运用根的判别式解题

格式：docx
大小：36.88 KB
文档页数：3

运用根的判别式解题

根的判别式是指对于一次方程 ax^2+bx+c=0 来说，其判别式Δ=b^2-4ac能够反映出方程的根的性质。根据判别式，我们可以分为以下三种情况进行解题：

1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。

2.当Δ=0时，方程有两个相等的实数根。

3.当Δ<0时，方程没有实数根，而有两个共轭的复数根。

下面我们将通过实例来具体说明如何运用根的判别式进行解题。

实例1：求解方程x^2-5x+6=0的根。

首先，我们需要计算出判别式 Δ=b^2-4ac=5^2-4(1)(6)=1

由于Δ=1>0，所以该方程有两个不相等的实数根。

然后，我们利用一元二次方程求根公式 x = [-b±√(b^2-4ac)] /

(2a) 进行计算。

带入方程的系数a=1，b=-5，c=6，即可得到：

x1=[5+√(5^2-4(1)(6))]/(2(1))=(5+√1)/2=3

x2=[5-√(5^2-4(1)(6))]/(2(1))=(5-√1)/2=2

因此，方程x^2-5x+6=0的两个根分别为x1=3和x2=2

实例2：求解方程2x^2-4x+3=0的根。

首先，我们需要计算出判别式 Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4(2)(3)=-8 由于Δ=-8<0，所以该方程没有实数根，而有两个共轭的复数根。

然后，我们需要将方程转换为复数形式进行求解。

利用一元二次方程求根公式 x = [-b±√(b^2-4ac)] / (2a)，带入方程的系数 a=2，b=-4，c=3，即可得到：

x1=[-(-4)+√((-4)^2-4(2)(3))]/(2(2))=(4+√(-8))/4=(4+2i)/4=1/2+i/2

x2=[-(-4)-√((-4)^2-4(2)(3))]/(2(2))=(4-√(-8))/4=(4-2i)/4=1/2-i/2

因此，方程2x^2-4x+3=0的两个根分别为x1=1/2+i/2和x2=1/2-i/2

实例3：求解方程x^2+4x+5=0的根。

首先，我们需要计算出判别式 Δ=b^2-4ac=4^2-4(1)(5)=-4

由于Δ=-4<0，所以该方程没有实数根，而有两个共轭的复数根。

然后，我们需要将方程转换为复数形式进行求解。

利用一元二次方程求根公式 x = [-b±√(b^2-4ac)] / (2a)，带入方程的系数 a=1，b=4，c=5，即可得到：

x1=[-4+√(-4)]/(2(1))=-2+√(-1)=-2+i

x2=[-4-√(-4)]/(2(1))=-2-√(-1)=-2-i

因此，方程x^2+4x+5=0的两个根分别为x1=-2+i和x2=-2-i。

综上所述，根的判别式是一个重要的工具，能够帮助我们判断一次方程的根的性质，并通过一元二次方程求根公式进行求解。在解题过程中，我们需要根据判别式的结果，分别进行实数根和复数根的求解方法，以得到方程的根。

初中九年级数学教案-求根公式中根的判别式的应用-市赛一等奖

课题：求根公式中根的判别式的应用

教学目标：

1. 根的判别式是判断方程实根个数的公式，理解求根公式中根的判别式意义．

2. 在解题时应用十分广泛，涉及到解系数的取值范围、判断方程根的个数及分布情况等。

3. 培养学生分类讨论的数学思想，培养思维的严密性。

教学重点：会用判别式判定根的情况，能求出符合题意的字母的取值范围。

教学难点：一元二次方程根的判别式的三种情况推导。

教学过程：

一、知识回顾：

1、解一元二次方程，已知a2bc=0（a≠0）且判别式Δ=b2-4ac≥0,它的求根公式=242bbaca

2、一元二次方程的根的判别式

（1）当Δ=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根1=242bbaca，2=242bbaca

