2019-2020学年天津市南开区高一(上)期末数学试卷

试卷第1页，总6页 2019-2020学年天津市南开区高一（上）期末数学试卷

一．选择题（共10小题）

1. 设全集𝑈＝{1, 2, 3, 4}，集合𝑆＝{1, 2}，𝑇＝{2, 3}，则(∁𝑈𝑆)∩𝑇等于（ ）

A.{2} B.{3} C.{4} D.{2, 3, 4}

2. 命题“∃𝑥0∈(0, +∞)，ln 𝑥0=𝑥0−1”的否定是( )

A.∀𝑥∈(0, +∞)，ln 𝑥≠𝑥−1 B.∀𝑥∉(0, +∞)，ln 𝑥=𝑥−1

C.∃𝑥0∈(0, +∞)，ln 𝑥0≠𝑥0−1 D.∃𝑥0∉(0, +∞)，ln 𝑥0=𝑥0−1

3. 下列函数中为偶函数，且在(0, +∞)上单调递增的是（ ）

A.𝑦＝lg(2𝑥) B.𝑦＝−𝑥2 C.𝑦＝2𝑥 D.𝑦=√|𝑥|

4. “1𝑎<1𝑏”是“𝑏<𝑎<0”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5. cos480∘的值为（ ）

A.12 B.√32 C.−√32 D.−12

6. 设𝑎＝log0.56，𝑏＝0.56，𝑐＝60.5，则𝑎、𝑏、𝑐的大小顺序是（ ）

A.𝑏<𝑎<𝑐 B.𝑏<𝑐<𝑎 C.𝑎<𝑐<𝑏 D.𝑎<𝑏<𝑐

7. 为了得到函数𝑦=sin(2𝑥−𝜋6)的图象，可以将函数𝑦=sin(2𝑥+𝜋3)的图象（ ）

A.向右平移𝜋2个单位长度 B.向右平移𝜋4个单位长度

C.向左平移𝜋2个单位长度 D.向左平移𝜋4个单位长度

8. 如图1是某条公共汽车线路收支差额𝑦与乘客量𝑥的图象（收支差额=车票收入-支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员将图1变为图2与图3，从而提出了扭亏为盈的两种建议．下面有4种说法：

试卷第2页，总6页 (1)图2的建议是：减少支出，提高票价；

(2)图2的建议是：减少支出，票价不变；

(3)图3的建议是：减少支出，提高票价；

(4)图3的建议是：支出不变，提高票价；

上面说法中正确的是（ ）

A.(1)(3) B.(1)(4) C.(2)(4) D.(2)(3)

9. 已知三个函数𝑓(𝑥)＝2𝑥+𝑥−2，𝑔(𝑥)＝𝑥3−8，ℎ(𝑥)＝log2𝑥+𝑥−2的零点依次为𝑎，𝑏，𝑐，则𝑎+𝑏+𝑐＝（ ）

A.6 B.5 C.4 D.3

10. 若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为𝑦＝2𝑥2+1，值域为{3, 19}的“孪生函数”共有（ ）

A.15个 B.12个 C.9个 D.8个

二．填空题（共5小题）

已知幂函数𝑓(𝑥)的图象经过点(2,√22)，则𝑓(𝑥)的解析式为________．

设𝑥∈𝑅，使不等式14−4𝑥2≥𝑥成立的𝑥的取值范围为________[−2,74] ．

若函数𝑓(𝑥)={(𝑎−1)𝑥−2𝑎,𝑥≤1𝑙𝑜𝑔13𝑥,𝑥>1 的值域是𝑅，则实数𝑎的取值范围是________．

△𝐴𝐵𝐶,sin𝐴=35,cos𝐵=513,cos𝐶=________．

已知𝑎>0，𝑏>0，且𝑎+𝑏=8，则3𝑎𝑏𝑎+4𝑏的最大值是________．

三．解答题（共5小题）

求值：

试卷第3页，总6页 （1）(1681)−34−2𝑒0+ln1−lg4+lg5−2+𝑙𝑜𝑔35×𝑙𝑜𝑔59；

（2）已知𝑎>0，𝑎2𝑥＝3，求𝑎3𝑥+𝑎−3𝑥𝑎𝑥+𝑎−𝑥的值．

已知𝑓(𝑥)是定义在𝑅上的奇函数，且𝑥∈(0, +∞)时，𝑓(𝑥)={7−2|𝑥−1|,0<𝑥≤2𝑥+9𝑥,𝑥>2

（1）求𝑓(0)，𝑓（𝑓(−2)）的值；

（2）若𝑓(𝑎)＝6，求𝑎的值．

如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，以𝑂𝑥轴为始边作两个锐角𝛼，𝛽，它们的终边分别与单位圆相交于𝐴，𝐵两点，已知𝐴，𝐵的横坐标分别为2√55，√210．

