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根的判别式的应用

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根的判别式的应用

根的判别式内容：

一元二次方程在一般形式下，即形如：ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），

当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；

当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．

根的判别式的应用：

一、判断方程根的情况

例1：一元二次方程y2+2（y﹣1）＝3y的根的情况是（ ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根 D．没有实数根

解：y2+2（y﹣1）＝3y，

y2+2y﹣2＝3y，

y2﹣y﹣2＝0，

∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2，

∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，

∴有两个不相等的实数根．

故选：A．

练习1：

1.关于x的一元二次方程x2+mx﹣m﹣2＝0的根的情况是（ ）

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．没有实数根

D．实数根的个数由m的值确定

2.下列一元二次方程中，无实数根的是（ ）

A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2+3x+2＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2+2x+3＝0

3.已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣2＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．没有实数根

D．实数根的个数与实数b的取值有关

二、根据方程根的情况求字母的取值范围

例2：如果关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）

A．a＞﹣1 B．a≥﹣1 C．a≥﹣1且a≠0 D．a＞﹣1且a≠0

解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴a≠0，Δ＝22﹣4a×（﹣1）＝4+4a＞0，

解得：a＞﹣1且a≠0，

故选：D．

练习2：

1.关于x的一元二次方程﹣kx2﹣6x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）

A．k＞﹣3 B．k＜3 C．k＜3且k≠0 D．k＞﹣3且k≠0

2.已知关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）

A．m≥﹣2 B．m≤﹣2 C．m≥﹣2且m≠﹣1 D．m≤﹣2且m≠﹣1

3.若实数a使关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）

A．a＜ B．a＜且a≠﹣1 C．a＞ D．a＞且a≠﹣1

4.若一元二次方程kx2﹣4x﹣5＝0有两个实数根，求k的取值范围

．

5.若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2（a+1）x+a+5＝0有实根，则实数a的取值范围是

.

6.已知关于x的方程mx2+（2m-1）x+m=0.

(1)若方程有两个不相等的实数根，则m .

(2)若方程有两个相等的实数根，则m .

(3)若方程有两个实数根，则m .

(4)若方程有实数根，则m .

三、与新运算（定义）的综合

例3：定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）“满足a+b+c＝0”，那我们称这个方程为“蜻蜓”方程，已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，下列结论正确的是（ ）

A．a＝c≠b B．a＝b≠c C．b＝c≠a D．a＝b＝c

解：把x＝1代入方程ax2+bx+c＝0得出a+b+c＝0，

∴b＝﹣a﹣c，

∵方程有两个相等的实数根，

∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0，

∴a＝c，

∴a＝c≠b，

故选：A．

练习3：

1.定义比如，4⊗2＝2，1⊗5＝1．若实数k满足k[x2⊗（x+1）]﹣1＝0，并且这个关于x的方程有两个不相等的实数解，则k的取值范围是 ．

2.如果a2+b2＝c2，那么把形如ax2+cx+b＝0（a≠0）的方程称为“勾系方程”． （1）当a＝3，b＝4时，写出相应的“勾系方程”： ；

（2）求证：关于x的“勾系方程”ax2+cx+b＝0（a≠0）必有实数根．

3.定义新运算，对干任意实数m，n．都有m☆n＝m2n+n．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2×2+2＝20．若2☆a的值小于0．请判断方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．

四、利用根的判别式判断三角形的形状

例4：已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

解：（1）△ABC是等腰三角形；

理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；

（2）△ABC为直角三角形；

理由：根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；

（3）∵△ABC为等边三角形，

∴a＝b＝c，

∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．

练习4：

1.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0．

（1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；

（2）若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值．

2.边长为整数的直角三角形若其两直角边长是方程x2﹣（k+2）x+4k＝0的两根，求k的值并确定直角三角形三边之长．

五、证明一元二次方程有（无）实数根

例5：关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根为1，求m的值．

（1）证明：x2﹣mx+2m﹣4＝0，

Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（2m﹣4）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2，

