当前位置：文档之家 › 九年级数学竞赛培优专题及答案 24 平面几何的定值问题

九年级数学竞赛培优专题及答案 24 平面几何的定值问题

  • 格式：doc
  • 大小：518.50 KB
  • 文档页数：12

专题24 平面几何的定值问题

【阅读与思考】

所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变）.

几何定值问题的基本特点是：题设条件中都包含着变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动的元素，固定元素也就是“不变量”，有的是明显的，有的是隐含的，在运动变化中始终没有发生变化的元素，也就是我们要探求的定值.

解答定值问题的一般步骤是：

1.探求定值；

2.给出证明.

【例题与求解】

【例1】 如图，已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧AD⌒上任意一点.求证：PAPCPB为定值.

解题思路：线段的和差倍分考虑截长补短，利用圆的基本性质，证明三角形全等.

PABCD

【例2】 如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（ ）

A.到CD的距离保持不变 B.位置不变

C.等分DB⌒ D.随C点的移动而移动

（济南市中考试题）

解题思路：添出圆中相关辅助线，运用圆的基本性质，用排除法得出结论.

ABCDPO

【例3】 如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足.求证：不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角.

（加拿大数学奥林匹克试题）

解题思路：不管ST滑到什么位置，∠SOT的度数是定值.从探寻∠SPM与∠SOT的关系入手. MPOBAST

【例4】 如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°.点C是AB⌒上异于A，B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E.连接DE，点G，H在线段DE上，且DG=GH=HE.

（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；

（2）当点C在AB⌒上运动时，在CD，CG，DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；

（3）求证：CD2+3CH2是定值. （广州市中考试题）

解题思路：延长OG交CD于N，利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质，实现把线段ON转化成线段CH的倍分关系，再以Rt△OND为基础，通过勾股定理，使问题得以解决.

BOACEHGD

【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点.若点A的坐标为（-2，0），AE=8.

（1）求点C的坐标；

（2）连接MG，BC，求证：MG∥BC；

（3）如图2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P.动点F在⊙M的圆周上运动时，PFOF的比值是否发

生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律. （深圳市中考试题）

解题思路：对于（3）从动点F达到的特殊位置时入手探求定值.

ABMGCENOxyxyABDPOGEFMC

（图1） （图2）

【例6】 如图，已知等边△ABC内接于半径为1的圆O，P是⊙O上的任意一点.求证：PA2+PB2+PC2为定值.

解题思路：当点P与C点重合时，PA2+PB2+PC2=2BC2为定值，就一般情形证明.

ABCPO

【能力训练】

A级

1.如图，点A，B是双曲线xy3上的两点，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段.若S阴影=1，则21SS_______.

（牡丹江市中考试题）

ABOxyS1S2 OABPEABCDEF

（第1题图） （第3题图） （第4题图）

2.从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是__________.

（全国初中数学联赛试题）

3.如图，OA，OB是⊙O任意两条半径，过B作BE⊥OA于E，又作OP⊥AB于P，则定值OP2+EP2为_________.

4.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，F是DC的中点，AF的延长线交BC的延长线于点E，则直线BF与直线DE所夹的锐角的度数为（ ）

A.30° B.40° C.50° D.60°

（武汉市竞赛试题）

5.如图，在⊙O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AA⊥AB，ABBB，且AA=AP，BB=BP.连接BA，当点P从点A移动到点B时，BA的中点的位置（ ）

A．在平分AB的某直线上移动 B.在垂直AB的某直线上移动

C.在弧AMB上移动 D.保持固定不移动

（荆门市中考试题） OPAA'B'BM BEFACDOxy

（第5题图） （第6题图）

6.如图，A，B是函数xky图象上的两点，点C，D，E，F分别在坐标轴上，且分别与点A，B，O构成正方形和长方形.若正方形OCAD的面积为6，则长方形OEBF的面积是（ ）

A.3 B.6 C.9 D.12

（海南省竞赛试题））

7.（1）经过⊙O内或⊙O外一点P作两条直线交⊙O于A，B和C，D四点，得到如图①~⑥所表示的六种不同情况.在六种不同情况下，PA，PB，PC，PD四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来.请你首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.