(Ⅰ)求tan2𝛼的值；

(Ⅱ)求2𝛼+𝛽的值．

已知函数𝑓(𝑥)=2sin𝑥cos𝑥−2√3𝑐𝑜𝑠2𝑥+√3．

(Ⅰ)求𝑓(𝑥)的最小正周期和对称中心；

(Ⅱ)求𝑓(𝑥)的单调递减区间；

(Ⅲ)当𝑥∈[𝜋2,𝜋]时，求函数𝑓(𝑥)的最大值及取得最大值时𝑥的值．

已知二次函数𝑓(𝑥)＝𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎, 𝑏, 𝑐∈𝑅)，𝑓(−2)＝𝑓(0)＝0，𝑓(𝑥)的最小值为−1．

（1）求函数𝑓(𝑥)的解析式；

（2）设𝑔(𝑥)＝𝑓(−𝑥)−𝜆𝑓(𝑥)+1．

(𝑖)若𝑔(𝑥)在[−1, 1]上是减函数，求实数𝜆的取值范围；

(𝑖𝑖)若𝑔(𝑥)在(−1, 1)内恰有一个零点，求实数𝜆的取值范围．

试卷第4页，总6页 参考答案与试题解析

2019-2020学年天津市南开区高一（上）期末数学试卷

一．选择题（共10小题）

1.

【答案】

B

2.

【答案】

A

3.

【答案】

D

4.

【答案】

B

5.

【答案】

D

6.

【答案】

D

7.

【答案】

B

8.

【答案】

C

9.

【答案】

C

10.

【答案】

C

二．填空题（共5小题）

【答案】

𝑓(𝑥)=𝑥−12

【答案】

[−2,74]

【答案】

[−1, 1)

