学年江苏省南通市启东中学高一下学期期中数学试卷含答案

2015-2016学年江苏省南通市启东中学高一下学期数学期中试卷

二.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．

1．（5分）若k，﹣1，b三个数成等差数列，则直线y=kx+b必经过定点 ．

2．（5分）在△ABC中，A、B均为锐角，且cosA＞sinB，则△ABC的形状是 ．

3．（5分）与，这两个数的等比中项是 ．

4．（5分）设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为 ．

5．（5分）已知实数x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为

．

6．（5分）在△ABC中，若（a+b+c）（c+b﹣a）=3bc，则A= ．

7．（5分）点P（a，3）到直线4x﹣3y+1=0的距离等于4，且在不等式2x+y﹣3＜0表示的平面区域内，则点P的坐标是 ．

8．（5分）若不等式0≤x2﹣ax+a≤1，只有唯一解，则实数a的值为 ．

9．（5分）在锐角△ABC中，若a=2，b=3，则边长c的取值范围是 ．

10．（5分）已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q的取值范围 ． 11．（5分）设实数x，y满足x2+2xy﹣1=0，则x+y的取值范围是

．

12．（5分）已知数列{an}满足3an+1+an=4（n≥1）且a1=9，前n项和为Sn，则满足的最小整数n是 ．

13．（5分）观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，2、3、4条直线相交，交点的个数最多分别为1、3、6个，其通项公式an= ．（an为n条直线的交点的最多个数）

14．（5分）已知等差数列{an}首项为a，公差为b，等比数列{bn}首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1＜b1，b2＜a3，对于任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得am+3=bn成立，则an= ．

二.解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（15分）如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标：A（0，0），B（3，），C（4，0）．

（1）求边CD所在直线的方程（结果写成一般式）；

（2）证明平行四边形ABCD为矩形，并求其面积．

16．（15分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）若，c=5，求b． 17．（15分）设Sn是等差数列{an}的前n项的和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列{||}的前n项的和，求Tn．

