武威第三中学——邵志光
线面平行的判定及其性质
1、直线与平面平行的判定定理：
定理1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
定理2：平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。
2、判断直线与平面平行的方法:
（1）利用定义：证明直线与平面无公共点；
（2）利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；
（3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。
注：线面平行通常采用构造平行四边形来求证。
3、直线与平面平行的性质定理：
定理1：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
定理2:一条直线与一个平面平行，则该直线垂直于此平面的垂线。
线面垂直判定及其性质
线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
线面垂直的性质定理：
性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。
性质定理2：经过空间内一点，有且只有一条直线垂直已知平面。
性质定理3：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
性质定理4：垂直于同一平面的两条直线平行。
面面平行判定及其性质
1、面面平行的判定定理：
定理1：如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
推论:如果两个平面的垂线平行，那么这两个平面平行。（可理解为法向量平行的平面平行）
定理2:如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。
定理3：如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。
2、面面平行的性质定理:
定理1:两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面。
定理2:两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行。
定理3:两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面。（判定定理1的逆定理）
1
一、空间几何体的表面积
1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和
2 圆柱的表面积
3 圆锥的表面积2rrlS
4 圆台的表面积22RRlrrlS
5 球的表面积24RS
二、空间几何体的体积
1柱体的体积 hSV底
2锥体的体积 hSV底31
3台体的体积 hSSSSV)31下下上上（
4球体的体积 334RV
三、直线、平面平行的判定与性质
1、直线与平面平行的判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，
用符号表示为a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α。
(1)运用直线与平面平行的判定定理时，必须具备三个条件：
①平面外一条直线；②平面内一条直线；③两条直线相互平行．
(2)直线与平面平行的判定定理的关键是证明两直线平行，证两直线平行是平面几何的问题，所以该判定定理体现了空间问题平面化的思想．
(3)判定直线与平面平行有以下方法：一是判定定理；二是线面平行定义；三是面面平行的性质定理.
【例1】 如右图所示，已知P、Q是单位正方体ABCD—A1B1C1D1的面A1B1BA和面ABCD的中心．
求证：PQ∥平面BCC1B1.
证：如右图，取B1B中点E，BC中点F，连结PE、QF、EF，
∵△A1B1B中，P、E分别是A1B和B1B的中点，
∴PE 12 A1B1.同理QF 12AB.又A1B1AB，∴PEQF.
∴四边形PEFQ是平行四边形．
∴PQ∥EF.
又PQ⊄平面BCC1B1，EF⊂平面BCC1B1，
∴PQ∥平面BCC1B1.
222rrlS2
2、平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线 与另一个平面相交直线，则这两个平面平行．用符号表示为：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α
立体几何（线面平行、垂直的有关结论）
空间中线面平行、垂直关系有关的定理：
1、【线面平行的判定】平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。
2、【线面平行的性质】如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。
3、如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
4、如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。
5、如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
6、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
7、一条直线与两条平行直线中的一条直线相垂直，则这条直线也与另一条直线垂直。
8、与同一条直线都垂直的两条直线相互平行。（ ）
9、与同一个平面都垂直的两条直线相互平行。
10、两条平行直线中的一条直线与一个平面相垂直，则另一条直线也垂直于这个平面。
11、两条相互垂直的直线中的一条平行于一个平面，则另一条直线垂直于这个平面。（ ）
12、两条相互垂直的直线中的一条垂直于以个平面，则另一条直线平行于这个平面。（ ）
13、平面外的两条相互垂直的直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线平行于这个平面。
14、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面。
15、如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
16、两个平面都与另一个平面相垂直，则这两个平面平行。（ ）
17、一个平面垂直于两平行平面中的一个平面，则此平面也垂直于另一个平面。
18、如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。
19、如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。
20、如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
21、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
(完整版)线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理
一、线面平行。
1、判定定理:平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.符合表示：
////ababa
2、性质定理：如果一条直线与平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示: babaaa////
二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示： //////NnmMbaambn
2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 符号表示： dldl////（更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面)
三、线面垂直。
1、判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面.
符号表示： aMcbbaca
$:三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射(完整版)线面、面面平行和垂直的八大定理
影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：
PAaAoAapooAa
2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线.)
四、面面垂直.
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
aa,
2、性质定理:已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。abaab,,，
