第四节 数系的扩充与复数的引入1．复数的概念(1)理解复数的基本概念． (2)理解复数相等的充要条件． 2．复数的运算(1)了解复数的代数表示法及其几何意义．(2)能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义．知识点一 复数的概念及几何意义 1．复数的概念形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0，b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．2．复数相等a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． 3．共轭复数a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＋d ＝0(a ，b ，c ，d ∈R )． 4．复数的模向量O Z →的长度叫作复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝ a 2＋b 2.5．几何意义易误提醒1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义． 2．利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件． 3．z 2<0在复数范围内有可能成立，例如：当z ＝3i 时z 2＝－9<0.[自测练习]1．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则zi ＋i·z ＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i解析：因为z ＝1＋i ，所以zi＋i·z ＝－i ＋1＋i ＋1＝2.答案：C2．已知复数a ＋3i1－2i 是纯虚数，则实数a ＝( )A ．－2B ．4C ．－6D ．6解析：a ＋3i 1－2i ＝a －6＋(2a ＋3)i 5，∴a ＝6时，复数a ＋3i 1－2i 为纯虚数．答案：D3．在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：∵z ＝i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i ，∴复数z 在复平面内的对应点为(1,2)，在第一象限． 答案：A知识点二 复数的代数运算 1．复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 (1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i. (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i. (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. (4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )ic 2＋d 2(c ＋d i ≠0)．2．复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．必记结论 掌握复数代数运算中常用的几个结论： 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i＝－i. (2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)．(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N ＋.[自测练习]4．已知i 是虚数单位，则2＋i3－i ＝( )A.12－12iB.72－12iC.12＋12i D.72＋12i 解析：2＋i 3－i ＝(2＋i )(3＋i )(3－i )(3＋i )＝5＋5i 10＝12＋12i.答案：C5．设复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z ＋z 2＝( )A ．－1－iB ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i解析：2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＋1＋2i ＋i 2＝1－i ＋2i ＝1＋i.答案：D考点一 复数的有关概念|1．若a ＋b i ＝51＋2i (i 是虚数单位，a ，b ∈R )，则ab ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：a ＋b i ＝51＋2i ＝1－2i ，所以a ＝1，b ＝－2，ab ＝－2.答案：A2．(2015·高考湖北卷)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．i B ．－i C ．1D ．－1解析：i 607＝i 4×151·i 3＝－i ，又－i 的共轭复数为i ，选A.答案：A3．(2015·高考天津卷)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．解析：由题意知，复数(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2＋(1－2a )i 是纯虚数，则实部a ＋2＝0，虚部1－2a ≠0，解得a ＝－2.答案：－2解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．考点二 复数的几何意义|1．(2015·山西四校联考)复数z ＝i(－2－i )2(i 为虚数单位)，z 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为z ＝i (－2－i )2＝i 4＋4i －1＝i3＋4i ＝i (3－4i )25＝425＋325i ，所以z 在复平面内所对应的点⎝⎛⎭⎫425，325在第一象限，故选A. 答案：A2．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →，(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．解析：由条件得OC →＝(3，－4)，OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)，根据OC →＝λOA →＋μOB →得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1. 答案：1判断复数在平面内的点的位置的方法首先将复数化成a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，其次根据实部a 和虚部b 的符号来确定点所在的象限．考点三 复数的代数运算|1．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－iD ．2＋i解析：因为(z －1)i ＝1＋i ，所以z ＝1＋i i ＋1＝2－i ，选C.答案：C2．(2015·高考湖南卷)已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：由题意得z ＝(1－i )21＋i ＝－2i1＋i ＝－i(1－i)＝－1－i ，故选D.