⑥⑤④③②①OCA(B)(D)PPD(B)ACOOCABDPPDBCOOCABDP(P)DBACO

（2）已知⊙O的半径为一定值r，若点P是不在⊙O上的一个定点，请你过点P任作一直线交⊙O于不重合的两点E，F. PE·PF的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来.

（济南市中考试题）

8.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，点O在原点，现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线xy上时停止旋转.旋转过程中，AB边交直线xy于点M，BC边交x轴于点N.

（1）求OA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN与AC平行时，求正方形OABC旋转度数；

（3）设△MBN的周长为P，在正方形OABC旋转的过程中，P值是否有变化？请证明你的结论.

y=xNMBCAOyx

（济宁市中考试题）

9.如图，AB是半圆的直径，AC⊥AB，AC=AB.在半圆上任取一点D，作DE⊥CD，交直线AB于点E，BF⊥AB，交线段AD的延长线于点F.

（1）设弧AD是x°的弧，若要点E在线段BA的延长线上，则x的取值范围是_______.

（2）不论点D取在半圆的什么位置，图中除AB＝AC外，还有两条线段一定相等.指出这两条相等的线段，并予证明.

（江苏省竞赛试题）

（第9题图） （第10题图） （第11题图）

10.如图，内接于⊙O的四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于点K，设⊙O的半径为R.求证：

（1）2222DKCKBKAK是定值；

（2）2222DACDBCAB是定值.

FCDEBAPDCBAKODCBA11.如图，设P是正方形ABCD外接圆劣弧弧AB上的一点，求证：DPCPBPAP的值为定值.

（克罗地亚数学奥林匹克试题）

B 级

1.等腰△ABC的底边BC为定长2，H为△ABC的垂心.当顶点A在保持△ABC为等腰三角形的情况下

改变位置时，面积S△ABC·S△HBC的值保持不变，则S△ABC·S△HBC=________.

2.已知A，B，C，D，E是反比例函数xy16（x＞0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是__________（用含π的代数式表示）.

ABCDEOxy

（福州市中考试题）

3.如图，将六边形ABCDEF沿直线GH折叠，使点A，B落在六边形ABCDEF的内部，记∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝α，则下列结论一定正确的是（ ）

A. ∠1＋∠2＝900°－2α B. ∠1＋∠2＝1080°－2α

C. ∠1＋∠2＝720°－α D. ∠1＋∠2＝360°－21α

（武汉市竞赛试题）

（第3题图） （第4题图）

4.如图，正△ABO的高等于⊙O的半径，⊙O在AB上滚动，切点为T，⊙O交AO，BO于M，N，则弧MTN（ ） 12GFEDCHBATNMABO A.在0°到30°变化 B.在30°到60°变化

C.保持30°不变 D.保持60°不变

5.如图，AB是⊙O的直径，且AB=10，弦MN的长为8.若MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A，B到MN的距离分别为h1，h2，则∣h1-h2∣等于（ ）

A.5 B.6 C.7 D.8

（黄石市中考试题）

（第5题图） （第6题图）

6.如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A，C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B，D.

（1）求点A的坐标（用m表示）

（2）求抛物线的解析式；

（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F.试证明：FC（AC+EC）为定值.

（株洲市中考试题）

7.如图，已知等边△ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A，B的点M.设直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于点N.证明线段AK和BN的乘积与M点的选择无关.

