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考点陪练
1.已知△ABC中, a = 2, b = 3 , B = 60°, 那么角A等于( A.135° B.90° C.45° D.30°
a b 2 解析 :由正弦定理 = ,得 = sinA sinB sinA
)
3 2 , 可得sinA = . 2 3 2 又a = 2 < b = 3, 所以A < B, 所以A = 45°.
2.余弦定理 (1)余弦定理的内容 , c2=b2+a2-2bacosC -2bacosC, , b2=a2+c2-2accosB -2accosB, . a2=b2+c2-2bccosA -2bccosA.
(2)余弦定理的变形
b2 + c2 − a 2 cosA = ; 2bc a 2 + c2 − b2 cosB = ; 2ac a 2 + b2 − c2 cosC = . 2ab
[反思感悟]在测量高度时 ,要理解仰角 俯角的概念 .仰角和俯 角都是在同一铅垂面内 ,视线与水平线的夹角 ,当视线在水 平线之上时 ,称为仰角 ;当视线在水平线之下时 ,称为俯角.
解斜三角形应用题的一般步骤是 : ①准确理解题意 ,分清已知与所求 ; ②依题意画出示意图 ; ③分析与问题有关的三角形 ; ④运用正 余弦定理 ,有序地解相关的三角形 ,逐步求解问题 的答案; ⑤注意方程思想的运用 ; ⑥要把立体几何知识与平面几何知识综合运用 .
3.
解法二:由余弦定理得 :|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|·|BC|cosB, 即:4=12+|BC|2-2× ×|BC|×
2 3
3 , 2
∴|BC|2-6|BC|+8=0,∴|BC|=2或|BC|=4.
1 (1)当|BC|=2时,S△= |AB|·|BC|·sinB 2 1 1 = × 2 3 × 2 × = 3. 2 2 1
【典例1】在△ABC中,若∠B=30 °, B=30° △ABC的面积. [解]解法一:根据正弦定理有 ∴sinC=
AB = 2 3, AC=2,求
1 ABsinB 2 3 × 2 3 = = . AC 2 2
AB AC = , sinC sinB
由AB>AC知∠C>∠B,则∠C有两解.
°,∠A=90 °,由三角形面积公式得 : (1)当C为锐角时,∠C=60 C=60° A=90° S=
∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B ∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B= ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形 .
π . 2
解法二:同解法一可得 2a2cosAsinB=2b2cosBsinA, 由正、余弦定理得 2 2 2 2 2 2 a + c − b b +c −a 2 a2b• =b a• 2ac 2bc ∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), 即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,∴a=b或c2=a2+b2, ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形 .
答案:D
5.(2010·湖南)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为 a,b,c. 若∠C=120 °, C=120° A.a>b B.a<b C.a=b D.a与b的大小关系不能确定 解析:c2=a2+b2-2abcos120 °⇒a2-b2-ab=0⇒b= -2abcos120° <a,故选A. 答案:A a, c则 =(2 )
− a + 5a 2
类型一
正弦定理和余弦定理的应用
解题准备:1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关 系,根据题目的实际情况 ,我们可以选择其中一种使用 ,也可 以综合起来运用 . 2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理 ,因为用正弦定理 虽然运算量较小 ,但容易产生增解或漏解 .
3.综合运用正 余弦定理解三角形问题时 ,要注意以下关系式 的运用:A+B+C=π,sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=A+ B C A+ B C = cos , cos = sin . cosC,tan(A+B)=- tanC , sin 2 2 2 2
解析 :由( a 2 + c2 − b 2 ) tanB = 3ac, 联想到余弦定理并代入
a 2 + c 2 − b2 3 1 3cosB 得cosB = = i = . 2ac 2 tanB 2sinB π 3 π 2π 显然B ≠ ,∴ sinB = , 在(0, π )内B = 或 . 2 2 3 3
第二十二讲正弦定理和余弦定理
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威海
1.正弦定理 (1)内容: 圆的半径 ).
a b c = = (其中R为△ABC外接 2R( sinA sinB sinC = 2R
(2)正弦定理的几种常见变形 ①a=2RsinA,b=2RsinB,c= 2RsinC ; a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC 2RsinC; ② 圆半径)
sin(α + β ) h± m. sin( β − α )
[证明]如图,设湖面上高h m处为A,测得云C的仰角为α,测得 C在湖中之影 D的俯角为β,CD与湖面交于M,过A的水平线 交CD于E.
