基于动态多粒子群的多目标优化算法

基于粒子群的多目标优化算法　

李宁１，２邹彤　孙德宝　秦元庆　

（华中科技大学控制科学与２ｆ－－程系，武汉４３００７４）　

（武汉理工大学计算机科学与技术学院，武汉４３００７０）　

Ｅ－ｍａｉｈｚｉｄｏｎｇ＠ｔｏｍ，ｃｏｎ　

摘　要　论文提出了一种新的基于粒子群的多目标优化算法。用搜索过程中所发现非劣解的一部分构成精英集，将其作　

为粒子群的历史最佳．引导粒子群的搜索，并通过小生境技术和部分变异的方法来提高非劣解集的多样性和分散性。对　

三个典型多目标测试函数所作实验的结果验证了该方法的有效性和快速性．结果还表明：该方法所得非劣解集在分散　

性、错误率和逼近程度等量化指标上优于ＦＦＧＡ、ＳＰＥＡ、ＰＡＥＳ、ＮＳＧＡ等方法，是一种非常有潜力的多目标优化方法。　

关键词　粒子群优化算法　多目标优化Ｐａｒｅｔｏ最优　小生境　精英集　

文章编号１００２—８３３ｌ一（２００５）２３—００４３—０４　文献标识码Ａ　中图分类号　ｒＰ３Ｏ１．６　

Ｍｕｌｔｉ－ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　Ｕｔｉｌｉｚｉｎｇ　Ｐａｒｔｉｃｌｅ　Ｓｗａｒｍ　

Ｌｉ　Ｎｉｎｇ　·　Ｚｏｕ　Ｔｏｎｇ　Ｓｕｎ　Ｄｅｂａｏ　Ｑｉｎ　Ｙｕａｎｑｉｎｇ　

（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｃｏｎｔｒｏｌ　Ｓｃｉ．ａｎｄ　Ｅｎｇ．，Ｈｕａｚｈｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｗｕｈａｎ　４３００７４）　

（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｗｕｈａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｗｕｈａｎ　４３００７０）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ　ａ　ｎｅｗ　ｍｕｌｔｉ—ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｂａｓｅｄ　ｕｐｏｎ　ｔｈｅ　Ｐａｒｔｉｃｌｅ　Ｓｗａｒｍ　Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ：Ａ　ｓｅｔ　ｔｈａｔ　ｉｎｃｌｕｄｅｓ　ｐａｒｔｉａｌ　ｎｏｎｄｏｍｉｎａｔｅｄ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｗｈｉｃｈ　ａｒｅ　ｆｏｕｎｄ　ｉｎ　ｆｏｒｅｇｏｉｎｇ　ｓｅａｒｃｈｉｎｇ　ｉｓ　ｄｅｎｏｔｅｄ　ａｓ　ｅｌｉｔｉｓｍ．Ｔｈｅ　ｅｌｉｔｉｓｍ　

多目标粒子群算法

多目标粒子群算法（MOPSO）是一种基于进化计算的优化方法，它可以有效解决多目标优化问题。其主要概念是基于多面体搜索算法，把多个粒子看作无人机，它们可以在多目标函数中进行搜索，以寻找最优解。MOPSO算法把多目标优化问题转换为一个混合非线性规划问题，它使用了动态的样本技术和非均匀的采样方法，用于构建联合募集框架。MOPSO算法可以并行运行，利用可伸缩的进化引擎，将不断改进和优化多目标优化问题解。

MOPSO算法是一种满足Pareto最优性的多目标优化方法，其主要目标是寻找Pareto最优解。MOPSO算法的初始参数是状态空间中的多个初始粒子的位置，该算法借助粒子群优化技术和多面体搜索算法，利用迭代搜索算法来求解Pareto最优解。在MOPSO算法中，粒子的位置由这两种方法的结合来确定：（1）“随机探索”，即每个粒子随机移动以发现新的解；（2）“最优探索”，即每个粒子尝试移动到种群最优解所在的位置。通过这种不断进化的搜索机制，可以找到更好的解，以维持每个粒子的最优性，从而获得更好的最终结果。