∵不论m为何值，（m﹣4）2≥0，

∴Δ≥0，

∴方程总有两个实数根；

（2）解：把x＝1代入关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0，得1﹣m+2m﹣4＝0．

解得m＝3．

练习5： 1.已知关于x的一元二次方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．

（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根；

（2）如果这个方程的根的判别式的值等于2，求m的值．

2.已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．

（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；

（2）若该方程有一个根﹣1，求m的值．

3.已知关于x的方程x2+（a﹣2）x﹣a＝0．

（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；

（2）若此方程两个实数根都是正实数，求a取值范围．

4.已知一元二次方程﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0．

（1）求证：方程有两个不等的实数根；

（2）若方程只有一个实数根小于1，求a的取值范围．

六、与韦达定理的结合运用

例6：已知：x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣m＝0的两个实数根，x1，x2满足（x1﹣x2）2＝5，且x1•x2＜0．

（1）求m的值．

（2）不解方程，求3x1﹣x24．

解：∵x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣m＝0的两个实数根，

∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣m，

∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝m2+4m，

∴m2+4m＝5，

解得m1＝1，m2＝﹣5，

如果m2＝﹣5，那么x1x2＝5＞0，不合题意舍去，

当m1＝1时，满足Δ＞0，且x1•x2＜0，

∴m＝1；

（2）当m＝1时，原方程即为x2+x﹣1＝0，

∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣1，x12＝1﹣x1，x22＝1﹣x2，

∴x12+x22＝2﹣（x1+x2）＝3，

∴3x1﹣x24

＝3x1﹣（1﹣x2）2

＝3x1﹣1+2x2﹣x22

＝2x1+2x2﹣（1﹣x1+x22）

＝2（x1+x2）﹣（x12+x22）

＝﹣2﹣3

＝﹣5．

练习6：

1.已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0的两根为x1，x2，满足：x12+x22＝16+x1x2，求实数k的值． 2.已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+6x＝4m﹣3有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）设方程的两实根分别为x1与x2若x1x2﹣x12﹣x22＝﹣7，求m的值．

3.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若x1+x2﹣x1x2＝1，计算m的值．

4.已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m＝0有两个实数根x1，x2．

（1）求m的取值范围．

（2）若|x1|＝|x2|，求m的值及方程的根．

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根的判别式及其应用-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)

根的判别式及其应用-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)

根的判别式及其应用

【知识梳理】

一：判别式的值与根的关系

1.一元二次方程根的判别式：我们把24bac−叫做一元二次方程20(0)axbxca++=的根的判别式，通常

用符号“”表示，记作2=4bac−．

2.一元二次方程20(0)axbxca++=，

当2=40bac−时，方程有两个不相等的实数根； 当2=40bac−=时，方程有两个相等的实数根； 当2=40bac−时，方程没有实数根． 二：根的判别式的应用

（1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 三：韦达定理 韦达定理：如果12,xx是一元二次方程20axbxc++= (0)a的两个根,由解方程中的公式法得,

2142bbacxa−+−=，2242bbacxa−−−=． 那么可推得1212,bcxxxxaa+=−=． 这是一元二次方程根与系数的关系

【考点剖析】

题型一：判别式的值与根的关系

例1．不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）24530xx−−=； （2）22430xx++=； （3）22326xx+=； （4）22340xx+−=． 【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根；

