河南省许昌市禹州市2019年中考数学一模试题

2019年河南省许昌市禹州市中考数学一模试卷副标题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.若一元二次方程x2-8x+a=0有一个根是x=3，则方程的另一个根是（）A. B. C. D.2.在我们的日常生活中，经常会看到许多美妙的中心对称图形，下列电视台的台标中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.已知∠A为锐角，且sin A=，那么∠A等于（）A. B. C. D.4.如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE=4，则BC的长（）A. 8B. 10C. 12D. 165.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、BD、OD、OC，若∠ABD=15°，且AD∥OC，则∠BOC的度数为（）A. B. C. D.6.如图，直线y1=kx+n（k≠0）与抛物线y2=ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（-1，0），B（2，-3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是（）A. B. C. 或D.7.某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（）A. 3B. 4C. 1D. 28.对于二次函数y=2x2+x-3，下列结果中正确的是（）A. 抛物线有最小值是B. 时y随x的增大而减小C. 抛物线的对称轴是直线D. 图象与x轴没有交点9.如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=（k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、D，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 1110.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，∠ACB=36°，AB=BC，AC=2，则AB的长度是（）A.B. 1C.D.二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.关于x的一元二次方程（x+1）（x-2）=1的两根为______．12.如果一次函数y=2x+3与反比例函数y=（k≠0）有交点，那么k的取值范围是______．13.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan C=，∠BAC=105°，AC=2，那么BC的长度为______．14.如图，在计算机白色屏幕上有一个矩形画刷ABCD，它的边AB=1，AD=，以B点为中心，将矩形ABCD按顺时针方向转动到A′B′C′D′的位置（A′点在对角线BD上），则与线段A′D及线段A′D′所围成的图形的面积为______（结果保留π）．15.如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在边AD上，若AB=8，BC=10，则CE=______．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）16.已知关于x的方程x2-（m+3）x+4m-4=0；（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=5，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．17.消费者在许昌市某火锅店饭后买单时可以参与一个抽奖游戏，规则如下：有4张纸牌，它们的背面都是小猪佩奇头像，正面为2张笑脸、2张哭脸．现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，然后让消费者去翻纸牌．（1）现小杨有一次翻牌机会，若正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖．她从中随机翻开一张纸牌，小芳获奖的概率．（2）如果小杨、小月都有翻两张牌的机会．小杨先翻一张，放回后再翻一张；小月同时翻开两张纸牌．他们翻开的两张纸牌中只要出现一张笑脸就获奖．他们谁获奖的机会更大些？通过树状图或列表法分析说明理由．18.如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果半径的长为3，tan D=，求AE的长．19.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（n≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与x轴交于点C，点B坐标为（m，-1），AD⊥x轴，且AD=3，tan∠AOD=．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）点E是x轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E 点的坐标．20.在某海域，一艘海监船在P处检测到南偏西45°方向的B处有一艘不明船只，正沿正西方向航行，海监船立即沿南偏西60°方向以40海里/小时的速度去截获不明船只，经过1.5小时，刚好在A处截获不明船只，求不明船只的航行速度．（≈1.41，≈1.73，结果保留一位小数）．21.位于郑州市二七区的二七德化步行街是郑州最早的商业文化购物步行街，在郑州乃至中原都相当有名，德化步行街某店铺经营某种品牌童装，购进时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件．（1）求出销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售该品牌童装获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）若童装厂规定该品牌童装的销售单价不低于56元且不高于60元，则此服装店销售该品牌童装获得的最大利润是多少？22.在△ABC的边BC上取B′、C′两点，使∠AB′B=∠AC′C=∠BAC．（1）如图1中∠BAC为直角，∠BAC=∠AB′B=∠AC′C=90°（点B′与点C′重合），则△ABC∽△B'BA∽△C'AC，，，进而可得AB2+AC2=______；（2）如图2中当∠BAC为锐角，图3中∠BAC为钝角时（1）中的结论还成立吗？若不成立，则AB2+AC2等于什么（用含用BC和B′C′的式子表示）？并说明理由．（3）若在△ABC中，AB=5，AC=6，BC=9，请你先判断出△ABC的类型，再求出B′C′的长．23.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0）、B（4，0），C（0，2）三点，直线y=kx+t经过B、C两点，点D是抛物线上一个动点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E．（1）求直线和抛物线的解析式；（2）当点D在直线BC下方的抛物线上运动，使线段DE的长度最大时，求点D的坐标；（3）点D在运动过程中，若使O、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点D的坐标．答案和解析1.【答案】B【解析】解：设方程的另一根为x，则x+3=8，解得x=5．故选：B．利用根与系数的关系求得方程的另一根．本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．在利用根与系数的关系x1+x2=-时，一定要弄清楚公式中字母a、b所表示的意义．2.【答案】A【解析】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.【答案】D【解析】解：∵sinA=，∴∠A=60°．故选：D．直接利用特殊角的三角函数值得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．4.【答案】C【解析】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵，∴=，∴，∵DE=4，∴BC=12．故选：C．根据DE∥BC，于是得到△ADE∽△ABC，求得比例式，代入数据即可得到结果．本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握其性质定理是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵AB是⊙O的直径，∠ABD=15°，∴∠ADB=90°，∴∠A=75°，∵AD∥OC，∴∠AOC=75°，∴∠BOC=180°-75°=105°，故选：B．根据直径所对的圆周角是90°和平行线的性质解答即可．此题考查圆周角定理，关键是根据直径所对的圆周角是90°和平行线的性质解答．6.【答案】A【解析】解：根据图象可知：当x＜-1时，y1＜y2，当x=-1时，y1=y2，当-1＜x＜2时，y1＞y2，当x=2时，y1=y2，当x＞2时，y1＜y2，故选：A．根据函数图象，分别讨论当x＜-1，x=-1，-1＜x＜2，x=2，x＞2时，y1和y2的大小关系，即可得到答案．本题考查了二次函数与不等式（组），正确掌握观察函数图象是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：由题意甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜可知，绿球与黑球的个数应相等，也为2x个，列方程可得x+2x+2x=10，解得x=2，故选：D．游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8.【答案】A【解析】解：∵y=2x2+x-3=2（x+）2-，∴抛物线的对称轴为直线x=-，二次函数有最小值-；所以A选项正确，C 选项错误；当x＜-时，y随x的增大而减小，所以B选项错误；∵方程2x2+x-3=0有两个不相等的实数解，∴抛物线与x轴有两个交点，所以D选项错误．故选：A．先把抛物线解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质对A、B、C进行判断；利用方程2x 2+x-3=0有两个不相等的实数解可对D 进行判断．本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 9.