MOPSO算法的另一个优点是，它可以检测和处理多维度的优化变量和不同方向的最优性，它可以从多个维度上考虑多目标优化问题，用于生成更多更好的解决方案。MOPSO算法也可以克服粒子群算法中的参数空间收敛，从而更有效地解决多目标优化问题。此外，为了提高算法效率，MOPSO也可以使用分布式粒子群优化技术，从而改善算法的运行效果。

总之，多目标粒子群算法是一种非常有效的多目标优化方法，它可以有效解决多目标优化问题，并在分布式环境下改善算法的运行效率。由于它能够以不同的方式处理多个变量和多个优化目标，MOPSO算法已经被广泛应用于各种复杂的多目标优化问题中。

基于粒子群算法的蜗杆传动多目标优化设计　口张黎明　口莫云辉　上海大学机电工程与自动化学院　上海　２０００７２　摘要：以蜗杆传动接触点处的最小油膜厚度最厚、滑动速度和中心距最小为目标函数，采用粒子群算法对所建数　学模型进行求解。优化结果与传统设计相比，获得了较大的最小油膜厚度和较小的滑动速度，提高了蜗杆传动的综合性能　和摩擦学性能。　关键词：蜗杆传动最小油膜厚度　多目标优化设计粒子群算法　中图分类号：ＴＨ１３２．４４　文献标识码：Ａ　文章编号：１０００—４９９８（２ＯＬＯ）Ｏ４—００２７—０２　本文针对蜗杆传动滑动速度大、易于发生胶合和　磨损的现象，建立接触点处润滑油膜厚度最厚、中心距　和滑动速度最小的多目标优化数学模型，采用收敛速　度较快、全局寻优能力较强的粒子群算法¨　对模型进　行求解，与传统设计方法相比，该算法综合考虑了多种　因素，计算精度更高。　１　蜗杆传动的多目标优化数学模型　以用于某泵站的ＺＡ圆柱蜗杆减速器为例进行优　化设计。已知条件：输入功率Ｐｌ＝７．５　ｋＷ，转速ｎｌ＝　１　４５０　ｒ／ｍｉｎ，传动比ｉ＝２０，载荷平稳，蜗杆材料为４５　钢，表面淬火，硬度为４５～５５ＨＲＣ，蜗轮材料为　ＺＣｕＳｎｌ０Ｐ１，砂模铸造。　１．１　目标函数的建立　１．１．１　接触点处最小油膜厚度最厚目标函数　蜗杆与蜗轮为线接触啮合传动，故采用Ｄｏｗｓｏｎ—　Ｈｉｇｇｉｎｓｏｎ的线接触最小油膜厚度公式，即：　ｈ　＝２．６５　８　（＊７ｏＭ）。　