 0+y 0+c=0.①因为点P 在椭圆上,故x 022c 2+y 02c 2=1.②由①和②可得3x 02+4cx 0=0.而点P 不是椭圆的顶点,故x 0=-43c,代入①得y 0=c3,即点P 的坐标为(-4c 3,c3).设圆的圆心为T(x 1,y 1),则x 1=-43c+02=-23c,y 1=c3+c 2=23c,进而圆的半径r=√(x 1-0)2+(y 1-c)2=√53c.由已知,有|TF 2|2=|MF 2|2+r 2,又|MF 2|=2√2,故有 (c +23c)2+(0-23c)2=8+59c 2, 解得c 2=3.所以,所求椭圆的方程为x 26+y 23=1.评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力. 7.(2014广东,20,14分)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的一个焦点为(√5,0),离心率为√53. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)若动点P(x 0,y 0)为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.解析 (1)由题意得c=√5,∵e=c a =√53,∴a=3, ∴b=√a 2-c 2=2,∴椭圆C 的标准方程为x 29+y 24=1.(2)当过P 点的两条切线的斜率均存在时,不妨设为k 1、k 2, 则过P 点的切线方程可设为y-y 0=k(x-x 0)★y=kx+y 0-kx 0,由{y =kx +y 0-kx 0,x 29+y 24=1消去y,有(4+9k 2)x 2+18k(y 0-kx 0)x+9[(y 0-kx 0)2-4]=0,Δ=[18k(y 0-kx 0)]2-4(4+9k 2)×9[(y 0-kx 0)2-4]=0,整理得(9-x 02)k 2+2x 0y 0k-y 02+4=0, ∴k 1k 2=4-y 029-x 02(x 0≠±3),由已知得k 1k 2=-1, ∴4-y 029-x 02=-1,∴x 02+y 02=13,即此时点P 的轨迹方程为x 02+y 02=13.当两条切线中有一条垂直于x 轴时,此时两条切线方程应分别为x=3,y=2或x=-3,y=2或x=3,y=-2或x=-3,y=-2,P 点坐标为(3,2)或(-3,2)或(3,-2)或(-3,-2),均满足方程x 02+y 02=13.综上所述,所求P 点的轨迹方程为x 02+y 02=13.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2019北京丰台一模,7)已知F 1,F 2为椭圆M:x 2m2+y 22=1和双曲线N:x 2n2-y 2=1的公共焦点,P 为它们的一个公共点,且PF 1★F 1F 2,那么椭圆M 和双曲线N 的离心率之积为( ) A.√2 B.1 C.√22 D.12答案 B2.(2019北京昌平期末,8)设点F 1、F 2分别为椭圆C:x 29+y 25=1的左、右焦点,点P 是椭圆C 上任意一点,若使得PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m 成立的点恰好是4个,则实数m 的值可以是( ) A.12 B.3 C.5 D.8 答案 B3.(2020届北京朝阳期中,8)设F 1,F 2为椭圆C:x 29+y 25=1的两个焦点,M 为C 上一点且在第二象限.若★MF 1F 2为等腰三角形,则点M 的横坐标为( ) A.32 B.√152C.-√152D.-32答案 D二、填空题(共5分)4.(2020届北京清华大学中学生标准学术能力测试11月,16)已知P 为椭圆C:x 24+y 23=1上一个动点,F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点,O 为坐标原点,O 到椭圆C 在P 点处的切线的距离为d,若|PF 1|·|PF 2|=247,则d= .答案√142三、解答题(共50分)5.(2019北京丰台一模文,20)已知椭圆W:x 2+2y 2=2,直线l 1:y=kx+m(km ≠0)与椭圆W 交于A,B。