【答案】D【解析】解：∵双曲线（k≠0）在第一象限，∴k ＞0，延长线段BA ，交y 轴于点E ， ∵AB ∥x 轴 ∴AE ⊥y 轴，∴四边形AEOD 是矩形， ∵点A 在双曲线 上， ∴S 矩形AEOD =3， 同理S 矩形OCBE =k ，∵S 矩形ABCD =S 矩形OCBE -S 矩形AEOD =k-3=8， ∴k=11． 故选：D ．先根据反比例函数的图象在第一象限判断出k 的符号，再延长线段BA ，交y 轴于点E ，由于AB ∥x 轴，所以AE ⊥y 轴，故四边形AEOD 是矩形，由于点A 在双曲线上，所以S 矩形AEOD =3，同理可得S 矩形OCBE =k ，由S 矩形ABCD =S 矩形OCBE -S 矩形AEOD 即可得出k 的值．本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，即在反比例函数图象上任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 10.【答案】A【解析】【分析】本题考查相似三角形的应用，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．首先证明DA=ED=EC，设AB=x，则AD=DE=EC=x，由△DAE∽△CAD，可得AD2=AE•AC，由此构建方程即可解决问题．【解答】解：∵AB=BC，∠ACB=36°，∴∠BAC=∠ACB=36°，∠B=∠CED=108°，∴∠AED=72°，∴CA=CD，∠ACD=36°，∴∠CAD=∠CDA=72°，∴∠ADE=∠ACD=36°，∴DA=ED=EC，设AB=x，则AD=DE=EC=x，∵∠DAE=∠CAD，∠ADE=∠ACD，∴△DAE∽△CAD，∴AD2=AE•AC，∴x2=（2-x）•2，∴x=-1或--1（舍弃），∴AB=-1，故选：A．11.【答案】x1=，x2=【解析】解：原方程整理可得：x2-x-3=0，∵a=1，b=-1，c=-3，△=1+12=13，∴x=∴x1=，x2=，故答案为：x1=，x2=．整理成一般式后利用公式法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握公式法是解题的关键．12.【答案】k≥-【解析】解：∵一次函数y=2x+3与反比例函数y=（k≠0）有交点，∴方程2x+3=有实数根，整理，得2x2+3x-k=0，∴△=9+8k≥0，解得k≥-．故答案为k≥-．由于一次函数y=2x+3与反比例函数y=（k≠0）有交点，则可知方程2x+3=有实数根，将方程变形为2x2+3x-k=0，利用判别式△≥0即可求出k的取值范围．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了根的判别式．13.【答案】1+【解析】解：∵tanC=，∴∠C=30°，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴∠CAD=60°，∵AC=2，∴AD=AC=1，CD=AD=，∵∠BAC=105°，∴∠BAD=∠ABD=45°．在Rt△ADB中，BD=AD=1，∴BC=1+．故答案为：1+．根据已知条件得到∠C=30°，根据三角形的内角和得到∠CAD=60°，解直角三角形即可得到结论．本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．14.【答案】π-【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵AB=1，AD=，∴BD==2，∴∠ADB=30°，∠ABD=60°，∵将矩形ABCD按顺时针方向转动到A′B′C′D′的位置，∴∠A′B′D′=∠ABD=60°，A′B′=AB=2，A′D′=AD=，∴与线段A′D及线段A′D′所围成的图形的面积=S-S△A′B′D′=扇形DBD′-×1×=π-，故答案为：π-．根据矩形的性质得到∠A=90°，根据勾股定理得到BD==2，根据旋转的性质得到∠A′B′D′=∠ABD=60°，A′B′=AB=2，A′D′=AD=，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．本题考查了矩形的性质，勾股定理，特殊角的三角函数，旋转的性质，扇形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．15.【答案】5【解析】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD=8，AD=BC=10，∠A=∠D=90°，∵将△BCE沿BE折叠为△BFE，∴BF=BC=10，EF=CE，在Rt△ABF中，AF==6∴DF=AD-AF=4在Rt△DEF中，DF2+DE2=EF2=CE2，∴16+（8-CE）2=CE2，∴CE=5故答案为：5由矩形的性质可得AB=CD=8，AD=BC=10，∠A=∠D=90°，由折叠的性质可求BF=BC=10，EF=CE，由勾股定理可求AF的长，CE的长．本题考查了翻折变换，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．16.【答案】（1）证明：∵△=[-（m+3）]2-4（4m-4）=（m-5）2≥0，∴无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）解：将x=5代入原方程，得：25-5m-15+4m-4=0，解得：m=6，∴原方程为x2-9x+20=0，解得：x1=4，x2=5．∵4、5、5能组成三角形，∴该三角形的周长为4+5+5=14．【解析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=[-（m+3）]2-4（4m-4）=（m-5）2≥0，由此即可证出：无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）将x=5代入原方程可求出m值，代入m值解方程即可求出b、c的长度，再根据三角形的三边关系及三角形的周长公式即可求出△ABC的周长．本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）代入x=5求出m值．17.【答案】解：（1）有4张纸牌，它们的背面都是小猪佩奇头像，正面为2张笑脸、2张哭脸，翻一次牌正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖，则小芳获奖的概率=；（2）设两张笑脸牌分别为笑1，笑2，两张哭脸牌分别为哭1，哭2，画树状图如下：小杨：∵共有12种等可能的结果，翻开的两张纸牌中出现笑脸的有10种情况，∴小杨获奖的概率是：=；小月：∵共有16种等可能的结果，翻开的两张纸牌中出现笑脸的有12种情况，∴小月获奖的概率是：=；∵＞，∴P（小杨获奖）＞P（小月获奖），∴小杨获奖的机会更大些．【解析】（1）根据概率公式直接求解即可；（2）首先根据题意分别画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果与获奖的情况，再利用概率公式求解即可求得他们获奖的概率，比较即可求得答案．此题考查了列表法或树状图法求概率．注意小杨属于不放回实验，小月属于放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18.【答案】（1）证明：连接OC，如图，∵点C为弧BF的中点，∴弧BC=弧CF．∴∠BAC=∠FAC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC．∴∠OCA=∠FAC，∴OC∥AE，∵AE⊥DE，∴OC⊥DE．∴DE是⊙O的切线；（2）解：在Rt△OCD中，∵tan D==，OC=3，∴CD=4，∴OD==5，∴AD=OD+AO=8，在Rt△ADE中，∵sin D===，∴AE=．【解析】（1）连接OC，如图，由弧BC=弧CF得到∠BAC=∠FAC，加上∠OCA=∠OAC．则∠OCA=∠FAC，所以OC∥AE，从而得到OC⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）先在Rt△OCD中利用正切定义计算出CD=4，再利用勾股定理计算出OD=5，则sinD=，然后在Rt△ADE中利用正弦的定义可求出AE的长．本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．19.【答案】解：（1）如图，在Rt△OAD中，∠ADO=90°，∵tan∠AOD=，AD=3，∴OD=2，∴A（-2，3），把A（-2，3）代入y=，考点：n=3×（-2）=-6，所以反比例函数解析式为：y=-，把B（m，-1）代入y=-，得：m=6，把A（-2，3），B（6，-1）分别代入y=kx+b，得：，解得：，所以一次函数解析式为：y=-x+2；（2）当y=0时，-x+2=0，解得：x=4，则C（4，0），所以△ ；（3）当OE3=OE2=AO=，即E2（-，0），E3（，0）；当OA=AE1=时，得到OE1=2OD=4，即E1（-4，0）；当AE4=OE4时，由A（-2，3），O（0，0），得到直线AO解析式为y=-x，中点坐标为（-1，1.5），令y=0，得到y=-，即E4（-，0），综上，当点E（-4，0）或（，0）或（-，0）或（-，0）时，△AOE是等腰三角形．【解析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；（2）利用一次函数解析式求得C（4，0），即OC=4，即可得出△AOB的面积=×4×3=6；（3）分类讨论：当AO为等腰三角形腰与底时，求出点E坐标即可．此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．20.【答案】解：作PQ垂直于AB的延长线于点Q，由题意得：∠BPQ=45°，∠APQ=60°，AP=1.5×40=60海里，∴在△APQ中，AQ=AP•sin60°=30海里，PQ=AP•cos60°=30海里，∵在△BQP中，∠BPQ=45°，∴PQ=BQ=30海里，∴AB=AQ-BQ=30-30≈21.9海里，∴=14.6海里/小时，∴不明船只的航行速度是14.6海里/小时．【解析】作PQ垂直于AB的延长线于点Q，根据直角三角形的性质和三角函数解答即可．本题考查解直角三角形、方向角、三角函数、特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，学会用转化的思想解决问题，把问题转化为方程解决，属于中考常考题型．21.【答案】解：（1）根据题意得，y=200+（60-x）×20=-20x+1400，所以销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为y=-20x+1400（40≤x≤60）；（2）W=（x-40）y=（x-40）（-20x+1400）=-20x2+2200x-56000，所以销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式W=-20x2+2200x-56000；（3）根据题意得56≤x≤60，w=-20x2+2200x-56000=-20（x-55）2+4500∵a=-20＜0，∴抛物线开口向下，∴当56≤x≤60时，W随x的增大而减小，∴x=56时，W有最大值，最大值=-20（56-55）2+4500=4480（元）．