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数学培优竞赛新方法-第23讲 几何定值

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第23讲 几何定值

知识纵横

几何定值，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些集合性质或位置关系不变。

解几何定值问题的基本方法是：

分清问题的定量和变量，运用极端位置、特殊位置、直接计算等方法，先探求出定值，再给出一般情形下的证明。

例题求解

【例1】 （1）如图1，圆内接ABC中，CABCAB，OEOD,为圆O的半径，BCOD于点F，ACOE于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是ABC的面积的31.

（2）如图2，若DOE保持120角度不变，求证：DOE绕着O点旋转时，由两条半径和ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC的面积的31．

【例2】如图，⊙1O和⊙2O外切于点A，BC是⊙1O和⊙2O的公切线，CB,为切点．

（1）求证：ACAB；

（2）过点A的直线分别交⊙1O和⊙2O于点ED,，且DE是连心线时，直线DB与直线EC交于点F．请在图中画出图形，并判断DF与EF是否互相垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；

（3）在（2）的其他条件不变的情况下，将直线DE绕点A旋转（DE不与点CBA,,重合），请另画出图形，并判断DF与EF是否互相垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．

【例3】如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足，求证：不管ST滑到什么位置，SPM是一定角．

【例4】如图，扇形OAB的半径3OA，圆心角90AOB，点C是弧AB上异于BA,的动点，过点C作OACD于点D，作OBCE于点E，连接DE，点HG,在线段DE上，且HEGHDG.

（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；

（2）当点C在弧AB上运动时，在DGCGCD,,中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；

（3）求证：223CHCD是定值．

【例5】 如图，已知等边ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于BA、的点M，设直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于点N，证明：线段AK和BN的乘积与M点的选择无关．

以退为进 【例6】如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于BA,两点，交y轴于DC,两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为8,0,2AE．

（1）求点C的坐标；

（2）连接BCMG,，求证：BCMG∥；

（3）如图2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P．动点F在⊙M的圆周上运动时， PFOF的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．

学力训练

基础夯实

1. 阅读下列材料，然后解答问题．

2. 经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形．

3. 如图，已知正四边形ABCD的外接圆⊙O，⊙O的面积为1S，正四边形ABCD的面积为2S，以圆心O为顶点作MON，使90MON，将MON绕点O旋转，ONOM,分别与⊙O相交于点FE,，分别与正四边形ABCD的边相交于点HG,．设由,,OFOE弧EF及正四边形ABCD的边围成的图形（图中的阴影部分）的面积为S.

（1）当OM经过点A时（如图①），则21,,SSS之间的关系为：S （用含1S、2S的代数式表示）；

（2）当ABOM时（如图②），点G为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由；

（3）当MON旋转到任意位置时（如图③），则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由．

4. 如图，在等腰三角形ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与ACAB,相切，切点分别为ED,．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交ACAB,于NM,．求证：CNBM为定值。

5.如图，已知等边三角形ABC的周长为a，P为其内任一点，ABPD于D，BCPE于E，ACPF于F。

求证：（1）PFPEPD为定值；

（2）CFBEAD为定值。

6. 已知半径为R的⊙'O经过半径为r的⊙O的圆心，⊙O与⊙'O交于FE,两点．

（1）如图1，连接'OO交⊙O于点C，并延长交⊙'O于点D，过点C作⊙O的切线交⊙O′于BA,两点，求OBOA的值；

（2）若点C为⊙O上一动点．

①当点C运动到⊙'O内时，如图2，过点C作⊙O的切线交⊙O′，于BA,两点，则OBOA的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由；

②当点C运动到⊙'O外时，过点C作⊙O的切线，若能交⊙O于BA,两点，如图3，则OBOA的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由．

能力拓展

7. 如图，内接于圆O的四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于点K，设圆O的半径为R，求证：

（1）2222DKCKBKAK是定值；

（2）2222DACDBCAB是定值。

CBAKDO

8.如图，已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧AD上任意一点，求证：PBPCPA为定值。

9.如图，已知ABC为直角三角形，BCACACB,90，点CA,在x轴上，点B坐标为0,3mm，线段AB与y轴相交于点D，以0,1P为顶点的抛物线过点DB,．

（1）求点A的坐标（用m表示）；

（2）求抛物线的解析式；

（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，试证明：ECACFC为定值．

10. 如图所示，四边形OABC是矩形，点CA,的坐标分别为2,0,0,6，点D是线段BC上的动点（与端点CB,不重合），过点D作直线bxy21交折线OAB于点E．

（1）记ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；

（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形1111CBAO，试探究四边形1111CBAO与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

综合创新

11.如图1所示，以点0,1M为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点DCBA,,,，直线33533xy与⊙M相切于点H，交y轴于点E，交y轴于点F．

（1）请直接写出OE，⊙M的半径r，CH的长；

（2）如图2所示，弦HQ交x轴于点P，且2:3:PHDP，求QHCcos的值；

（3）如图3所示，点K为线段EC上一动点（不与CE,重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足aMKMN？如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．

12.

