江苏省南通中学2015-2016学年高一下学期开学考试数学试题 含答案

学必求其心得，业必贵于专精

寒假开学高一数学练习

一、填空题

1. 已知集合M＝｛1，m＋2,m2＋4}，且5∈M,则m的值为____________．1或3

2.如果错误!＝错误!，那么tanα＝____________． 2

3.已知角α（0≤α≤2π）的终边过点错误!，则α＝____________．错误!

4。 设向量a、b满足｜a｜＝25，b＝（2,1）,且a与b的方向相反，则a的坐标为____________．

(－4,－2)

5. 设常数a∈R，集合A＝｛x|（x－1）（x－a)≥0}，B＝｛x｜x≥a－1｝．若A∪B＝R,则a的取值范围为______________．（－∞，2］

解析：当a≤1时，A＝{x｜x≤a或x≥1}，显然符合A∪B＝R；当a〉1时，A＝{x|x≤1或x≥a｝，则a－1≤1，∴ a≤2。∴ 1

6。 已知函数f（x）＝sin(x＋θ）＋错误!cos(x＋θ)错误!是偶函数,则θ的值为________．错误!

解析：据已知可得f（x)＝2sin错误!，若函数为偶函数，则必有θ＋错误!＝kπ＋错误!（k∈Z）,又由于θ∈错误!,故有θ＋错误!＝错误!，解得θ＝错误!，经代入检验符合题意．

7。 函数y＝错误!的值域为____________．错误!

8.函数2tan2cossin)(xxcxbxxaxf 若3)2(f,则)2(f 5

9. 已知a2x＝错误!－1，则错误!的值为____________．2错误!－1

10. 已知函数f（x）对任意的实数满足:f(x＋3）＝－错误!,且当－3≤x〈－1时,f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x〈3时,f(x)＝x。则f（1)＋f(2)＋f（3）＋…＋f（2 016）＝________．336

解析:∵ 对任意x∈R,都有f（x＋3)＝－错误!，∴ f（x＋6)＝f(x＋3＋3)＝－错误!＝－错误!＝f(x），∴ f(x)是以6为周期的周期函数． 学必求其心得，业必贵于专精

∵ 当－3≤x〈－1时，f（x）＝－（x＋2)2,当－1≤x<3时，f(x)＝x，∴

f(1)＝1，f(2）＝2,f（3)＝f（－3)＝－1，f（4)＝f(－2)＝0,f(5）＝f（－1）＝－1，f（6）＝f（0）＝0.

∴ f（1)＋f(2）＋…＋f（6）＝1，

∴ f(1)＋f(2）＋…＋f(6）＝f（7)＋f（8）＋…＋f(12）＝…＝f(2 011）＋f(2 012）＋…＋f（2 016)＝1，∴ f（1）＋f(2）＋…＋f(2 016)＝1×2 0166＝336.

11。 设函数f（x）＝错误!方程f（x）＝x＋a有且只有两个不相等实数根,则实数a的取值范围为________．(－∞，4)

解析：作出函数y＝f（x)的图象，由图象可知当a<4时，直线y＝x＋a与函数y＝f（x)的图象恒有两个公共点．

12. O是平面内一定点,A、B、C是平面内不共线的三个点，动点P满足错误!＝错误!＋λ错误!,λ∈［0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________心．（填“内"、“外”、“重”、“垂”、“中”）

内 解析:错误!是与错误!同向的单位向量，错误!是与错误!同向的单位向量，故错误!＋错误!是与∠BAC的角平分线共线的向量，∴ 点P的轨迹一定通过△ABC的内心．

13。 下列命题中，正确的序号是 . ①③④

①)227cos(2xy是奇函数;

②若,是第一象限角,且,则sinsin;

③83x是函数)432sin(3xy的一条对称轴;

④函数)24sin(xy的单调减区间是).](83,8[Zkkk

14．已知实数axfxxxaxxxfa232167)(1,log1;2)(,0，若方程，有且仅有两个不等实根,且较大的实根大于3，则实数a的取值范围为 。 47(,4]7 学必求其心得，业必贵于专精

二、解答题

15. （本小题满分14分) 如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点,P、Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，∠AOP＝错误!，∠AOQ＝α，α∈［0，π）．

（1) 若Q错误!,求cos错误!的值；

(2) 设函数f（α)＝错误!·错误!，求f(α)的值域．

解：(1) 由已知可得cosα＝错误!，sinα＝错误!，

∴ cos错误!＝cosαcos错误!＋sinαsin错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!。

（2) f（α)＝错误!·错误!＝错误!·(cosα，sinα)＝错误!cosα＋错误!sinα＝sin错误!，

∵ α∈[0，π)，∴ α＋错误!∈错误!，－错误!＜sin错误!≤1,∴ f(α）的值域是错误!。

16. （本小题满分14分）已知向量a＝（cosλθ，cos（10－λ）θ），b＝(sin（10－λ）θ,sinλθ）,λ,θ∈R。

(1) 求|a|2＋|b|2的值；

(2) 若a⊥b，求θ；

（3） 若θ＝错误!，求证：a∥b。

（1) 解:因为｜a|＝错误!，

|b｜＝错误!，

所以｜a|2＋|b｜2＝2.

