天津市南开区2019-2020学年度第一学期期末考试高三数学试卷(含解析)
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第1页，共10页 天津市南开区2019-2020学年高三（上）期末考试
数学试卷
一、选择题（本大题共9小题）
1. 设全集𝑈={1,2，3，4}，集合𝑆={1,2}，𝑇={2,3}，则(∁
𝑈𝑆)∩𝑇等于( )
A. {2} B. {3} C. {4} D. {2,3，4}
2. 命题“∃𝑥
0∈(0,+∞)，ln 𝑥
0=𝑥
0−1”的否定是( )
A. ∀𝑥∈(0,+∞)，ln 𝑥≠𝑥−1 B. ∀𝑥∉(0,+∞)，ln 𝑥=𝑥−1
C. ∃𝑥
0∈(0,+∞)，ln 𝑥
0≠𝑥
0−1 D. ∃𝑥
0∉(0,+∞)，ln 𝑥
0=𝑥
0−1
3. 下列函数中是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增的是( )
A. 𝑦=𝑥3 B. 𝑦=−𝑙𝑔𝑥2 C. 𝑦=2𝑥 D. 𝑦=√|𝑥|
4. 已知等差数列{𝑎
𝑛}的公差为d，前n项和为𝑆
𝑛，则“𝑑>0”是“𝑆
3+𝑆
5>2𝑆
4”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
5. 设𝑎=1−20.2，𝑏=1𝑜𝑔
3103，𝑐=𝑙𝑔4，则a，b，c的大小关系是( )
A. 𝑎<𝑐<𝑏 B. 𝑏<𝑐<𝑎 C. 𝑐<𝑎<𝑏 D. 𝑐<𝑏<𝑎
6. 过点𝐴(−1,0)，斜率为k的直线，被圆(𝑥−1)2+𝑦2=4截得的弦长为2√3，则k的
值为( )
A. ±√33 B. √33 C. ±√3 D. √3
7. 函数𝑦=sin𝜋𝑥6−√3cos𝜋𝑥6(0≤𝑥≤9)的最大值与最小值之和为( )
A. −1−√3 B. −1 C. 0 D. 2−√3
8. 已知点𝐴(2,0)，抛物线C：𝑥2=4𝑦的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，
与其准线相交于点N，则|𝐹𝑀|：|𝑀𝑁|=( )
A. 2：√5 B. 1：2 C. 1：√5 D. 1：3
9. 四边形ABCD中，𝐵𝐶=1，𝐴𝐶=2，∠𝐴𝐵𝐶=90°，∠𝐴𝐷𝐶=90°，则𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取
值范围是( )
A. [−1,3] B. (−3,−1) C. [−3,1] D. [−√3,√3]
二、填空题（本大题共6小题）
10. 复数2+𝑖1−2𝑖的共轭复数是______．
11. 曲线𝑦=𝑥2𝑥−1在点(1,1)处的切线方程为______．
12. 四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的底面ABCD是正方形，𝑃𝐴⊥平面ABCD，各顶点都在同一球面
上，若该棱锥的体积为4，𝐴𝐵=2，则此球的表面积等于______．
13. 设双曲线C经过点(2,2)，且与𝑦24−𝑥2=1具有相同渐近线，则C的方程为______；
渐近线方程为______．
14. 已知正数x，y满足𝑥+𝑦2𝑥𝑦=3，则当x______时，𝑥+𝑦的最小值是______．
15. 对于实数a和b，定义运算“∗”：𝑎∗𝑏={𝑎(𝑎−𝑏)3,𝑎≤𝑏
𝑏(𝑏−𝑎)3,𝑎>𝑏，设𝑓(𝑥)=(2𝑥−1)∗
(𝑥−1)，若函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑚𝑥2(𝑚∈𝑅)恰有三个零点𝑥
1，𝑥
2，𝑥
3，则m的取值
范围是______；𝑥
1𝑥
2𝑥
3的取值范围是______． 第2页，共10页 三、解答题（本大题共5小题）
16. 在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且𝑏−𝑐=1，𝑐𝑜𝑠𝐴=13，△𝐴𝐵𝐶的面积为2√2．
(Ⅰ)求a及sinC的值；
(Ⅱ)求cos(2𝐴−𝜋
6)的值．
17. 如图，已知直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴
1𝐵
1𝐶
1的底面是直角三角形，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐴
1=𝐴𝐵=
2𝐵𝐶=2，𝐷𝐶
1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ．
