江苏省南通中学2019_2020学年高一数学下学期期中试题含解析
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- 1 - 江苏省南通中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1.直线y3x的倾斜角为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【答案】B
【解析】
【分析】
利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．
【详解】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．
设直线的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．
∴tanθ3，
∴θ＝60°，
故选：B．
【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2a＝2bsinA，则sinB的值为（ ）
A. 2 B. 22 C. 12 D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正弦定理，把边化为角的正弦，再计算sinB的值．
【详解】△ABC中，2a＝2bsinA，
由正弦定理得，2sinA＝2sinBsinA，
又A∈（0，π），所以sinA≠0，
所以22sinB，
解得sinB22． - 2 - 故选：B
【点睛】本题考查了正弦定理的应用问题，是基础题．
3.若直线过点3,3和点0,4，则该直线的方程为( )
A. 343yx B. 343yx
C. 36yx D. 323yx
【答案】A
【解析】
【分析】
（法一）利用直线的两点式方程直接求解；
（法二）利用斜率公式知直线的斜率，再用点斜式写出直线方程．
【详解】解：（法一）因为直线过点3,3和点0,4，
所以直线的方程为343040yx，整理得343yx；
（法二）因为直线过点3,3和点0,4，所以直线的斜率为33k，
所以直线的方程为343yx，整理得343yx；
故选：A．
【点睛】本题主要考查直线的两点式方程的应用，属于基础题．
4.已知角θ的始边为x轴非负半轴，终边经过点P（1，2），则sinsincos的值为（ ）
A. 13 B. 13 C. 23 D. 23
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义求得tanθ的值，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值． - 3 - 【详解】∵角θ的始边为x轴非负半轴，终边经过点P（1，2），
∴tanθ＝2，
则sintan22sincostan1213.
故选：D
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系式，属于基础题．
5.已知圆22:684,CxyO为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程( )
A. 2234100xy B. 2234100xy
C. 223425xy D. 22+3425xy
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出圆心和半径，即得圆的方程.
【详解】由题得OC中点坐标为（3,4），
圆的半径为223+4=5，
所以圆的方程为223425xy.
故选C
【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6.函数22sin14yx是（ ）
A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为2π的奇函数
C. 最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为2π的偶函数
【答案】A
【解析】
【分析】
由条件利用二倍角的余弦公式、诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和奇偶性，即可得解． - 4 - 【详解】函数22sin1cos2sin242yxxx，
故函数的最小正周期22T，且该函数为奇函数.
故选：A.
【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式、诱导公式的应用，考查了正弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题．
7.一艘轮船按照北偏东40方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为63海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ）
A. 6海里 B. 12海里 C. 6海里或12海里 D. 63海里
【答案】A
【解析】
【分析】
根据方位角可知120CAB，利用余弦定理构造方程可解得结果.
【详解】记轮船最初位置为A，灯塔位置为B，20分钟后轮船位置为C，如下图所示：
由题意得：11863AC，1804020120CAB，63BC
则222cos2ACABBCCABACAB，即：2361081122ABAB，解得：6AB
即灯塔与轮船原来的距离为6海里 - 5 - 本题正确选项：A
【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，关键是能够利用余弦定理构造方程，解方程求得结果.
8.已知圆C与x轴的正半轴相切于点A，圆心在直线2yx上，若点A在直线40xy的左上方且到该直线的距离等于2，则圆C的标准方程为（ ）
A. 22(2)(4)4xy B. 22(2)(4)16xy
C. 22(2)4)(4xy D. 22(2)(4)16xy
【答案】D
【解析】
【分析】
设圆心,2Caa，利用点到直线距离可构造方程求得a，根据点A的位置可确定圆心、半径，从而得到圆的标准方程.
【详解】圆C的圆心在直线2yx上，可设,2Caa，
圆C与x轴正半轴相切与点A，0a且圆C的半径2ra，,0Aa.
A到直线40xy的距离2d，04211ad，解得：6a或2a，
2,0A或6,0A，
A在直线40xy的左上方，2,0A，2,4C，4r，
圆C的标准方程为：222416xy.
故选：D
【点睛】本题考查圆的标准方程的求解，涉及到点到直线距离公式的应用；关键是能够采用待定系数法，利用已知等量关系构造方程求得变量.
二、多项选择题（本大题共4小题，每道题5分）
9.点P是直线x+y﹣3＝0上的动点，由点P向圆O：x2+y2＝4作切线，则切线长可能为（ ）
A. 22 B. 12 C. 1 D. 32 - 6 - 【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据题意，设T为切点，分析圆的圆心与半径，可得|PT|222||||4POrPO，进而可得|PT|的最小值，分析选项即可得解．
【详解】根据题意，由点P向圆O：x2+y2＝4做切线，设T为切点，连接OP、OT，如图：
圆O：x2+y2＝4，其圆心为（0,0），半径r＝2；
则切线长222||||4PTPOrPO，
当PO最小时，PT最小，
当PO与直线垂直时，PO取最小值，则min332211PO，
所以min1222PT，
分析选项：A、C、D都满足22PT，符合题意.
故选：ACD．
【点睛】本题考查了直线与圆相切的性质，涉及切线长的计算，属于基础题．
10.在△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，根据下列条件解三角形，其中只有一解的为（ ）
A. a＝50，b＝30，A＝60° B. a＝30，b＝65，A＝30° - 7 - C. a＝30，b＝50，A＝30° D. a＝30，b＝60，A＝30°
【答案】AD
【解析】
【分析】
由已知结合正弦定理求解sinB，再由正弦函数的值域及三角形中大边对大角分析得答案．
【详解】对于A，由a＝50，b＝30，A＝60°，
利用正弦定理可得：503060sinsinB
则sinB3310，
∵a＞b，且A为锐角，∴B有一解，故三角形只有一解；
对于B，由a＝30，b＝65，A＝30°，
利用正弦定理可得：306530sinsinB
则sinB13112，此三角形无解；
对于C，由a＝30，b＝50，A＝30°，
利用正弦定理可得：305030sinsinB
则sinB56，
∵b＞a，且A为锐角，则角B有两解，故三角形有两解；
对于D，由a＝30，b＝60，A＝30°，
利用正弦定理可得：306030sinsinB，
则sinB＝1，B＝90°，三角形为直角三角形，仅有一解．
故选：AD
【点睛】本题考查三角形解的个数的判定，考查正弦定理的应用，注意三角形中大边对大角是关键，是中档题．
11.在ABC中,若coscosaAbB,则ABC的形状可能为( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
【答案】ABCD
【解析】 - 8 - 【分析】
根据正弦定理sinsinabAB,将coscosaAbB化简为:sincossincosAABB,故sin2sin2AB,即可求得答案.
【详解】根据正弦定理sinsinabAB
coscosaAbB
sincossincosAABB,
即sin2sin2AB.
2,2(0,2)AB,
22AB或22AB.
即AB或2AB,
ABC可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形.
故选:ABCD.
【点睛】本题考查了判断三角形的形状,解题关键是掌握正弦定理和正弦的二倍角公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
12.已知圆M：22(1cos)(2sin)1xy，直线l：20kxyk，下列四个选项，其中正确的是（ ）
A. 对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点
B. 存在实数k与θ，直线l和圆M相离
C. 对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切
D. 对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切
【答案】AC
【解析】
【分析】
先确定圆的圆心坐标、直线所过的定点，根据直线与圆的位置关系，结合两点的距离公式、点到直线的距离公式、辅助角公式进行判断即可.
【详解】根据题意知圆M的圆心坐标为M（1+cosθ，2+sinθ），半径为1，