Ｐ　Ｅ　”（　／Ｌ）　”（１）　式中：ｈ　为最小油膜厚度，　ｍ；０ｃ。为润滑油的黏压系　数，取２．２　Ｘ　１０　Ｐａ　；伽为环境黏度，取７．５　Ｘ　１０　Ｐａ／　ｓ；　为接触点处润滑油的卷吸速度，ｍ／ｓ；Ｐ为接触点　处综合曲率半径，ｍｍ；Ｅ为当量弹性模量，取１６２　ＧＰａ；　／Ｌ为接触点处单位长度上的载荷，Ｎ／ｍｍ。　接触点处最小油膜厚度最厚目标函数为：　１　ｍｉｎｆｉ（Ｘ）＝　号　（２）　卷吸速度　可按下式计算　】：　１　一　Ｍ　言（　ｉｎＡ＋　。ｓＡ）　亩　ｍｚｌｅ。ｓＡ　（３）　式中：　、　：为蜗杆、蜗轮的圆周速度；Ａ为蜗杆导程角；　ｍ为模数；　。为蜗杆头数；／７，。为输入转速。　接触点处综合曲率半径Ｐ为：　Ｐ＝　（４）　■　Ｌ斗　收稿日期：２００９年１１月　机械制造４８卷　第５４８期　式中：　为标准压力角。根据算式（３）、（４）和已知条件，　将（２）式化为：　ｍｉ　（　）：————　．＿—一　（５）　ｍＩ　１３．　｝１３．ｃ０ｓｏ　２　（ａｒｃｔａｎ曼Ｌ）　ｇ　式中：ｑ为直径系数。　１．１．２中心距最小目标函数　ｒａｉｎｆ２（　）＝口＝÷ｍ（ｑ＋２０ｚ１）　（６）　１．１．３相对滑动速度最小目标函数　ｍｉｎｅ；（Ｘ）　＝毒　：０．０７６ｍ　＋　（７）　＝．　ｍ　（）　１．１．４总目标函数　对于多目标优化问题，一般不能保证所有的目标　同时达到最优，需根据各目标的重要程度，分别乘以权　重系数，然后相加作为总目标函数　。　ｍｉｎｆ（　）＝∑　（　）　（８）　』＝１　式中：Ｗｊ为权重系数，由各目标函数的重要程度决定。　１．２设计变量　根据目标函数选择蜗杆头数　、直径系数ｑ和模　数ｍ为设计变量：　Ｘ＝［　ｌ，　２，　３】　＝［　１，，孔，ｑ】　（９）　１．３约束条件　１．３．１强度约束　蜗轮齿面接触疲劳强度条件约束：　ｇ１（　）＝１０・６Ｋｒ￣（　）　一ｍ　ｇ　＝１．６１　Ｘ　１０４　了一　２　３≤０　（１０）　Ｔ　式中：　为载荷系数，通常取１；　为蜗轮转矩，Ｎｍ；Ｚ　为材料弹性系数，取１６０（ＭＰａ）　；Ｚｚ为蜗轮齿数；［Ｏ－】“　为许用接触应力，取ｌ８２　ＭＰａ。　蜗轮齿根弯曲强度条件约束：　２０１０／４