答案：D3．设复数z 1和z 2在复平面内的对应点关于坐标原点对称，且z 1＝3－2i ，则z 1·z 2＝( ) A ．－5＋12i B ．－5－12i C ．－13＋12iD ．－13－12i解析：∵z 1＝3－2i ，∴z 2＝－3＋2i ，z 1·z 2＝(3－2i)(－3＋2i)＝－5＋12i ，故选A. 答案：A复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．(3)利用复数相等求参数．a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．15.方程思想在复数问题中的应用【典例】 已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .[思路点拨] (1)x ，y 为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来．(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题．[解] 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则y ＝a －b i ，x ＋y ＝2a ，xy ＝a 2＋b 2， 代入原式，得(2a )2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，根据复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，－3(a 2＋b 2)＝－6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1. 故所求复数为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋i ，y ＝1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－i ，y ＝1＋i 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋i ，y ＝－1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i.[方法点评] (1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．(2)本题求解的关键是先把x ，y 用复数的形式表示出来，再用待定系数法求解．这是常用的数学方法．(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解． [跟踪练习] (2015·高考福建卷)若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( )A ．3，－2B ．3,2C ．3，－3D ．－1,4解析：因为(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i ，所以3－2i ＝a ＋b i ，所以a ＝3，b ＝－2，故选A. 答案：AA 组 考点能力演练1．(2016·洛阳模拟)设i 是虚数单位，若复数(2＋a i)i 的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为(2＋a i)i ＝－a ＋2i ，又其实部与虚部互为相反数，所以－a ＋2＝0，即a ＝2，故选B.答案：B2．复数1＋2i i的共轭复数是a ＋b i(a ，b ∈R )，i 是虚数单位，则点(a ，b )为( )A ．(1,2)B ．(2，－1)C ．(2,1)D ．(1，－2)解析：1＋2i i ＝2－i ，其共轭复数为2＋i ，即a ＋b i ＝2＋i ，所以a ＝2，b ＝1.故选C.答案：C3．设x ∈R ，i 是虚数单位，则“x ＝－3”是“复数z ＝(x 2＋2x －3)＋(x －1)i 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：复数z ＝(x 2＋2x －3)＋(x －1)i 为纯虚数，则x 2＋2x －3＝0且x －1≠0，解得x ＝－3，故x ＝－3⇔复数z 为纯虚数，选C.答案：C4．在复平面内，复数－2＋3i3－4i (i 是虚数单位)所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵－2＋3i 3－4i ＝(－2＋3i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝－18＋i 25＝－1825＋125i ，∴－1825＋125i 对应的点为⎝⎛⎭⎫－1825，125，在第二象限，故选B.答案：B5．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－916，1 C.⎣⎡⎦⎤－916，7 D.⎣⎡⎦⎤916，7解析：由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2 θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎡⎦⎤－916，7. 答案：C6．(2015·高考江苏卷)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________．解析：设复数z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，a ，b ∈R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4，a ，b ∈R ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1，则z ＝±(2＋i)，故|z |＝ 5.答案： 57．(2015·高考重庆卷)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 解：设z ＝a ＋b i ，则(a ＋b i)(a －b i)＝z z ＝|z |2＝3. 答案：38．已知m ∈R ，复数m ＋i 1＋i －12的实部和虚部相等，则m ＝________.解析：m ＋i 1＋i －12＝(m ＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )－12＝(m ＋1)＋(1－m )i 2－12＝m ＋(1－m )i2，由已知得m ＝1－m ，则m ＝12.答案：129．计算：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3；(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2； (4)1－3i (3＋i )2. 解：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i－i＝－1－3i.(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i.(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i2＝－1. (4)1－3i (3＋i )2＝(3＋i )(－i )(3＋i )2 ＝－i 3＋i＝(－i )(3－i )4＝－14－34i.10．