所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元．【解析】（1）销售量y件为200件加增加的件数（60-x）×20；（2）利润w等于单件利润×销售量y件，即W=（x-40）（-20x+1400），整理即可；（3）先利用二次函数的性质得到w=-20x2+2200x-56000=-20（x-55）2+4500，而56≤x≤60，根据二次函数的性质得到当56≤x≤60时，W随x的增大而减小，把x=56代入计算即可得到商场销售该品牌童装获得的最大利润．本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质，特别是二次函数的最值问题解决实际中的最大或最小值问题．22.【答案】BC2【解析】解：（1）如图1中，∵△ABC∽△B'BA∽△C'AC，∴=，=，∴AB2=BB′×BC，AC2=CC′×BC，∴AB2+AC2=BC（BB′+CC′）=BC×BC=BC2，故答案为BC2．（2）不成立．理由：如图2中当∠BAC为锐角时，BB′+CC′-B′C′=BC，且△ABC∽△B'BA∽△C'AC，∴∴=，=，∴AB2=BB′×BC，AC2=CC′×BC，∴AB2+AC2=BC（BB′+CC′）=BC2+BC•B′C′．图3中∠BAC为钝角时，BB′+CC′+B′C′=BC．AB2+AC2=BC（BB′+CC′）=BC2-BC•B′C′．（3）当AB=5，AC=6，BC=9时，则AB2+AC2＜BC2，可知△ABC为钝角三角形，由图3可知：AB2+AC2=BC2-BC•B′C′，∴52+62=92-9B′C′，∴B′C′=．（1）利用相似三角形的性质即可解决问题．（2）结论不成立．利用相似三角形的性质分别求解即可解决问题．（3）利用（2）中结论判断解决问题．本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：（1）把点B（4，0），C（0，2）代入直线y=kx+t，得：，解得，∴y=-x+2；把点A（1，0）、B（4，0），C（0，2）代入y=ax2+bx+c，得：，解得，∴y=x2-x+2；（2）设点D坐标为（m，m2-m+2），E点的坐标为（m，-m+2），∴DE=（-m+2）-（m2-m+2）=-m2+2m=-（m-2）2+2，∴当m=2时，DE的长最大，为2，当m=2时，m2-m+2=-1，∴D（2，-1）；（3）①当D在E下方时，如（2）中，DE=-m2+2m，OC=2，OC∥DE，∴当DE=OC时，四边形OCED为平行四边形，则-m2+2m=2，解得m=2，此时D（2，-1）；②当D在E上方时，DE=（m2-m+2）-（-m+2）=m2-2m，令m2-2m=2，解得m=2，∴此时D（2+2，3-）或（2-2，3+），综上所述，点D的坐标是（2，-1）或（2+2，3-）或（2-2，3+）时，都可以使O、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形．【解析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）设点D坐标为（m，m2-m+2），则E点的坐标为（m，-m+2），由DE=（-m+2）-（m2-m+2）=-m2+2m=-（m-2）2+2可得答案；（3）分点D在DE上方和下方两种情况，用m的代数式表示出DE的长度，依据DE=2得出关于m的方程，解之可得．本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及平行四边形的判定与性质等知识点．第21页，共21页。

许昌市2019年九年级第一次模拟考试数学试卷一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。

1、21-的相反数是（ ） A 、21 B 、21- C 、2 D 、－2 2、许昌市2017年国内生产总值完成1915.5亿元，同比增长9.3%，增速居全省第一位，用科学记数法表示1915.5亿应为（ ）A 、1915.15×108B 、19.155×1010C1.9155×1011D 、1.9155×10123、一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，投掷这样的骰子一次，向上一面点数是偶数的结果有（ ）A 、1种B 、2种C 、3种D 、6种4、如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（ ）下列运算正确的是A 、236a a a =÷B 、32623a a a =⋅C 、()2233a a =D 、1222=-x x 6、上体育课时，小明5次投掷实心球的成绩如下表所示，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）A 、8.2，8.2B 、8.0，8.2C 、8.2，7.8D 、8.2，8.07、如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在BA 的延长线上，点F 在BC 的延长线上，连接EF ，分别交AD 、CD于点G ，H ，则下列结论错误的是（ ）A 、EF EG BE EA =B 、GDAG GH EG =C 、CF BC AE AB =D 、ADCF EH FH = 8、如图，将△ABC 绕点C(0，－1)旋转180°得到△A'B'C，设点A 的坐标为(a ，b)则点A'的坐标为（ ）A 、（－a ，－b ）B 、（－a ，－b －1）C 、(－a ，－b+1)D 、(－a ，－b －2)9、若关于x 的分式方程2122=--x a x 的解为非负数，则a 的取值范围是（ ） A 、a≥1 B 、a ＞1C 、a≥1且a≠4D、a>1且a≠410、如图，在边长为2的正方形ABCD 中剪去一个边长为1的小正方形CEFG ，动点P 从点A 出发，沿A→D→E→F→C→B 的路线绕多边形的边匀速运动到点B 时停止(不含点A和点B)，则△ABP 的面积S 随着时间t 变化的函数图像大致为（ ）A B C D二、填空题(每小题3分，共15分)11、计算：()0214.321π--⎪⎭⎫ ⎝⎛-＝； 12、不等式组⎩⎨⎧<-≥-15211x x 的解集是； 13、若抛物线m x x y +-=22与x 轴只有一个公共点，则m 的值为；14、如图，正方形ABCD 的边长为2，分别以A 、D 为圆心，2为半径画弧BD 、AC ，则图中阴影部分的面积为；15、如图，矩形纸片ABCD 中，AB=3，AD=5，点P 是边BC 上的动点，现将纸片折叠使点A 与点P 重合，折痕与矩形边的交点分别为E ，F ，要使折痕始终与边AB ，AD 有交点，BP 的取值范围是。

2019年许昌市一模数学试卷姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________ 一、选择题（每小题3分,共30分）1. 下列四个数中,是正整数的是 【 】 （A ）1- （B ）0 （C ）21（D ）1 2. 据《经济日报》报道:目前世界集成电路生产技术水平最高已达到7 nm （1 nm=910-m ）,主流生产线的技术水平为14-28 nm,中国大陆集成电路生产技术水平最高为28 nm.将28 nm 用科学记数法可表示为 【 】 （A ）28×910-m （B ）2.8×810-m （C ）28×910m （D ）2.8×810m3. 如图是由5个完全相同的小正方体搭建的几何体,若将最右边的小正方体拿走,则下列结论正确的是 【 】 （A ）主视图不变 （B ）左视图不变 （C ）俯视图不变 （D ）三视图都不变第3题图 第 7 题图4. 下列运算正确的是 【 】 （A ）42232m m m =+ （B ）()422mn mn =（C ）22842m m m =⋅ （D ）235m m m =÷5. 某校七年级（2）班近期准备组织一次朗诵活动,语文老师调查了全班学生平均每天的阅读时间,统计结果如下表所示,则在本次调查中,全班学生平均每天阅读时间的中位数和众数分别是 【 】（A ）2 , 1 （B ）1 , 1. 5 （C ）1 , 2 （D ）1 , 16. 若二次函数m x x y +-=22的图象与x 轴有两个交点,则实数m 的取值范围是 【 】 （A ）m ≥1 （B ）m ≤1 （C ）1>m （D ）1<m正面A BCDE第 9 题图GFEDCBA7. 如图所示,在△ABC 中,AC AB =,点D 在AC 上,AB DE //,若︒=∠160CDE ,则B ∠的度数为 【 】 （A ）︒80 （B ）︒75 （C ）︒65 （D ）︒608. 在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球,它们除颜色外都相同,从中随机摸出一个球,记下颜色后放回袋子中,充分摇匀后,再随机摸出一个球,两次都摸到黄球的概率是【 】 （A ）94 （B ）31 （C ）92 （D ）919. 如图所示,AC 是矩形ABCD 的一条对角线,E 是AC 的中点,连结BE ,再分别以A 、D 为圆心,大于AD 21的长为半径作弧,两弧相交于点F ,连结EF 交AD 于点G .若,3=AB4=BC ,则四边形ABEG 的周长为 【 】（A ）8 （B ）8. 5 （C ）9 （D ）9. 510. 如图1,在Rt △ABC 中,∠C =90°,点P 从点A 出发,沿A →C →B 的路径匀速运动到点B 停止,作PD ⊥AB 于点D ,设点P 运动的路程为x , PD 长为y , y 与x 之间的函数关系图象如图2所示,当x =12时, y 的值是【 】 （A ）6 （B ）524（C ）56 （D ）2二、填空题（每小题3分,共15分） 11. 计算:()=--232_________.12. 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-->+5213312x x 的解集是____________.13. 已知点()m A ,1,()n B ,2在一次函数b x y +=3的图象上,则n m ,的大小关系是_________. 14. 如图所示,等边三角形ABC 的边长为4,以BC 为直径的半圆O 交AB 于点D ,交AC 于点E ,则阴影部分的面积是__________.图1A BCD P图215. 如图所示,正方形ABCD 的边长是9,点E 是AB 边上的一个动点,点F 是CD 边上一点,CF =4,连接EF ,把正方形ABCD 沿EF 折叠,使点A 、D 分别落在点A′、D′处,当点D′落在直线BC 上时,线段AE 的长为__________. 