小明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线02aaxy的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于BA,两点，请解答以下问题：

（1）若测得2OBOA （如图1），求a的值；

（2）对同一条抛物线，小明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作xBF轴于点F，测得1OF，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；

（3）对该抛物线，小明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点BA,的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

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数学培优竞赛新方法(九年级)-第7讲 转化与化归

数学培优竞赛新方法(九年级)-第7讲 转化与化归

第七讲 转化与化归

可化为一元二次方程的方程及方程组

数学(家)特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实施推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女数学家路莎•彼得在《无穷的玩艺》一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题．”

转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解．

【例题求解】

【例1】 已知关于x的方程4322(3)(2)20xxkxkxk有实数根，若所有的实数根的积为－2，则所有实数根的平方和为

。

思路点拨：将方程左边因式分解，化高次方程为低次方程。

【例2】方程3418611xxxx的解的情形是（ ）

A、无解 B、恰有一个解 C、恰有两个解 D、有无穷多个解

思路点拨：由配方法得22(12)(13)1xx，即

12131xx，通过讨论去掉绝对值符号。

【例3】解下列方程：

（1）222234112283912xxxxxxxx （河南省竞赛题）

（2）33(1999)(1998)1xx； （山东省竞赛题）

（3）21313()4211xxxxxx； （“祖冲之杯”邀请赛试题）

（4）2(1)(35)1444524xxxyxxy （西安市竞赛题）

思路点拨：

数学培优竞赛新方法(九年级)-第5讲 一元二次方程的整数解

数学培优竞赛新方法(九年级)-第5讲 一元二次方程的整数解

第五讲 一元二次方程的整数解

在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：

从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；

从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k)，通过穷举，逼近求解；

从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；

从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．

注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．

【例题求解】

【例1】若关于x的方程的解都是整数，则符合条件的整数是的值有 个．

（全国初中数学联赛题）

思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．

注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论． 【例2】 已知a、b都是整数，方程220080axbx的相异两根都是质数，则3ab的值为( ) （太原市竞赛题）

A．100 B．400 C．700 D．1000

思路点拨 由韦达定理a、b的关系式，结合整数性质求出a、b、c的值．

【例3】 试确定一切有理数r，使得关于x的方程01)2(2rxrrx有根且只有整数根．

（全国初中数学联赛题）

数学培优竞赛新方法(九年级)-第7讲-抛物线

数学培优竞赛新方法(九年级)-第7讲-抛物线

九年级数学培优竞赛辅导讲座

1第7讲抛物线

知识纵横

一般地，我们称函数)0(2

acbacbxaxy为常数，、、

为x

的二次函数，其图像为一条

抛物线，与抛物线相关的知识有：

1、a

、b

、c

的符号决定抛物线的大致位置；

2、抛物线关于

ab

x

2

对称，抛物线开口方向、开口大小仅与a

相关，抛物线在顶点









abac

ab

44

,

22

处取得最值；

3、抛物线的解析式有下列三种形式：

一般式：cbxaxy2

；

顶点式：khxay2)(

；

交点式：))((

21xxxxay

，这里

1x

、

2x

是方程02

cbxax

的两个实根。确定抛物线的解

析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的

关键。

例题求解

例1.已知二次函数)0(2

acbxaxy

中自变量x

和函数值y

的部分对应值如下表：

x...

23

-1

21

0

211

23...

y...

45

-2

49

-2

45

0

47...

则二次函数的解析式为。（天津市中考题）

思路点拨从表格中可获取丰富的信息，用不同方法求该二次函数的解析式。

例2.二次函数cbxaxy2

的图像如图所示，现有以下结论：①0abc

；②

cab

；③024cba

；④bc32

；⑤)1)((mbammba

。其中

正确的结论有（）

A、1个B、2个C、3个D、4个

思路点拨由抛物线的位置确定a

、b

、c

的符号，解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解

并能综合推理。九年级数学培优竞赛辅导讲座

2例3.已知二次函数1)1(22

mxmxy

。

（1）随着m

的变化，该二次函数图像的顶点p

是否都在某个抛物线上？如果是，请求出该抛物线的

函数表达式；如果不是，请说明理由。

（2）如果直线1xy

经过二次函数1)1(22

mxmxy

图像的顶点p

，求此时m

的值。

（浙江省竞赛题）

思路点拨对于（1），原二次函数图像的顶点p

的坐标含参数m

数学培优竞赛新方法-第31讲 圆的翻滚

数学培优竞赛新方法-第31讲 圆的翻滚

圆的翻滚

把平面图形按一定方向作无滑动的翻折或滚动，称为图形的翻滚，图形翻滚的常见形式有：

（1）正多边形的翻折；

（2）圆的滚边。

图形翻滚问题着力考查动手操作、分析细节、归纳类比等综合能力。

【例1】如图，将边长为a的正六边形654321AAAAAA在直线l上由图①的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当1A第一次滚动到图②位置时，求点1A所经过的路径的长。

【例2】已知正方形ABCD的边长kAB（k是正整数），正PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且1AE．将PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边...、、、、、ABDACDBCAB连续地翻转n次，使顶点P第一次回到原来的起始位置．

（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是PAE在直线上作连续的翻转运动．图2是1k时，PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图．请你探索：若1k，则PAE沿正方形的边连续翻转的次数n 时，顶点P第一次回到原来的起始位置；

（2）若2k，则n 时，顶点P第一次回到原来的起始位置；若3k，则n

时，顶点P第一次回到原来的起始位置；

（3）请你猜测：使顶点P第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用含k的代数式表示n）．

【例3】如图①至图⑤，⊙O均作无滑动滚动，⊙1O、⊙2O、⊙3O、⊙4O均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c．

阅读理解：

（1）如图1，⊙O从⊙1O的位置出发，沿AB滚动到⊙2O的位置，当cAB时，⊙O恰好自转1周；

（2）如图2，ABC相邻的补角是n，⊙O在ABC外部沿CBA滚动，在点B处，必须由⊙1O的位置旋转到⊙2O的位置，⊙O绕点B旋转的角nBOO21，⊙O在点B处自转周．

实践应用：

（1）在阅读理解的（1）中，若cAB2，则⊙O自转 周；若lAB，则⊙O自转 周．在阅读理解的（2）中，若120ABC，则⊙O在点B处自转 周；若60ABC，则⊙O在点B处自转 周；