专题十二 空间直线、平面的平行 知识精讲
一 知识结构图
内
容 考点 关注点
空间直线、平面的平行 直线与平面平行的判定 证明直线与平面平行
直线与平面平行的性质 证明线线平行
面面平行的判定 证明面面平行
面面平行的性质定理 面面平行、线线平行互相推
二.学法指导
1．空间两条直线平行的证明
一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；
二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；
三是利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
2．求证角相等
一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．
3．利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．
4．证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、基本事实4等．
5.线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行．利用线面平行的性质定理解题的具体步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面；(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面；(3)确定交线；(4)由性质定理得出线线平行的结论．
6.平面与平面平行的判定方法：
(1)定义法：两个平面没有公共点．
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
7.应用平面与平面平行性质定理的基本步骤：
8.证明直线与直线平行的方法
(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等．
(2)基本事实4.
(3)线面平行的性质定理．
(4)面面平行的性质定理．
9. 证明直线与平面平行的方法：
线面平行、面面平行的判定及性质
一、直线与平面平行
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行.
性质定理
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.
二、平面与平面平行
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理
一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
性质定理
如果两个平行平面时与第三个平面相交，那么它们的交线平行
例1：下列条件中，能判断两个平面平行的是 (
)
A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
解：由面面平行的定义可知选D.
例2：若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是 ( )
A．a平行于α内的所有直线 B．α内有无数条直线与a平行
C．直线a上的点到平面α的距离相等 D．α内存在无数条直线与a垂直
解：A错误，a与α内的直线平行或异面．
例3：已知不重合的直线a，b和平面α，①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，上面命题中正确的是________(填序号)。
解： ①中a与b可能异面；②中a与b可能相交、平行或异面；③中a可能在平面α内，④正确。 例4：已知α、β是平面，m、n是直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β.②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β.③如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交．④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β其中正确命题的个数是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4
解：对于①，由定理“如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直”得知，①正确；对于②，注意到直线m，n可能是两条平行直线，此时平面α，β可能是相交平面，因此②不正确；对于③，满足条件的直线n可能平行于平面α，因此③不正确；对于④，由定理“如果平面外一条直线平行于平面内一条直线，那么这条直线平行于这个平面”得知，④正确．综上所述，其中正确的命题是①④，选B.
直线、平面平行的判定与性质讲义
一、知识梳理
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言 符号语言
判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) l∥aa⊂αl⊄α⇒l∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) l∥αl⊂βα∩β＝b⇒l∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) a∥βb∥βa∩b＝Pa⊂αb⊂α⇒α∥β
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b
注意：重要结论：
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
二、基础检测
题组一：思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( )
(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( )
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( )
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( )
(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( )
(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( ) 题组二：教材改编
2．下列命题中正确的是( )
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
§8.3 直线、平面平行的判定与性质
考试要求 从定义和公理出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明．
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言 符号语言
判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) l∥aa⊂αl⊄α⇒l∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) l∥αl⊂βα∩β＝b⇒l∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) a∥βb∥βa∩b＝Pa⊂αb⊂α⇒α∥β
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b
3.平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)若α∥β，a⊂α，则a∥β.
微思考
1．设m，l表示两条不同的直线，α表示平面，若m⊂α，l∥α，则l与m的位置关系如何？
提示 平行或异面．
2．一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？
提示 平行．可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”，这就是面面平行的判定定理．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( × )
(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．( × )