三、解答题（共75分）16.（8分）先化简,再求值:2222221b ab a ab a b a b b a +--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---,其中b a ,满足021=-+b a .17.（9分）在“书香校园”活动中,某校为了解学生家庭藏书情况,随机抽取本校部分学生进行调查,并绘制成部分统计图表如下:根据以上信息,解答下列问题:（1）该调查的样本容量为_________,=a _________;第 14 题图第 15 题图D'FA'EDCB A A B32%C 25%D家庭藏书情况扇形统计图（2）在扇形统计图中,“A ”类对应扇形的圆心角为_________度;（3）若该校有2 000名学生,请估计全校学生中家庭藏书200本以上的人数.18.（9分）如图所示,将□ABCD 放置在平面直角坐标系xOy 中,已知()0,2-A ,()0,2B ,()3,0D ,反比例函数()0>=x xky 的图象经过点C . （1）求反比例函数的解析式;（2）能否通过平移□ABCD ,使它的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上?若能,请直接写出平移过程;若不能,请说明理由.19.（9分）如图所示,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 为直径,∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ,过点D 作DE ⊥AC ,分别交AC 、AB 的延长线于点E 、F . （1）求证:EF 是⊙O 的切线;（2）①当∠BAC 的度数为_________时,四边形ACDO 为菱形;②若⊙O 的半径为5,AC =3CE ,则BC 的长为_________.20.（9分）如图所示,某数学兴趣小组为测量一棵古树BH 和教学楼CG 的高,先在A 处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H 的仰角∠HDE 为45°,此时教学楼顶端G 恰好在视线DH 上,再向前走9米到达B 处,又测得教学楼顶端G 的仰角∠GEF 为68°,A 、B 、C 三点在同一水平线上.（1）计算古树BH 的高;（2）计算教学楼CG 的高.（结果精确到0.1米,参考数据:37.068cos ,93.068sin ≈︒≈︒,50.268tan ≈︒,41.12≈）21.（10分）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本）,成功研发出一种产品.公司按订单生产（产量=销售量）,第一年该产品正式投产后,生产成本为6元/件.此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足一次函数关系,其函数图象如图所示.（1）求y与x之间的函数关系式;（2）该产品第一年的利润为20万元,那么该产品第一年的售价是多少?（3）第二年,该公司将第一年的利润20万元再次投入研发（20万元只计入第二年成本）,以降低产品的生产成本.预计第二年的年销售量与售价仍存在（1）中的函数关系.为保持市场占有率,公司规定第二年产品售价为14元/件.若想实现第二年利润不低于88万元的目标,该产品的生产成本单价应控制在不超过多少元?)22.（10分）（1）阅读理解利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法.如图1所示,点P 是等边三角形ABC 内一点,1=PA ,2,3==PC PB ,求∠BPC 的度数.为利用已知条件,不妨把△BPC 绕点C 顺时针旋转60°得△AP′C ,连接PP′,则PP′的长为_________;在△P AP′中,易证∠P AP′=90°,且∠PP′A 的度数为_________,综上可得∠BPC 的度数为_________. （2）类比迁移如图2,点P 是等腰Rt △ABC 内一点,∠ACB =90°,1,2,2===PC PB PA ,求∠APC 的度数. （3）拓展应用如图3,在四边形ABCD 中,ADC BAC AD AC AB CD BC ∠=∠====2,21,5,3,请直接写出BD 的长.P′ABCP图1图2PCBAD图3C BA23.（11分）如图所示,抛物线c bx ax y ++=2交x 轴于点()0,1A 和点()0,3B ,交y 轴于点C ,抛物线上一点D 的坐标为()3,4. （1）求该抛物线所对应的函数解析式;（2）如图1,点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点,x PE //轴,y PF //轴,求线段EF 的最大值;（3）如图2,点M 是线段CD 上的一个动点,过点M 作x 轴的垂线,交抛物线于点N ,当△CBN 是直角三角形时,请直接写出所有满足条件的点M 的坐标.图1图22019年许昌市一模数学试卷参考答案一、选择题（每小题3分,共24分）二、填空题（每小题3分,共21分）11. 1 12. 25-<<-x 13. n m < 14. π3232- 15. 2或8 部分选择题、填空题答案解析9. 如图所示,AC 是矩形ABCD 的一条对角线,E 是AC 的中点,连结BE ,再分别以A 、D 为圆心,大于AD 21的长为半径作弧,两弧相交于点F ,连结EF 交AD 于点G .若,3=AB 4=BC ,则四边形ABEG 的周长为【 】（A ）8 （B ）8. 5 （C ）9 （D ）9. 5解析:本题考查尺规作图的原理（五种基本作图）.如图所示,连结DE 、AF 、DF . 由尺规作图可知,DF AF =.∵点E 为AC 的中点,且四边形ABCD 为矩形 ∴B 、E 、D 三点共线∴DE AE =∵DF AF =,DE AE =∴EF 垂直平分AD ∴221===AD DG AG ∵CE AE = ∴2321==CD EG 在Rt △ABC 中,由勾股定理得:5432222=+=+=BC AB AC第 9 题图GFEDCBA第 9 题图GFEDCBA∴2521==AC BE （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）∴9223253=+++=ABEG C 四边形. ∴选择答案【 C 】.10. 如图1,在Rt △ABC 中,∠C =90°,点P 从点A 出发,沿A →C →B 的路径匀速运动到点B 停止,作PD ⊥AB 于点D ,设点P 运动的路程为x , PD 长为y , y 与x 之间的函数关系图象如图2所示,当x =12时, y 的值是 【 】 （A ）6 （B ）524（C ）56（D ）2解析:由题意可知,当6==AC x 时,点P 与点C 重合,此时PD 的长最大,即y 取得最大值,且8614=-=BC . 在Rt △ABC 中,由勾股定理得:10862222=+=+=BC AC AB作AB CE ⊥,如下图所示,则有5241086=⨯=⋅=AB BC AC CE 当12=x 时,21214=-=PB∵AB PD ⊥,∴CE PD // ∴△BPD ∽△BCE∴82524,==PD BC BP CE PD ∴56=PD ,即56=y .∴选择答案【 C 】.14. 如图所示,等边三角形ABC 的边长为4,以BC 为直径的半圆O 交AB 于点D ,交AC 于点E ,则阴影部分的面积是__________.解析:连结OD 、OE ,并作BD OF ⊥于点F ,图1A BC DP图2DECP BA第 14 题图如图所示. ∴221===BC OE OD . ∴OC OE OD OB ==, ∵△ABC 为等边三角形∴︒=∠=∠60C B∴△BOD 和△COE 均为等边三角形 ∴2====OE OD CE BD︒=︒-︒-︒=∠606060180DOE∴2==AE AD ∴OE OD AE AD === ∴四边形ADOE 为菱形 ∵BD OF ⊥∴121==BD DF在Rt △DOF 中,由勾股定理得:3122222=-=-=DF OD OF∴32=⋅=OF AD S ADOE 菱形 ∴DOE ADOE S S S 扇形菱形阴影-=ππ3232360260322-=⨯-=.15. 如图所示,正方形ABCD 的边长是9,点E 是AB 边上的一个动点,点F 是CD 边上一点,CF =4,连接EF ,把正方形ABCD 沿EF 折叠,使点A 、D 分别落在点A′、D′处,当点D′落在直线BC 上时,线段AE 的长为__________.解析:分为两种情况:①当点'D 落在BC 边上时,如图1所示. 由折叠可知:︒=∠=∠===90',',5'A A E A AE F D DF︒=∠=∠90''F D A ADF ,9''==D A AD设x AE =,则x E A =' 在Rt △'CFD 中,由勾股定理得:345''2222=-=-=CF F D CD∴639'=-=BD 易证:△G BD '∽△'CFD∴465','''==G D CF BD FD G D ∴215'=G D∴232159''''=-=-=G D D A G A易证:F CD GE A ''∠=∠ ∴F CD GE A 'tan 'tan ∠=∠ ∴3423,'''==x CD CF G A E A 解之得:2=x ∴2=AE ;第 15 题图D'FA'E DCBA图 1②当点'D 落在BC 的延长线上时,如图2所示.过点'A 作BC 边的平行线,交A B 的延长线于点H ,作GH G D ⊥',则四边形GH BD '为矩形∴HG BD =' ∵4=CF ∴549=-=DF由折叠可知:5'==DF F DE A AE E A D DAE ',90''=︒=∠=∠ ︒=∠=∠==90'',9''F D A ADF D A AD在Rt △'CFD 中,由勾股定理得:345''2222=-=-=CF F D CD∴1239'=+==HG BD 易证:△CF D '∽△''GA D∴95'4'3,''''''====GA G D A D F D GA CF G D C D ∴536',527'==GA G D 52453612''=-=-=GA HG H A设x AE =,则x E A =' 易证:G A D EH A '''∠=∠∴G A D EH A ''sin 'sin ∠=∠∴9527524,'''''==x D A G D E A H A 解之得:8=x ∴8=AE .综上所述,线段AE 的长为2或8. 三、解答题（共75分） 16.（8分）先化简,再求值:2222221bab a ab a b a b b a +--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---,其中b a ,满足021=-+b a . 解:2222221b ab a ab a b a b b a +--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--- ()()()()b a a b a b a b a a--⋅-+=2ba +=1…………………………………5分 ∵021=-+b a∴21=+b a∴原式2211==.