（湖北省选拔赛试题）

（第7题图） （第8题图）

8.如图，设H是等腰三角形ABC两条高的交点，在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距h1h2NMEFOBAyxQPFCEBDOANKMBACHCBA

合集下载

数学培优 专题24 平面几何的定值问题_答案

数学培优 专题24 平面几何的定值问题_答案

专题24平面几何的定值问题

例1 延长PC至E，使CE＝AP，连结BE，则△BCE≌△BAP，及△PBE为等腰直角三角形，故2PAPCCEPCPEPBPBPB例2 B提示：连结AC，BC，可以证明P为APB的中点．例3 ∵SP⊥OP，OM⊥ST，∴S，M，O，P四点共圆，于是∠SPM＝∠SOM＝12∠SOT为定角．例4 (1)连结OC交DE于M，则OM＝CM，EM＝DM，而DG＝HE，则HM＝GM故四边形OGCH是平行四边形． (2)DG不变．DE＝OC＝OA＝3 .DG＝13DE＝13×3＝1． (3)设CD＝x，延长OG交CD于N，则CN＝DN＝12x，229CEx，2214DNx.∴22394ONx，而ON＝32CH，∴22143CHx．故CD2＋3CH2＝x2＋3(4－13x2)＝x2＋12－x2为定值． 例5 ⑴C(0，4) ⑵先求得AM＝CM＝5，连接MC交AE于N，由△AOG∽△ANM，得OGAOMNAN，OG＝32，38OGOMOCOB，又∠BOC＝∠GOM，∴△GOM∽△COB，∠GMO＝∠CBO，得MG∥BC．⑶连结DM，则DM⊥PD，DO⊥PM，DO2＝OM•OP，OP＝163．动点F在⊙M的圆周上运动时，从特殊位置探求OFPF的值．当F与点A重合时，2316523OFAOPFAP；当点F与点B重合时，8316583OFOBPFPB；当点F不与点A，B重合时，连接OF、PF、MF，∴DM2＝MO•MP，∴FM2＝MO•MP，即FMMPOMFM，又∠OMP＝∠FMP，∴△MFO∽△MPF，35OFMOPFMF，故OFPF的比值不变，比值为35． 例6 ∠BPC＝120°，在△BPC中，由余弦定理得BC2＝PB2＋PC2－2PB•PC＝BC2，又由上托勒密定理得BC•PA＋PC•AB，而AB＝BC＝AC，∴PA＝PB＋PC，从而PA2＋PB2＋PC2＝ (PB＋PC)2＋PB2＋PC2＝2 (PB2＋PC2＋PB•PC)＝2BC2＝2×23＝6．故PA2＋PB2＋PC2为定值．A级1．4 提示：∵S1＋S阴＝S2＋S阴＝xy＝3，∴S1＋S2＝2xy－2S阴＝6－2＝4． 2．273 提示：1＋3＋5＝9是等边三角形的高． 3．r2 提示：先考查OB与OA垂直的情形．4．D提示：延长BF交DE于点M，连接BD，则△BCD为等边三角形，BF平分∠CBD．∵F为CD中点，且AD∥CE，∴△ADF与△ECF关于点F中心对称．∴CE＝AD＝CD，∴∠CEM=30°，∠DMF=60°，5．D 提示：A′B′的中点均在⊙O的上半圆的中点处． 6．B 提示：S正方形OCAD＝OD•OC＝AAxyk＝6，∴SOEBF＝OE•OF＝xB•yBk＝6． 7．⑴略 ⑵当点P在⊙O内时，过P作直径CD，则PE•PF＝PD•PC＝r2－OP2为定值；当点P在⊙O外时，PE•PF为定值22OPr．结论：过不在圆上的一个定点任作一条直线与圆相交，则这点到直线与圆相交点的两条线段长的积为定值．8．⑴2⑵22.5°⑶P值无变化．理由如下：如图，延长BA交y轴于E点，可证明△OAE≌△OCN，得OE＝ON，AE＝CN，又∠MOE＝∠MON＝45°，OM＝ON，∴△OME≌△OMN，得MN＝ME＝AM＋AE＝AM＋CN．∴P＝MN＋BN＋BM＝AM＋CM＋CN＋BN＋BM＝AB＋AC＝4．9．⑴0＜x＜90 ⑵BE＝BF提示：连接BD，可证明△BDF∽△ADB，△BDE∽△ADC． 10．⑴作OP⊥BD于P，OQ⊥AC于Q，连接AO，则AO2＝221122BKDKCKAK，又AK•CK＝BK•DK，得AK2＋BK2＋CK2＋DK2＝4R2为定值．⑵作直径DE，连接AE，BE，CE，AB2＋CD2＝4R2，AD2＋BC2＝4R2，故AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝8K2为定值． 11．设正方形的边长为a，根据托勒密定理，对于四边形APBC和四边形APBD，有CP•a＝AP•a＋BP•2a，DP•a＝BP•a＋AP•2a，两式相加并整理得(CP＋DP)a＝(AP＋BP)(a＋2a)，从而21APBPCPDP为定值．