（4）方程有两不等实根．【答案】【答案】

【解析】（1）4a=，5b=−，3c=−，24730bac=−=，方程有两不等实根；

2a=，4b=，3c=，2480bac=−=−，方程无实数根；

2a=，26b=−，3c=，240bac=−=，方程有两相等实根；

（4）2a=，3b=，4c=−，24410bac=−=，方程有两不等实根．

【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的a、b、

c，再代值计算，根据与0的大小关系确定方程根的情况，注意a、c异号时则必有两不等实根．

【变式1】已知关于x的一元二次方程2(1)210mxmx−++=根的判别式的值为4，求m的值．

第09讲根的判别式及其应用(原卷版)2

第09讲根的判别式及其应用(原卷版)2

第09讲 根的判别式及其应用

【知识梳理】

一：判别式的值与根的关系

1.一元二次方程根的判别式：我们把24bac叫做一元二次方程20(0)axbxca的根的判别式，通常用符号“”表示，记作2=4bac．

2.一元二次方程20(0)axbxca，

当2=40bac时，方程有两个不相等的实数根；

当2=40bac时，方程有两个相等的实数根；

当2=40bac时，方程没有实数根．

二：根的判别式的应用

（1）不解方程判定方程根的情况；

（2）根据参数系数的性质确定根的范围；

（3）解与根有关的证明题．

三：韦达定理

韦达定理：如果12,xx是一元二次方程20axbxc (0)a的两个根,由解方程中的公式法得,

2142bbacxa，2242bbacxa．

那么可推得1212,bcxxxxaa． 这是一元二次方程根与系数的关系

【考点剖析】

题型一：判别式的值与根的关系

例1．不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）24530xx； （2）22430xx；

（3）22326xx； （4）22340xx．

【变式1】已知关于x的一元二次方程2(1)210mxmx根的判别式的值为4，求m的值．

例2.当m取何值时，关于x的方程221(2)104xmxm，

（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？

【变式1】一元二次方程220xx的根的情况是（ ）

A. 有两个相等的实数根； B. 有两个不相等的实数根； C. 没有实数根； D. 不确定.

【变式2】关于x的方程210xmxm根的情况，下列说法正确的是（ ）

A. 没有实数根； B. 有两个不相等的实数根； C. 有两个不相等的实数根； D. 有两个实数根.

根的判别式的应用

根的判别式的应用

根的判别式的应用

根的判别式内容：

一元二次方程在一般形式下，即形如：ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），

当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；

当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．

根的判别式的应用：

一、判断方程根的情况

例1：一元二次方程y2+2（y﹣1）＝3y的根的情况是（ ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根 D．没有实数根

解：y2+2（y﹣1）＝3y，

y2+2y﹣2＝3y，

y2﹣y﹣2＝0，

∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2，

∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，

∴有两个不相等的实数根．

故选：A．

练习1：

1.关于x的一元二次方程x2+mx﹣m﹣2＝0的根的情况是（ ）

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．没有实数根

D．实数根的个数由m的值确定

2.下列一元二次方程中，无实数根的是（ ）

A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2+3x+2＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2+2x+3＝0

3.已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣2＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．没有实数根

D．实数根的个数与实数b的取值有关

二、根据方程根的情况求字母的取值范围

例2：如果关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）

A．a＞﹣1 B．a≥﹣1 C．a≥﹣1且a≠0 D．a＞﹣1且a≠0

解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴a≠0，Δ＝22﹣4a×（﹣1）＝4+4a＞0，

解得：a＞﹣1且a≠0，

故选：D．

练习2：

1.关于x的一元二次方程﹣kx2﹣6x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）

根的判别式求不定式最值的应用举隅

根的判别式求不定式最值的应用举隅

根的判别式求不定式最值的应用举隅

在数学学科中，有一种常见的问题是求解不定式的最值。为了解决这类问题，我们可以使用根的判别式来求解不定式的最值。本文将介绍根的判别式以及其在求不定式最值中的应用。

**一、根的判别式**

对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0，其根的判别式D的计算公式为：

D = b^2 - 4ac

根的判别式D可以分为三种情况讨论：

1. 当D > 0时，方程有两个不相等的实根；

2. 当D = 0时，方程有两个相等的实根；

3. 当D < 0时，方程没有实根，而是有两个共轭的复根。

**二、不定式最值的应用**

在求解不定式最值的问题中，我们可以利用根的判别式来确定不定式的取值范围进而求解最值。下面以一个具体的例子来说明。

例题：求不定式f(x) = 4x^2 - 6x + 3的最小值。

解答：

首先，我们观察到f(x)是一个二次函数，根据一元二次函数的图像特点，它的图像是一个抛物线。而最小值出现在抛物线的顶点处。 要确定顶点的横坐标，我们可以利用顶点的横坐标公式x = -b/2a。将a = 4，b = -6代入公式中，可得x = -(-6)/(2*4) = 3/4。

接下来，我们计算f(x)在x = 3/4处的纵坐标，即求f(3/4)的值。将x

= 3/4代入f(x)，得到f(3/4) = 4(3/4)^2 - 6(3/4) + 3 = 3/4。

因此，不定式f(x) = 4x^2 - 6x + 3的最小值为3/4。

**三、总结**

通过根的判别式求解不定式的最值是一种常见的数学问题，可以运用到不同的场景中。其中，根的判别式D = b^2 - 4ac可以帮助我们判断方程的根的性质，进而帮助我们解决不定式最值的求解问题。

需要注意的是，在使用根的判别式时，我们需要确保方程为二次方程且系数a不为0。同时，通过观察一元二次函数图像的特点，我们可以利用顶点的横坐标公式x = -b/2a来求解不定式的最值。