…………………………8分17.（9分）在“书香校园”活动中,某校为了解学生家庭藏书情况,随机抽取本校部分学生进行调查,并绘制成部分统计图表如下:图 2根据以上信息,解答下列问题:（1）该调查的样本容量为_________,=a _________;（2）在扇形统计图中,“A ”类对应扇形的圆心角为_________度;（3）若该校有2 000名学生,请估计全校学生中家庭藏书200本以上的人数.解:（1）200 , 64 ; ………………………4分 提示:该调查的样本容量为:200%2550=÷（人）64%32200=⨯=a或:64665020200=---=a .（2）︒36; ………………………………6分 提示: “A ”类所占的百分比为:%10%10020020=⨯ ∴“A ”类对应扇形的圆心角的度数为:︒=⨯︒36%10360.（3）660200662000=⨯（人） 答:全校学生中家庭藏书200本以上的人数为660人. ………………………………9分 18.（9分）如图所示,将□ABCD 放置在平面直角坐标系xOy 中,已知()0,2-A ,()0,2B ,()3,0D ,反比例函数()0>=x xky 的图象经过点C .（1）求反比例函数的解析式;（2）能否通过平移□ABCD ,使它的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上?若能,请直接写出平移过程;若不能,请说明理由.解:（1）∵()0,2-A ,()0,2B∴()422=--=-=A B x x AB ∵四边形ABCD 为平行四边形AB CD CD AB //,4==∴x CD //轴 ∵()3,0D∴40=-=-=C D C x x x CD ∴()3,4C 把()3,4C 代入xk y =得: 1234=⨯=k∴反比例函数的解析式为xy 12=; ……………………………………………5分 （2）能通过平移□ABCD ,使它的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上. ……………………………………………6分A B 32%C 25%D家庭藏书情况扇形统计图平移的方法是:把□ABCD 先向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,顶点B 、D 恰好同时落在反比例函数的图象上. ……………………………………………9分 19.（9分）如图所示,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 为直径,∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ,过点D 作DE ⊥AC ,分别交AC 、AB 的延长线于点E 、F .（1）求证:EF 是⊙O 的切线;（2）①当∠BAC 的度数为_________时,四边形ACDO 为菱形;②若⊙O 的半径为5,AC =3CE ,则BC 的长为_________.（1）证明:连结OD . ∴OD OA = ∴32∠=∠ ∵AD 平分BAC ∠ ∴21∠=∠∴31∠=∠ ∴AE OD // ∵AE EF ⊥ ∴EF OD ⊥∴EF 是⊙O 的切线; ……………………5分 （2）①︒60; ……………………………7分 ②8 . ………………………………9分提示①:如图所示,连结OC 、CD .∴OC OA =若四边形ACDO 为菱形 则AC OA = ∴AC OC OA ==∴△AOC 为等边三角形 ∴︒=∠60BAC .提示②:∵AB 是⊙O 的直径 ∴︒=∠90ACB ∴EF BC //∴310,==BFCE AC BF AB ∴310=BF∴3253105=+=+=BF OB OF 3403255=+=+=OF OA AF ∵AE OD //∴AF OFAE OD =853403255==AE ∴643,8===AE AC AE 在Rt △ABC 中,由勾股定理得:86102222=-=-=AC AB BC .20.（9分）如图所示,某数学兴趣小组为测量一棵古树BH 和教学楼CG 的高,先在A 处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H 的仰角∠HDE 为45°,此时教学楼顶端G 恰好在视线DH 上,再向前走9米到达B 处,又测得教学楼顶端G 的仰角∠GEF 为68°,A 、B 、C 三点在同一水平线上. （1）计算古树BH 的高;（2）计算教学楼CG 的高.（结果精确到0.1米,参考数据:37.068cos ,93.068sin ≈︒≈︒,50.268tan ≈︒,41.12≈）解:（1）由题意可知:5.1===CF BE AD m 9==DE AB m在Rt △DEH 中 ∵︒=∠45HDE∴9==DE EH m∴5.105.19=+=+=BE EH BH m. 答:古树BH 的高为10. 5米;……………………………………………3分 （2）在Rt △DFG 中 ∵︒=∠=∠45GDF HDE ∴GF DF =设x GF =m 则,()9-=x EF m 在Rt △DEF 中, ∵EFGF=︒68tan ∴50.29≈-x x解之得:15=x∴15=GF m ……………………………6分 ∴5.165.115=+=+=CF GF CG m 答:教学楼CG 的高为16. 5米.……………………………………………9分 21.（10分）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本）,成功研发出一种产品.公司按订单生产（产量=销售量）,第一年该产品正式投产后,生产成本为6元/件.此产品年销售量y （万件）与售价x （元/件）之间满足一次函数关系,其函数图象如图所示.（1）求y 与x 之间的函数关系式;（2）该产品第一年的利润为20万元,那么该产品第一年的售价是多少?（3）第二年,该公司将第一年的利润20万元再次投入研发（20万元只计入第二年成本）,以降低产品的生产成本.预计第二年的年销售量与售价仍存在（1）中的函数关系.为保D持市场占有率,公司规定第二年产品售价为14元/件.若想实现第二年利润不低于88万元的目标,该产品的生产成本单价应控制在不超过多少元?解:（1）由题意可设y 与x 之间的函数关系式为b kx y +=.把()18,8,()6,20分别代入b kx y +=得:⎩⎨⎧=+=+620188b k b k ,解之得:⎩⎨⎧=-=261b k ∴y 与x 之间的函数关系式为26+-=x y ; ……………………………………………3分 （2）由题意可得:()()2080266=-+--x x整理得:0256322=+-x x 解之得:1621==x x .答:该产品第一年的售价是16元/件; ……………………………………………6分 （3）当14=x 时,122614=+-=y 设该产品的生产成本为m 元/件,则有:()201412--m ≥88解之得:m ≤5.答:该产品的生产成本单价应控制在不超过5元. ……………………………………10分 22.（10分）（1）阅读理解利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法.如图1所示,点P 是等边三角形ABC 内一点,1=PA ,2,3==PC PB ,求∠BPC 的度数.为利用已知条件,不妨把△BPC 绕点C 顺时针旋转60°得△AP′C ,连接PP′,则PP′的长为_________;在△P AP′中,易证∠P AP′=90°,且∠PP′A 的度数为_________,综上可得∠BPC 的度数为_________. （2）类比迁移如图2,点P 是等腰Rt △ABC 内一点,∠ACB =90°,1,2,2===PC PB PA ,求∠APC 的度数.（3）拓展应用如图3,在四边形ABCD 中,ADC BAC AD AC AB CD BC ∠=∠====2,21,5,3,请直接写出BD 的长.)P′ABCP图1图2PCBA解:（1）2 , ︒30, ︒90;…………………3分 提示:由旋转的性质可知:C AP BPC '∠=∠3',2'====AP PB C P PC∵︒=∠60'PCP ∴△'PCP 为等边三角形 ∴2'==PC PP ,︒=∠60'C PP 在△'APP 中∵2',3',1===PP AP PA∴222''PP AP PA =+ ∴△'APP 为直角三角形 ∵PA AP 2'=∴︒=∠30'A PP∴︒=︒+︒=∠906030'C AP ∴︒=∠90BPC .（2）将△APC 绕点C 逆时针旋转︒90,得到△C BP ',连结'PP ,如图5所示. 由旋转的性质可知:︒=∠90'PCP2',1'====B P PA PC C PC BP APC '∠=∠∴△'PCP 为等腰直角三角形 ∴︒=∠45'C PP∴22'==PC PP在△'BPP 中∵2',2,2'====B P PA PB PP ∴PB PP ='222''B P PB PP =+∴△'BPP 为等腰直角三角形 ∴︒=∠45'P BP∴︒=︒+︒=∠904545'C BP ∴︒=∠90APC ;……………………………………………9分说明 也可将△BPC 绕点C 顺时针旋转︒90,如图6所示.（3）61=BD . ………………………11分 提示:如图7所示,把△ABD 绕点A 逆时针旋D图3C BA图 4图 5图 6转BAC ∠的度数,得到△ACE ,连结DE .∴AE AD CE BD ==,由旋转的性质可知:DAE BAC ∠=∠ ∵AD AC AB 21== ∴△ABC ∽△ADE ∴213,==DE AD AB DE BC ∴6=DE∵DAE DAE ADE ∠-︒=∠-︒=∠21902180∴BAC ADE 2190-︒=∠∵ADC BAC ∠=∠2 ∴ADC ADE CDE ∠+∠=∠︒=∠+∠-︒=90212190BAC BAC在Rt △CDE 中,由勾股定理得:61652222=+=+=DE CD CE∴61=BD .经验总结 几何问题中,有时已知条件比较分散,或已知条件与所探究的几何元素缺少直接的联系,这时需要改变已知图形中某一部分的位置（通过平移或旋转）,使已知条件集中起来,达到化散为聚的目的.23.（11分）如图所示,抛物线c bx ax y ++=2交x 轴于点()0,1A 和点()0,3B ,交y 轴于点C ,抛物线上一点D 的坐标为()3,4.（1）求该抛物线所对应的函数解析式;（2）如图1,点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点,x PE //轴,y PF //轴,求线段EF的最大值;（3）如图2,点M 是线段CD 上的一个动点,过点M 作x 轴的垂线,交抛物线于点N ,当△CBN 是直角三角形时,请直接写出所有满足条件的点M 的坐标.图 7图1图2解:（1）由题意可设该抛物线的解析式为()()31--=x x a y .