人教版 初三数学竞赛专题：平面几何的定值问题(包含答案)

人教版 初三数学竞赛专题：平面几何的定值问题(包含答案)

人教版 初三数学竞赛专题：平面几何的定值问题（包含答案）

1 / 12 人教版 初三数学竞赛专题：平面几何的定值问题（含答案）

【例1】 如图，已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧AD⌒上任意一点.求证：PAPCPB为定值.

【例2】 如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（ ）

A.到CD的距离保持不变 B.位置不变

C.等分DB⌒ D.随C点的移动而移动

【例3】 如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足.求证：不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角.

【例4】 如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°.点C是AB⌒上异于A，B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E.连接DE，点G，H在线段DE上，且DG=GH=HE.

（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；

（2）当点C在AB⌒上运动时，在CD，CG，DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；

（3）求证：CD2+3CH2是定值. PABCDABCDPOMPOBAST人教版 初三数学竞赛专题：平面几何的定值问题（包含答案）

2 / 12

【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点.若点A的坐标为（-2，0），AE=8.

（1）求点C的坐标；

（2）连接MG，BC，求证：MG∥BC；

人教版 初三数学竞赛专题：平面几何的定值问题(含答案)

人教版 初三数学竞赛专题：平面几何的定值问题(含答案)

人教版 初三数学竞赛专题：平面几何的定值问题（含答案）

【例1】 如图，已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧AD⌒上任意一点.求证：PAPCPB为定值.

【例2】 如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（ ）

A.到CD的距离保持不变 B.位置不变

C.等分DB⌒ D.随C点的移动而移动

【例3】 如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足.求证：不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角.

【例4】 如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°.点C是AB⌒上异于A，B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E.连接DE，点G，H在线段DE上，且DG=GH=HE.

（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；

（2）当点C在AB⌒上运动时，在CD，CG，DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；

（3）求证：CD2+3CH2是定值. PABCDABCDPOMPOBAST

【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点.若点A的坐标为（-2，0），AE=8.

（1）求点C的坐标；

（2）连接MG，BC，求证：MG∥BC；

（3）如图2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P.动点F在⊙M的圆周上运动时，PFOF的比值是否发

生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.

初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题25 平面几何的最值问题[精品]

初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题25 平面几何的最值问题[精品]

1 专题25 平面几何的最值问题

阅读与思考

几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值．

求几何最值问题的基本方法有：

1．特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证．

2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理．

3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等．

例题与求解

【例1】在Rt△ABC中，CB=3，CA=4，M为斜边AB上一动点．过点M作MD⊥AC于点D，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为 ．（四川省竞赛试题）

解题思路：四边形CDME为矩形，连结CM，则DE= CM，将问题转化为求CM的最小值．

【例2】如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=10cm．若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN的值最小，求这个最小值．（北京市竞赛试题）

ABDCMN

解题思路：作点B关于AC的对称点B′，连结B′M，B′A，则BM= B′M，从而BM+MN= B′M+MN．要使BM+MN的值最小，只需使B′M十MN的值最小，当B′，M，N三点共线且B′N⊥AB时，B′M+MN的值最小．

【例3】如图，已知□ABCD，AB=a，BC=b(ba)，P为AB边上的一动点，直线DP交CB的延长线于Q．求AP+BQ的最小值． （永州市竞赛试题） 2 PDCABQ

解题思路：设AP=x，把AP，BQ分别用x的代数式表示，运用不等式以abba222或a+b≥2ab（当且仅当a=b时取等号）来求最小值．

【例4】阅读下列材料：

问题 如图1，一圆柱的底面半径为5dm，高AB为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到C点的最短路线．