第２７卷第１０期　２０１０年１０月　计算机应用研究　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ　Ｖ０１．２７　Ｎｏ．１０　０ｃｔ．２０１０　基于动态邻居和变异因子的多目标粒子群算法水　刘衍民　，赵庆祯　，牛奔　，邵增珍　（１．山东师范大学管理与经济学院，济南２５００１４；２．遵义师范学院数学系，贵州遵义５６３００２；３．深圳大学　管理学院，广东深圳５１８０６０）　摘要：为了克服粒子群算法求解多目标问题极易收敛到伪Ｐａｒｅｔｏ前沿（等价于单目标优化问题中的局部最优　解）和收敛速度较慢的缺陷，提出一种合并帕累托占优概念到动态邻居和变异因子的粒子群算法（ｐａｒｔｉｃｌｅ　ｓｗａｒｌＴｌ　ｏｐｔｉｍｉｚｅｒ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｎｅｉｇｈｂｏｒ　ｔｏｐｏｌｏｇｙ　ａｎｄ　ｍｕｔａｔｉｏｎ　ｏｐｅｒａｔｏｒ，ＤＮＭＰＳＯ）来处理多目标优化问题（ＤＮＭＭＯＰ—　ＳＯ），该算法也合并了外部存档技术来存储每次迭代产生的非劣解。模拟结果表明，提出的算法在多目标检测　问题上要优于其他算法，因此，ＤＮＭＭＯＰＳＯ可以作为求解多目标优化问题的有效算法。　关键词：动态邻居；多目标优化；粒子群算法　中图分类号：ＴＰ３０１　文献标志码：Ａ　文章编号：１００１—３６９５（２０１０）１０－３７１８－０３　ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１—３６９５．２０１０．１０．０２９　Ｍｕｌｔｉ—ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　ｐａｒｔｉｃｌｅ　ｓｗａｒｍ　ｏｐｔｉｍｉｚｅｒ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｎｅｉｇｈｂｏｒ　ａｎｄ　ｍｕｔａｔｉｏｎ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ＬＩＵ　Ｙａｎ—ｍｉｎ　’　，ＺＨＡＯ　Ｑｉｎｇ—ｚｈｅｎ　，ＮＩＵ　Ｂｅｎ　，ＳＨＡ０　Ｚｅｎｇ—ｚｈｅｎ　（１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＭａｎａｇｅｍｅｎｔ＆Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，Ｓｈａｎｄｏｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｎａｎ　２５００１４，Ｃｈｉｎａ；２．Ｄｅｐｔ．ｏｆＭａｔｈ，Ｚｕｎｙｉ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，　Ｚｕ￣ｙｉ　Ｇｕｉｚｈｏｕ　５６３００２，Ｃｈｉｎａ；３．Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆＭａｎａｇｅｍｅｎｔ，Ｓｈｅｎｚｈｅｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｅｎｚｈｅｎ　Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ　５１８￣０，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｏｒｄｅｒ　ｔｏ　ｃｏｎｑｕｅｒ　ｍｕｌｔｉ—ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　ｐａｒｔｉｃｌｅ　ｓｗａｒｍ　ｏｐｔｉｍｉｚｅｒｓ（ＭＯＰＳＯｓ）ｅａｓｉｌｙ　ｃｏｎｖｅｒｇｅ　ｔｏ　ａ　ｆａｌｓｅ　Ｐａｒｅｔｏ　ｆｒｏｎｔ（ｉ．　ｅ．，ｔｈｅ　ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ　ｏｆ　ａ　ｌｏｃａｌ　ｏｐｔｉｍｕｍ　ｉｎ　ｓｉｎｇｌｅ　ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ），ａｎｄ　ｃｏｎｖｅｒｇｅ　ｓｌｏｗｌｙ，ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｃｏｍｂｉｎｅｄ　ｔｈｅ　Ｐａｒｅｔｏ　ｄｏｍｉｎａｎｃｅ　ｔｏ　ＤＮＭＰＳＯ　ｔｏ　ｄｅａｌ　ｗｉｔｈ　ｍｕｌｔｉ—ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ，ａｎｄ　