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．解：z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a ＋(2a －5)i＝⎝⎛⎭⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13(a ＋5)(a －1)＋(a 2＋2a －15)i.∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. ∵a ＋5≠0，∴a ≠－5，故a ＝3.B 组 高考题型专练1．(2014·高考天津卷)i 是虚数单位，复数7＋i3＋4i ＝( )A ．1－iB ．－1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i解析：7＋i 3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25－25i25＝1－i.选A.答案：A2．(2014·高考江西卷)z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，又z ＋z ＝2，即(a ＋b i)＋(a －b i)＝2，所以2a ＝2，解得a ＝1.又(z －z )i ＝2，即[(a ＋b i)－(a －b i)]·i ＝2，所以b i 2＝1，解得b ＝－1.所以z ＝1－i.答案：D3．(2015·高考山东卷)若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－iD ．－1＋i 解析：由已知z ＝i(1－i)＝i －i 2＝i ＋1，所以z ＝1－i.故选A. 答案：A4．(2015·高考全国卷Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：由于(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4，解得a ＝0.故选B.答案：B5．(2015·高考安徽卷)设i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：2i1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，其在复平面内所对应的点位于第二象限．答案：B6．(2015·高考全国卷Ⅰ)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：由题意知1＋z ＝i －z i ，所以z ＝i －1i ＋1＝(i －1)2(i ＋1)(i －1)＝i ，所以|z |＝1.答案：A7．(2015·高考四川卷)设i 是虚数单位，则复数i 3－2i ＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i解析：i 3－2i ＝－i －2ii 2＝－i ＋2i ＝i ，选C.答案：C8．(2015·高考重庆卷)复数(1＋2i)i 的实部为________． 解析：因为(1＋2i)i ＝－2＋i ，所以实部为－2. 答案：－2。
第四节 数系的扩充与复数的引入授课提示：对应学生用书第321页[A 组 基础保分练]1．（1＋3i ）（1－i ）＝（ ） A ．4＋2i B ．2＋4i C ．－2＋2i D ．2－2i解析：（1＋3i ）（1－i ）＝1＋3i －i －3i 2＝4＋2i ． 答案：A2．复数z 满足2＋3i ＝z i （其中i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．2 B ．－3 C ．3 D ．－2 解析：由2＋3i ＝z i 可得z ＝2＋3i i ＝2i ＋3i 2i2＝3－2i ，所以z 的虚部为－2．答案：D3．已知a ＋b i （a ，b ∈R ）是1－i1＋i的共轭复数，则a ＋b ＝（ ）A ．－1B ．－12C ．12D ．1解析：1－i 1＋i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＝－2i 2＝－i ＝a －b i ，所以a ＝0，b ＝1，所以a ＋b ＝1．答案：D4．（2021·漳州一检）已知复数z 满足z （3＋i ）＝3＋i 2 020，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数z －的虚部为（ ）A ．－25iB ．－25C ．25iD ．25解析：∵i 2 020＝（i 4）505＝1，∴z ＝3＋i 2 0203＋i ＝4（3－i ）（3＋i ）（3－i ）＝65－25i ，∴z －＝65＋25i ，因此，复数z －的虚部为25．答案：D5．（2021·西安模拟）复数z ＝2i 2＋i 5的共轭复数z －在复平面上对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为z ＝2i 2＋i 5＝－2＋i ，所以z －＝－2－i ，其在复平面上对应的点为（－2，－1），位于第三象限． 答案：C6．设复数z 满足|z －1－i|＝2，则|z |的最大值为（ ） A ． 2 B ．2 C ．2 2 D ．4解析：复数z 满足|z －1－i|＝2，故复数z 对应的复平面上的点是以A （1，1）为圆心，2为半径的圆，|AO |＝2（O 为坐标原点），故|z |的最大值为2＋2＝22． 答案：C7．设复数z 满足z －＝|1－i|＋i （i 为虚数单位），则复数z ＝_________． 解析：复数z 满足z －＝|1－i|＋i ＝2＋i ，则复数z ＝2－i ． 答案：2－i8．已知复数z ＝4＋2i （1＋i ）2（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则m＝_________．解析：z ＝4＋2i（1＋i ）2＝4＋2i 2i ＝（4＋2i ）i2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为（1，－2），将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5． 答案：－59．设复数z ＝lg （m 2－2m －2）＋（m 2＋3m ＋2）i （i 是虚数单位），试求实数m 取何值时： （1）z 是纯虚数； （2）z 是实数；（3）z 对应的点位于复平面的第二象限．解析：（1）由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧lg （m 2－2m －2）＝0，m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3．（2）由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m ＋2＝0，m 2－2m －2>0，解得m ＝－1或m ＝－2．（3）由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧lg （m 2－2m －2）<0，m 2＋3m ＋2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0，m 2－2m －2<1，m 2＋3m ＋2>0，解得－1<m <1－3或1＋3<m <3．10．