试卷第5页，总6页 【答案】

1665

【答案】

83

三．解答题（共5小题）

【答案】

(1681)−34−2𝑒0+ln1−lg4+lg5−2+𝑙𝑜𝑔35×𝑙𝑜𝑔59=278−1+0−21𝑔2−21𝑔5+𝑙𝑜𝑔39=198；

∵ 𝑎2𝑥＝3，

∴ 𝑎3𝑥+𝑎−3𝑥𝑎𝑥+𝑎−𝑥=(𝑎𝑥+𝑎−𝑥)(𝑎2𝑥−1+𝑎−2𝑥)𝑎𝑥+𝑎−𝑥=𝑎2𝑥+1𝑎2𝑥−1=3+13−1=73．

【答案】

∵ 𝑓(𝑥)是定义在𝑅上的奇函数；

∴ 𝑓(0)＝0，∴ 𝑓(−2)＝−𝑓(2)＝−(7−2×|2−1|)＝−5，

∴ 𝑓(𝑓(−2))=𝑓(−5)=−𝑓(5)=−(5+95)=−345，

当𝑥∈(0, 2]时，可得𝑓(𝑥)∈[5, 6]；

当𝑥∈(2, +∞)时，可得𝑓(𝑥)=𝑥+9𝑥≥2√𝑥⋅9𝑥=6，当且仅当𝑥＝3时取到最小值6，所以𝑓(𝑥)∈[6, +∞)，

若𝑓(𝑎)＝6，又𝑓(𝑥)是定义在𝑅上的奇函数，

∴ 𝑎>0，

①当𝑎∈(0, 2]时，∴ 𝑓(𝑎)＝7−2|𝑎−1|＝6，∴ 𝑎=12或32，

②当𝑎∈(2, +∞)时∴ 𝑓(𝑎)=𝑎+9𝑎=6，∴ 𝑎＝3．

综上：∴ 𝑎=12、32或3．

【答案】

（1）由已知可得，cos𝛼=2√55,cos𝛽=√210，

∵ 𝛼，𝛽为锐角，∴ sin𝛼=√55，sin𝛽=7√210，

∴ tan𝛼=sin𝛼cos𝛼=12,tan2𝛼=2tan𝛼1−tan2𝛼=43；

(2)cos(𝛼+𝛽)=cos𝛼cos𝛽−sin𝛼sin𝛽=2√55×√210−√55×7√210=−√1010，

∵ 𝛼，𝛽为锐角，∴ 0<𝛼+𝛽<𝜋∴ sin(𝛼+𝛽)=√1−cos2(𝛼+𝛽)=3√1010，

∴ sin(2𝛼+𝛽)＝sin[𝛼+(𝛼+𝛽)]＝sin𝛼cos(𝛼+𝛽)+cos𝛼sin(𝛼+𝛽)=√55×(−√1010)+2√55×3√1010=√22，

试卷第6页，总6页 又0<𝛼+2𝛽<3𝜋2，∴ 𝛼+2𝛽=3𝜋4．

【答案】

（1）𝑓(𝑥)=2sin𝑥cos𝑥−2√3𝑐𝑜𝑠2𝑥+√3=sin2𝑥−√3cos2𝑥＝2sin(2𝑥−𝜋3)，

∴ 𝑓(𝑥)的最小正周期为2𝜋2=𝜋；

由2𝑥−𝜋3=𝑘𝜋，可得𝑥=𝑘𝜋2+𝜋6，

∴ 函数的对称中心为(𝑘𝜋2+𝜋6, 0)(𝑘∈𝑍)；

（2）由2𝑥−𝜋3∈[2𝑘𝜋+𝜋2,2𝑘𝜋+3𝜋2]，可得𝑥∈[𝑘𝜋+5𝜋12,𝑘𝜋+11𝜋12]，

∴ 𝑓(𝑥)的单调递减区间为[𝑘𝜋+5𝜋12,𝑘𝜋+11𝜋12](𝑘∈𝑍)；

(Ⅲ)当𝑥∈[𝜋2,𝜋]时，2𝑥−𝜋3∈[2𝜋3,5𝜋3]，

∴ 2𝑥−𝜋3=2𝜋3，即𝑥=𝜋2时，函数𝑓(𝑥)取得最大值，最大值为√3．

【答案】

𝑓(−2)＝𝑓(0)＝0，𝑓(𝑥)的最小值为−1．

设𝑓(𝑥)＝𝑎𝑥(𝑥+2)，又𝑎>0，𝑓(−1)＝−1，∴ 𝑎＝1，∴ 𝑓(𝑥)＝𝑥2+2𝑥．

∵ 𝑔(𝑥)＝𝑓(−𝑥)−𝜆𝑓(𝑥)+1，∴ 𝑔(𝑥)＝(1−𝜆)𝑥2−2(1+𝜆)𝑥+1，

(𝑖)①当𝜆＝1时，𝑔(𝑥)＝−4𝑥+1在[−1, 1]上是减函数，满足要求；

②当𝜆≠1时，对称轴方程为：𝑥=1+𝜆1−𝜆．

ⅰ）当𝜆<1时，1−𝜆>0，所以1+𝜆1−𝜆≥1，解得0≤𝜆<1；

ⅱ）当𝜆>1时，1−𝜆<0，所以1+𝜆1−𝜆≤−1，解得𝜆>1．

综上，𝜆≥0．

(𝑖𝑖)①当𝜆≥0时，𝑔(𝑥)＝(1−𝜆)𝑥2−2(1+𝜆)𝑥+1在[−1, 1]上是减函数，

∴ 𝑔(−1)＝(1−𝜆)×1+2(1+𝜆)+1＝4+𝜆>0，𝑔(1)＝(1−𝜆)×1−2(1+𝜆)+1＝−3𝜆≤0，

故𝜆＝0时，𝑔(−1)＝4+𝜆>0，𝑔(1)＝−3𝜆＝0，

若𝑔(𝑥)在(−1, 1)内无零点

①；𝜆>0时，符合题意；

②当𝜆<0时，对称轴方程为：𝑥=1+𝜆1−𝜆=−1+21−𝜆∈(−1,1)，

若𝑔(𝑥)在(−1, 1)内恰有一个零点，

则有𝑔(−1)⋅𝑔(1)<0，

所以(4+𝜆)⋅(−3𝜆)<0，

解得𝜆<−4或𝜆>0，又𝜆<0，

所以𝜆<−4．

综上有：𝜆<−4或𝜆>0．