把D ()3,4代入()()31--=x x a y 得:()()33414=-⨯-⨯a解之得:1=a ∴()()31--=x x y∴该抛物线的解析式为342+-=x x y ; ……………………………………………3分 （2）对于342+-=x x y ,令0=x ,则3=y ∴()3,3,0=OC C ∵()0,3B ∴3==OC OB∴△BOC 为等腰直角三角形 ∴︒=∠=∠45OCB OBC ∵x PE //轴,y PF //轴 ∴︒=∠=∠45OBC PEF ,︒=∠=∠45OCB PFE∴△PEF 为等腰直角三角形 ∴PF EF 2=设直线BC 的解析式为n kx y +=把()0,3B ,()3,0C 分别代入n kx y +=得:⎩⎨⎧==+303n n k ,解之得:⎩⎨⎧=-=31n k ∴直线BC 的解析式为3+-=x y .……………………………………………5分 设点P 为()34,2+-m m m ,则()3,+-m m F∵点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点 ∴30<<mmm m m m y y PF P F 334322+-=-+-+-=-=∴()m m PF EF 3222+-==4292322+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=m∴当23=m 时,线段EF 的长取得最大值,最大值为429max =EF . …………………8分（3）点M 的坐标为()3,2或⎪⎪⎭⎫⎝⎛+3,255或⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3,255.……………………………11分 提示:∵()3,0C , D ()3,4 ∴//CD x 轴∵点M 是线段CD 上的一个动点 ∴可设()3,t M ,则()34,2+-t t t N . 分为三种情况:①当︒=∠90CBN 时,如图3所示.过点B 作直线y l //轴,交CD 于点G ,作l NH ⊥于点H .图 3则3==CG BG()3434,322-+-=+--=-=t t t t BH t NH∴︒=∠=∠45NBH CBG ∴BH NH = ∴3432-+-=-t t t 整理得:0652=+-t t 解之得:3,221==t t当3=t 时,()0,3N ,此时点N 与点B 重合,△CBN 不存在,舍去. ∴2=t ∴()3,2M ;②当︒=∠90CNB 时,如图4所示.过点N 作直线x l //轴,交y 轴于点G ,作l BH ⊥于点H .则()343422-+-=+--==t t t t BH OG3,===OB GH t GN∴t NH t t OG OC CG -=+-=+=3,42 易证:△CGN ∽△NHB （一线三等角模型）∴HBGN NH CG =,343422-+-=-+-t t t t t t ∴()()31134--=--t t t t 整理得:0552=+-t t 解之得:255,25521-=+=t t ∴点M 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+3,255或⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3,255; ③当︒=∠90BCN 时,由作图可知此种情况不成立.综上所述,点M 的坐标为()3,2或⎪⎪⎭⎫⎝⎛+3,255或⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3,255. 特别说明 设点()34,2+-t t t N ,根据平面内两点之间的距离公式,可用t 分别表示出22,CN BN ,且182=BC .然后根据勾股定理列出关于t 的方程时,会出现关于t 的三次方程,所以这种方法不可取.图 4学生整理用图。

2019年河南省许昌市禹州市中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．实数﹣π，﹣3.14，0，四个数中，最小的是（）A．﹣π B．﹣3.14 C．D．02．下列运算正确的是（）A．﹣（﹣a+b）=a+b B．3a3﹣3a2=a C．（x6）2=x8D．1÷（）﹣1=3．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．小明因流感在医院观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解小明7天体温的（）A．众数 B．方差 C．平均数D．频数5．如图是婴儿车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1=120°，∠3=40°，那么∠2的度数为（）A．80° B．90° C．100°D．102°6．已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），将线段AB平移至A′B′，点A′于点A对应，若点A′的坐标为（1，﹣3），则点B′的坐标为（）A．（3，0）B．（3，﹣3）C．（3，﹣1）D．（﹣1，3）7．几个棱长为1的正方体组成的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．4 B．5 C．6 D．78．如图，已知△ABC为等边三角形，AB=2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD=x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（）A． B．C．D．二、填空题（每小题3分，共21分）9．分解因式：a3﹣4a2b+4ab2= ．10．南海是我国固有领海，南海面积超过东海、黄海、渤海面积的总和，约为360万平方千米．360万平方千米用科学记数法可表示为平方千米．11．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°，则∠C的大小为．12．在一个不透明的口袋中装有若干只有颜色不同的球，如果口袋中装有3个红球，且摸出红球的概率为，那么袋中共有个球．13．不等式组的解集为．14．如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为°．15．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为．三、解答题（共75分）16．先化简，再求值：，其中x=3tan30°+1．17．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论．18．某市建设森林城市需要大量的树苗，某生态示范园负责对甲、乙、丙、丁四个品种的树苗共500株进行树苗成活率试验，从中选择成活率高的品种进行推广．通过实验得知：丙种树苗的成活率为89.6%，把实验数据绘制成下面两幅统计图（部分信息未给出）．（1）实验所用的乙种树苗的数量是株．（2）求出丙种树苗的成活数，并把图2补充完整．（3）你认为应选哪种树苗进行推广？（4）请通过计算说明理由．19．钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．一日，中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛（设M，N为该岛的东西两端点）最近距离为14.4km（即MC=14.4km）．在A点测得岛屿的西端点M在点A的北偏东42°方向；航行4km后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东56°方向，（其中N，M，C在同一条直线上），求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48）20．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求PA+PB的最小值．21．我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每株24元，乙种树苗每株30元．相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%、90%．（1）若购买这两种树苗共用去21000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？（2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用．22．在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，动点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图①），求证：△BOG≌△POE；（2）通过观察、测量、猜想： = ，并结合图②证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=α，求的值．（用含α的式子表示）23．已知：如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2019年河南省许昌市禹州市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．实数﹣π，﹣3.14，0，四个数中，最小的是（）A．﹣π B．﹣3.14 C．D．0【考点】实数大小比较．【分析】先计算|﹣π|=π，|﹣3.14|=3.14，根据两个负实数绝对值大的反而小得﹣π＜﹣3.14，再根据正数大于0，负数小于0得到﹣π＜﹣3.14＜0＜．【解答】解：∵|﹣π|=π，|﹣3.14|=3.14，∴﹣π＜﹣3.14，∴﹣π，﹣3.14，0，这四个数的大小关系为﹣π＜﹣3.14＜0＜．故选A．2．下列运算正确的是（）A．﹣（﹣a+b）=a+b B．3a3﹣3a2=a C．（x6）2=x8D．1÷（）﹣1=【考点】幂的乘方与积的乘方；有理数的除法；合并同类项；去括号与添括号．【分析】结合幂的乘方与积的乘方、有理数的除法等知识点的概念和运算法则进行求解即可．【解答】解：A、﹣（﹣a+b）=a﹣b≠a+b，计算错误，本选项错误；B、3a3﹣3a2≠a，计算错误，本选项错误；C、（x6）2=x12≠x8，计算错误，本选项错误；D、1÷（）﹣1=，本选项正确；故选D．3．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项正确；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误．故选：A．4．小明因流感在医院观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解小明7天体温的（）A．众数 B．方差 C．平均数D．频数【考点】统计量的选择．