（2） 解:因为a⊥b，

所以cosλθ·sin(10－λ）θ＋cos（10－λ)θ·sinλθ＝0。

所以sin[（10－λ)θ＋λθ］＝0，所以sin10θ＝0，

所以10θ＝kπ，k∈Z,所以θ＝错误!，k∈Z。

（3） 证明：因为θ＝错误!， 学必求其心得，业必贵于专精

所以cosλθ·sinλθ－cos（10－λ)θ·sin(10－λ）θ

＝cos错误!·sin错误!－cos错误!·sin错误!

＝cos错误!·sin错误!－sin错误!·cos错误!＝0，

所以a∥b。

17。 (本小题满分14分)已知△OAB的顶点坐标为(0,0)O，(2,9)A,(6,3)B，

点P的横坐标为14，且OPPB，点Q是边AB上一点，且0OQAP。

(1）求实数的值与点P的坐标;

（2）求点Q的坐标；

(3)若R为线段OQ上的一个动点，试求()RORARB的取值范围。

解：(1)设(14,)Py，则(14,),(8,3)OPyPBy，由OPPB，得(14,)(8,3)yy,解得7,74y，所以点(14,7)P。

（2）设点(,)Qab，则(,)OQab，又(12,16)AP，则由0OQAP，得34ab①又点Q在边AB上，所以12346ba，即3150ab②

联立①②，解得4,3ab，所以点(4,3)Q

（3）因为R为线段OQ上的一个动点,故设(4,3)Rtt,且01t，则(4,3)ROtt，(24,93)RAtt，(64,33)RBtt，+(88,66)RARBtt，则()4(88)3(66)RORARBtttt25050(01)ttt，故()RORARB的取值范围为25[,0]2.

18．（本小题满分16分) 如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在圆周上，设CD＝2x,梯形ABCD的周长为y.

(1) 求出y关于x的函数f（x)的解析式； 学必求其心得，业必贵于专精

(2) 求y的最大值，并指出相应的x值．

解：（1） 作OH、DN分别垂直DC、AB交于H、N，连结OD.

由圆的性质，H是中点，设OH＝h，h＝错误!＝错误!.

又在直角△AND中,AD＝AN2＋DN2＝错误!＝错误!

＝22－x，

所以y＝f（x)＝AB＋2AD＋DC＝4＋2x＋4错误!，其定义域是（0，2)．

（2) 令t＝错误!，则t∈(0,错误!）,且x＝2－t2，所以y＝4＋2·(2－t2）＋4t＝－2（t－1）2＋10,当t＝1,即x＝1时,y的最大值是10。

19. （本小题满分16分)已知函数f(x）＝错误!为奇函数．

(1） 求实数m的值；

(2） 用定义证明函数f(x)在区间(0，＋∞)上为单调减函数;

(3) 若关于x的不等式f(x)＋a＜0对区间[1，3］上的任意实数x都成立，求实数a的取值范围

(1） 解：∵ f(－x)＝－f(x），∴ 错误!＝－错误!，∴ m＝1。

(2） 证明：f(x)＝错误!＝1＋错误!。

设0＜x1＜x2，∵ f(x1)－f（x2)＝错误!－错误!＝错误!，

又1＜2x1＜2x2，2x1－1＞0，2x2－1＞0,2x2－2x1＞0，

∴ 错误!＞0，∴ f（x1）＞f（x2),∴ 函数f(x)在区间(0，＋∞)上为单调减函数．

（3) 解：∵ f(x)＋a＜0对区间［1，3］上的任意实数x都成立，∴ a＜－f（x)对区间［1，3］上的任意实数x都成立．∵ f（x）＝错误!在区间(0，＋∞）上为减函数,∴ f(x)＝错误!在区间［1，3]上为减函数,∴ f学必求其心得，业必贵于专精

（x）的最大值是f(1）＝3，∴ －f(x）的最小值是－3，∴ a＜－3.

20．(本小题满分16分)

已知函数(),(),().fxxagxaxaR．

（1）若函数()yfx是偶函数,求出的实数a的值；

（2）若方程()()fxgx有两解，求出实数a的取值范围；

（3)若0a，记()()()Fxfxgx，试求函数()yFx在区间[1,2]上的最大值。

20．（1）因为函数()fxxa为偶函数，所以()()fxfx，

即xaxa，所以xaxa或xaax恒成立，故0a．……4分

（2）方法一:

当0a时，0xaax有两解,

等价于方程222()0xaax在(0,)上有两解，

即222(1)20axaxa在(0,)上有两解，………………………………6分

令222()(1)2hxaxaxa，

因为2(0)0ha,所以222210,44(1)0,aaaa故01a；…………8分

同理，当0a时，得到10a；

当0a时，不合题意，舍去．

综上可知实数a的取值范围是(1,0)(0,1)．…………………………………10分

方法二：xaax有两解，

即xaax和axax各有一解分别为1axa，和1axa，…………6分

若0a，则01aa且01aa,即01a；………………………………8分

若0a，则01aa且01aa，即10a；