18．（15分）设a，b均为正数，且a+b=1，

（Ⅰ）求证：+≥4；

（Ⅱ）求证：+≥22017．

19．（15分）已知数列{an}满足2an+1=an+an+2（n=1，2，3，…），它的前n项和为Sn，且a3=5，S6=36．

（1）求an；

（2）已知等比数列{bn}满足b1+b2=1+a，b4+b5=a3+a4（a≠﹣1），设数列{an?bn}的前n项和为Tn，求Tn．

20．（15分）设数列{an}满足：a1=1，且当n∈N*时，an3+an2（1﹣an+1）+1=an+1．

（1）比较an与an+1的大小，并证明你的结论．

（2）若bn=（1﹣），其中n∈N*，证明0＜＜2．

2015-2016学年江苏省南通市启东中学高一下学期数学期中试卷

参考答案与试题解析

二.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．

1．（5分）若k，﹣1，b三个数成等差数列，则直线y=kx+b必经过定点

（1，﹣2） ．

【解答】解：若k，﹣1，b三个数成等差数列，则有 k+b=﹣2，即﹣2=k×1+b，故直线y=kx+b必经过定点（1，﹣2），

故答案为

（1，﹣2）．

2．（5分）在△ABC中，A、B均为锐角，且cosA＞sinB，则△ABC的形状是 钝角三角形 ．

【解答】解：由cosA＞sinB得sin（﹣A）＞sinB，

∵A、B均为锐角，

∴﹣A∈（0，），B∈∈（0，），

而y=sinx在（0，）上是增函数，

∴﹣A＞B，

即A+B＜，

∴C=π﹣（A+B）∈（，π）．

故答案为：钝角三角形．

3．（5分）与，这两个数的等比中项是 ±1 ． 【解答】解：设A为与两数的等比中项

则A2=（）?（）

=1

故A=±1

故答案为：±1

4．（5分）设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为

16 ．

【解答】解：∵=1，x、y∈R+，

∴x+y=（x+y）?（）==10+≥10+2=16（当且仅当，x=4，y=12时取“=”）．

故答案为：16．

5．（5分）已知实数x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为 7 ．

【解答】解：根据约束条件画出可行域如图，

得到△ABC及其内部，其中A（5，3），B（﹣1，3），C（2，0）

平移直线l：z=2x﹣y，得当l经过点A（5，3）时，

∴Z最大为2×5﹣3=7． 故答案为：7．

6．（5分）在△ABC中，若（a+b+c）（c+b﹣a）=3bc，则A=

60° ．

【解答】解：已知等式整理得：（a+b+c）（c+b﹣a）=（b+c）2﹣a2=b2+c2﹣a2+2bc=3bc，

即b2+c2﹣a2=bc，

∴cosA===，

∵A为三角形内角，

∴A=60°．

故答案为：60°

7．（5分）点P（a，3）到直线4x﹣3y+1=0的距离等于4，且在不等式2x+y﹣3＜0表示的平面区域内，则点P的坐标是 （﹣3，3） ．

【解答】解：点P到直线4x﹣3y+1=0的距离d==4，则4a﹣8=20或4a﹣8=﹣20，解得a=7或﹣3

因为P点在不等式2x+y﹣3＜0所表示的平面区域内，如图．

根据图象可知a=7不满足题意，舍去．

所以a的值为﹣3，

则点P的坐标是 （﹣3，3）， 故答案为：（﹣3，3）．

8．（5分）若不等式0≤x2﹣ax+a≤1，只有唯一解，则实数a的值为

2 ．

【解答】解：∵不等式0≤x2﹣ax+a≤1有唯一解，

∴x2﹣ax+a=1有唯一解，

即△=a2﹣4（a﹣1）=0；

即a2﹣4a+4=0，

解得，a=2，

故答案为：2．

9．（5分）在锐角△ABC中，若a=2，b=3，则边长c的取值范围是 （，） ．

【解答】解：∵a=2，b=3

要使△ABC是一个锐角三角形

∴要满足32+22＞c2，22+c2＞32，

∴5＜c2＜13

∴

故答案为：

10．（5分）已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q的取值范围 （，） ．

【解答】解：设三边：a、qa、q2a、q＞0则由三边关系：两短边和大于第三边a+b＞c，即

（1）当q≥1时a+qa＞q2a，等价于解二次不等式：q2﹣q﹣1＜0，由于方程q2﹣q﹣1=0两根为：和，

故得解：＜q＜且q≥1，

即1≤q＜．

（2）当q＜1时，a为最大边，qa+q2a＞a即得q2+q﹣1＞0，解之得q＞或q＜﹣且q＞0

即q＞，所以＜q＜1

综合（1）（2），得：q∈（，）．

故答案为：（，）．

11．（5分）设实数x，y满足x2+2xy﹣1=0，则x+y的取值范围是 （﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） ．

【解答】解：∵x2+2xy﹣1=0

∴（x+y）2=1+y2≥1

则x+y≥1或x+y≤﹣1 故x+y的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）

故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）

12．（5分）已知数列{an}满足3an+1+an=4（n≥1）且a1=9，前n项和为Sn，则满足的最小整数n是 7 ．

【解答】解：对3an+1+an=4（n≥1）变形得：

3[an+1﹣1]=﹣（an﹣1），

，

an=8×（﹣）（n﹣1）+1，

Sn=8{1+（﹣）+（﹣）2+…+（﹣）（n﹣1）]+n

=6﹣6×（﹣）n+n，

|Sn﹣n﹣6|=|﹣6×（﹣）n|＜．

故：n=7．

故答案为：7．

13．（5分）观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，2、3、4条直线相交，交点的个数最多分别为1、3、6个，其通项公式an= n（n﹣1） ．（an为n条直线的交点的最多个数） 【解答】解：2条直线相交，最多有×2×（2﹣1）=1个交点，即a2=×2×（2﹣1）；

3条直线相交，最多有×3×（3﹣1）=1+2=3个交点，即a3=×3×（3﹣1）；

4条直线相交，最多有×4×（4﹣1）=1+2+3=6个交点，即a4=×4×（4﹣1），

…，

依此类推，n条直线相交，最多有n（n﹣1）个交点，即an=n（n﹣1）

故答案为：n（n﹣1）

14．（5分）已知等差数列{an}首项为a，公差为b，等比数列{bn}首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1＜b1，b2＜a3，对于任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得am+3=bn成立，则an= 5n﹣3 ．

【解答】解：∵a1＜b1，b2＜a3，

∴a＜b以及ba＜a+2b

∴b（a﹣2）＜a＜b，

a﹣2＜1?a＜3，

a=2．

又因为 am+3=bn?a+（m﹣1）b+3=b?an﹣1．

又∵a=2，b（m﹣1）+5=b?2n﹣1，则b（2n﹣1﹣m+1）=5． 又b≥3，由数的整除性，得b是5的约数．

故2n﹣1﹣m+1=1，b=5，

∴an=a+b（n﹣1）=2+5（n﹣1）=5n﹣3．

故答案为5n﹣3．

二.解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（15分）如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标：A（0，0），B（3，），C（4，0）．

（1）求边CD所在直线的方程（结果写成一般式）；

（2）证明平行四边形ABCD为矩形，并求其面积．

【解答】解：由于平行四边形ABCD的三个顶点坐标：．

则，，

（1）由于AB∥CD，则直线CD的方程为：y﹣0=（x﹣4），

即边CD所在直线的方程为：x﹣﹣4=0；

（2）由于，

，