ｅｍｐｌｏｉｅｄ　ｔｈｅ　ｅｘｔｅｒｎａｌ　ａｒｃｈｉｖｅ　ｔｏ　ｓｔｏｒｅ　ｔｈｅ　ｎｏｎ・ｄｏｍｉｎａｔｅｄ　ＳＯ—　ｌｕｔｉｏｎ　ａｔ　ｅａｃｈ　ｉｔｅｒａｔｉｏｎ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ａｌｇｏｒｉｌ￣ｈｍ　ｉｓ　ａｂｌｅ　ｔｏ　ｆｉｎｄ　ｂｅｔｔｅｒ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｃｏｍｐａｒｅｄ　ａｇａｉｎｓｔ　ｏｔｈｅｒ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ．Ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｔｌｙ，ＤＮＭＭＯＰＳＯ　ｃａｎ　ｂｅ　ｕｓｅｄ　ａｓ　ａｎ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｔｏ　ｓｏｌｖｅ　ｍｕｌｔｉ—ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｄｙｎａｍｉｃ　ｎｅｉｇｈｂｏｒ　ｔｏｐｏｌｏｇｙ；ｍｕｌｔｉ—ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ；ｐａｒｔｉｃｌｅ　ｓｗａｒｍ　ｏｐｔｉｍｉｚｅｒ　０　引言　随着多目标进化算法（ｍｕｌｔｉ—ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ　ａｌｇｏ—　ｒｉｔｈｍｓ，ＭＯＥＡｓ）不断发展，多目标粒子群算法（ＭＯＰＳＯ）的研究　也取得了一定的进展。ＰＳＯ算法…是一种基于种群的进化算　法，它操作简单、收敛速度快，许多学者提出用ＰＳＯ来求解多　目标问题。但是，ＰＳ０算法求解多目标问题时极易收敛到伪帕　累托前沿（等价于单目标优化问题中的局部最优解），并且收　敛速度较慢　Ｊ。鉴于此，学者提出了一些策略来提升粒子群　算法求解多目标问题的效率。Ｃｏｅｌｌｏ等人　在文献［２］的基础　上提出用变异因子来提升粒子的探索能力。Ｓｉｅｒｒａ　提出一种　新的ＭＯＰＳＯ算法（ＯＭＯＰＳＯ），该算法将种群分成若干个子群，　每个子群采用不同的变异因子以提升种群的探索能力。Ｍｏ—　ｓｔａｇｈｉｍ等人　提出了一种Ｓｉｇｍａ（ｓＭＯＰＳＯ）算法，粒子根据外　部存档（ｅｘｔｅｒｎａｌ　ａｒｃｈｉｖｅ）中的成员计算的Ｓｉｇｍａ值来选择全局　领导者，但这种寻找全局领导者的方法或许导致早熟现象。　在最近的研究中，Ｙｅｎ等人　提出了一种动态多群ＭＯＰＳＯ算　法，通过分配一定数量的子群来保证算法在运行过程中收敛　到真实的帕累托前沿。本文在文献［７］提出的算法基础上，通　过合并帕累托占优和外部存档技术来提升求解多目标问题的　效率。　１　多目标优化问题的数学描述　多目标优化问题又称为多标准优化问题，它的最优解通　常称为Ｐａｒｅｔｏ最优解，是由Ｖｉｌｆｒｅｄｏ　Ｐａｒｅｔｏ在１８９６年提出的，　因此被命名为Ｐａｒｅｔｏ最优解（Ｐａｒｅｔｏ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ）。一个具　有ｎ个决策变量、ｍ个目标变量的多目标优化问题表示为　ｒａｉｎ　：Ｆ（　）：（＾（　）　（　），…　（　））　Ｓ．ｔ．　≥ｏ　’’ｐ　（１）．．｛　（１）　【＾　（　）＝Ｏ　＝１，２，…，ｑ　其中：　＝（　，　，…，　）∈ＸＣＲ　为ｎ维决策向量，　为ｎ维决　策空间；，，＝（Ｙ　，Ｙ２，…，Ｙ　）∈ＹｃＲ　为ｍ维的目标变量，ｙ为　ｍ维目标空间；　（　）≥０（ｉ：１，２，…，Ｐ）为Ｐ个不等式约束；　，（　）＝０（　＝１，２，…，ｑ）为ｑ个等式约束。由多目标优化问题　收稿日期：２０１０—０５—０１；修回日期：２０１０—０６—１８　基金项目：国家“８６３”计划资助项目（２００８ＡＡ０４Ａ１０５）；山东省科技攻关项目　（２０９ＧＧ１０００１０８）；遵义市科技局资助项目（［２００８］２１）；贵州省教育厅社科项目（０７０５２０４）　作者简介：刘衍民（１９７８．），男，黑龙江牡丹江人，博士研究生，主要研究方向为运筹学理论、进化计算（ｙａｎｍｉｎ７８１３＠１６３．ｃｏｒｎ）；赵庆祯（１９４３・　），男，山东利津人，教授，博导，主要研究方向为运筹学理论、进化计算、物流工程等；牛奔（１９８０－），男，安徽全椒人，副教授，硕导，博士，主要研究方　向为最优化理论与方法等；邵增珍（１９７７．），男，山东威海人，讲师，博士，主要研究方向为智能计算．