【分析】根据方差的含义和求法，可得：小明因流感在医院观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解小明7天体温的方差．【解答】解：小明因流感在医院观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解小明7天体温的方差．故选：B．5．如图是婴儿车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1=120°，∠3=40°，那么∠2的度数为（）A．80° B．90° C．100°D．102°【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线性质求出∠A，根据三角形外角性质得出∠2=∠1﹣∠A，代入求出即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠A=∠3=40°，∵∠1=120°，∴∠2=∠1﹣∠A=80°，故选A．6．已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），将线段AB平移至A′B′，点A′于点A对应，若点A′的坐标为（1，﹣3），则点B′的坐标为（）A．（3，0）B．（3，﹣3）C．（3，﹣1）D．（﹣1，3）【考点】坐标与图形变化﹣平移．【分析】根据平移的性质，以及点A，B的坐标，可知点A的横坐标加上了4，纵坐标减小了1，所以平移方法是：先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，根据点B的平移方法与A点相同，即可得到答案．【解答】解：∵A（﹣1，0）平移后对应点A′的坐标为（1，﹣3），∴A点的平移方法是：先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，∴B点的平移方法与A点的平移方法是相同的，∴B（1，2）平移后B′的坐标是：（3，﹣1）．故选：C．7．几个棱长为1的正方体组成的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】由三视图判断几何体．【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行三列，故可得出该几何体的小正方体的个数，即可得出这个几何体的体积．【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有3+1=4个小正方体，第二层应该有1个小正方体，因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1=5个，所以这个几何体的体积是5．故选：B．8．如图，已知△ABC为等边三角形，AB=2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC 于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD=x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（）A． B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据平行线的性质可得∠EDF=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求得∠F=30°，然后证得△EDB是等边三角形，从而求得ED=DB=2﹣x，再根据直角三角形的性质求得EF，最后根据三角形的面积公式求得y与x函数关系式，根据函数关系式即可判定．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵DE∥AC，∴∠EDF=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDB是等边三角形．∴ED=DB=2﹣x，∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴EF=ED=（2﹣x）．∴y=ED•EF=（2﹣x）•（2﹣x），即y=（x﹣2）2，（x＜2），故选A．二、填空题（每小题3分，共21分）9．分解因式：a3﹣4a2b+4ab2= a（a﹣2b）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提公因式a，然后利用完全平方公式即可分解．【解答】解：原式=a（a2﹣4ab+4b2）=a（a﹣2b）2．故答案是：a（a﹣2b）2．10．南海是我国固有领海，南海面积超过东海、黄海、渤海面积的总和，约为360万平方千米．360万平方千米用科学记数法可表示为 3.6×106平方千米．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：360万平方千米=3.6×106平方千米．故答案为：3.6×106．11．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°，则∠C的大小为62°．【考点】圆周角定理；三角形内角和定理．【分析】连接OB．根据等腰△OAB的两个底角∠OAB=∠OBA、三角形的内角和定理求得∠AOB=124°；然后由圆周角定理求得∠C=62°．【解答】解：连接OB．在△OAB中，OA=OB（⊙O的半径），∴∠OAB=∠OBA（等边对等角）；又∵∠OAB=28°，∴∠OBA=28°；∴∠AOB=180°﹣2×28°=124°；而∠C=∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠C=62°；故答案是：62°．12．在一个不透明的口袋中装有若干只有颜色不同的球，如果口袋中装有3个红球，且摸出红球的概率为，那么袋中共有9 个球．【考点】概率公式．【分析】由口袋中装有3个红球，且摸出红球的概率为，根据概率公式的求解方法，即可求得答案．【解答】解：∵口袋中装有5个红球，且摸出红球的概率为，∴袋中共有球：3÷=9（个）．故答案为：9．13．不等式组的解集为﹣1＜x≤1 ．【考点】解一元一次不等式组．【分析】先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得x＞﹣1，由②得x≤1，∴不等式组的就为﹣1＜x≤1．故答案为﹣1＜x≤1．14．如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为45 °．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD=45°．【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故填45．15．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为（10，3）．【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理来求OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8﹣x，CF=10﹣6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．【解答】解：∵四边形A0CD为矩形，D的坐标为（10，8），∴AD=BC=10，DC=AB=8，∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，∴AD=AF=10，DE=EF，在Rt△AOF中，OF==6，∴FC=10﹣6=4，设EC=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△CEF中，EF2=EC2+FC2，即（8﹣x）2=x2+42，解得x=3，即EC的长为3．∴点E的坐标为（10，3），故答案为：（10，3）．三、解答题（共75分）16．先化简，再求值：，其中x=3tan30°+1．【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．【分析】将原式除式的第一项分子分母同时乘以x+3，然后利用同分母分式的减法法则计算，将被除式分母利用平方差公式分解因式，除式分母利用平方差公式分解因式，分子利用完全平方公式分解因式，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，然后利用特殊角的三角函数值求出x的值，将x的值代入化简后的式子中计算，即可求出原式的值．【解答】解：÷（﹣）=÷[﹣]=÷=•=，当x=3tan30°+1=3×+1=+1时，原式===．17．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，又由E、F分别为边AB、CD的中点，可证得AE=CF，然后由SAS，即可判定△ADE≌△CBF；（2）先证明BE与DF平行且相等，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再连接EF，可以证明四边形AEFD是平行四边形，所以AD∥EF，又AD⊥BD，所以BD⊥EF，根据菱形的判定可以得到四边形是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，∵E、F分别为边AB、CD的中点，∴AE=AB，CF=CD，∴AE=CF，在△ADE和△CBF中，∵，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是菱形，理由如下：解：由（1）可得BE=DF，又∵AB∥CD，∴BE∥DF，BE=DF，∴四边形BEDF是平行四边形，连接EF，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，∴DF∥AE，DF=AE，∴四边形AEFD是平行四边形，∴EF∥AD，∵∠ADB是直角，∴AD⊥BD，∴EF⊥BD，又∵四边形BFDE是平行四边形，∴四边形BFDE是菱形．18．某市建设森林城市需要大量的树苗，某生态示范园负责对甲、乙、丙、丁四个品种的树苗共500株进行树苗成活率试验，从中选择成活率高的品种进行推广．通过实验得知：丙种树苗的成活率为89.6%，把实验数据绘制成下面两幅统计图（部分信息未给出）．（1）实验所用的乙种树苗的数量是100 株．（2）求出丙种树苗的成活数，并把图2补充完整．（3）你认为应选哪种树苗进行推广？（4）请通过计算说明理由．【考点】条形统计图；扇形统计图．【分析】（1）根据扇形统计图可得乙种树苗所占的百分比，再用总数×乙种树苗所占的百分比，即可计算其株数；（2）根据扇形统计图求得丙种树苗的株数，再根据其成活率是89.6%，进行计算其成活数，再进一步补全条形统计图；（3）应选择丁种品种进行推广；（4）通过计算每一种的成活率，进行比较其大小即可．【解答】解：（1）500×（1﹣25%﹣25%﹣30%）=100（株）．