(Ⅰ)求证：𝐴𝐵
1⊥平面𝐴
1𝐵𝐷；
(Ⅱ)求二面角𝐴−𝐵𝐷−𝐴
1的余弦值；
(Ⅲ)求点𝐵
1到平面𝐴
1𝐵𝐷的距离．
18. 已知椭圆C的一个顶点为𝐴(0,−1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线𝑥−𝑦+2√2=0
的距离为3．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设椭圆C与直线𝑦=𝑘𝑥+𝑚相交于不同的两点M，N，线段MN的中点为E．
(𝑖)当𝑘>0，𝑚≠0时，射线OE交直线𝑥=−3于点𝐷(−3,𝑛)(𝑂为坐标原点)，求𝑘2+
𝑛2的最小值；
(𝑖)当𝑘≠0，且|𝐴𝑀|=|𝐴𝑁|时，求m的取值范围．
19. 已知数列{𝑎
𝑛}是等比数列，数列{𝑏
𝑛}是等差数列，且𝑎
1=3，𝑏
2=𝑎
2，𝑏
5=𝑎
3+3，
𝑏
8=𝑎
4．
(Ⅰ)求数列{𝑎
𝑛}的通项公式𝑎
𝑛；
(Ⅱ)令𝑐
𝑛=log
2𝑎𝑛
3，证明：1
𝑐2𝑐3+1
𝑐3𝑐4+⋯+1
𝑐𝑛𝑐𝑛+1<1(𝑛∈𝑁∗,𝑛≥2)；
(Ⅲ)求∑𝑏2𝑖
(√33)𝑏𝑖+1𝑛
𝑖=1(𝑛∈𝑁∗)．
20. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥−𝑎𝑥(𝑎∈𝑅)．
(Ⅰ)讨论𝑓(𝑥)的单调性；
(Ⅱ)若𝑓(𝑥)≤𝑥2对𝑥∈(0,+∞)恒成立，求实数a的取值范围；
(Ⅲ)当𝑎=1时，设𝑔(𝑥)=𝑥𝑒−𝑓(𝑥)−𝑥−1(𝑒为自然对数的底).若正实数𝜆
1，𝜆
2满足
𝜆
1+𝜆
2=1，𝑥
1，𝑥
2∈(0,+∞)(𝑥
1≠𝑥
2)，证明：𝑔(𝜆
1𝑥
1+𝜆
2𝑥
2)<𝜆
1𝑔(𝑥
1)+𝜆
2𝑔(𝑥
2).
第3页，共10页 答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵全集𝑈={1,2，3，4}，集合𝑆={1,2}，𝑇={2,3}，
∴𝐶
𝑈𝑆={3,4}，
∴(∁
𝑈𝑆)∩𝑇={3}．
故选：B．
先求出𝐶
𝑈𝑆，由此能求出(∁
𝑈𝑆)∩𝑇的值．
本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是
基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃𝑥
0∈(0,+∞)，ln 𝑥
0=𝑥
0−1”
的否定是：∀𝑥∈(0,+∞)，ln 𝑥≠𝑥−1．
故选：A．
利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．
本题考查特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：𝐴.函数为奇函数，不满足条件．
B.函数的定义域为{𝑥|𝑥≠0}，函数为偶函数，当𝑥>0时，𝑦=−𝑙𝑔𝑥2=−2𝑙𝑔𝑥为减函数，
不满足条件．
C.𝑦=2𝑥为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．
D.𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)，函数为偶函数，当𝑥>0时，𝑦=√𝑥为增函数，满足条件，
故选：A．
根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题
的关键．比较基础．
4.【答案】C
【解析】解：∵等差数列{𝑎
𝑛}的公差为d，𝑆
3+𝑆
5>2𝑆
4，
∴𝑆
3+𝑆
4+𝑎
5>𝑆
3+𝑎
4+𝑆
4，
∴𝑎
5−𝑎
4=𝑑>0，
则“𝑑>0”是“𝑑>0”的充要条件，
故选：C．
化简求解𝑆
3+𝑆
5>2𝑆
4，再判断充要性．
本题考查充要性，以及数列，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：∵20.2>20=1，∴𝑎<0，
∵log
3103>log
33=1，∴𝑏>1，
∵𝑙𝑔1<𝑙𝑔4<𝑙𝑔10，∴0<𝑐<1，
∴𝑎<𝑐<𝑏，
故选：A．
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函
数的性质的合理运用．
6.【答案】A
【解析】解：设直线方程为𝑦=𝑘(𝑥+1)，即𝑘𝑥−𝑦+𝑘=0，
∵圆(𝑥−1)2+𝑦2=4截得的弦长为2√3，
∴圆心到直线的距离为√4−3=1，