（2）当Δ=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=−b2a

（3）当Δ=b2−4ac<0时，方程没有实数根

反过来也成立

（1）方程有两个不相等实数根Δ>0

（2）方程有两个相等实数根Δ=0

（3）方程没有实数根Δ<0

（4）方程有实数根Δ≥0（包括两种情况）

利用方程根的判别式来解决具体的问题是中考的一个热点

二、典例精讲

例1. 关于的方程mx2+(m+3)x+3=0一定有实数根吗为什么

解：Δ=b2−4ac

=(m+3)2−4m×3

=(m−3)2

∵对于任意实数m，(m−3)2≥0 即Δ≥0

∴不论m为何值，方程mx2+(m+3)x+3=0总有实数根

例2. 已知关于的方程x2+(2m−1)x+4=0有两个相等实数根，求m−1（2m−1）2+2m的值

解： ∵关于的方程x2+(2m−1)x+4=0有两个相等实数根

∴满足Δ=（2m−1）2−4×1×4=0

即2m−1=±4

解得m1=52 ,m2=−32

当m1=52 时，m−1(2m−1)2+2m=52−1(2×52−1)2+2×52

求根公式中根的判别式的应用

教师姓名杨乐单位名称填写时间 2021年8月12日

学科数学年级/册九年级〔上〕教材版本人教版

课题名称 21.2 一元二次方程--求根公式中根的判别式的应用

难点名称利用根的判别式确定字母的取值或范围.

难点分析从知识角度分析为什么难

利用根的判别式确定字母的取值或范围，未对方程进行分类讨论导致漏解.

从学生角度分析为什么难在利用求根公式解无解的一元二次方程时常因忽略利用根的判别式判断根的情况而导致计算费时，对方程进行分类讨论不充分导致漏解.

难点教学方法

1.通过对根的判别式意义的分析，使学生明确其重要性.

2.通过对典型例题的分析讲解，使学生熟练应用根的判别式.

教学环节教学过程

导入以下一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是〔 D 〕

A. 0412xx B．0422xx C．022xx D．022xx

解析：答案D：04应选D.

一元二次方程：)0(02acbxax

acb4-2 应用：用来判定一元二次方程的根的情况。

0 方程有两个不相等的实数根；

0 方程有两个相等的实数根；

0方程没有实数根。

根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，

这方面的知识主要用来求取值范围等问题.

知识讲解

〔难点突破〕

1.关于x的方程x2＋2x－(m－2)＝0的根的判别式Δ＝4m－4，假设方程有两个不相等的实数根，那么m>1；假设方程有两个相等的实数根，那么m＝1；假设方程没有实数根，那么m<1．

2.〔20210112xxk有两个实数根，那么k的取值范围是〔 D 〕

A．k≤45 B．k＞45 C．k＜45且k≠1 D．k≤45且k≠1

解析：一元二次方程有两个实数根，那么0

145,04514-12kkkk且.

根的判别式及其应用-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)

根的判别式及其应用

【知识梳理】

一：判别式的值与根的关系

1.一元二次方程根的判别式：我们把24bac−叫做一元二次方程20(0)axbxca++=的根的判别式，通常

用符号“”表示，记作2=4bac−．

2.一元二次方程20(0)axbxca++=，

当2=40bac−时，方程有两个不相等的实数根；当2=40bac−=时，方程有两个相等的实数根；当2=40bac−时，方程没有实数根．二：根的判别式的应用

（1）不解方程判定方程根的情况；（2）根据参数系数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题．三：韦达定理韦达定理：如果12,xx是一元二次方程20axbxc++= (0)a的两个根,由解方程中的公式法得,

2142bbacxa−+−=，2242bbacxa−−−=．那么可推得1212,bcxxxxaa+=−=．这是一元二次方程根与系数的关系

【考点剖析】

题型一：判别式的值与根的关系

例1．不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）24530xx−−=；（2）22430xx++=；（3）22326xx+=；（4）22340xx+−=．【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根；

（4）方程有两不等实根．【答案】【答案】

【解析】（1）4a=，5b=−，3c=−，24730bac=−=，方程有两不等实根；

2a=，4b=，3c=，2480bac=−=−，方程无实数根；

2a=，26b=−，3c=，240bac=−=，方程有两相等实根；

（4）2a=，3b=，4c=−，24410bac=−=，方程有两不等实根．

【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的a、b、

c，再代值计算，根据与0的大小关系确定方程根的情况，注意a、c异号时则必有两不等实根．

【变式1】已知关于x的一元二次方程2(1)210mxmx−++=根的判别式的值为4，求m的值．