故答案为100；（2）500×25%×89.6%=112（株），补全统计图如图；（3）应选择丁种品种进行推广；（4）甲种树苗成活率为：×100%=90%，乙种果树苗成活率为：×100%=85%，丁种果树苗成活率为：×100%=93.6%，∵93.6%＞90%＞89.6%＞85%，∴应选择丁种品种进行推广，它的成活率最高，为93.6%19．钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．一日，中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛（设M，N为该岛的东西两端点）最近距离为14.4km（即MC=14.4km）．在A点测得岛屿的西端点M在点A的北偏东42°方向；航行4km后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东56°方向，（其中N，M，C在同一条直线上），求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48）【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】在Rt△ACM和在Rt△BCN中，利用正切函数解答．【解答】解：在Rt△ACM中，tan∠CAM=tan42°==1，∴AC≈16km，∴BC=AC﹣AB=16﹣4=12km，在Rt△BCN中，tan∠CBN=tan56°=，∴CN≈17.76km，∴MN≈3.4km．答：钓鱼岛东西两端MN之间的距离约为3.4km．20．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求PA+PB的最小值．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称﹣最短路线问题．【分析】（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，即可得出a，再把点A坐标代入反比例函数y=，即可得出k，两个函数解析式联立求得点B坐标；（2）作点B作关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB=PA+PD=AD的值最小，然后根据勾股定理即可求得．【解答】解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，得a=﹣1+4，解得a=3，∴A（1，3），点A（1，3）代入反比例函数y=，得k=3，∴反比例函数的表达式y=，两个函数解析式联立列方程组得，解得x1=1，x2=3，∴点B坐标（3，1）；（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB=PA+PD=AD 的值最小，∴D（3，﹣1），∵A（1，3），∴AD==2，∴PA+PB的最小值为2．21．我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每株24元，乙种树苗每株30元．相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%、90%．（1）若购买这两种树苗共用去21000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？（2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用．【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．【分析】（1）根据关键描述语“购买甲、乙两种树苗共800株，”和“购买两种树苗共用21000元”，列出方程组求解．（2）先找到关键描述语“这批树苗的成活率不低于88%”，进而找到所求的量的等量关系，列出不等式求出甲种树苗的取值范围．（3）再根据题意列出购买两种树苗的费用之和与甲种树苗的函数关系式，根据一次函数的特征求出最低费用．【解答】解：（1）设购买甲种树苗x株，则乙种树苗y株，由题意得：解得答：购买甲种树苗500株，乙种树苗300株．（2）设甲种树苗购买z株，由题意得：85%z+90%≥800×88%，解得z≤320．答：甲种树苗至多购买320株．（3）设购买两种树苗的费用之和为m，则m=24z+30=24000﹣6z，在此函数中，m随z的增大而减小所以当z=320时，m取得最小值，其最小值为24000﹣6×320=22080元答：购买甲种树苗320株，乙种树苗480株，即可满足这批树苗的成活率不低于88%，又使购买树苗的费用最低，其最低费用为22080元．22．在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，动点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图①），求证：△BOG≌△POE；（2）通过观察、测量、猜想： = ，并结合图②证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=α，求的值．（用含α的式子表示）【考点】四边形综合题．【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，P与C重合，易证得OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，由同角的余角相等，证得∠GBO=∠EPO，则可利用ASA证得：△BOG≌△POE；（2）首先过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，易证得△BMN≌△PEN（ASA），△BPF≌△MPF（ASA），即可得BM=PE，BF=BM．则可求得的值；（3）首先过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，由（2）同理可得：BF=BM，∠MBN=∠EPN，继而可证得：△BMN∽△PEN，然后由相似三角形的对应边成比例，求得．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，∵PF⊥BG，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°﹣∠BGO，∠EPO=90°﹣∠BGO，∴∠GBO=∠EPO，在△BOG和△POE中，，∴△BOG≌△POE（ASA）；（2）解：猜想=．证明：如图2，过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB．∵∠OBC=∠OCB=45°，∴∠NBP=∠NPB．∴NB=NP．∵∠MBN=90°﹣∠BMN，∠N PE=90°﹣∠BMN，∴∠MBN=∠NPE，在△BMN和△PEN中，，∴△BMN≌△PEN（ASA），∴BM=PE．∵∠BPE=∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF．∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=90°．在△BPF和△MPF中，，∴△BPF≌△MPF（ASA）．∴BF=MF．即BF=BM．∴BF=PE．即；故答案为；（3）解：如图3，过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90°．由（2）同理可得BF=BM，∠MBN=∠EPN，∴△BMN∽△PEN，∴．在Rt△BNP中，tanα=，∴=tanα．即=tanα．∴tanα．23．已知：如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据抛物线过C（0，4）点，可确定c=4，然后可将A的坐标代入抛物线的解析式中，即可得出二次函数的解析式．（2）可先设Q的坐标为（m，0）；通过求△CEQ的面积与m之间的函数关系式，来得出△CQE 的面积最大时点Q的坐标．△CEQ的面积=△CBQ的面积﹣△BQE的面积．可用m表示出BQ的长，然后通过相似△BEQ和△BCA得出△BEQ中BQ边上的高，进而可根据△CEQ的面积计算方法得出△CEQ的面积与m的函数关系式，可根据函数的性质求出△CEQ 的面积最大时，m的取值，也就求出了Q的坐标．（3）本题要分三种情况进行求解：①当OD=OF时，OD=DF=AD=2，又有∠OAF=45°，那么△OFA是个等腰直角三角形，于是可得出F的坐标应该是（2，2）．由于P，F两点的纵坐标相同，因此可将F的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P的坐标．②当OF=DF时，如果过F作FM⊥OD于M，那么FM垂直平分OD，因此OM=1，在直角三角形FMA中，由于∠OAF=45°，因此FM=AM=3，也就得出了F的纵坐标，然后根据①的方法求出P的坐标．③当OD=OF时，OF=2，由于O到AC的最短距离为2，因此此种情况是不成立的．综合上面的情况即可得出符合条件的P的坐标．【解答】解：（1）由题意，得解得∴所求抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+4．（2）设点Q的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G．由﹣x2+x+4=0，得x1=﹣2，x2=4∴点B的坐标为（﹣2，0）∴AB=6，BQ=m+2∵QE∥AC∴△BQE∽△BAC∴即∴∴S△CQE=S△CBQ﹣S△EBQ=BQ•CO﹣BQ•EG=（m+2）（4﹣）==﹣（m﹣1）2+3又∵﹣2≤m≤4∴当m=1时，S△CQE有最大值3，此时Q（1，0）．（3）存在．在△ODF中．（ⅰ）若DO=DF∵A（4，0），D（2，0）∴AD=OD=DF=2又在Rt△AOC中，OA=OC=4∴∠OAC=45度∴∠DFA=∠OAC=45度∴∠ADF=90度．此时，点F的坐标为（2，2）由﹣x2+x+4=2，得x1=1+，x2=1﹣此时，点P的坐标为：P（1+，2）或P（1﹣，2）．（ⅱ）若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M由等腰三角形的性质得：OM=OD=1∴AM=3∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3∴F（1，3）由﹣x2+x+4=3，得x1=1+，x2=1﹣此时，点P的坐标为：P（1+，3）或P（1﹣，3）．（ⅲ）若OD=OF∵OA=OC=4，且∠AOC=90°∴AC=∴点O到AC的距离为，而OF=OD=2，与OF≥2矛盾，所以AC上不存在点使得OF=OD=2，此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形所求点P的坐标为：P（1+，2）或P（1﹣，2）或P（1+，3）或P（1﹣，3）．。