设云高CM = x m, 则CE = x − h, x−h DE = x + h, AE = . tanα x+h x−h x+h 又AE = ,∴ = tanβ tanα tan β tanβ + tanα sin(α + β ) 解得x = i h = hi ( m ). tanβ − tanα sin ( β − α )
a b c 其中 是△ R ABC外接 sinA = , sinB = , sinC = ( ; 2R 2R 2R
③asinB= bsinA ,bsinC=csinB, asinC =csinA; asinB=bsinA bsinA,bsinC=csinB, ,bsinC=csinB,asinC asinC=csinA; ④a:b:c=sinA:sinB:sinC.
解题准备:1.这类题型主要是利用正 余弦定理及其变形 ,把 题设条件中的边 角关系转化为角或边的简单关系 ,从而 进行判断 .
2.判断三角形的形状的思路大致有两种 :一是化边为角 ,以角 为着眼点 ,利用正 余弦定理及变形 ,把已知条件转化为内 角三角函数之间的关系 ,走三角变形之路 ;二是化角为边 ,以 边为着眼点 ,利用正 余弦定理及变形 ,把已知条件转化为 边的关系 ,走代数变形之路 .在运用这些方法对等式变形时 , 一般两边不约去公因式 ,应移项提公因式 ,以免产生漏解 .
答案:D
4.在△ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c,若 则角A等于( )
a = 3, bB=45 = 2,°, B=45°
A.30 ° B.30 °或105 ° A.30° B.30° 105° ° D.60 °或120 ° C.60 C.60° D.60° 120°
a b 解析 :由正弦定理得 = , sinA sinB asinB 3 ∴ sinA = = . b 2 π π 2π 又 ∵ A ∈ ( , π ),∴ A = 或A = .故选D. 4 3 3
答案:C
2.△ABC的边分别为 a b c, 且 a = 1, c = 4 2 , B = 45°, 则△ABC 的面积为( )
A.4 3 C.2
B.5
D.6 2 1 1 解析 : S△ ABC = acsinB = ×1× 4 2 × sin45° = 2. 2 2
答案:C
3.在△ABC中, 角A B C的对边分别为a、b、c, 若 ( a 2 + c 2 − b 2 ) tanB = 3ac, 则角B的值为( π π A. B. 6 3 π 5π π 2π C. 或 D. 或 6 6 3 3 )
[反思感悟]判断三角形形状主要有如下两条途径 : (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系 ,通过因式 分解、配方等得出边的相应关系 ,从而判断三角形的形状 ; (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的 关系,通过三角函数恒等变形 ,得出内角的关系 ,从而判断出 三角形的形状 ,此时要注意应用 A+B+C=π这个结论.在两 种解法的等式变形中 ,一般两边不要约去公因式 ,应移项提 取公因式 ,以免漏解.
3.测量角度问题 ,首先要明确方位角 方向角的含义 :指北或 指南方向线与目标方向线所成的 0°~90 °的角叫做方向角 : ~90° 从指正北方向线顺时针转到目标方向线所成的角度叫做方 位角. 4.方向角是解三角形实际问题中经常出现的 .目标方向角一般 可用“x偏x多少度”来表示,这里第一个“x”是“北”或 “南”,第二个“x”是“东”或“西”.如北偏东25 °等. 25°
1 为钝角时,∠C=120 °,∠A=30 °,由三角形面积公式得 : (2)当C2 C=120° A=30°
S=
AB·AC·sinA=
1 ×2 3 2
2 3 ×2×sin90 ° = sin90°
.
1 ∴△ 2ABC的面积为
AB·AC·sinA=
1 1 × 2 3 × 2 × = 3, 或2 2
2 3
类型三
测量高度和角度问题
解题准备:1.在测量高度的问题中 ,要正确理解仰角 俯角和 坡角 坡度等特定的相关概念 ,画出准确的示意图 . 2.(1)仰角 俯角:在视线和水平线所成的角中 ,视线在水平线 上方的角叫仰角 ,视线在水平线下方的角叫俯角 . (2)坡角 坡度:坡面与水平面的夹角叫做坡角 ;坡面的竖直高 度与水平宽度的比值叫做坡度 .
(3)勾股定理是余弦定理的特殊情况 °,则上述关系式分 在余弦定理表达式中分别令 A B C为90 90° 别化为:a2=b2+c2,b2=a2+c2,c2=a2+b2.