（1）复数z ＝|（3－i ）i|＋i 2 018（i 为虚数单位），求|z |；（2）定义：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若复数z 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1i －i ＝－1－i ，求z ．解析：（1）z ＝|（3－i ）i|＋i 2 018＝|1＋3i|＋i 2 016＋2＝2＋i 2＝2－1＝1，故|z |＝1．（2）根据定义，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1i －i ＝－z i －i ＝－1－i ，则i z ＝1，∴z ＝1i ＝－i－i 2＝－i ．[B 组 能力提升练]1．（2021·成都模拟）已知（1＋i ）（1－a i ）＞0（i 为虚数单位），则实数a 等于（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：（1＋i ）（1－a i ）＝（1＋a ）＋（1－a ）i ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＞0，1－a ＝0，所以a ＝1．答案：C2．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝（ ）A ．1＋iB ．35＋45iC ．1＋45iD ．1＋43i解析：因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，所以z 2＝2－i ，所以z 1z 2＝2＋i 2－i ＝（2＋i ）25＝35＋45i ．答案：B3．（2021·咸宁联考）若复数z 满足1＋2iz＝1－i ，则z 的共轭复数是（ ）A ．32＋12iB ．32－12iC ．－12＋32iD ．－12－32i解析：∵1＋2i z ＝1－i ，∴z ＝1＋2i 1－i＝－1＋3i 2，∴z －＝－12－32i ．答案：D4．若复数z ＝cos x －1＋（sin x ＋2）i 为纯虚数（x ∈R ，i 是虚数单位），则|z |等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．与x 的取值有关 解析：依题意得，cos x －1＝0，则cos x ＝1，∵sin 2x ＋cos 2x ＝1，∴sin x ＝0，则z ＝2i ，则|z |＝2． 答案：A5．（2021·蓉城名校高三第一次联考）设复数z ＝x ＋y i （x ，y ∈R ）满足z ＝3＋2i 2＋i 5，则y ＋2x ＋1的值为（ ）A ．32B ．23C ．1D ．13解析：z ＝3＋2i 2＋i 5＝1＋i ＝x ＋y i ，所以x ＝1，y ＝1，所以y ＋2x ＋1＝32．答案：A6．（2021·衡水中学高三联考）已知i 为虚数单位，z －是复数z 的共轭复数，复数z ＝i3－2i，则复数z －在复平面内对应的点位于（ ） A ．第二象限 B ．第四象限 C ．直线3x －2y ＝0上 D ．直线3x ＋2y ＝0上解析：z ＝i 3－2i ＝i （3＋2i ）13＝－213＋313i ，z －＝－213－313i ，它在复平面内的点为⎝⎛⎭⎫－213，－313，位于第三象限，且在直线3x －2y ＝0上．答案：C 7．（2020·高考全国卷Ⅱ）设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝_________． 解析：法一：设z 1－z 2＝a ＋b i ，a ，b ∈R ， 因为z 1＋z 2＝3＋i ，所以2z 1＝（3＋a ）＋（1＋b ）i ，2z 2＝（3－a ）＋（1－b ）i ． 因为|z 1|＝|z 2|＝2，所以|2z 1|＝|2z 2|＝4， 所以（3＋a ）2＋（1＋b ）2＝4，①（3－a ）2＋（1－b ）2＝4，② ①2＋②2得a 2＋b 2＝12． 所以|z 1－z 2|＝a 2＋b 2＝23．法二：设复数z 1，z 2在复平面内分别对应向量OA →，OB →，则z 1＋z 2对应向量OA →＋OB →．由题知|OA →|＝|OB →|＝|OA →＋OB →|＝2，如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则z 1－z 2对应向量BA →，OA ＝AC ＝OC ＝2，可得BA ＝2OA sin 60°＝23．故|z 1－z 2|＝|BA →|＝23．答案：2 38．已知复数z ＝（2＋i ）（a ＋2i 3）在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是_________．解析：复数z ＝（2＋i ）（a ＋2i 3）＝（2＋i ）（a －2i ）＝2a ＋2＋（a －4）i ，其在复平面内对应的点（2a ＋2，a －4）在第四象限，则2a ＋2>0，且a －4<0，解得－1<a <4，则实数a 的取值范围是（－1，4）． 答案：（－1，4）[C 组 创新应用练] 1．（2021·南昌模拟）欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e π3i 表示的复数位于复平面中的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：由题意可得e π3i ＝cos π3＋isin π3＝12＋32i ，即e π3i 表示的复数位于复平面中的第一象限．答案：A2．若实数a ，b ，c 满足a 2＋a ＋b i<2＋c i ，集合A ＝{x |x ＝a }，B ＝{x |x ＝b ＋c }，则A ∩（∁R B ）为（ ） A ．∅ B ．{0}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |－2<x <0或0<x <1}解析：由于只有实数之间才能比较大小，故a 2＋a ＋b i<2＋c i ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a <2，b ＝c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <1，b ＝c ＝0，因此A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{0}，故A ∩（∁R B ）＝{x |－2<x <1}∩{x |x ∈R ，x ≠0}＝{x |－2<x <0或0<x <1}．答案：D3．设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ；p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －1；p 4：若复数z ∈R ，则z －∈R ． 其中的真命题为（ ） A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：p 1：设z ＝a ＋b i ，则1z ＝1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，得到b ＝0，所以z ∈R ．故p 1正确；p 2：若z 2＝－1，满足z 2∈R ，而z ＝i ，不满足z ∈R ，故p 2不正确；p 3：若z 1＝1，z 2＝2，则z 1z 2＝2，满足z 1z 2∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故p 3不正确；p 4：实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p 4正确． 答案：B。
